SKKN dạy học GIẢI QUYẾT vấn đề THÔNG QUA một số bài TOÁN GIẢI hệ PHƯƠNG TRÌNH

Nhưng loại toán này lại không được trình bày một cách chính thống ở sách giáo khoa mà chỉ được trình bày ở các tài liệu tham khảo và ở các đề thi -Khi trình bày đáp án giải không thể phâ

Hơn nữa những áp lực thi cử ,học thêm quá nhiều

Học sinh thường học toán theo khẩu lệnh ,lắp ráp máy móc các kiến thức có sẵn mà thiếu chủ động nghiên cứu tìm tòi toán rất hạn chế Sự say mê tìm hiểu kiến thức cơ bản để hiểu sâu và nhớ kỹ đặc biệt là sự vận dụng kiến thức trong thế chủ động tự giác còn hạn chế

-Loại toán giải hệ phương trình luôn là một chủ đề được đề cập phổ biến qua các kỳ thi Đại học Cao đẳng và kỳ thi học sinh giỏi ở bậc THPT Nhưng loại toán này lại không được trình bày một cách chính thống ở sách giáo khoa mà chỉ được trình bày

ở các tài liệu tham khảo và ở các đề thi

-Khi trình bày đáp án giải không thể phân tích đầy đủ cơ sở của lời giải gây cho họcsinh học theo kiểu chạy theo số lượng mà không có sự chủ động sáng tạo và tìm tòi vượt qua rào cản

-Qua hoạt động giải toán hệ phương trình còn rèn cho học sinh tính cẩn thận phân tích tổng hợp,suy đoán,học sinh được phát triển tư duy rất nhiều.Việc giải quyết các bài tập hệ phương trình rất đa dạng và phức tạp.Hiện nay ta gặp nhiều dạng hệ

phương trình mà cách giải thường không mẫu mực đòi hỏi quá trình tư duy xử lí rất linh hoạt.Trong chương trình giảng dạy đối với đối tượng học sinh yếu kém,trung bình hay trung bình khá việc giải bài tập hệ phương trình là vô cùng khó khăn,đòi hỏi giáo viên cần sắp xếp bài toán thành các dạng dễ hình dung cách giải,dẫn dắt đưa

ra lời giải một cách thật dễ hiểu,khai thác các bài toán một cách hệ thống,dễ hiểu dễ hình dung

Nhìn lại kết quả của học sinh trường THPT Nguyễn Duy Thì- huyện Bình Xuyên –Vĩnh Phúc trong các kì thi học sinh giỏi ở tất cả các khối lớp,các kì thi khảo sát đại học cao đẳng hay khảo sát chất lượng….kết quả còn rất kém.Vì vậy việc đổi mới về phương pháp dạy học,đổi mới về nội dung kiến thức,đổi mới về cách dạy,cách học là

vô cùng cấp thiết

Thông qua việc giảng dạy đối tượng học sinh trên,biết được đây là vấn đề khá nan giải với kinh nghiệm giảng dạy qua nhiều khối lớp,khả năng ngiên cứu còn hạn chế,nhưng với tinh thần nhiệt huyết yêu nghề, yêu thương học sinh,đặc biệt là học

sinh yếu kém, tôi mạnh dạn chọn đề tài “ DẠY HỌC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ” nhằm bổ sung thêm kho

tàng phong phú và đa dạng của loại toán giải hệ phương trình

2)Mục đích nghiên cứu

Đề tài: “ DẠY HỌC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ” có mục đích:

- Rèn luyện phương pháp giải Hệ phương trình

- Rèn luyện tính linh hoạt trong tư duy giải toán

- Kích thích tìm tòi sáng tạo và và khả năng độc lập trong nghiên cứu

theo lược đồ sau:

1.Từ nền tảng kiến thức cơ bản của một số kiến thức về phương trình hoặc dạng phương trình cơ bản

2 Đưa ra bài toán về hệ phương trình mà đòi hỏi học sinh qua hướng dẫn của Thầy hướng đưa được về kiến thức cơ bản để giải được nó.

3 Đặt tình huống mới đối với một số hệ phương trình mà bước đầu phải có khả

năng sáng tạo biết lĩnh hội sâu sắc về kiến thức cơ bản mới vận dụng được.

