SKKN cách giải hệ phương trình đối xứng trong toán THPT

Từ thực tiễn giảng dạy của bản thân với các đối tượng học sinh ở trường THPT Yên Phong số 2 đặc biệt là ôn thi đại học , tôi nhận ra là đa phần các em đều dễ tiếp thu và yêu thích .Kỹ nă

TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2

SÁNG KIẾN ĐĂNG KÝ CẤP : TRƯỜNG

TÊN SÁNG KIẾN

“PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG”

Tác giả sáng kiến : NGUYỄN SỸ AN Chức vụ : Giáo viên

Đơn vị công tác : THPT Yên Phong số 2

Bộ môn ( Chuyên ngành) : Toán

YÊN PHONG,THÁNG 12 NĂM 2013

PHẦN I: MỞ ĐẦU I.Mục đích

Qua quá trình công tác giảng dạy ở trường THPT , tôi thấy hệ phương trình nói chung và hệ phương trình đối xứng nói riêng là một phân kiến thức hết sức quan trọng trong chương trình lớp 9 và cả lớp 10 THPT Đặc biệt nó là phần không thể thiếu trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi đại học

Từ thực tiễn giảng dạy của bản thân với các đối tượng học sinh ở trường THPT Yên Phong số 2 đặc biệt là ôn thi đại học , tôi nhận ra là đa phần các em đều dễ tiếp thu và yêu thích Kỹ năng trình bày cách giải hệ phương trình đối xứng loại I và loại II rất dễ hiểu đối với mọi đối tượng học sinh Mỗi một loại

hệ phương trình đối xứng đều có các ví dụ minh họa , phân tích và có hướng dẫn giải cụ thể.Từ đó còn có ứng dụng rất quan trọng trong việc gải một số dạng toán phức tạp có mức độ tư duy sáng tạo cao

Điểm mới trong nghiên cứu : Từ cách giải hệ phương trình đối xứng ,có liên

hệ đến các dạng toán khác

II.Đóng góp

1 Sánh kiến là một tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh ôn thi đại học

2 Sáng kiến là một tài liệu tham khảo hữu ích cho quý thầy cô và các em học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi

3 Sáng kiến còn thúc đẩy học sinh trong việc tìm tòi, sáng tạo ra các dạng toán mới

4 Sáng kiến còn là công cụ để giải các dạng toán khác trong chương trình phổ thông

Với những đóng góp như vậy tôi tin bản sáng kiến “Cách giải hệ

phương trình đối xứng ” sẽ là một tài liệu tham khảo có những lợi ích

thiết thực cho quý thầy cô, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh

PHẦN II : NỘI DUNG Chương 1 : CƠ SỞ KHOA HỌC

I Cơ sở lý luận:

Khi giải một bài toán về phương trình, hệ phương trình và đặc biệt là hệ phương trình đối xứng ta cần đọc kỹ đề bài, nắm đúng dạng bài và cách giải tương ứng Ngoài ra ta còn phải chú ý đến các yếu tố sau : lời giải đã thể hiện được hết các yêu cầu của đề bài hay chưa ? Để giải quyết vấn đề này ta phải bắt đầu từ đâu ? Nội dung kiến thức nào liên quan đến vấn đề được đặt ra, trình bày

nó như thế nào cho đúng đắn có được như thế mới giúp chúng ta giải quyết được nhiều bài toán mà không gặp phải khó khăn

II Cơ sở thực tiễn :

“Cách giải hệ phương trình đối xứng” Đây là một vấn đề được rất nhiều

người đề cập đến đặc biệt là trong chương trình ôn thi đại học cũng như thi học sinh giỏi.Trong thực tế ngoài việc giải hệ phương trình đối xứng , ta còn gặp nhiều bài toán đưa về hệ phương trình đối xứng để lời giải đơn giản hơn

Trong phạm vi đề tài của mình tôi chỉ xin nêu ra cách giải hệ phương trình đối xứng ,mỗi loại hệ phương trình đối xứng đều có các ví dụ minh họa , phân tích

và có hướng dẫn giải cụ thể Ngoài ra có liên hệ đến việc ứng dụng giải hệ phương trình đối xứng đến việc giải phương trình ,chứng minh bất đẳng thức và tìm giá tri lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số

Chương 2.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

Khi học sinh giải bài toán về hệ phương trình đ ối xứng các em thường gặp khó khăn vì những lí do sau :

- Thứ nhất, các em vẫn chưa nắm vững dạng của hệ phương trình đối xứng

- Thứ hai , trong quá trình giải khi đặt S = x + y ; P = xy nhưng quên

không đặt điều kiện S2 −4P 0≥

- Thứ ba , một số em giải phương trình : X2 −SX P 0+ = vẫn chưa thạo

- Thứ tư , học sinh gặp khó khăn khi giải hệ phương trình đối xứng có chứa tham số

