khóa luận tốt nghiệp- Hệ phương trình đối xứng

- hệ phương trình đối xứng loại I. II. III, phương pháp giải hệ phương trình đối xứng - phân loại các dạng hệ phương trình đối xứng - ứng dụng của hệ phương trình đối xứng - các xây dựng bài toán từ hệ phương trình đối xứng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được khóa luận tốt nghiệp này, trước tiên em xin gửi tới thầygiáo - ThS Hoàng Ngọc Minh lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất Thầy đãtrực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt thời gian qua

Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo, cán bộ, nhân viên trườngđại học Giáo Dục, trường đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

đã không chỉ tạo mọi điều kiện tốt nhất cho em hoàn thành khóa luận mà cònluôn tận tình dạy dỗ và giúp đỡ em trong những năm em học tập và rèn luyệntrên giảng đường đại học

Nhân dịp này, em cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động viên,khuyến khích và tạo điều kiện cho em trong quá trình học tập và thực hiện khóaluận này Mặc dù đã rất cố gắng song trong quá trình thực hiện khóa luận emkhó có thể tránh khỏi những thiếu sót do hạn chế về kiến thức, kinh nghiệm,thời gian tìm hiểu và thực hiện Em rất mong sẽ nhận được ý kiến đóng góp củathầy, cô và các bạn để em có được cái nhìn sâu sắc hơn về đề tài của mình

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viênTrịnh Thị Thu Hà

Mục lục

1.1 Hệ phương trình đối xứng loại I 7

1.1.1 Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại I 7

1.1.2 Các ví dụ 9

1.2 Ứng dụng của hệ phương trình đối xứng loại I 33

1.2.1 Dạng pn a + f (x) +pn b − f (x) = c 33

1.2.2 Dạng √ n ax + b + √ n cx + d = √ n ex + f với a + c e = b + d f 37

2 Hệ phương trình đối xứng loại II 41 2.1 Hệ phương trình đối xứng loại II 41

2.1.1 Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại II 41

2.1.2 Các ví dụ 42

2.2 Ứng dụng của hệ phương trình đối xứng loại II 49

2.2.1 Dạng xn+ b = a √ n ax − b 49

2.2.2 Dạng a +pa + √ x = x 52

2.2.3 Dạng √ n ax + b = c(dx + e)n+ k, trong đó d = ac; e = bc + k 54

2.2.4 Dạng a + b(a + bxn)n = x 58

2.3 Xây dựng một số phương trình giải bằng cách đưa về hệ đối xứng

loại II 60

3 Một số phương pháp khác để giải hệ phương trình đối xứng loại I và II 73 3.1 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số 73

3.1.1 Phương pháp 74

3.1.2 Các ví dụ 75

3.2 Phương pháp đánh giá 83

3.3 Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức 91

hệ phương trình luôn thu hút được sự quan tâm của các thầy cô giáo cũngnhư học sinh Cũng đã có rất nhiều sách báo, tài liệu viết về đề tài này.

Là một giáo viên tham gia giảng dạy bô môn Toán trong tương lai, tuychưa có nhiều kinh nghiệm và chưa có đủ độ hiểu biết sâu rộng về kiếnthức chuyên môn, nhưng em vẫn mạnh dạn quyết định chọn đề tài "Hệphương trình đối xứng" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp cho mình, vừa là

để tự củng cố kiến thức cho bản thân, vừa là có được hệ thống đa dạngcác bài tập về nội dung này để cho bạn đọc tham khảo, cũng như có thêmđược tài liệu phục vụ cho công tác giảng dạy của mình sau này Đề tài đãphân loại, hệ thống hóa được một số phương pháp giải hệ phương trìnhđối xứng Đồng thời đưa ra một số dạng phương trình giải bằng cách đưa

về hệ phương trình đối xứng

2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh nắm vững hệ thống các dạng hệ phương trình đối xứng vàcác phương pháp giải tương ứng Qua đó học sinh có thể vận dụng để giảibài toán đồng thời tự sáng tạo ra bài toán mới

3 Đối tượng nghiên cứu

Hệ phương trình đối xứng:

• Hệ phương trình đối xứng loại I

• Hệ phương trình đối xứng loại II

Chủ yếu nghiên cứu về các hệ phương trình hai ẩn thường gặp trong chươngtrình Toán THPT