( Với những kiến thức cơ bản trong đề tài này ta chỉ ghi lại mà không trình bày chi tiết)

3)Nhiệm vụ nghiên cứu:

- nghiên cứu về dạy học giải quyết vấn đề thông qua loại toán giải hệ phương trình

4)Đối tượng nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu của đề tài là dạy học giải quyết vấn đề một số dạng toán giải

hệ phương trình cho các em học sinh lớp 10

5)Phạm vi nghiên cứu:

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là : các phương pháp giải hệ phương trình trong phạm

vi kiến thức của chương trình lớp 10 bậc THPT

6)Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

-Phương pháp điều tra thực tiễn

-phương pháp thực nghiệm sư phạm

-Phương pháp thống kê

PHẦN 2 NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI.

I) Thực trạng của vấn đề nghiên cứu :

- Trong một số năm gần đây,đề thi tuyển sinh đại học thường có một câu về giải hệ

phương trình hai ẩn,và hầu hết học sinh thường kêu câu này khó,vì sự biến đổi đểđưa ra một lời giải thành công thường phải sử dụng nhiều biện pháp phức tạp khácnhau,khó định hình thành dạng cùng một phương pháp giải

- Việc phát triển tư duy trừu tượng,tư duy sáng tạo,giúp học sinh biết cách nhìn nhậnvấn đề dưới nhiều góc độ,giúp học sinh có khả năng tổng quát hóa các vấn đề (lối tưduy xây dựng) quả là một vấn đề cấp thiết đặt ra cho nền giáo dục Nhìn lại kết quảhọc tập của học sinh trường THPT Nguyễn Duy Thì thông qua các kì thi đại học vàhọc sinh giỏi,kết quả còn rất khiêm tốn,vì vậy việc tìm tòi đổi mới càng cấp thiếthơn.Không những phải đổi mới về phương pháp mà còn phải đổi mới về cả nội dung

kiến thức,truyền đạt cho học sinh(không chỉ truyền đạt những kiến thức trong sáchgiáo khoa mà còn phải truyền đạt cả những kiến thức nâng cao)

II.Giải pháp thực hiện

Để giải quyết vấn đề đó tôi đề xuất ý tưởng sau:

Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khảnăng tư duy Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có được những kiếnthức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đăt kiến thức nâng cao)

III Các biện pháp thực hiện

Trong các tiết học thông qua các vấn đề hoặc các bài tập rèn luyện, người thầyphải hướng dẫn học sinh khai thác, mở rộng bài toán,biết nhìn bài toán dưới nhiềugóc độ

1.Một cách tiếp cận một dạng toán :

Ta xét bài toán đầu tiên sau đây

Giải hệ phương trình sau :

GV: Đối với hệ phương trình này ta quan sát thấy phương trình một là một phương trình hai ẩn x,y phương trình (2) chứa căn thức khá phức tạp nên việc đầu tiên ta suy nghĩ là rất có thể phương trình một có thể phân tích được thành nhân tử Đối với học sinh trung bình,việc nhóm tách hạng tử để phân tích được phương trình (1) thành nhân tử là khó khăn do đó tôi đưa ra một cách nhận biết như sau:

Từ phương trình (1) ta nhận xét x=0 và y=0 không là nghiệm hệ phương trình do

Nhận xét thấy k=2 khi đó x=2y hay x-2y=0 và như vậy ta hoàn toàn phân tíchphương trình (1) thành nhân tử là (x-2y) từ đó ta có lời giải sau

2

2 4 ( 1) 3.( ) ( 3) 2

4

1 0

ô nghiêm do x+y=-1 <0 ( 1) 3.( ) ( 3) 2

2.Phương pháp quy lạ về quen để giải một số hệ phương trình

A.Đầu tiên ta nhớ lại phương trình bậc 2 đẳng cấp có 2 biến dạng:

) 0 ( 0

2 2

) 1 ( / 2 / / 2

/

2 2

d y c xy b

x

a

d cy bxy ax

Giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh tiếp cận theo 2 mức độ sau:

a ) nếu d hoặc d/ 0

 thì học sinh có thể giải dễ dàng một trong hai phương trình bằng cách sử dụng phương trình bậc 2 với ẩn t= y x ( với chú ý là ( 0;0) luôn là nghiệm của hệ Từ đó hệ giải được nhờ phương pháp thế quen thuộc

