Chuyên đề ôn thi đại học phần khảo sát hàm số

b Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số... a Xỏc định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm cú hoành độ x=0... I Ta có: Đường thẳng tiệm cận đứng: , tiệm c

ĐỀ THI ĐẠI HỌC: KHẢO SÁT HÀM SỐ

-

Đề 1: (ĐH A-2002) Cho hàm số: y= − +x3 3mx2+3(1−m x m2) + 3−m 2

a) Tìm k để phương trình − +x3 3x2+k3−3k2 =0 có 3 nghiệm phân biệt

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Ta có: /

00

m m

x với hai trục toạ độ

b) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng = y x

Bài giải: TXĐ: D = ℝ

( ) ( ) ( )( )

2 2

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và :

1 0 (1)

1

a) Xỏc định m để hàm số nghịch biến trờn đoạn [ư1;0]

b) Tỡm a để phương trỡnh sau cú nghiệm: 91 + ư 1t2 ư( +2 3) 1 + ư 1t2 +2 + =1 0

/ 2

1;0

2a) Ta có:

X

644

13

a) Xỏc định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm cú hoành độ x=0

b) Tỡm k để hệ phương trỡnh sau cú nghiệm:

3

3 2

* Với thì hàm số đạt cực tiểu tại

Vậy là yêu cầu bài toán

x cú cực đại, cực tiểu Với giỏ trị

nào của m thỡ khoảng cỏch giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 10 ?

Bài giải: TXĐ: D = ℝ\ 1{ }

( )

2 /

2

/ /

2 /

2

.1

0

Ta có:

Để hàm số có cực đại và cực tiểu Phương trình có 2 nghiệm phân biệt và

đổi dấu khi qua các nghiệm đó

Y.c.b.t (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

/ 1

1 / 2

(*)Gọi M x N x là các điểm cực trị của đồ thị hàm số, lúc đó ta có:

x cắt trục hoành tại hai điểm phõn

biệt và hai điểm đú cú hoành độ dương

x cắt trục hoành tại 2 điểm phõn biệt cú hoành độ dương

⇔ Phương trỡnh g x( )=mx2+ +x m=0 cú 2 nghiệm dương phõn biệt 1≠

Y.c.b.t ( )

2

00

1

12

m m

m S

m

m m

Đề 1: (ĐH B-2003) Tìm mđể đồ thị hàm số y x= 3−3x2+m có hai điểm phân biệt đối xứng

nhau qua gốc toạ độ

Bài giải: TXĐ: D = ℝ

Đồ thị hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ

⇔ tồn tại x0 ≠ sao cho 0 y x( )0 = − −y( x0)

⇔ tồn tại x0 ≠ sao cho 0 3 2 ( )3 ( )2

2x −4x− +3 2m x− =1 0 có hai nghiệm phân biệt

Ta có: ( )

2 2

x x

x x

+ Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ

của (C) qua đường thẳng x = 1

Dựa vào đồ thị, ta thấy m ∀ đường thẳng y m= luôn cắt

(C’) tại 2 điểm phân biệt⇔ phương trình 2

2x −4x− +3 2m x− =1 0 luôn có hai nghiệm phân biệt (y.c.b.t)

1 2 /

1 /

1 /

y=m

I

Ta có:

Đường thẳng tiệm cận đứng: , tiệm cận ngang

Gọi là hoành độ của điểm M (C) Theo giả thiết, tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với

thì và bất phương trình (1) luôn thỏa mãn.

* Khi , yêu cầu bài toán

* Khi , yêu cầu bài toán

ta có các giá trị m thỏa đề bài là: ư ≤m≤

Đề 1: (Đề dự bị 2003) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm k M(0; 1ư ) và cú hệ số gúc bằng k

Đường thẳng bất kì đi qua và có hệ số góc k có phương trình d:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):

Với điều kiện (**), đường thẳng =y m cắt đồ thị tại 2 điểm A, B phân biệt có hoành độ x1, x2

y x x x tại điểm uốn

và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi x= (là hoành độ điểm uốn) 2

Do đó, tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất

Đề 1: (ĐH D-2004) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số 3 2

y x mx x thuộc đường thẳng y= +x 1

( )

( ) ( )

2 /

2

2 /

Ta có:

Để hàm số có 2 cực trị Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 1

Lúc đó, phương trình đường thẳng qua 2 đi

Đề 1: (Đề dự bị 2004) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C): y x= + 1

x, biết tiếp tuyến đi qua

Thay (2) vào (1) ta cú phương trỡnh:

14

x cú cực trị và khoảng cỏch từ điểm cực tiểu

của đồ thị đến tiệm cận xiờn của đồ thị bằng 1

Lúc đó: /

1

2

10

1

x

m y

Hàm số luôn có cực trị với mọi m> 0

Điểm cực tiểu của (C) là M 1 ;2 m

tiệm cận xiên của (C)

Đề 1: (Đề dự bị 2005) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M( 1;0)− và tiếp xúc với

y + 0 − − 0 +

x −∞ 2− 1− 0 +∞

/

y + 0 − − 0 +

1 (1)1

2

(2)1

k x

Thay (2) vào (1) ta có phương trình: ( ) ( )

2 2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y x= 4−6x2+5

b) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 4 2

2

Đề 1: (Đề dự bị 2005) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

m

x có 4 nghiệm phân biệt

Bài giải: TXĐ: D =ℝ\{ }−1

Ta có

2 2

2

nÕu 11

nÕu 11

y

x x

* Giữ nguyên phần đồ thị (C) với x> −1

* Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) với x< −1

1

=+

m

x có 4 nghiệm phân biệt ⇔m>3

Đề 1: (ĐH A-2006)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=2x3−9x2+12x−4

b) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2 x3−9x2+12 x =m

Bài giải: TXĐ: D = ℝ

Phương trình đã cho tương đương với 2 x3−9x2+12 x − =4 m−4

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số:

C y

x , biết tiếp tuyến

đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C)

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình

22

22

x= − − ⇒ = −y − ⇒ Phương trình tiếp tuyến là :d1 y= − −x 2 2 5−

Đề 1: (ĐH D-2006) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) và có hệ số góc là m Tìm

m để đường thẳng d cắt đồ thị (C): y=x3−3x+ tại 3 điểm phân biệt 2

nghiệm phân biệt khác 3

-3

0 f(x)

Đề 1: (Đề dự bị 2006) Viết phương trỡnh cỏc đường thẳng đi qua A( )0;2 và tiếp xỳc với đồ thị hàm số 1 4 ( 2 )

08

383

* Với 0 thì 0, ta có tiếp tuyến d : 2

1

Gọi ; , ; đối xứng nhau qua Lúc đó ta có:

00

x Tiếp tuyến của (C)

tại M cắt cỏc tiệm cận của (C) tại cỏc điểm A và B CMR: 0 M là trung điểm AB 0

Bài giải: TXĐ: D = ℝ\ 1{ }

0 /

1Gäi A lµ giao ®iÓm cña d víi tiÖm cËn ngang 1 A;1

( ) ( ) ( )

12

x , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt

các trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 1

4

Bài giải: TXĐ: D = ℝ\ 1{ }

Vì ( ) ; 0

0 0

21

21

Gọi A x y( 1; 1) (, B x y2; 2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số:

x có cực đại tại A sao cho tiếp

tuyến với ( )C tại A cắt trục Oy tại B mà tam giác OBA vuông cân m

Bài giải: TXĐ: D = ℝ\ 2{ }

Ta có:

2 /

Ta có: ∆AOB vuông cân ⇔OB= AB⇔ +1 2 m = +2 m ⇔ m=1

Đề 1: (Đề dự bị 2007) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) : 1

2 1

− +

=+

x

C y

x , biết tiếp tuyến của

(C) đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox

Bài giải: TXĐ: \ 1

2

D= − 

 ℝ

Ta có: giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là 1;0

k x

k x

Thế (2) vào (1) ta có phương trình:

13

x , sao cho d và hai

đường tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân

01

21

x x

* Với x= ⇒ =0 y 0 : phương trình tiếp tuyến là = −y x

* Với x= ⇒ =2 y 2 : phương trình tiếp tuyến là y= − +x 4

Đề 1: (ĐH A-2008) Tìm m để góc giữa hai đường tiệm cận của (C): 2 (3 2 2) 2

Với

130

m m

12

1

m m

m m

=



Kết luận: Vậy các giá trị m cần tìm là m=1 ; m= − 1

Đề 1: (ĐH B-2008) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) :C y=4x3−6x2+1, biết tiếp tuyến của (C) đi qua A(− − 1; 9)

Bài giải: TXĐ: D = ℝ

Đường thẳng ∆ với hệ số góc k đi qua A( 1; 9)− − có phương trình: y=kx+ − k 9

∆ là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

Vì x A+x B = =2 2x I và I, A, B cùng thuộc d nên I là trung điểm của đoạn AB (đ.p.c.m)

Đề 1: (Đề dự bị A- 2008) Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):

Đề 1: (Đề dự bị D- 2008) Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến với

đồ thị hàm số (C): 3 1

1

+

=+

x y

x y

x , biết tiếp tuyến

đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O

Bài giải: TXĐ: \ 3

2

D= − 

 ℝ

Tam giác OAB vuông cân tại O, suy ra hệ số góc tiếp tuyến bằng 1±

Gọi tọa độ tiếp điểm là (x y0; 0), ta có ( ) ( )

2

0 2



Với x0 = −1 , y0 = ; phương trình tiếp tuyến là y1 = − (loại) x

Với x0 = −2 , y0 = ; phương trình tiếp tuyến là 0 y= − − (thỏa mãn) x 2Kết luận: Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y= − − x 2

Đề 1: (ĐH B-2009) Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số(C): y=2x4 – 4x2 Với các giá trị nào của m, phương trình 2 2

2

− =

x x m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?

Bài giải: TXĐ: D = ℝ

Ta có: x x2 2− =2 m⇔ 2x4– 4x2 =2m Phương trình có đúng 6 nghiệm thực phân biệt khi

và chỉ khi đường thẳng y=2m Ox// cắt đồ thị hàm số y= 2x4– 4x tại 6 điểm phân biệt 2

Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán được thỏa

Đề 1: (ĐH A-2010) Tìm m để đồ thị hàm số 3 2

y x= − x + −m x m+ cắt trục hoành tại ba điểm x x x thỏa mãn điều kiện: 1, , 2 3 2 2 2

+

=+ tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3

Bài giải: TXĐ: D =ℝ\{ }−1

Phương trình hoành độ giao điểm:

∆ = − nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng 6.−

Do đó, hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:

Vậy phương trình tiếp tuyến: y= −6(x− +1) 4 hay y= −6x+10

Đề 1: (ĐH A-2011) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y= +x m luôn cắt đồ thị hàm

số ( ) = − +

−

1:

x

x tại hai điểm phân biệt A và B Gọi k k1, 2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp

tuyến của (C) tại A, B Tìm m để k1+k2 đạt giá trị lớn nhất

Bài giải:

\2

D=   

 ℝ

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d :

Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔ ( ) 0 g x = có 2 nghiệm phân biệt 1

2

≠

11

1 0 0

22

Gọi x x là 2 nghiệm của phương trình (*) Áp dụng định lí Vi-et: 1, 2

1 2

1 2

(*)1

2

Lúc đó:

2 1

2

2 2

Đề 1: (ĐH D-2011) Tìm k để đường thẳng y kx= +2k+ cắt đồ thị hàm số 1 2 1

1

x y x

+

=+ tại hai điểm A, B sao cho khoảng cách từ A, B đến trục hoành bằng nhau

Khi đó: A x kx( 1; 1+2k+1) và B x kx( 2; 2 +2k+1) với x x là nghiệm của (1) 1, 2

Theo giả thiết:

d(A Ox; )=d(B Ox; )⇔ kx1+2k+ =1 kx2+2k+ ⇔1 k x( 1+x2)+4k+ =2 0 do ( x1 ≠x 2)

Áp dụng định lý Viet đối với phương trình (1), suy ra:

(1 3− k)+4k+ = ⇔ = −2 0 k 3 thỏa mãn (*)

Kết luận: Vậy k = −3 là giá trị cần tìm

Đề 1: (ĐH A-2012) Tìm m để đồ thị hàm số y x= 4−2(m+1)x2+m2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông

m = là yêu càu bài toán

Đề 1: (ĐH A-2013) Tìm m để hàm số y= − +x3 3x2+3mx− nghịch biến trên khoảng 1

2

m m

RẤT MONG NHẬN ĐƯỢC SỰ GÓP Ý CỦA QUÍ THẦY CÔ VÀ CÁC BẠN HỌC

SINH ĐỂ CÁC EBOOK NGÀY CÀNG HOÀN THIỆN HƠN!

Xin chân thành cảm ơn!