Hàm fn được xác định trên tập các số nguyên dương và nhận giá trị nguyên không âm.. Mi là trung điểm của cạnh ai và Ti là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác với các cạnh ai.. Ký
Trang 1
1 Hàm f(n) được xác định trên tập các số nguyên dương và nhận giá trị nguyên không âm f(2) = 0, f(3) > 0, f(9999) = 3333 và với mọi m, n có: f(m + n) - f(m) - f(n) = 0 hoặc 1
Xác định f(1982)
2 Tam giác không cân A1A2A3 có các cạnh a1, a2, a3 với ai đối diện với Ai Mi là trung điểm của cạnh ai và Ti là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác với các cạnh ai Ký hiệu Si là hình chiếu của Ti trên đường phân giác trong của góc Ai Chứng minh rằng: M1S1, M2S2,
M3S3 đồng qui
3 Xét một dãy vô hạn {xn} của các số thực dương sao cho: 1 = xo x1 x2
(a) Chứng minh rằng: với mọi dãy như thế tồn tại một số n 1 sao cho:
(b) Tìm một dãy có tính chất như trên và thoả mãn:
với mọi n
4 Chứng minh rằng: Nếu n là một số nguyên dương sao cho phương trình:
x3 - 3xy2 + y3 = n
có nghiệm (x, y) nguyên thì phương trình đó có ít nhất ba nghiệm nguyên
Hãy chỉ ra rằng phương trình không có nghiệm nguyên với n = 2891
5 Cho lục giác đều ABCDEF Trong đường chéo AC và CE lấy các điểm tương ứng M và N sao cho:
Xác định r nếu B, M và N thẳng hàng
6 Cho S là một hình vuông với độ dài các cạnh là 100 L là một đường đi trong S và không cắt S gồm có các đoạn A0A1, A1A2, A2A3, , An-1An với Ao An Giả sử rằng với mọi điểm P trên biên của S tồn tại một điểm thuộc L sao cho khoảng cách từ P tới nó
Chứng minh rằng: tồn tại 2 điểm X và Y thuộc L sao cho khoảng cách XY 1, và độ dài đường đi từ X tới Y là không nhỏ hơn 198
Trang 2Page 2 of 2 IMO Vietnamese