4 Giả thuyết khoa học

Có hệ thống phương pháp giải hệ phương trình đối xứng một cách rõ ràng

và chi tiết sẽ giúp các em học sinh dễ dàng hơn trong việc giải các bài toán

về hệ phương trình đối xứng đồng thời có niềm yêu thích hơn với bộ mônToán học

5 Phạm vi nghiên cứu

Trong nội dung khóa luận của mình, em tập trung nghiên cứu đến các loại

hệ phương trình đối xứng:

• Hệ phương trình đối xứng loại I

• Hệ phương trình đối xứng loại II

Trong nội dung khóa luận của mình, em tập trung nghiên cứu tới các loại

hệ phương trình đối xứng :

• Hệ phương trình đối xứng loại I

• Hệ phương trình đối xứng loại II

6 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống các hệ phương trình đối xứng theo từng dạng và đưa ra cácphương pháp giải cho từng dạng, đồng thời chỉ ra một vài các ứng dụngcủa hệ phương trình đối xứng để học sinh thấy được mối liện hệ chặt chẽgiữa các phần trong Toán học

7 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm sách, báo, tài liệu về hệ phương trình đối xứng, đọc hiểu lý thuyếtliên quan, tìm hiểu về các dạng bài, các ví dụ, sau đó phân chia dạng, đưa

ra các phương pháp giải tương ứng và chọn ví dụ minh họa phù hợp

8 Cấu trúc khóa luận

Cấu trúc khóa luận gồm 3 phần

Phần mở đầu

Phần nội dung

• Chương 1: Hệ phương trình đối xứng loại I

• Chương 2: Hệ phương trình đối xứng loại II

• Chương 3: Một số phương pháp khác để giải hệ phương trình đối xứngPhần kết luận

Chương 1

Hệ phương trình đối xứng loại I

Định nghĩa 1.1.1 Hệ phương trình hai ẩn x và y được gọi là hệ phương trìnhđối xứng loại I nếu khi ta thay đổi vai trò của x và y thì mỗi phương trình của

hệ đều không đổi

Các biểu thức xuất hiện trong hệ phương trình đối xứng loại I là các biểuthức đối xứng của hai ẩn x, y

Hệ phương trình đối xứng loại I có dạng:

(f(x,y)=0g(x,y)=0 trong đó

(

f (x, y) = f (y, x) g(x, y) = g(y, x)

1.1.1 Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại I

Phương pháp thường được sử dụng để giải hệ phương trình đối xứng loại I,như sau:

Bước 1

• Đặt điều kiện của bài toán( nếu có)

• Đặt S = x + y, P = xy ( ĐK: S2− 4P ≥ 0)

• Đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình mới theo ẩn S và P.Bước 2:

• Giải hệ mới này, tìm được nghiệm (S0, P0) của hệ, với S0, P0 thỏa mãn

S02− 4P0≥ 0

• Khi đó x, y cần tìm sẽ là nghiệm của phương trình

X2− S0X + P0 = 0 (theo định lý Vi-et đảo)

Dưới đây là một số biểu thức đối xứng của x và y biểu diễn theo S và P:

(x, y) = (−1, 2); (−1, −3); (2, −1); (−3, −1).

Ví dụ 1.1.2 Giải hệ phương trình

(

x2− xy + y2= 7 (x2+ y2)(x3+ y3) = 280

Suy ra x, y là nghiệm của phương trình:

P 2 + P + 1 =

1 3

Kết luận: Vậy hệ phương trình có duy nhất một nghiệm (x, y) = (1, 1).

+ Với S = -3, P = 2, suy ra x, y là nghiệm của phương trình :

Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm (x, y) = (1, 2); (2, 1).

Nhận xét Tuy hệ phương trình trên hoàn toàn có thể giải được theo cách đặt

ẩn thông thường; nhưng nếu chú ý quan sát ta có thể nhận thấy ở phương trìnhđầu của hệ xy + x + y + 1 = (x + 1)(y + 1) Với quan sát này, ta sẽ có cách đặt ẩnkhác nhằm mang đến lời giải gọn gàng hơn:

Cách 2

Ta biến đổi hệ như sau:

(

xy + x + y = 5 (x + 1)3+ (y + 1)3= 35 ⇔

(

(x + 1)(y + 1) = 6 (x + 1)3+ (y + 1)3= 35

Đặt S = (x + 1) + (y + 1), P = (x + 1)(y + 1) (ĐK: S2− 4P ≥ 0)

Hệ trở thành:

(

P = 6 S(S2− 3P ) = 35 ⇔

(

P = 6

S = 5 (thỏa mãn)Với S = 5, P = 6,, ta có x + 1, y + 1 là nghiệm của phương trình:

Lời giải

Cách 1

Thông thường, ta sẽ đặt S = x + y, P = xy (ĐK: S2− 4P ≥ 0)

Hệ phương trình trở thành

(

x(x + 1) + y(y + 1) = 8 x(x + 1).y(y + 1) = 12

Từ ý tưởng phân tích trên, chúng ta sẽ đặt:

Ta tiếp tục xét các ví dụ tiếp theo dưới đây:

2

(x + 1) 2 = 1

2

Lời giải

Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ, ta có:

3xy = x + y + 1 ⇔ 4xy = (x + 1)(y + 1) ⇔ xy

(x + 1)(y + 1) =

1 4

x + 1 =

1 2

⇔

(

2x − y = 1 2y − x = 1

x + 1 = −

1 2

⇔

(

2x + y = 1 2y + x = 1

y = −13

.Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm

Hệ phương trình tương đương với:

x √

xy + y √

xy = 8

Kết luận: hệ phương trình có một nghiệm (x, y) = (2, 2).





06t611 3t2+ 26t − 105 = 0

Đặt S = x + t, P = xt (ĐK: S2− 4P ≥ 0), nhận thấy S.P 6= 0

Hệ phương trình (2) trở thành:



−SP = −2 S(S2− 3P ) = 2



x2+ y2+ xy − 4y + 1 = 0 (x2+ 1)(y + x − 2) = y

Xét y = 0 không là nghiệm của phương trình x2+ 1 + y(y + x) = 4y

Do đó không là nghiệm của hệ phương trình đã cho

Ta thực hiện phép chia cả hai vế của hai phương trình trong hệ trên cho y

Ta thu được hệ sau:

Lời giải

y = 54





x = 12

y = 54

Kết luận: Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt (x, y) = (1, 1); (1

Ta có

x + √ y)2 = 16

u +

1

v =

2 5

Kết luận: vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (4, 4).

Kết luận: Hệ phương trình có một nghiêm duy nhất (x, y) = (1, 0).

Bằng cách đặt ẩn phụ, ta có thể đưa một số phương trình chứa căn thứchoặc một số phương trình bậc cao về hệ đối xứng loại I để có lời giải một cáchđơn giản hơn

Chú ý: Nếu n chẵn thì phải đặt điều kiện u ≥ 0; v ≥ 0

• Bước 2 Phương trình đã cho được đưa về hệ

• Bước 3 Sau khi giải và tìm được u, v ( thỏa mãn điều kiện nếu có ), từ uhoặc v, tìm nghiệm x của phương trình ban đầu.



S = 2 (S2− 2P )(S3− 3SP ) − SP2 = 242

Chú ý Nếu n chẵn thì đặt điều kiện u ≥ 0, v ≥ 0

Khi đó ta thu được hệ phương trình:

• Bước 3 Từ u hoặc v tìm được thay vào để tìm x

• Bước 4.Kết luận nghiệm

v3 = 2x − 312(x − 1)

⇒ u 3 + v3 = x

12(x − 1) +

2x − 3 12(x − 1) =

1 4

4

r

2x + 4 3x + 5 = 1

2x + 4 3x + 5 = 0

r

2x + 4 3x + 5 = 1

⇔ x = −1 (thỏa mãn)Kết luận: Phương trình có một nghiệm x = −1

Chương 2

Hệ phương trình đối xứng loại II

Định nghĩa 2.1.1 Hệ phương trình đối xứng loại II đối với hai ẩn x, y là hêgồm hai phương trình mà nếu đổi vai trò x và y thì phương trình này chuyểnthành phương trình kia và ngược lại

Hệ phương trình đối xứng loại II có dạng:

(

f (x, y) = 0

f (y, x) = 0

2.1.1 Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại II

Phương pháp giải thông thường

Chú ý Trong một số trường hợp ta có thể chứng minh g(x, y) > 0, ∀x, y

hoặc g(x, y) < 0, ∀x, y Khi này, hệ phương trình vô nghiệm

• Bước 3 Kết luận nghiệm

x = 5 −

√ 29 2

x = y = 5 −

√ 29 2

x = 9 −

√ 13 2

y = 9 −

√ 13 2

y = 9 +

√ 13 2

Kết luận: vậy hệ đã cho có 4 nghiệm

(x, y) =



5 + √ 29

2 ,

5 + √ 29 2



;



5 − √ 29

2 ,

5 − √ 29 2



;



9 + √ 13

2 ,

9 − √ 13 2



;