- Thứ năm, học sinh gặp khó khăn khi giải bài toán đ ưa về hệ phương trình đối xứng

Để giúp học sinh giảm bớt khó khăn khi làm về dạng toán này tôi có mạnh dạn

đưa ra đề tài “Giải hệ phương trình đối xứng”, với hi vọng nhằm giúp học

sinh phần nào tháo gỡ những khó khăn đó

Trong quá trình biên soạn đề tài này chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Mong nhận được sự góp ý chân thành của quý thầy cô , các bạn đồng nghiệp

và Hội đồng chuyên môn của nhà trường để các đề tài sau của tôi được tốt hơn Tôi xin chân thành cảm ơn!

Chương 3 : CÁC GIẢI PHÁP

1 Khái niệm

- Đa thức f(x,y) được gọi là đối xứng đối với x,y nếu f(x,y) = f (y,x) với mọi x,y.

- Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ có dạng (I) f (x, y) 0

với f(x,y) = f (y,x) và g(x,y) = g(y,x)

( Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x,y) và g(x,y) không thay đổi)

2.Cách giải

• Đặt S = x+ y ; P = xy

• Đưa hệ phương trình (I) về hệ phương trình (I’) với các ẩn S và P

• Giải hệ (I’) ta tìm được S và P

• Tìm nghiệm (x;y) bằng cách giải phương trình : X2 −SX P 0+ = Điều kiện để phương trình có nghiệm là S2 −4P 0≥

• Chú ý : Hệ phương trình đối xứng loại (I) nếu có nghiệm (x ; y thì o o) (y ;x cũng là một nghiệm của nó.o o)

Khi đó hệ có 2 nghiệm (x;y) = ( 2 ; - 3);(-3 ; 2)

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm :

(2; - 3);(-3 ; 2); ( 1− + 6; 1− − 6);( 1− − 6; 1− + 6)

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm

Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

(*)xy(x 1)(y 1) m

⇒u và v là hai nghiệm của phương trình X2−8X m 0+ = ⇔X2−8X= −m (1)

Do đó hệ (*) có nghiệm ⇔Phương trình (1) có nghiệm X 1

y = - m là một đường thẳng (d) cùng phương với trục OX

Số nghiệm của phương trình (1) ⇔Số giao điểm của (P) và (d)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy rằng phương trình (1) có nghiệm

Từ đó ta tìm được 2 nghiệm của hệ là ( 3;− 3 ;) (− 3; 3)

Suy ra m = -3 thì hệ phương trình không có nghiệm duy nhất

Từ đó ta tìm được 1 nghiệm của hệ là ( )3;3

Suy ra m = 21 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Vậy giá trị cần tìm của m là m = 21

3.2 Dạng 2: Đưa về hệ phương trình đối xứng loại I

⇒u và v là hai nghiệm không âm của phương trình X2 −2X 3 m 0(*)+ − =

Hệ phương trình (1) có nghiệm ⇔Phương trình (*) có 2 nghiệm không âm

Vậy giá trị cần tìm của m là 2 m 3≤ ≤

Ví dụ 3 : Cho (x;y) là nghiệm của hệ phương trình 2 x y 2m 12 2

( ) ( )

- Đa thức f(x,y) được gọi là đối xứng đối với x,y nếu f(x,y) = f (y,x) với mọi x,y.

- Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ có dạng (II) f (x, y) 0

trong đó f(x,y) là một đa thức không đối xứng

( Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại)

• Giải các hệ phương trình trên ta được nghiệm của hệ (II)

• Chú ý : Hệ phương trình đối xứng loại (II) nếu có nghiệm (x ; y thì o o) (y ;x cũng là một nghiệm của nó.o o)

3 Các dạng toán

3.1 Dạng 1: Giải hệ phương trình

Ví dụ 1 : Giải hệ phương trình

3 12x

3 12y

x32y x

• Khi x = y thay vào phương trình (1) ta được 3x3 3x 0 x 0

x y 3xy 03xy x 2(2)

+ Với 3x2 +2x 2 0+ = ( Vô nghiệm)

• Khi x y 3xy 0+ + = (*) , Ta thấy vế phải của hệ phương trình đều dương

nên có x > 0 ; y > 0⇒ + +x y 3xy 0> Do đó phương trình (*) vô nghiệmVậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1;1)