) (

) 1 (

2 2

/ 2 / / 2 /

2 2

cy bxy ax d y c xy b x a d

d cy bxy ax

Khi đó phương trình (3 ) lại có dạng (*) và giải được Và chỉ cần thay x = ty vào (1) được một phương trình bậc 2 với một biến Tức là phép giải hệ ( I ) hoàn tất bằng phương pháp thế

Từ đó phát triển lên bài toán giải hệ phương trình hai ẩn hai biến

) 1 ( 0 / / / 2 / / 2 /

2 2

F y E x D y C xy B x A

F Ey Dx Cy Bxy Ax

Liệu có cách giải cho hệ này bằng cách đưa về các hệ cơ bản hay không? Chúng ta bắt đầu với ví dụ sau

0 3 2 2 2

2 2

x xy y

y x y x

Nhận xét 1: Rõ ràng hệ trên không phải là các hệ thường gặp như là hệ đối xứng

loại I hoặc loại II và cũng nếu nhận xét rằng do x là bậc nhất ở phương trình thứ 2 nên có thể dùng phép thế của x từ phương trình thứ 2 thay vào phương trình đầu Thế nhưng rốt cuộc bạn sẽ thu được một phương trình bậc 4 có nghiệm không phải

là hữu tỷ và rất khó khăn tìm được chúng : 3 4 12 3 4 2 32 28 0 !

Rõ ràng ví dụ 1 là một trường hợp đặc biệt của hệ ( II) cũng chưa có dạng ( I )

Kiếm tìm cách giải: để không tăng bậc của hệ ta dùng phép đổi biến sau đây

y

m a

( 2 ) 1 ( 2 2

3 2 2 )

1 ( 2 ) 1 ( 2

2 2

2 2 2

2

m mn n

m n b n a ab

b

n m m n n b m

(**) 1 0 1

0 1

m

n

m

Chúng ta đã gặp may mắn ! Bây giờ có thể xem lời giải

tường minh sau đây mà phép đặt ẩn phụ như trong lời giải sau được sáng tỏ về cơ sở của nó :

1

b y

a x

3 5 4 3 2

0 8 6 5

3 5

2

3

2 2

2 2 2

2

2 2 2

2

2

b a

b a

b a

b a

b a

b ab a

b a ab

4 1

y x

Một số bài toán tương tự như bài toán trên có thể cho học sinh tự làm

Em hãy giải các hệ phương trình sau :

4

3

0 2 2

2 2

2 2

y x y xy

x

y x y

16 2 3 2

x

y x xy

2

3 2

2

2

y x y xy

x

y y

9

0 11 2 4 4

2 2

2 2

x xy y

x

x xy y

4 2 2

2 2

2 2

3

y y xy

x

y x xy

y x

y x

32 4 12 3 2

20 2 2

3 3

4 4

3.M

ột cách tiếp cận h ệ phương trình ba ẩn bình đẳng:

Hệ phương trình 3 ẩn bình đẳng là hệ có các phương trình đều bình đẳng với 3 ẩn,là khi hoán vị hai ẩn tùy ý thì mỗi phương trình đều không đổi

Phương pháp cơ bản là đưa về hệ phương trình

0 0

Như vậy y,z là nghiệm của phương trình t  a x t  c 

Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ là (x;y;z)=(1;2;-2)

Nhận xét : Định lý vi-et đảo không nằm trong chương trình phổ thông nên ta có thể chứng minh lại bằng phép thế như sau:

Từ (3)  x y z, ,  0

Nhân hai vế của (2) cho x ta có : x y xyz x z2   2 4x  x y z2 (  )4x xyz  4 4x

Nhân hai vế của (1) cho x2 ta có:

8

4 2 2

y x

y x

((21)) (Đây là một bài toán trong SGK toán 10)

GV: Gọi học sinh lên bảng làm bài, sau đó gọi một em khác lên kiểm tra bài cũ với câu hỏi:

“nêu cách giải hệ phương trình gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất hai ẩn”

Khi học sinh hoàn thành lời giải trên bảng ta bắt đầu sửa lời giải :

 y1 y2  1 thay vào biểu thức (3) ta có : x=2

Vây hệ có nghiệm duy nhất :

2

y x

GV:còn cách giải nào khác để giải hệ trên không?

GV:Yêu cầu học sinh nhận xét về các số hạng tương ứng ở hai phương trình(1)

và (2).