9 − √ 13

2 ,

9 + √ 13 2

Giải 4 hệ phương trình trên:

3, − √ 3)



3x2y = y2+ 2 (1) 3xy2 = x2+ 2 (2)

Trừ theo vế (1) cho (2) , ta được:

(x − y)(3xy + x + y) = 0 ⇔ x − y = 0 ⇔ x = y (do x > 0, y > 0 )

Thế x=y vào phương trình (1) của hệ, ta có:

3x3− x 2 − 2 = 0 ⇔ x = 1

Kết luận: hệ phương trình có duy nhất nghiệm (x, y) = (1, 1)

Nhận xét Trong nhiều trường hợp hệ phương trình ban đầu không có dạngđối xứng loại II mà phải thông qua các phép biến đổi, đặt ẩn phụ mới có thểđưa về hệ đối xứng loại II

Đặt u = x + 1, v = x + y

Ta có hệ phương trình:

x − 1 nên (2) vô nghiệm

Với x − y = 0ta thế vào hệ ban đầu, ta có:

+3y

2

4 + 2 > 0 )Kết luận: vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm

(x, y) = 1, −1 +√5

2 ,

−1 −√5 2

Nhận xét Tuy nhiên, ở bài toán này, sau bước đặt:

+ Nếu x > y → x3 > y3→ 2y > 2x → y > x ( mâu thuẫn)

+ Nếu x < y → x3 < y3→ 2y < 2x → y < x ( mâu thuẫn)

Vậy ta suy ra x = y

hệ phương trình đối xứng loại II như sau:

• Bước 1 Điều kiện x ≥ 0;

Đặt u = √

x, v =pa + √

x ,(ĐK: (u, v ≥ 0).Khi đó phương trình đã cho trở thành

u = v = 1

-√ 37

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 19 +

√ 37

2

Đây là hệ phương trình đối xứng loại II đối với hai ẩn x và y.

• Bước 2 Giải hệ phương trình

• Bước 3 So sánh với điều kiện (nếu có) và kết luận nghiệm

Đây là hệ đối xứng loại II, ta đặt:

Thay lại giá trị u = 1 ta tìm được giá trị x = 1

Kết luận: Phương trình đã cho có một nghiệm x = 1

Ta sẽ giải phương trình như sau:

Trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta có:

(x + 1)3− (y + 1)3= 3y − 3x

⇔ (x − y)[(x + 1)2+ (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2+ 3] = 0

⇔ x − y = 0

Đây là hệ phương trình đối xứng loại II theo ẩn x và y.

• Bước 2 Giải hệ phương trình

• Bước 3 So sánh với điều kiện (nếu có) và kết luận về nghiệm của phươngtrình

2.2.4.2 Các ví dụ

Ví dụ 2.2.8 Giải phương trình

1 − 2(1 − 2x2)2= x

Lời giải

4 ; y =

1 + √ 5 4

x = 1 +

√ 5

4 ; y =

1 − √ 5 4

Kết luận: Phương trình đã cho có 4 nghiệm

x = −1;1

2;

1 − √ 5

4 ;

1 + √ 5 4

Ví dụ 2.2.9 Giải phương trình

5(5x5− 4) 5 = x + 4

Lời giải

Trừ vế hai phương trình của hệ, ta thu được:

2 x +

5

√ 15

2

+35

15 > 0, ∀x )Kết luận: Phương trình có một nghiệm x = 1

đưa về hệ đối xứng loại II

Từ phần ứng dụng của hệ đối xứng , ta có ý tưởng sẽ xây dựng 1 số phươngtrình được giải bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II, như sau:

Ví dụ 2.3.1 Ta xét một hệ đối xứng loại II

(

x = 2 − 3y2

y = 2 − 3x2

Thế y = 2 − 3x2 từ phương trình thứ hai vào phương trình (1) ta được:

x = 2 − 3(2 − 3x2)2

Vậy ta có bài toán sau:

Bài toán 1 Giải phương trình

Kết luận: Phương trình đã cho có 4 nghiệm

x = −1;2

3;

1 + √ 21

6 ,

1 − √ 21 6

Nhận xét Từ lời giải trên ta nhận thấy rằng nếu ta khai triển (2 − 3x2)2 thì

sẽ đưa phương trình đã cho về phương trình bậc bốn, sau đó sẽ biến đổi đượcthành

(x + 1)(3x − 2)(9x2− 3x − 5) = 0

Nhưng điều này sẽ không có được trong trường hợp khi xây dựng bài toán, ta

cố ý làm cho phương trình không có nghiệm hữu tỷ thì khi này phương phápkhai triển nhằm đưa về bậc cao sau đó phân tích về phương trình tích sẽ gặpkhó khăn Lời giải đưa về hệ đối xứng loại II tỏ ra hữu hiệu trong trường hợpnày

