SKKN Vận dụng tính đơn điệu và đồ thị của hàm số vào bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ HỒNG PHONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀO BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ,BẤT PHƯƠNG TRÌ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ HỒNG PHONG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM

SỐ VÀO BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ,BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Người thực hiện: Vũ Thị Hương Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THPT Lê Hồng Phong SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

BỈM SƠN NĂM 2013

MỤC LỤC

Trang

ĐẶT VẤN ĐỀ ……… 1

NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM……… 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT……….2

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA……… 4

KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM……….17

KẾT LUẬN……… 18

A ĐẶT VẤN ĐỀ



Qua quá trình giảng dạy phần phương trình ,bất phương trình và hệ phương trình ở lớp 10 và ôn thi đại học lớp 12 tôi nhận thấy rằng có những dạng bài tập không thể giải quyết được bằng các phương pháp thông thường như SGK

đã nêu hoặc nếu có thì cũng rất phức tạp Trong khi đó ngay từ đầu lớp 10 các

em đã được học về hàm số ,mà định nghĩa phương trình , bất phương trình lại

có liên quan đến hàm số

Toán học nói chung và Hàm số nói riêng có nhiều ứng dụng rất quan trọng trong đời sống cũng như trong các ngành khoa học khác SGK Đại số lớp

10 của nhà xuất bản Giáo dục ( Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 và sách phân

ban năm 2006 ) đã trình bày rất rõ về định nghĩa và các tính chất của hàm số;

phương trình ; bất phương trình và hệ phương trình Để giúp học sinh THPT đặc biệt là học sinh lớp 12 có thể tìm hiểu sâu hơn về hàm số và ứng dụng của nó làm cơ sở để tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như ứng dụng trong thực tế cuộc

sống, trong phạm vi đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi xin trình bày một

ứng dụng của hàm số vào việc giải phương trình ; bất phương trình và hệ phương trình đó là:

Vận dụng tính đơn điệu và đồ thị của hàm số vào bài toán giải phương trình , bất phương trình và hệ phương trình.

Đây là một vấn đề được rất nhiều người đề cập đến Trong phạm vi đề tài của mình tôi chỉ xin nêu ra một số bài toán mới và một số bài toán trong chương trình cũng như trong các đề thi mà một số đáp án được giải bằng phương pháp khác

Trong quá trình biên soạn đề tài này chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Mong nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn của nhà trường để các đề tài sau của tôi được tốt hơn Tôi xin chân thành cảm ơn

B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I/

Cơ sở lý thuyết :

SGK Đại số 10 đã định nghĩa phương trình và bất phương trình một ẩn

như sau:

Cho hai hàm số: f(x) với tập xác định D f , g(x) với tập xác định D g Đặt

f g

D D D

Mệnh đề chứa biến “f(x) = g(x)” là một phương trình (bất đẳng thức f(x)

> g(x) là một bất phương trình) một ẩn với D gọi là tập xác định của phương

trình

Số thực x0 được gọi là một nghiệm của phương trình (bất phương trình) nếu f x( ) 0 g x( ) 0 ( ( )f x0 g x( ))0 là mệnh đề đúng

Giải phương trình ( bất phương trình ) là tìm tất cả các nghiệm của nó Định nghĩa trên đây nêu lên mối quan hệ hữu cơ giữa các khái niệm hàm số, phương trình và bất phương trình

1 Tính đơn điệu của hàm số:

a.Định nghĩa:

- Hàm số f được gọi là đồng biến ( tăng ) trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi

) ( ) ( );

;

(

- Hàm số f được gọi là nghịch biến ( giảm ) trên khoảng (a;b) khi và chỉ

khi x1,x2 (a;b);x1 x2  f(x1)  f(x2)

b.Tính chất:

Tính chất 1:

Nếu hàm số f chỉ tăng ( hoặc giảm ) trên khoảng (a;b) thì

)

; ( ,

; )

(

)

(x1 f x2 x1 x2 x1 x2 a b

Tính chất 2:

Nếu hàm số f chỉ tăng ( hoặc giảm ) trên khoảng (a;b) thì phương trình

0

)

(x 

Chứng minh:

a) Trường hợp hàm số f tăng trong khoảng (a;b)

Giả sử có hai số x1,x2(x1  x2) sao cho f x( ) 1 f x( ) 0 2  Điều này là vô lý

vì vớix1  x2  f(x1)  f(x2) x1 (a;b),x2 (a;b) (do hàm số f tăng trong

khoảng (a;b))

b) Trường hợp hàm số f giảm trong khoảng (a;b).