Rõ ràng đây không phải là hệ đối xứng với hai ẩn x,y, nhưng hãy tìm ẩn mới để

hệ đối xứng Từ đó ta có cách 2:

8 ) 2 ( 2 2

y x

y x

t x

t x

8 2 )

xt

t x t

x

xt t

2

y x

Để rèn luyện tư duy cho học sinh GV đặt câu hỏi : Nếu ta thay 8 bằng 0 ai trả lời

nhanh nghiệm của phương trình :

0

4 2 2

y x

y x

? TL: Ta thấy 2 0 ; 2 0

GV:Từ PT(*) ở cách 1và(**) ở cách 2 ta thấy chúng đều có nghiệm kép hay hai

PT đó đều là “danh giới của sự vô ngiệm”.

Vì vây ta phán đoán thêm một cách giải nữa của hệ, đó là phương pháp đánh giá Vấn đề bây giờ là phải đánh giá như thế nào ?

Ta để ý : Hạng tử thứ nhất của PT thứ nhất là x2

Hạng tử thứ nhất của PT thứ hai là x

Hạng tử thứ hai của PT thứ nhất là 2 2

) 2 (

Hạng tử thứ hai của PT thứ hai là 2y

Ta nghĩ ngay đến bất đẳng thức liên hệ giữa các số a,b và a2, b2

Ta nhớ lại bất đẳng thức bunhiacôxki cho 4 số

 2 2 2 2  2

bd ac d

c b

Ta có cách 3

Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức này cho 4 số : x; 2y; 1; 1 ta có:

1    , thay vào (2) ta được : y=1 ; x=2.

GV: Vẫn với phân tích để tìm ra cách 3 , ta còn thấy một phép toán hình học có liên quan đến mối liên hệ giữa 2 cặp số (a,b) và  2 2

1 Từ đó gợi cho ta cách giải 4.

Cách 4:

Đặt   ,2 ;  1,1

v y x u

y x v u

v y x

u

2

; 2

;

2 2 2

  uv u v

GV:lưu ý cho hoc sinh: ở bên trái là trị tuyệt đối của một số

ở bên phải là độ lớn của một véc tơ.

Vậy ta được : x 2y  2 x2 2y2

 2  2 2

4 2

; 2 2

1 2

1

k y

k x v

k u

GV: Ta để ý bất đẳng thức (4)ở cách 3 và bất đẳng thức (5) ở cách 4 là giống nhau mặc dù hai cách dẫn đến là khác nhau.

Vì vậy mà gợi cho ta nghĩ đến việc đặt vấn đề ngược lại, tìm cách chứng minh

a2 b2c2 d2acbd2 bằng cách sử dụng tích vô hướng của hai véc tơ

Nếu bắt trước cách làm 4 của bài 1.a ta có cách chứng minh bài 8.a như sau:

Xét u a,b;v c,d

2 2 2

0

a hay b b d a d

b

d k c

b k a v

v k u

GV:Cũng với việc phân tích để dẫn đến cách 3 gợi cho ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức quen thuộc khác:

2  2 2; ( : 2 2  2 2)

b a b

a hay b

a b

(1) 1

2 2

2

2 2

sin   x thì

2

cos   y Nhưng để có :

2 2 sin   x cần có

Từ PT(1) ( )

4 2

4 8

4

8 2

x

Nếu có một trong hai số x hoặc 2y nhỏ hơn không thì từ PT(2):x+2y=4 dẩn đến

số còn lại phải lớn hơn 4, điều này mâu thuẩn với (*) Vậy ta được 1

2 2

sin 1 2

2

1 2

2 2

2 2

sin 2 2

thay vào phương trình (2) ta được : sin   cos   2

GV: Ta đã có bài tập: Với 0o    180o thì sin   cos   2 cos   45o

(Bài tập này có thể ra cho hoc sinh làm ở phần tích vô hướng của hai véc tơ).