Sau đây ta sẽ xét một phương trình bậc hai có cả hai nghiệm đều là số vô tỷ

⇒ 2x = 5(5x

2 − 1

2 )

2 − 1

Ta sẽ có bài toán sau đây

Bài toán 2 Giải phương trình



2y = 5x2− 1 8x − 5.4y2 = −4

⇔





2y = 5x2− 1 2x = 5y2− 1

Trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta thu được:

x = 1 −

√ 6 5

5 ; −

1 + √ 6

Để hệ trên là hệ đối xứng loại II thì ta phải có:

Trừ theo vế hai phương trình của hệ trên, ta thu được:

7(y − x) = 5(x + y)(x − y) ⇔

x = y 5x + 5y = −7

+ Với x = y, thay vào hệ phương trình trên, ta được:

x = 7 −

√ 389 10

+ Với 5x + 5y = −7, thay vào hệ trên ta được:

10 ;

7 − √ 389

Trừ theo vế hai phương trình của hệ trên, ta có:

3(y − x) = −4(y − x)(x2+ y2+ xy)

Để hệ là hệ đối xứng loại II, ta cần chọn a, b sao cho:

+ 9



x3+ 9x − 45 3



− 45 = 3x

⇔ x3+ 9x − 45
3+ 81 x3+ 9x − 45
= 1215 + 81x

Vậy ta thu được bài toán như sau:

Bài toán 5 Giải phương trình

Thay x = y vào hệ phương trình trên, ta được

x3+ 9x − 45 = 3x ⇔ (x − 3)(x2+ 3x + 15) = 0 ⇔ x = 3

Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3

Nhận xét Phép đặt x3+ 9x − 45 = 3y được tìm ra như sau:

Ta đặt x3+ 9x − 45 = ay Khi đó:

Do đó, đặt x2+ 9x − 45 = 3y , ta sẽ thu được một hệ đối xứng loại II

Ví dụ 2.3.5 Chọn một phương trình chỉ có hai nghiệm là 0 và 1, chẳng hạn:

Ta có bài toán sau:

Bài toán 6 Giải phương trình

11x = 2log11(10x + 1)5+ 1

Lời giải

g(x)và trục hoành không có quá hai giao điểm, hay phương trình11x−10x−1 = 0

không có quá hai nghiêm

Mà g(1) = 0; g(0) = 0, nên x = 0 và x = 1 là tất cả nghiệm của phương trình.Kết luận: Phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 1

Ví dụ 2.3.6 Ta cũng có thể sử dụng phương pháp lặp để xây dựng phươngtrình từ hệ phương trình đối xứng loại II như sau: Xuất phát từ hệ:



4x = 30 + y 4y = √

√

x + 30 4x =

r

30 + 14

t30 + 1

4

s

30 + 14

r

30 + 14

√

x + 30

Ta có bài toán sau:

Bài toán 7 Giải phương trình

4x =

vuu

t30 + 1

4

s

30 + 14

r

30 + 14

√

x + 30 4x =

r

30 + 14

p

y + 30

Giả sử

⇔ x = 1 +

√ 1921 32

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 +

√ 1921

32 .

Chương 3

Một số phương pháp khác để giải hệ phương trình đối xứng loại I và II.

Trong một số trường hợp khi ta gặp hệ phương trình đối xứng mà không thểgiải được theo cách giải quen thuộc và cũng không chọn được ẩn phụ nào thíchhợp để đưa về cách giải quen thuộc, khi đó ta sẽ nghĩ đến dùng phương pháp

sử dụng tính đơn điệu của hàm số hoặc sử dụng phương pháp đánh giá để giảiquyết Cũng nhiều bài toán tuy hoàn toàn có thể giải theo phương pháp thôngthường nhưng có thể cân nhắc lựa chọn phương pháp giải cho phù hợp và nhanhnhất

số

Trong nhiều bài toán Đại số bao gồm các bài toán về hệ phương trình đốixứng ta có thể dựa vào tính chất đơn điệu của hàm số để giải, tức là từ các mốiliên hệ của các biến, ta khai thác và xét chọn các hàm số có tính đơn điệu, rồi

từ đó, sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để rút ra kết quả cần có