Lập luận tương tự a) , ta cũng gặp mâu thuẫn

Vậy phương trình f(x) = 0 không thể có nhiều hơn một nghiệm trên

khoảng (a;b)

2.Đồ thị của hàm số:

a.Định nghĩa:

- Cho hàm số y=f(x) xác định trên tập D Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tập hợp

b.Tính chất :

+ Tính chất 1:

Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y= f(x) và y=g(x).

+ Tính chất 2:

Số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là số giao điểm của đồ thị hai hàm

số y= f(x) và y=g(x).

+ Tính chất 3:

Mệnh đề 1 :

Phương trình f(x) =a , x D có nghiệm khi và chỉ khi :

m f x a f x

Mệnh đề 1 :

1) Bất phương trình f x( ) a x D,  có nghiệm khi và chỉ khi M a

2) Bất phương trình f x( ) a nghiệm đúng với  x Dkhi và chỉ khi

3) Bất phương trình f x( ) b x D,  có nghiệm khi và chỉ khi m b

Chứng minh:

TC1: Gọi ( ),( )C1 C2 lần lượt là đồ thị của hàm số y= f(x) và y=g(x).

x0 là một nghiệm của phương trình f(x) = g(x)  f x( )0 g x( )0 y0

Xét điểm M(x0;y0) vậy M C v M C 1 à  2chứng tỏ rằng M là một giao điểm của ( ),( )C1 C2

TC2:Suy ra từ tính chất 1

II/ Các ví dụ minh họa:

Dạng 1: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình , bất phương trình và hệ phương trình

Ví dụ 1:Giải phương trình:

a)log(x2-x-6) + x = log(x+2) + 4

b)log (1 2  x) log  3x

Lời giải:

a)Điều kiện để phương trình có nghiã là:

2

x x

x

  







2

3 3

2

x

x x

x

   



    

  



Với x>3 phương trình đã cho tương đương với

2

x x

x x

 

Ta có hàm số f(x)=log(x- 3) đồng biến khi x>3, hàm số g(x)=4- x là hàm nghịch biến mà x=4 thỏa mãn (1) ,Vậy x = 4 là nghiệm duy nhất của (1) ,tức là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

b) Điều kiện của phương trình là x> 0

Đặt y=log x3 ta có x=3y do đó ,phương trình đã cho trở thành

log (12  3 )y y 1 3y 2y

( ) ( ) 1

Ta thấy y=2 thỏa mãn phương trình (*)

y y

f y     

y y

f y     

 

Ví dụ 2:Giải phương trình:

2 3 2

1 ) 2 2 3 2 ( 5



















 x x x

3 2 6

1 2 4 2007





x x

x

(*)

Lời giải:

a) Đặt u x2  3x2 (x1,x2), suy ra u0 và x2 3xu2 2, thay vào (1) ta có :

) 2 ( 257

2 2 2

1 ) 2 ( 5 log 257

2 1 2

1 ) 2 ( 5













2

1 ) 2 ( 5 log )

)

;

0

2

1 5 5 log ) 3

f

Vì vậy,

2

33 3

3 2 3 2 3

) 3 ( ) (

)

2

Vậy phương trình đã cho cĩ hai nghiệm:

2

33

3 



x

b)Đặt u4x211;vx6x233

Ta cĩ :

) 3 ( 2007

2007

2007

log 2007

log 2007

log (*)

v v

u u

v v u

u u

v v u



















Xét hàm số: f( t) t.2007t trên [ 2; )

Ta cĩ f'(t)2007t(1t.ln2007)0,t[2;) => hàm số đồng biến trên

)

;

2

hay 4x21x6x23 x6 3x220

Đặt





























) ( 2

1 0

2 3 3 0

2

loạ X

X X

X x

X

Ví dụ 3 : Giải hệ phương trình:



























) 4 ( 0 1 sin cos

2 sin 2

cos

(*) sin

sin

y x

y x

y x

y x

Lời giải:

Ta cĩ (*)  x sinx y siny (5) Đặt f(t)t sint, với t  R

R t t

t

 5  f(x)f(y) x y, thế vào (4) ta cĩ phương trình :

