SKKN Hệ phương trình đối xứng

Phần A: Lý do chọn chuyên đề Hệ phương trình đối xứng là dạng toán hay trong chương trình Toán của bậc học Phổ thông.. Tính cần cù trong học tập, biết vận dụng các kiến thức đã học vào v

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

Phần A: Lý do chọn chuyên đề

Hệ phương trình đối xứng là dạng toán hay trong chương trình Toán của bậc học Phổ thông Để giải quyết tốt được bài toán dạng này, học sinh cần vận dụng nhiều kiến thức Toán Điều đó giúp cho học sinh biết huy động các kĩ năng Toán vào việc giải một bài toán cụ thể và còn rèn luyện cho học sinh kỹ năng về tư duy Tính cần cù trong học tập, biết vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải quyết một bài toán cụ thể

Chính vì lí do đó, nên tôi đã sưu tầm và dạy cho học sinh chuyên đề:

“Hệ phương trình đối xứng”

Phần b: những nội dung cụ thể

I Hệ phương trình đối xứng loại I:

Phần 1- Định nghĩa: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng

- Phương trình n ẩn x1, x2, , xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay xi bởi xj; xj bởi

xi thì phương trình không thay đổi

- Khi đó phương trình luôn biểu diễn được dưới dạng:

x1 + x2 + + xn

x1x2 + x1x3 + + x1xn + x2x1 + x2x3 + + xn-1xn

x1x2 xn

- Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng

- Với học sinh phổ thông ta đưa vào hệ đối xứng loại I với 2 ẩn số, với học sinh chuyên ta nên đưa vào hệ đối xứng loại I với 3 ẩn số

- Để giải được hệ phương trình đối xứng loại I ta phải có định lý Viet

*) Nếu đa thức F(x) = a0xn + a1xn-1 + an, a0 ≠ 0, ai Î P có nghiệm trên P là c1, ,

cn thì

ì ï ïï í ï ï ïî

1

1 2 n

0

2

1 2 1 3 1 n 2 1 2 3 n-1 n

0

n n

1 1 n

0

-a

c + c + + c =

a

a

c c + c c + + c c + c c + c c + + c c =

a

a

c c c =(-1)

a

phần 2 - Hệ phương trình đối xứng loại I, 2 ẩn:

A Lý thuyết:

1.Định lý Vi-et cho phương trình bậc 2 (lớp 10)

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thì

1 2

1 2

-b

S = x + x =

a c

P = x x =

a

ì ïï í ï ïî

Ngược lại nếu 2 số x1, x2 có 1 2

1 2

x + x = S

x x = P

ì í

î thì x1, x2 là nghiệm của phương

trình

X2 - SX + P = 0

2.Định nghĩa: Hệ gồm 2 phương trình đối xứng gọi là hệ đối xứng loại I, 2 ẩn

Một phương trình 2 ẩn gọi là đối xứng nếu đổi vị trí hai ẩn thì phương trình không đổi

VD: x + y + xy = 22 2

x + xy + y = 4

ì í î

3.Cách giải:

+ Biểu diễn từng phương trình của hệ qua x+y và xy

+ Đặt S = x+y, P = xy, ta có hệ mới chứa ẩn S, P Giải nó tìm S, P

+ Với mỗi cặp S, P ta có x, y là nghiệm của phương trình X2 - SX + P = 0 + Tuỳ theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận hệ ẩn S, P và phương trình

X2 - SX + P = 0 để có kết luận cho bài toán

4.Bài tập:

Loại 1: Giải hệ đơn thuần

x + xy + y = 4

ì í

Giải: (I) Û (x + y) + xy = 22

(x + y) - xy = 4

ì í

Đặt S = x+y, P = xy ta có S + P = 22

S - P = 4

ì í

î Û S + P = 22

S + S - 6 = 0

ì í

S + P = 2 S=2 S=-3

ì ï é í ê

ïë î

Û

S = 2

P = 0

S = - 3

P = 5

éì í ê î ê êì êí êî ë

Với S = 2, P = 0 có x, y là nghiệm của phương trình X2 - 2X = 0 Û X = 0

X = 2

é ê ë

Þ {(x;y)} = {(0;2); (2;0)}

Với S = -3, P = 5 có x, y là nghiệm của phương trình X2 + 3X +5 = 0 vô nghiệm

Vậy hệ có tập nghiệm {(x;y)} = {(0;2); (2;0)}

Loại 2: Đối xứng giữa các biểu thức của ẩn

VD2: Giải hệ x (x + 2)(2x + y) = 92

x + 4x + y = 6

ì í

Giải: (II) Û x (x + 2)(2x + y) = 92

(x + 2x) + (2x + y) = 6

ì í

x + 2x = 3

ì í î

Giải ra được nghiệm của hệ {(x;y)} = {(1;1); (-3;9)}

VD3: Giải hệ

5 5

x + y = 4

xy = - 2

ì í î

Giải:

5 5

5 5

x + y = 4

x y = - 32

ìï í ïî

Vậy x5, y5 là nghiệm của phương trình X2 - 4X -32 = 0 Û X = 8

X = - 4

ì í î

Vậy

5 5 5 5

x = 8

y = - 4

x = - 4

y = 8

éìï

êí

ï êî

ê

ìï

êí

êïîë

Û

5 5 5 5

x = 8

y = - 4

x = - 4

y = 8

éìï êí êïî ê ì êï í ê ï êî ë

Chú ý: Với hệ có dạng

n n

x + y = a (1)

xy = b (2)

ì í î

+ Nâng hai vế của (2) lên luỹ thừa n và coi xn, yn như nghiệm của phương trình

X2 - aX + bn = 0

+ Giải và biện luận phương trình bậc hai, sau đó lấy căn bậc n của nghiệm thu được

VD4: Giải hệ

2 2 2

2 2

x + xy + y = 19(x - y)

x - xy + y = 7(x - y)

ìï í

Giải : Đặt -y= t ta được hệ

2 2 2

2 2

x + t - xt = 19(x + t)

x + t + xt = 7(x + t)

ìï í

Đăt S= x+t ,P= xt ta có

2 2 2

S - 3P = 19S

S - P = 7S

ìï í

Giải (3) ta được S = 0, P = 0 và S = 1 và P = -6

Từ đó suy ra nghiệm của (2)

(1) có nghiệm (x; y) là (0; 0), (3; 2) ,(-2; -3)

VD 5: Giải hệ:

2 2

3 3

3 3

2(x + y) = 3( x y + xy )

x + y = 6

ìï í

Giải: Đặt 3 3

x = u ; y = v ta có hệ

2

3 3 2

2(u + v ) =3(u v + uv )

u + v = 6

ìï í

Hệ (2) là hệ đối xứng đối với u,v Giải (2) tìm u, v từ đó suy ra nghiệm của (1)

Loại 3: Giải và biện luận hệ theo tham số

VD6: Giải và biện luận hệ:

x y + = m

y x

x + y = 8

ì ï í ïî

Giải: ĐK: x, y ≠ 0 Khi đó hệ trên tương đương với:

2 2

x + y

= m xy

x + y = 8

ì ï í ï î

Û

2

(x + y) - 2xy

= m xy

x + y = 8

ì ï í ï î

Û 64 = (m + 2)xy

x + y = 8

ì í

Với m = -2: Hệ vô nghiệm

Với m ¹-2: Hệ tương đương với

64

xy = m+2

x + y = 8

ì ï í

Ta có (*) có nghiệm khác 0 khi 64 - 4 64 0 m-2 0

m+2 ³ Û m+2 ³

Vậy với m =2 thì hệ là x + y = 8 x = y = 4.

xy = 16

í î

với m >2 hoặc m < -2 thì hệ có hai nghiệm

với -2 < m < 2 thì hệ vô nghiệm

VD7: Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm

2

2 2

(x + y) = 4

x + y = 2(m + 1)

ìï í ïî

Giải: Đặt xy= P ,x+y = S hệ trở thành

2 2

S = 2

P = - m + 1

S - 2P = 2(m + 1)

S = - 2

S = 4

P = 1 - m

éì í ê

êî ë

Vậy (x;y) là nghiệm của:

2 2

X - 2X + 1 - m = 0

X - 2X + 1 - m = 0

é ê êë

2 2

(X - 1) = m (X + 1) = m

é

Û ê êë

Để hệ có đúng hai nghiệm thì m=0 khi đó 2 nghiệm là {(x;y)} = {(1;1); (-1;-1)}

Loại 4: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ

x + 1 - x =

Giải: Đặt

3 3

x = u 1-x = v

ìï í

3

u + v =

2

u + v = 1

ì ï í

2

3

u + v =

2 (u + v) (u + v) - 3uv = 1

ì ï í

î

Û

3

u + v =

2 19 u.v = 36

ì ïï í ï ïî

u, v là nghiệm của phương trình 2 3 19

X - X + = 0

Þ

6 + 5

u =

8

6 - 5

u = 8

é ê ê ê ê ë

Þ

3 3

6 + 5

u = ( )

8

6 - 5

u = ( )

8

é ê ê ê ê ë

Vậy phương trình có 2 nghiệm {x} = { 6 + 5 3 6 - 5 3

VD2: Cho x, y, z thoả mãn: x + y + z = 5

xy + yz + xz = 8

ì í

CMR: 1 x 7

3

£ £

Giải: (I) Û y + z = 5 - x

x(y + z) + yz = 8

ì í î

Đặt y + z = S; yz = P Þ y, z là ngiệm của phương trình X2

- SX + P =

0

Þ S2 - 4P ³ 0

Từ hệ có S = 5 - x S = 5 - x2

Sx + P = 8 P = x - 5x + 8

ì ì

Û

Vậy (5-x)2 -4(x2-5x+8) 0 1 7

3

x

³ Û £ £

Do vai trò của x,y,z là như nhau nên ta có 1 y 7,1 z 7

£ £ £ £

B Bài tập:

I) Giải hệ phương trình:

1)

3 3

5 5 2 2

1

ì + =

ï

í

+ = +

2)

2 2

4 2 2 4

5

13

ì + =

ï

í

35

ï

í

ïî

4)

2 2

4

2 8 2

ï

í

ïî

5)

2 2

18 ( 1)( 1) 72

ì + + + =

î

6)

2 2

2 2

1 ( )(1 ) 5

1

xy

x y

ïï

í

ïî

7)

2 2

2 2

1 1

4

1 1

4

ì + + + =

ïï

í

ïî

(ĐHAN-99)

8)

7 1 78

ì

ï

í

î

9) ( 2 2)( 3 3)

4

280

+ =

ìï

ïî

10)

6 6

3 3

x + y = 1

x - 3x = y - 3y

ìï

í

ïî

11)

4 4

6 6

1 1

ì + =

ï

í

+ =

ïî

II giải Hệ phương trình có tham số:

1 Giải và biện luận:

a) x2 y 24 2

+ =

ì

í + =

b)

4 4 4

ì + =

ï

í

+ =

c)

1

2 5 2

2

2

m

ï

-ï

í +

ï

-î

(ĐHT-96)

2 Tìm các giá trị của m để hệ phương trình

1

ï

í

+ - =

b) 2 2 2

1

+ + = +

ì

2

2 2

4

ï

í

d) 2 22 21

2 3

-ì

-î có nghiệm (x; y) và x.y đạt nhỏ nhất (4I)

3 x2 xy2 y m

+ + =

ì

í + =

a Giải hệ khi m = 5

b Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm

3 8

+ + =

ì

í

a Giải hệ khi m = 7/2

b Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm

5 x2 xy 2y m 1

+ + = +

ì

í

a Giải hệ khi m=2

b Tìm giá trị m đẻ hệ có nghiệm (x,y) với x > 0, y > 0

6 Cho x,y,z thoả mãn;

2 2 2

2 1

í

î

III PHƯƠNG TRìNH GIảI BằNG CáCH ĐƯA Về Hệ

1 Giải phương trình: 4 4

2 Tìm m để mỗi ptrình sau có nghiệm

c 3 3

1 - x + 1 + x = m (ĐHNT-98)

phần 3 - Hệ phương trình đối xứng loại I, 3 ẩn:

a Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với các phương trình trong hệ là đối xứng

b Định lý Vi-et cho phương trình bậc 3:

Cho 3 số x, y, z có:

x + y + z = α

xy + yz + zx = β xyz = γ

ì ï í ï î

Thì x, y, z ;à nghiệm của phương trình X3 - ỏX2 + õX - ó = 0 (*) Thậy vậy: (X - x)(X - y)(X - z) = 0

Û [ X2 - (x + y)X + xy ](X - z) = 0

Û X3 - X2z - X2(x + y) + (x + y)zX + xyX - xyz = 0

Û X3 - ỏX2 + õX - ó = 0

(*) có nghiệm là x, y, z Þ phương trình X3

- ỏX2 + õX - ó = 0 có 3 nghiệm là x, y,

z

c.Cách giải:

+ Do các phương trình trong hệ là đối xứng nên ta luôn viết được dưới dạng ỏ, õ, ó

Khi đó ta đặt

x + y + z = α

xy + yz + zx = β xyz = γ

ì ï í ï î

Ta được hệ của ỏ, õ, ó

+ Giải phương trình X3 - ỏX2 + õX - ó = 0 (1) tìm được nghiệm (x, y, z) của hệ Chú ý: (1) có nghiệm duy nhất Þ hệ vô nghiệm

(1) có 1 nghiệm kép duy nhất Þ hệ có nghiệm

(1) có 2 nghiệm : 1 nghiệm kép, 1 nghiệm đơn Þ hệ có 3 nghiệm

(1) có 3 ngiệm Þ hệ có 6 nghiệm

d Bài tập:

3 3 3

x + y + z = 2

x + y + z = 6

x + y + z = 8

ì ï í ï î

Giải: áp dụng hằng đẳng thức ta có:

x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx)

x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz

Vậy 6 = 22 - 2(xy + yz + zx) Þ xy + yz + zx = -1

8 = 23 - 3.2.(-1) + 3xyz Þ xyz = -2

Þ x, y, z là nghiệm của phương trình:t3

- 2t2 - t + 2 = 0 Û

t = 1

t = - 1

t = 2

é ê ê êë

Vậy hệ có 6 cặp nghiệm (1;-1;2); (-1;1;2); (1;2;-1); (-1;2;1); (2;1;-1); (2;-1;1)

VD2: Giải hệ

x + y + z = 9 (1)

xy + yz + zx = 27 (2)

+ + = 1 (3)

ì ï ïï í ï ï ïî

Giải: ĐK: x, y, z ≠ 0 Từ (3) Û xy + yz + zx

= 1 xyz

Do (2) Þ xyz = 27

Vậy hệ Û

x + y + z = 9

xy + yz + zx = 27 xyz = 27

ì ï í ï î

Do đó (x; y; z) là nghiệm của phương trình: X3

- 9X2 + 27X - 27 = 0

Û (X - 3)3

= 0

Û X = 3

Vậy hệ có nghiệm là (3; 3; 3)

3 3 3 3

x + y + z = a

x + y + z = a

x + y + z = a

ì ï í ï î

Giải: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx) Þ xy + yz + zx = 0

x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz Þ xyz = 0 Vậy có:

x + y + z = 0

xy + yz + zx = 0 0

xyz

ì ï í

ï = î

Þ (x; y; z) là nghiệm của phương trình: X3

- aX2 = 0 Þ X = 0

X = a

é ê ë

Vậy hệ có nghiệm là {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)}

e.Chú ý: Có nhiều vấn đề cần lưu ý khi giải hệ loại này

+ Với cách giải theo định lý Vi-et từ hệ ta phải đưa ra được x + y + z; xy + yz + zx; xyz có thể nó là hệ quả của hệ nên khi tìm được nghiệm nên thử lại

+ Vì là hệ đối xứng giữa các ẩn nên trong nghiệm có ít nhất 2 cặp nghiệm có cùng

x, cùng y hoặc cùng z nên có thể giải hệ theo phương trình cộng, thế

VD:

x + y + z = 9 (1)

xy + yz + zx = 27 (2)

+ + = 1 (3)

ì ï ïï í ï ï ïî

Giải: Rõ ràng x = 0, y = 0, z = 0 không là nghiệm của hệ

Với x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0, nhân hai vế của (3) với xyz ta có xy + yz + zx = xyz (4)