Ví dụ 4 : Cho hệ phương trình

2 2

b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

m 1

1 m 00

m 00

Hệ (II) có nghiệm duy nhất ⇔ (2) vô nghiệm ⇔ ∆ < ⇔ >' 0 m 16

Với m > 16 , hệ (III) vô nghiệm ⇔(*) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi m > 16

3.2 Dạng 2: Đưa về hệ phương trình đối xứng loại II

Ví dụ 1 : Giải hệ phương trình

4 4

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x 1;x 1 5

2

− ±

III Bài tập tự luyện

Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau

Chương 4 : KIỂM CHỨNG CÁC GIẢI PHÁP

Để thực hiện đề tài này tôi đã tìm đọc rất nhiều tài liệu viết về vấn đề này Nghiên cứu lời giải cho từng dạng toán, lựa chọn bài tập phù hợp với từng nội dung cần phân tích, tổng hợp , đánh giá ,kết hợp với hình ảnh trực quan để làm nổi bật nội dung của đề tài

Với phương pháp trên tôi đã tổ chức cho học sinh tiếp nhận bài học một cách chủ động, tích cực, tất cả các em đều hứng thú học tập thực sự và hăng hái làm bài tập giao về nhà tương tự Phương pháp dạy học trên đây dựa vào các nguyên tắc:

• Đảm bảo tính khoa học chính xác

• Đảm bảo tính lôgic

• Đảm bảo tính sư phạm

• Đảm bảo tính hiệu quả

Khi trình bày tôi đã chú ý đến phương diện sau:

• Phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh

• Phát huy được năng lực tư duy toán học của học sinh

Thực tế thông qua giảng dạy đề tài “Giải hệ phương trình đối xứng”, ở một

số lớp 10, tôi có thu được kết quả như sau :

Tổng số học sinh Trước khi áp dụng SKKN Sau khi áp dụng SKKN

Yếukém

Phần III KẾT LUẬN

I Những vấn đề quan trọng nhất được đề cập đến

- H ệ phương trình đối xứng loại I và cách giải

- H ệ phương trình đối xứng loại II và cách giải

- Một số bài toán đưa về hệ phương trình đối x ứng để giải

- Nêu ra cách giải một số hệ phương trình đối xứng có chứa tham số

II.Hiệu quả thiết thực :

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm là nhằm tạo ra động lực thúc đẩy học sinh tích cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của bản thân nói riêng và kết quả giáo dục của nhà trường nói chung

Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm nối bật ở phương pháp giảng dạy đó là phương pháp đặt vấn đề và phân tích hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề

III Kiến nghị, đề xuất:

Nhằm giúp cho học sinh học tốt hơn với môn học, bản thân có kiến nghị,

Tổ chuyên môn,Ban giám hiệu, có kế hoạch tăng thêm thời lượng tiết ,bổ sung thêm một số thiết bị máy chiếu nhằm giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi hơn

Yên Phong, ngày 15, tháng 12, năm 2013

Người Viết

PHẦN IV.PHỤ LỤC Tài liệu tham khảo

1 Tuyển tập đề thi Olympic 30 - 4 Môn Toán lần thứ V, Nhà xuất bản Giáo dục

2 Tuyển tập đề thi Olympic 30-4 Môn Toán lần thứ VII ,Nhà xuất bản Giáo dục

3 Tạp chí Toán học tuổi trẻ số 250 – Nhà xuất bản Giáo dục

4 Nguyễn Văn Mậu, Một số bài toán chọn lọc về phương trình,hệ phương trình,

Nhà xuất bản Giáo dục – 2003

5 Phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi toán – Nhà xuất bản Giáo dục

6 Tài liệu giải hệ phương trình và phương trình của Nguyễn Đức Tất – Phan

Ngọc Thảo, Nhà xuất bản Giáo dục

7 Một số đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, một số đề thi học sinh giỏi quốc gia

8.Trần Phương: Phương pháp mới giải đề thi tuyển sinh môn toán- Nhà xuất

bản Đà Nẵng, năm 1999

9 Phan Văn Phùng :234 Bài giải đề thi theo chuyên đề phương trình và bất

phương trình đại số -Nhà xuất bản Đại học Quốc gia T.P Hồ Chí Minh- 2005.

10 Trần Thị Vân Anh : Hướng dẫn giải các dạng bài tập từ các đề thi quốc

gia môn Toán của Bộ giáo dục & Đào tạo- Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà

Nội, năm 2009

II Cơ sở thực tiễn

III Bài tập tự luyện

Chương 4 : KIỂM CHỨNG CÁC GIẢI PHÁP

III

PHẦN III : KẾT LUẬN

I.Những vấn đề quan trọng nhất được đề cập

II.Hiệu quả thiết thực

III Kiến nghị ,đề xuất

21