0 ) 1 cos 2 )(

cos (sin

0 cosx) 2cosx(sinx cosx sinx

0 2 cos 2 cos sin 2 cos sin

0 1 sin cos 2 sin 2 cos

                   x x x x x x x x x x x x * sinxcosx0 tgx1 x 4 k (kZ) * 2 ( ) 3 2 2 1 cos 0 1 cos 2 x   x  x  k  kZ Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm: xy   k 4 và   2 3 2 k y x   (k  Z) Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:                    x x x z z z z y y y y x 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 (6) Lời giải Xét hàm số : f(t)t3t2t, với t  R Khi đó: (6)             ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 x f z z f y y f x Ta có : f'(t)3t22t10,tR hàm số f(t) đồng biến trên R Nếu x < y thì f(x) < f(y) z y z y x f z f x z x z              2 1 2 1 ( ) ( ) 2 1 2 1 . Từ đó, suy ra: x yz x Điều này vô lý Nếu y < x thì f(y) < f(x) y z y z z f x f z x z x              2 1 2 1 ( ) ( ) 2 1 2 1 Từ đó, suy ra: yx z y Điều này vô lý Do đó , hệ chỉ có thể có nghiệm x = y = z Thế vào hệ ta được:                         z y x z y x x x x x x x x x x 1 1 0 ) 1 2 )( 1 ( 0 1 2 3 2 3 1 2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là : (1;1;1) hoặc ( -1;-1;-1) Chú ý: Khi hướng dẫn cho học sinh phương pháp này cần đặc biệt lưu ý sự liên tục của hàm số đặc trưng trên tập xác định của chúng Chẳng hạn đối với bài toán:

Giải hệ phương trình:





















1 2

1 1

3

x y

y

y x

x

(I) (Đề thi ĐH khối A năm 2003) Rất nhiều học sinh giải bài toán theo hướng :

t t

f t t t

f( )   1 ' ( )  1  12  0   nên f(x) = f(y) => x = y rồi thế vào phương trình còn lại trong hệ đề giải

Đây là một sai lầm thường mắc phải của các em học sinh khi sử dụng phương pháp này, bởi vì hàm số

t t t

f( )   1 có t R

t t

f' ( )  1  12  0   nhưng hàm f(t) gián đoạn tại t = 0

Nhận xét: Với f' (x)  0 , xD f và y = f(x) liên tục trên D f thì























0 )

; ( 0

)

; (

) ( ) (

y x F

y x y

x F

y f x f

6 log 2

cos 3

2 sin 3

2

















Lời giải:

2005 6

log 2

sin 2 3

1 3

2 sin 3

2 2005

6

log 2

sin 3

2 sin 1 2

sin 3

2

2005 6

log 2

sin 3

2 cos 3

2 sin 3

2 0

2005 6 log 2

cos 3

2 sin 3

2











































































x x

x x

x

x x

x x

Đặt t sin2x,t 0;1

9

1 3 3

2

















































9

1 3 3

2 )

Mà log62005 4

Suy ra, bất phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 6: Cho phương trình x+3= 2 1



x

Biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số m

Lời giải:

1

3

2





x

x

=m Xét hàm số f(x)=

1

3

2





x

x

3 2 '

) 1 (

3 1 ) (









x

x x

f  f' (x)  0  x31





































1 1

1

3 1

3 )

lim

2

x

x

x x x

x

x x

f

x x

x x

Lập bảng biến thiên của hàm số :

x  

3 1

  ) ( ' x f + 0

-f(x) 10

1

-1

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y= 1 3 2   x x và đường thẳng y = m Căn cứ vào bảng biến thiên ta có : Nếu m  1 hoặc m  10 thì pt vô nghiệm Nếu -1< m < 10thì pt có hai nghiệm phân biệt Nếu -1 < m < 1 thì pt có duy nhất một nghiệm Nếu m= 10 thì pt có nghiệm kép Ví dụ 7: Cho f(x)2.25x  (2m1)10x (m2)4x (7) Tìm m để f( x) 0, với x 0 Lời giải: Ta có: f(x)  0 với x 0 0 , 0 2 2 5 ) 1 2 ( 2 2 5 2                             x m x m x m t f t m t t t x t m t m t                         ) ( min ) ; 1 [ 1 , 1 2 2 2 2 1 2 5 2 ) 1 2 ( 2 2 Đặt , 1 1 2 2 2 2 ) (       t t t t t f

 

































2 1 2

3 0

2 1 2

3 4 2 4 ) ( '

t

t t

t t t f

Bảng biến thiên:

t  

2

1



2

1

1

2

3

  f’(t) + 0 - - 0 +

f(t)

Vậy

2

5



Dạng 2: Sử dụng đồ thị của hàm số để giải phương trình , bất phương trình

và tìm điều kiện của tham số để pt có nghiệm

Ví dụ 1:Giải phương trình

a)2-x =3x+10 b) 16x = 1

2

log x

Lời giải:

chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = - 2 thử lại ta thấy x = -2 thỏa mãn phương trình đã cho

+ 

2 5

Mặt khác , hàm số y=2-x = 1

2

x

 

 

đồng biến vậy x = -2 là nghiệm duy nhất

2

log x trên cùng một hệ trục tọa độ ta

4 thử lại ta thấy x = 1

4

2

log x luôn nghịch biến Vậy x =1

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau

a) 1 1

3

x

x

 

 

 

  b)log 2x  6 x

Lời giải:

3

x

 

 

tọa độ Oxy

ta thấy chúng cắt nhau tại điểm duy nhất có hoành độ x = 0 Từ đồ thị ta thấy

3

x

 

 

y= x+1

tọa độ Oxy

Ta thấy chúng cắt nhau tại điểm duy nhất có hoành độ x = 4 Từ đồ thị ta

y= 6 - x

vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là   ; 4

Ví dụ 3: Tìm a để phương trình sau có nghiệm

x x 2  a x

Lời giải:

0

0

y

x y x







2

0

y







  





2

I  

2 Còn y= a – x là đường thẳng song song với đường phân giác của góc phần tư thứ hai

Ta tính được IB = 2

2

2 1 2

OB 

2

a 

 

2

a 

 

Ví dụ 4:Tìm k để phương trình sau có 4 nghiệm

 2 

4 3 ( 1) 1 0

x x   k x  

Lời giải:

Phương trình đã cho có thể viết dưới dạng

x4x2  3 1 k x(  1)

Với mọi k , họ đường thẳng y = k(x-1) luôn đi qua điểm cố định A(1; 0) Đồ thị của hàm số yx4x2  3

Lấy điểm B (0;-1) ,suy ra đường thẳng AB có hệ số góc là 1

tuyến Như vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng y

Bài toán đã cho trở thành : Tìm hệ số góc k0

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ( và chú ý là x0< 0 ),ta có hệ phương trình sau

3

4 3 1(1)

12 3(2)

k x k x x

k x







Thay (2) vào (1) ,ta có

1

2

x  x    x   x  x  

Do x0< 0 , nên x0 1 3

2



ĐS: 1 < k < 6 3 9 

Ví dụ 5:Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

mx x 3  m 1 (1)

Lời giải:

Ta có (1)  m x(  1) 1   x 3 (2)

Ta thấy y = m(x-1) là họ đường thẳng có hệ số góc m luôn đi qua điểm cố định A(1; -1)

điểm ta có

0

1 (4)

m

x













Thay (4) vào ( 3 ) ta có

0

0 0

1

x

x x



  

3

x

x x





 



0

0 2

7 2 3

14 37 0

x

x

x x





2( 3 1)

2 4 2 3





4

m k m 

Chú ý : Khi dạy học sinh bằng phương pháp này cần đặc biệt lưu ý tính chính

xác khi vẽ đồ thị và phải chứng minh được tính duy nhất của nghiệm

Bài tập tương tự:

1 Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm:

0 1 2

2 5







 x x

2 Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

2 2

4 2

1

m          

(Đại học, cao đẳng khối B – 2004)

x

x

4 )

1 (

1 2

2





4 Giải phương trình: log2007(x 1 )  2007x  1

5 Tìm m để bất phương trình ( 4 x)( 6  x) x2  2xm đúng x 4 ; 6

6 Giải bất phương trình x(x8  2x 16 )  6 ( 4  x2 ) (5)

8 Giải hệ phương trình:































2

, 2

4 7 2

(*)







y x

y x

x y tgy tgx

9 Giải phương trình : 4x3  x (x 1) 2x 1



III.Kết quả thực nghiệm :

Tôi đã tiến hành khảo sát trên môt số lớp 12 mà tôi được phân công giảng dạy qua các năm 2010, 2011,2013 và kết quả thu được như sau

Trước khi thực hiện đề tài

Sau khi thực hiện đề tài

C KẾT LUẬN

Nói về ứng dụng các tính chất của hàm số không chỉ có các ứng dụng tôi đã trình bày trong đề tài này, mà ứng dụng của nó là vô cùng rộng lớn Tuy nhiên với khuôn khổ của đề tài cũng như tính thực tiễn của nó tôi chỉ nêu ra một ứng dụng trên

Trong những năm qua tôi đã vận dụng phương pháp trên cho đối tượng học sinh khá giỏi của trường THPT trong quá trình dạy bồi dưỡng lớp 12 , luyện thi đại học ,cao đẳng và thấy rằng học sinh tiếp thu tương đối chủ động , đa số học sinh hiểu và vận dụng tốt trong quá trình giải các dạng bài tập ở trên

Trên đây là một số suy nghĩ và đề xuất của tôi, mong đóng góp cùng đồng nghiệp để giúp đỡ học sinh khai thác tốt hơn các ứng dụng của hàm số trong chương trình toán học phổ thông làm cơ sở tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như nghiên cứu các ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống sau này



TÀI LIỆU THAM KHẢO