• Hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và đường cao của nó qua tâm của đáy tâm đường tròn ngoại tiếp , nội tiếp • Hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác
Trang 1GV : Nguyễn Vũ Minh LTĐH 2013
HÌNH CHÓP , KHỐI CHÓP
I Hình chóp :
1 Định nghĩa :
H
D
C B
A
S
Hình chóp tứ giác S.ABCD
Cho đa giác và điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó Hình gồm n tam giác và đa giác là hình
n 2
1A A
n
2 A
A A
1
A
• Tứ diện là hình chóp tam giác
• Tứ diện đều là hình chóp tam giác có tất cả các cạnh bằng nhau
+ Thể tích khối chóp = 1
3
B là diện tích đa giác đáy, h là đường cao
2 Hình chóp đều :
A
D
C B
S
H
• Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau
• Hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và đường cao của nó qua tâm của đáy ( tâm đường tròn ngoại tiếp , nội tiếp )
• Hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Bài toán thường cho hình chóp
TOÁN VỀ HÌNH LĂNG TRỤ
.
V B h =
B: diện tích đáy
h : đường cao
B
A
C
B O
A1
C A
B1
C1
G
C1 A1
B1
Trang 2GV : Nguyễn Vũ Minh LTĐH 2013
a) Hình lăng trụ đứng:
* Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy
* Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy
b) Hình lăng trụ đều:
* Định nghĩa: Hình lăng tru đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều
* Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với
mặt đáy
c) Hình hộp đứng:
* Định nghĩa: Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành
* Nhận xét: Trong hình hộp đứng 4 mặt bên đều là hình chữ nhật
d) Hình hộp chữ nhật:
* Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật
* Nhận xét: Tất cả 6 mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật
e) Hình lập phương :
* Định nghĩa: Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau
Tỉ số thể tích
.
' ' '
' ' '
S ABC
S A B C
SC
M∈SC, ta có : .
.
.
S ABM
S ABC
V SA SB SM SM
V = SA SB SC =
SC
ÔN TẬP CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q)
vuông góc với nhau thì bất cứ
đường thẳng a nào nằm trong
(P), vuông góc với giao tuyến
của (P) và (Q) đều vuông góc
với mặt phẳng (Q)
(P) (Q)
a (P),a d
⎪ ∩ = ⇒ ⊥
⎨
⎩
P a
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q)
vuông góc với nhau và A là
một điểm trong (P) thì đường
thẳng a đi qua điểm A và
vuông góc với (Q) sẽ nằm
trong (P)
(P) (Q)
A (P)
a (P
A a
a (Q)
⎪ ∈
⎨
∈
⎪
⎪ ⊥
⎩
Q
P a
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và
cùng vuông góc với mặt phẳng
thứ ba thì giao tuyến của chúng
vuông góc với mặt phẳng thứ
ba
(P) (Q) a
(Q) (R)
⎨
⎩
a
R
Q P
A
C
B
S
M C
B A
S
A'
B' C'
Trang 3GV : Nguyễn Vũ Minh LTĐH 2013
Góc giữa đường thẳng a với
mặt phẳng (P)
là góc giữa a và hình chiếu a’
của nó trên mp(P)
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với
mặt phẳng (P) thì góc giữa
a
Góc giữa hai mặt phẳng
b a
Q P
Khoảng cách từ 1 điểm đến 1
H O
P
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
A Các Tính Chất :
Tam giác :
− Diện tích của tam giác
* 1 .sin
2
ABC
SΔ = AB AC A *
1 2
ABC
SΔ = BC AH
2
− Các tam giác đặc biệt :
h
H
A
C B
o Tam giác vuông :
+ Định lý pitago:BC2 =AB2+AC + Diện tích tam giác vuông:
1
A
Trang 4GV : Nguyễn Vũ Minh LTĐH 2013
+ Đường cao AH cũng là đường trung tuyến
+ Tính đường cao và diện tích
AH =BH.tanB
1 2
ABC
SΔ = BC AH
A
o Tam giác đều
+ Đường cao của tam giác đều
2
h AM AB
( đường cao h = cạnh x 3
2 )
A
G
C M
2 3 ( )
4
Δ =
B
Tứ giác
− Hình vuông
+ Diện tích hình vuông :
2 ( )
ABCD
S = A
( Diện tích bằng cạnh bình phương)
+ Đường chéo hình vuông O
B
D
A
C
AC BD AB
( đường chéo hình vuông bằng cạnh x 2)
+ OA = OB = OC = OD
− Hình chữ nhật
+ Diện tích hình vuông :
ABCD
S = AB AD
( Diện tích bằng dài nhân rộng)
+ Đường chéo hình chữa nhật bằng nhau và OA = OB = OC = OD
-Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, có AB a AC a= , = 3 , SBC là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi I là trung điểm BC
a Chứng minh SI vuông góc với mp(ABC) b Tính thể tích S.ABC theo a
Bài 2 Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a
Bài 3.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc mp(ABCD) , cạnh SC tạo
với mặt phẳng đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp
Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông
góc với đáy, SB a= 3
a Tính thể tích khối chóp S.ABCD
O
Trang 5GV : Nguyễn Vũ Minh LTĐH 2013
b Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC Tính thể tích khối chóp G.ABCD
Bài 5 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng 2a Góc giữa mặt bên và đáy là 600
a Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b Trên hai cạnh SB và SD lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho SM SN 2
BM DN = = Tìm giao điểm P của mp(AMN) và SC Tính tỉ số SP
CP
c Tính thể tích S.AMNP
Bài 6 Cho khối chop tam giác S.ABC Trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ sao cho
1
SA'= SA
4 ,
1 SB'= SB
1 SC'= SC
2 Tính tỉ số thể tích của hay khối chóp S.A’B’C’ và S.ABC.
Bài 7 (CĐ Kinh Tế Đối Ngoại – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau Biết thể tích
khối chop là 9 2 3
2 Tìm độ dài cạnh của khối chóp ( ĐS : 3a)
Bài 8 Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B Cạnh SA vuông góc với đáy, góc = 600,
,
^ ACB
BC = a SA = a 3 Gọi M là trung điểm của cạnh SB
a/ CM (SAB) vuông góc (SBC)
b/ Tính thể tích khối tứ diện MABC (
3 4
a
)
Bài 9 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a
a/ Tính thể tích khối chóp S ABCD
b/ Gọi M là trung điểm SC Tính thể tích khối S ABM theo a
Bài 10 Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2a Gọi M là trung điểm của CD
a/ Tính thể tích của khối tứ diện ABCD b/ Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(ABC)
Bài 11 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Các mặt bên tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp đó
Bài 12 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy Gọi M là
trung điểm SD a/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC ( 2
2
a
) b/ Tính thể tích khối tứ diện MACD (
3 12
a
)
Bài 13 (ĐH Sài Gòn – 2007) Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a Gọi G là trọng tâm tam
giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên SCD bằng 3
6
a
Tính khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên
SCD và thể tích khối chóp S.ABCD ( 3 3
6
a
)
Bài 14 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và
6
2
SA a= a/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) ( 2
2
a
)
b/ Tính thể tích khối chóp S.ABC và diện tích tam giác SBC (
3 2 8
a
và3 2
4a )
Bài 15 Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
(ABC) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp SABC (
3 3
a
)
Trang 6GV : Nguyễn Vũ Minh LTĐH 2013 Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, hai mặt bên (SBC) và (SAD) đều tạo với
đáy một góc bằng 600; mặt bên (SAB) vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp này (
3
3
a
)
Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông
góc với đáy, mặt bên (SBC) tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp này (
3 3 3
a
)
Bài 19 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD tâm O; cạnh đáy bằng a và góc của cạnh bên hợp với mặt đáy
bằng α
a/ Tính thể tích của hình chóp S.ABCD theo a và α
b/ Tính góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy theo α
c/ Tính thể tích hình chóp S.OCD Suy ra khoảng cách từ O đến mp(SCD)
Bài 20 Cho khối chóp đều S.ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2a (a > 0) và thể tích
3
3
a
V = Tính góc giữa mặt phẳng chứa mặt bên với mặt phẳng đáy của hình chóp
Bài 21 (TN-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Bài 22 (TN-2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD = CD = a,
AB = 3a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SC tạo với đáy một góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Bài 23 (CĐ - 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc
với mặt phẳng đáy, SA=SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450 Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD
Bài 24 (TN-2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy Biết BAC = 1200 , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Bài 25 (TN-2012) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = BC = a
Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a
Bài 26 (CĐ - 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300 Gọi M là trung điểm của cạnh SC Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC
= a 2 và biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ
a
3a
C' B'
A'
C
B
A
a 2
Lời giải:
Ta có ΔABC vuông cân tại A nên AB = AC = a ABC A'B'C' là lăng trụ đứng ⇒ AA' AB ⊥
Δ AA'B ⇒ AA'2= A'B AB2− 2= 8a2
AA' 2a 2
Vậy V = B.h = SABC AA' = a 23
Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ này
Trang 7GV : Nguyễn Vũ Minh LTĐH 2013
5a 4a
B' A'
B
A
Lời giải:
ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên
BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 ⇒ BD 3a =
ABCD là hình vuông AB 3a
2
Suy ra B = SABCD = 9a2
4
Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3
Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a Hai mặt (ABC)
và (ASC) cùng vuông góc với (SBC) Tính thể tích hình chóp
_
\
/ /
a
B
S C
Ta có (ABC) (SBC)
(ASC) (SBC)
⎧⎪
⎨
⎪⎩
⊥
⊥ ⇒AC (SBC)⊥
Do đó V 1SSBC.AC 1 a 32 a a3
12
Ví dụ 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o
1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông 2)Tính thể tích hình chóp
a o 60
S
C
B A
Lời giải:
1) SA (ABC) ⊥ ⇒ SA AB &SA AC ⊥ ⊥
mà BC ⊥ ⇒ ⊥ ( đl 3 ⊥)
Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông
2) Ta cóSA (ABC) ⊥ ⇒ AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy góc[SB,(ABC)] = SAB 60 = o
ΔABCvuông cân nên BA = BC = a
2
SABC = 1BA.BC a2
2 = 4
Δ SAB SA AB.t an60 ⇒ = o = a 6
2 Vậy V 1 SABC.SA 1 a a 62 3
= = = a 6 24
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a Mặt bên SAB là tam giác
Trang 8GV : Nguyễn Vũ Minh LTĐH 2013
a H
D
C B
A
S
Lời giải:
1) Gọi H là trung điểm của AB
ΔSAB đều ⇒ SH AB ⊥
mà (SAB) (ABCD) SH (ABCD) ⊥ ⇒ ⊥ Vậy H là chân đường cao của khối chóp
2) Ta có tam giác SAB đều nên SA =a 3
2 suy ra V 1 SABCD.SH a3
Ví dụ 6: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a
Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC
a
2a
H O
C
B A
S
Lời giải:
Dựng SO⊥(ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra
OA = OB = OC Vậy O là tâm của tam giác đều ABC
Ta có tam giác ABC đều nên
AO = 2 AH 2 a 3 a 3
3 = 3 2 = 3
Δ SAO ⇒ SO2= SA OA2− 2= 11a2
3
a 11 SO
3
⇒ = Vậy V 1SABC.SO a3
2
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC a= 2 , SA vuông góc với đáy ABC , SA a =
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC
2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (α ) qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần
lượt tại M, N Tính thể tích của khối chóp S.AMN
G M
N
I C
B A
S
Lời giải:
a)Ta có: .
1
3
S ABC ABC
V = S S A và SA a =
+ Δ ABC c n c â ó : AC a = 2 ⇒ AB a =
2
1 2
ABC
SABC
a
V = a a =
b) Gọi I là trung điểm BC
G là trọng tâm,ta có : 2
3
SG
SI =
α // BC ⇒ MN// BC 2
3
SM SN SG
SB SC SI
Trang 9GV : Nguyễn Vũ Minh LTĐH 2013
9
SAMN SABC
3
SAMN SABC
a
7
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a Mặt bên SAC
vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450
a/ Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC
b/ Tính thể tích khối chóp SABC
45
I
J
H A
C
B
S a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng
với trung điểm cạnh AC
• Kẽ SH ⊥ BC vì mp(SAC) ⊥ mp(ABC) nên SH ⊥ mp(ABC)
• Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC ⊥ SI và
AB, SJ ⊥ BC, theo giả thiết SIH SJH 45 = = o.Ta có:
HJ HI
SHJ SHI = Δ ⇒ =
Δ nên BH là đường phân giác của Δ ABCTừ đó suy ra H là trung điểm của AC
b) Tính thể tích khối chóp SABC
HI = HJ = SH =
2
a
⇒VSABC=
12
3
SH
)Nhận xét:
• Câu a) liên quan nhiều kiến thức hình học ở lớp cấp 2 ,
không biết chân đường cao của khối chóp chính chân
đường cao của ∆ SAC kẽ từ S Từ đó không biết phân tích đề bài để dẫn đến pcm điều gì để kết luận H là trung điểm của AC
• Bài toán nếu không giải được câu a) → không tính được SH → không tính được thể tích
Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy,
2
SA a = Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’
a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b/ Chứng minh SC⊥(AB D' ') c/ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Ta có:
3
S ABCD ABCD
a SA
b) Chứng minh SC ⊥ ( AB D ' ')
Ta có BC⊥(SAB)⇒BC⊥ AB' &
'
SB ⊥ AB Suy ra:AB ' ( ⊥ SBC )nên AB'⊥SC .Tương tự AD'⊥SC Vậy SC (AB'D') ⊥
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
' '
V SB SC
A
S
I
B
C'
D'
B'
Trang 10GV : Nguyễn Vũ Minh LTĐH 2013
3 3
SB = SB = SA AB = a =
+
Từ ' ' 1 (*)
3
S A B C
S A B C
V V
SAB C
V
BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60o
Tính thể tích hình chóp Đs: V 3a3
16
=
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45o
1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC Đs: SH = a
3
2) Tính thể tích hình chóp SABC Đs: V a3
6
=
Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60o Tính thể tích hình chóp SABC Đs: V a 33
24
=
Bài 4 : Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o
Tính thể tích hình chóp Đs: V h 33
3
=
Bài 5 : Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V h 33
8
=
Bài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và ASB 60= o
1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều Đs: S a 32
3
= 2) Tính thể tích hình chóp Đs: V a 23
6
=
Bài 7 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V 2h3
3
=
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng cách từ chân
đường cao của chóp đến mặt bên bằng a Tính thể tích hình chóp Đs: V 8a 33
3
=
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60o.Tính thề tích hình chóp Đs: V a 33
12
=