Vậy cos   45o  1    45o  0o    45o

Suy ra

; 1 45 cos 2

2 45 sin 2 2

GV:Ta thấy từ việc giải BT1.a đã đẫn đến việc tìm thêm được một cách CM BĐT Bunhiacoxki cho 4số Ta đặt vấn đề ngược lại từ các cách chứng minh BĐT Bunhiacoxki ta thử tìm cách giải phương trình 1.a

Ta đã biết BĐT Bunhiacoxki có một cách chứng minh dựa vào viêc xét phương trình bậc hai rất đặc biệt

8 4

0 0

2 0

2 0

y x

y x

8 2 2

t x

t x

Hai bài này làm không khó, chỉ cần học sinh học song phần toạ độ của một điểm

là làm được )

Còn phương trình thứ hai của hệ : x+t = 4 là phương trình đường thẳng cắt trục Ox tại điểm A(4,0) cắt trục Ot tại điểm B(0,4) Khi thử biểu diễn hình học của hai đường, trên hệ trục toạ độ Oxt ta thấy đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, vậy ta có cách giải thứ 8 :

Cách 8:

Đường thẳng x+t=4 cắt Ox tại điểm A và Ot tại điểm B , khi đó ∆OAB là tam giác vuông cân, suy ra khoảng cách từ O đến đường thẳng có phương trình :

x+t =4 là độ dài đường cao OH = 8 2 2

4

1 4

1

1 2

x , vậy đường thẳng tiếp xúc với đường

tròn tại điểm H, hay nghiệm của hệ

8 2 2

t x

t x

2

2 2

y

x t

t t

x x x

B A H

B A H

GV: Tinh tế hơn ta còn thấy một cách giải khác

1 4 2 8

16 4

2

y

x y

x y

y x x

thế vào hệ (1.2) thấy thoả mãn, vậy hệ có nghiệm duy nhất x=2 ,y=1.

Phần 3 : KẾT LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

1) Kết quả trắc nghiệm thực tế của sáng kiến

-để thấy được kết quả sát thực của sáng kiến trong phần ôn tập học kì 2 của lớp10

tôi đã chọn 2 lớp 10a1 và 10a4 là hai lớp khá nhất trong khối 10 trong đó lớp 10a1 là lớp chọn khối A,các em có tư chất và học tốt hơn so với lớp 10a4 Tôi sẽ dùng hai lớp này để làm đối chứng cụ thể như sau :

- Đầu tiên tôi đã ra bài tập về nhà cho các em ở cả hai lớp ba bài giải hệ

phương trình thuộc vào dạng giải hệ phương trình tôi đã trình bày trên,tôi yêu cầucác em làm ra giấy nộp cho tôi và tôi thu được kết quả như sau :

Với kết quả tổng hợp trên thực tế tôi thấy hầu hết các em ở lớp 10a1 không làm được,một số em biết đặt x=k.y rồi thay vào hệ xong chưa đi đến kết quả hoặc bế tắc hoàn toàn Đứng trước thực trạng như vậy tôi quyết định đưa ra sáng kiến củatôi dạy cho lớp 10a4 là lớp có vốn kiến thức kém hơn lớp 10a1

Tôi đã tập trung các em lớp 10a4 học chuyên đề vào các buổi chiều mỗi buổi chiều hai tiết thì tôi dùng ba buổi chiều để truyền thụ hết các ý tôi trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm sau đó tôi ra bài tập về nhà yêu cầu cả hai lớp giải thì được kết quả như sau :

Lớp Sĩ số Giỏi khá tb 3-4 điểm 0-2 điểm

Nhìn vào kết quả và thực tế bài làm của học sinh tôi nhận thấy mặc dù các em lớp10a1 có tư chất hơn lớp 10a4 song không được truyền thụ một số phương pháp giải hệ phương trình và cách tiếp cận những bài toán quy lạ về quen nên hầu hết không làm được các bài tập tôi cho.Nhưng ngược lại với kết quả bài làm của học sinh lớp 10a4 tôi thấy khả quan

Vì vậy tôi thực nghiệm lần thứ ba,tôi dạy cả hai lớp 10a1 và 10a4 như nhau sau đó tôi cho bài tập về nhà yêu cầu các em làm ra giấy nộp cho tôi ngay ngày hôm sau.Kết quả thu được như sau :

Trên đây là những suy nghĩ cách dạy cho học sinh lớp 10 rèn luyện kỹ năng giải mộtlớp hệ phương trình bậc 2 chứa 2 biến trong một số trường hợp được khéo léo đưa

về kiến thúc cơ bản quen thuộc bởi những suy nghĩ mà tác giả cho là có lý và đã có hiệu quả trong thực tế đã giảng dạy.Theo ý chủ quan tác giả cho rằng đề tài đã

làm được những điều sau khi giảng dạy :

-Huy động được kiến thức cơ bản