Từ (2) Þ x2

Từ (1), (5), (6) ta có: x2(9 - x) + 27 - 27x = 0

Û x3 - 9x2 + 27x - 27 = 0

Û (x - 3)3 = 0 Û x = 3 Thay x = 3 vào (1), (5) ta có: y + z =6

yz = 9

ì í

Vậy hệ có nghiệm là x = y = z = 3

Ii Hệ phương trình đối xứng loại iI:

1.Hệ đối xứng loại 2, 2 ẩn:

A Định nghĩa:

- Hệ phương trình 2 ẩn mà khi đổi vị trí hai ẩn trong hệ ta có phương trình này trở thành phương trình kia gọi là hệ đối xứng loại 2, 2ẩn

- Cách giải: Trừ từng vế của hai phương trình ta có phương trình tích có mối liên quan giữa x, y rồi thay vào 1 phương trình của hệ

B Bài tập ví dụ:

VD1: Giải hệ

3 3

x = 3x + 8y

y = 3y + 8x

ìï í ïî

Giải:

(I)

3

2 2

x = 3x + 8y

(x - y)(x + xy + y + 5) = 0

ìï

Û í

ïî

3

x = 3x + 8y

x = y

ì

Û í

î

x - 11x = 0

x = ± 11

x = y

x = y

ìé

ï î

Vậy hệ có tập nghiệm:

{(x, y) = (0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11)} { }

VD2: Giải hệ:

4 4

x + y - 1 = 1

y + x - 1 = 1

ìï í ïî

Giải:

x - 1 = u ³ 0; y - 1 = v ³ 0

Hệ trở thành

4 4

4 4

u + 1 + v = 1 u + v = 0

v + 1 + u = 1 v + u = 0

u = 0

v = 0

ì

Û í

î (Do u, v ≥ 0)

x = 1

y = 1

ì

Þ í î

Vậy hệ có nghiệm (1,1)

VD3: Cho hệ

2 2

x=y -y+m y=x -x+m

ìï í

a.Tìm m để hệ có nghiệm

b Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

Giải:(I)

2 2

2 2

2 2

2 2

x = ± y

x - y = y - y - x + x

x = y - y + m

x = y - y + m

x = y - y + m x - 2x + m = 0

x = - y x = - y

x = y - y + m y + m = 0

ï

î

a)Hệ có nghiệm Û

' x ' y

Δ 0 1 - m 0 m 1

m 0

- m 0 m 0

Δ 0

³

ë

b) C1: Hệ có nghiệm duy nhất Û

' x ' y ' x ' y

Δ = 0

Δ < 0

Δ < 0

Δ = 0

éìï êí êïî ê ì êï êí êïî ë

Û

1 - m = 0

- m < 0

1 - m < 0

- m = 0

éì í ê î ê êì êí êî ë

Û m = 1

Vậy m = 1

C2: Giả sử hệ có nghiệm (x0, y0) thì hệ cũng có nghiệm (y0, x0) Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x0 = y0

Thay x = y = x0 vào ta có x0 = x02 - x0 + m

Û x02 - 2x0 + m = 0

Do x0 cũng là duy nhất Þ ∆’

xo = 0 Û 1 - m = 0 Û m = 1 Điều kiện đủ:

Thay m = 1 vào hệ ta có:

2 2

x = y - y + 1

y = x - x + 1

ìï í

2 2

x = y - y + 1

x + y = x + y - x - y + 1

ìï í ïî

Û x = y - y + 122 2 x = 1

y = 1 (x - 1) + (y - 1) = 0

î

Vậy với m = 1 thì hệ có nghiệm duy nhất (1;1)

VD1: Giải phương trình: 3 3

x + 1 = 2 2x - 1 (73II) Giải: Đặt 3

2x - 1 = t Þ 2x - 1 = t3

Ta có hệ

3 3

x + 1 = 2t

t + 1 = 2x

ìï í

2 2

x + 1 = 2t (x - t)(x + xt + t + 1) = 0

ìï í

x = t

ì í î

Û (x - 1)(x + x - 1) = 02

x = t

ì í

x =

2

é ê ê êë

Vậy phương trình có 3 nghiệm 1; - 1 ± 5

2

C Bài tập:

1.Giải hệ phương trình:

a

1 3 2x + =

y x

1 3 2y + =

x y

ì

ïï

í

ï

ïî

b

2 2

3 2x + y =

x 3 2y + x =

y

ì

ïï

í

ï

ïî

c

3

3

x + 1 = 2y

y + 1 = 2x

ìï

í

d x + y + 9 = 9

y + x + 9 = 9

ìï

í

e x + 2 - y = 2

y + 2 - y = 2

ìï

í

g x + 5 + y - 2 = 7

y + 5 + y - 2 = 7

ìï

í

h

2 2

x = 1 - y

y = 1 - x

ìï

í

2

2

2

x - (x + y) = 2m

y - (x + y) = 2m

ìï

í

a Giải hệ với m = 0

b Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

3 Tìm m để hệ:

3 2 2

3 2 2

x = y + 7x - mx

y = x + 7y - my

ìï í

x + x + 5 = 5 (112III)

x - 3 3x + 2 = 2 (TH - 94)

2 Hệ phương trình đối xứng loại 2, 3 ẩn:

A Dùng chủ yếu là phương pháp biến đổi tương đương bằng phép cộng và thế Ngoài ra sử dụng sự đặc biệt trong hệ bằng cách đánh giá nghiệm, hàm số để giải

B Ví dụ: Giải hệ

2

2

2

x + 2yz = x (1)

y + 2zx = y (2)

z + 2xy = z (3)

ì

ï

í

ï

î

Giả bằng cách cộng (1), (2), (3) và lấy (1) trừ đi (2) ta có hệ đã cho tương đương với hệ

2

2

x + 2yz = x (x + y + z) = x + y + z (x - y)(x + y - 2z - 1) = 0

ì ï í ï î

Hệ này đương tương với 4 hệ sau:

x + 2yz = x x + 2yz = x

x + y + z = 0 (I) x + y + z = 0 (II)

x =y x + y - 2z - 1 = 0

x + 2yz = x x + 2yz = x

x + y + z = 1 (III) x + y + z = 1 (IV)

x =y x + y - 2z - 1 = 0

Giải (I):

(I) Û

2

x + 2yz = x

2y + z = 0

x = y

ì

ï

í

ï

î

Û

2

x + 2yz = x

z = - 2x

x = y

ì ï í ï î

Û

2 2

x - 4x = x

z = - 2x

x = y

ì ï í ï î

Û

x = 0 -1

x = 3

z = - 2x

x = y

ìé ïê ïê ê ïë ï í ï ï ï ï î

Vậy (I) có 2 nghiệm (0;0;0); (-1 -1 2; ;

3 3 3) Làm tương tự (II) có nghiệm (2 -1 -1; ;

3 3 3 );(-1 2 -1; ;

3 3 3 )

Hệ (III) có nghiệm (0;0;1); (1 1 1; ;

3 3 3)

Hệ (IV) có nghiệm (0;1;0); (1;0;0)

Vậy hệ đã cho có 8 nghiệm kể trên

VD2: Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

2 2

x + y + z = 1

x + y + z = 1

x + y + z = 1

ì ï í ï î

Giải: Hệ Û

2 2

x + y + z = 1 (y - z)(y + z - 1) = 0 (x - z)(x + z - 1) = 0

ì ï í ï î

Û

2 2 2 2

2 2 2 2

x + y + z = 1 x + y + z = 1 y=z (I) y = z (II)

x + y + z = 1 x + y + z = 1

z + y - 1 = 0 (III) z + y -

x = z

ì ï í ï î

1 = 0 (IV)

x + z - 1 = 0

ì ï í ï î

Giải các hệ bằng phương pháp thế được 5 nghiệm (-1;-1;-1); (0;0;1); (0;1;0);

(0;0;1); (1 1 1; ;

2 2 2)

VD4: Giải hệ:

2 2 2

1 1 1

ì = + ï

= + í

ï = + î

Giải: Xét hai trường hợp sau:

TH1: Trong 3 số ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau: