SKKN hướng dẫn học sinh phân tích đa thức thành nhân tử và một số bài tập ứng dụng nhằm nâng cao chất lượng đại trà

Sáng kiến kinh nghiệm trung học cơ sở này quý thầy cô sẽ có nguồn tài liệu tham khảo hay, củng cố xây dựng phương pháp dạy hiệu quả, qua đó giúp các em học sinh tiếp thu bài tốt, nắm vững kiến thức phát triển tư duy trí tuệ. Sáng kiến kinh nghiệm tiểu học tập hợp các đề tài đa dạng mang tính ứng dụng cao như ứng dụng công nghệ thông tin trong trường học

chắn

Là một giáo viên đang giảng dạy tại trường trung ho ̣c cơ sở (THCS), bản thân

đã có nhiều suy nghĩ trong việc áp dụng những phương pháp dạy học mới, để đưa chất lượng của học sinh ngày một nâng cao Phân tích đa thức thành nhân tử là da ̣ng toán

cơ bản, xuyên suốt trong chương trình Toán ho ̣c phổ thông Đây là nền tảng quan tro ̣ng trong việc giải rất nhiều dạng toán phổ thông Để góp phần nâng cao chất lượng môn Toán học ở trường THCS tôi chọn sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh phân tích đa thức

thành nhân tử và một số bài tập ứng dụng nhằm nâng cao chất lượng đại trà” để

nghiên cứu, áp dụng vào thực tế giảng dạy

1.2 Điểm mới của sáng kiến

- Giúp các em biết thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử Hiểu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường gặp

- Giúp các em biết nhận xét các đa thức và tìm hướng giải thích hợp trước khi giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, cũng như các bài tập ứng dụng việc phân tích

đa thức thành nhân tử trong chương I toán 8 hiện nay

- Nêu một số kinh nghiệm trong giảng dạy để giáo viên giúp học sinh giải thành thạo dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử góp phần nâng cao chất lượng bộ môn

2 PHẦN NỘI DUNG

2.1 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Qua thực tế nhiều năm giảng dạy bô ̣ môn Toán ho ̣c với nhiều đối tượng khác nhau tôi thấy phần lớn học sinh còn lúng túng và thường mắc phải những lỗi sau:

- Không nắm vững những kiến thức đã học, lúng túng với đề toán, không biết bắt đầu

từ đâu cũng như không biết vận dụng kiến thức nào để giải

- Có mô ̣t số em có kiến thức nhưng khi trình bày thì la ̣i thiếu tính chă ̣t chẽ, khoa ho ̣c dẫn đến chưa có mô ̣t bài giải hoàn chỉnh

- Trước khi áp dụng sáng kiến, khảo sát học sinh khối 8 có kết quả như sau:

2.2 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

2.2.1 Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử?

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức

2.2.2 Những phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử

2.2.2.1 Phương pháp đặt nhân tử chung :

- Dựa vào tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

AB + AC = A(B + C)

- Cách tìm nhân tử chung với các đa thức có hệ số nguyên:

+ Hệ số là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử

+ Các lũy thừa của các biến có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của lũy thừa là

- Tìm nhân tử chung của các hệ số 15, 5, 10 trong các hạng tử trên?

81 30 7 23,3 9 30,0 11 36,7 3 10,0

82 27 2 7,4 6 22,2 14 51,9 5 18,5

(Học sinh trả lời là: 5, vì Ư(15; 5; 10) = 5)

- Tìm nhân tử chung của các biến 𝑥3; 𝑥2; 𝑥?

- Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hạng tử trên?

(Học sinh trả lời là: 7, vì ƯCLN(14, 21, 28) = 7)

- Tìm nhân tử chung của các biến x2 y, xy2, x2y2?

- Tìm nhân tử chung của các hệ số trong các hạng tử trên?

(Học sinh trả lời là: các hệ số trong các hạng tử trên không có nhân thử chung)

- Tìm nhân tử chung của các biến 𝑥2; 𝑥3; 𝑥2𝑦?

- Tìm nhân tử chung của các hệ số trong các hạng tử trên ?

- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10; 8 trong các hạng tử trên ?

- Tìm nhân tử chung của các biến 𝑥(𝑥 − 𝑦); 𝑦(𝑦 − 𝑥)?

- Để làm xuất hiện nhân tử chung (𝑥 − 𝑦) ta đổi dấu (𝑦 − 𝑥) = −(𝑥 − 𝑦)

Giải: 10𝑥(𝑥 − 𝑦) − 8𝑦(𝑦 − 𝑥) = 10𝑥(𝑥 − 𝑦) + 8𝑦(𝑥 − 𝑦) = 2(𝑥 − 𝑦)(5𝑥 + 4𝑦)

* Ví dụ 6: Phân tích đa thức (𝑥 − 𝑦) − (𝑦 − 𝑥)2 thành nhân tử

Gợi ý:

- Để làm xuất hiện nhân tử chung ta thấy (y – x)2 = (x – y)2

Học sinh có thể sẽ sai lầm trong đổi dấu như sau :

* Ví dụ 1: Phân tích đa thức 9𝑥2+ 6𝑥𝑦 + 𝑦2 thành nhân tử (BT-27a-SBT-tr9)

Gợi ý:

- Tìm nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức trên?

- Nhận thấy đa thức có thể đưa về dạng hằng đẳng thức bình phương của một tổng

Dùng tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng ta kết hợp những hạng tử của

đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phương pháp khác (đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức) phân tích đa thức thành nhân tử theo từng nhóm rồi phân tích chung đối với các nhóm

+ Khi nhóm các hạng tử thành từng nhóm thì thường mỗi nhóm các hạng tử có nhân

tử chung hoặc có hằng đẳng thức

+ Sau khi phân tích cho từng nhóm thì giữa các nhóm phải có nhân tử chung hoặc có dạng hằng đẳng thức thì quá trình phân tích mới được tiếp tục

* Các ví dụ minh họa:

* Ví dụ 1: Phân tích đa thức 5𝑥 − 5𝑦 + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 thành nhân tử (BT-32a-SBT-tr10)

Sai lầm của học sinh đối với bài này có thể là sai dấu khi đưa các hạng tử vào trong ngoặc

Lưu ý: Khi đưa các hạng tử vào trong ngoặc mà trước dấu ngoặc là dấu " − " ta phải đổi dấu các hạng tử đó

Gợi ý:

- Nếu nhóm 5𝑥 − 5𝑦 + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 = (5𝑥 − 5𝑦) + (𝑎𝑥 − 𝑎𝑦) thì nhóm (5𝑥 − 5𝑦)

có nhân tử chung là 5, nhóm (𝑎𝑥 − 𝑎𝑦) có nhân tử chung là 𝑎 Sau khi đặt nhân

tử chung cho cả 2 nhóm thì các hạng tử xuất hiện nhân tử chung (𝑥 − 𝑦) nên quá trình phân tích được tiếp tục.Vậy có thể nhóm theo cách này

- Nếu nhóm 5𝑥 − 5𝑦 + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 = (5𝑥 + 𝑎𝑥) − (5𝑦 + 𝑎𝑦) thì nhóm (5𝑥 + 𝑎𝑥)

có nhân tử chung là x, nhóm (5𝑦 + 𝑎𝑦) có nhân tử chung là 𝑦 Sau khi đặt nhân

tử chung cho cả 2 nhóm thì các hạng tử xuất hiện nhân tử chung (5 + 𝑎) nên quá trình phân tích được tiếp tục.Vậy có thể nhóm theo cách này

Vậy đối với bài này ta có thể thực hiện 2 cách :

*Ví dụ 2: Phân tích đa thức 4𝑥2− 𝑦2+ 4𝑥 + 1 thành nhân tử (BT-8.1a-SBT-tr10)

Gợi ý:

- Nếu nhóm: 4𝑥2− 𝑦2+ 4𝑥 + 1 = (4𝑥2− 𝑦2) + (4𝑥 + 1)

= (2𝑥 − 𝑦)(2𝑥 + 𝑦) + (4𝑥 + 1) lúc này quá trình phân tích không tiếp tục được chứng tỏ cách nhóm này là không phù hợp

- Nếu nhóm: 4𝑥2− 𝑦2+ 4𝑥 + 1 = (4𝑥2+ 4𝑥) − (𝑦2− 1)

= 4𝑥(𝑥 + 1) − (𝑦 − 1)(𝑦 + 1) lúc này quá trình phân tích không tiếp tục được chứng tỏ cách nhóm này là không phù hợp

- Nếu nhóm 4𝑥2− 𝑦2+ 4𝑥 + 1 = (4𝑥2+ 4𝑥 + 1) − 𝑦2 = (2𝑥 + 1)2− 𝑦2giữa các hạng tử của đa thức lại xuất hiện hằng đẳng thức nên quá trình phân tích được tiếp tục Vậy có thể nhóm theo cách này

Giải: 4𝑥2− 𝑦2 + 4𝑥 + 1 = (4𝑥2+ 4𝑥 + 1) − 𝑦2

= (2𝑥 + 1)2− 𝑦2 = (2𝑥 + 1 − 𝑦)(2𝑥 + 1 + 𝑦)

*Ví dụ 3: Phân tích đa thức 12𝑥3+ 4𝑥2− 27𝑥 − 9 thành nhân tử

(BT-49d-BTNC-tr15)

Giải: 12𝑥3+ 4𝑥2− 27𝑥 − 9 = (12𝑥3+ 4𝑥2) − (27𝑥 + 9)

= 4𝑥2(3𝑥 + 1) − 9(3𝑥 + 1) = (3𝑥 + 1)(4𝑥2− 9)

= (3𝑥 + 1)[(2𝑥)2− 32] = (3𝑥 + 1)(2𝑥 − 3)(2𝑥 + 3)

Sai lầm của học sinh: Một số học sinh khi phân tích đến (𝟑𝒙 + 𝟏)(𝟒𝒙𝟐− 𝟗) thì

dừng việc phân tích Tuy nhiên, đối với bài tập này nhân tử (𝟒𝒙𝟐− 𝟗) vẫn tiếp

tục phân tích được thành (𝟐𝒙 − 𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟑)

Lưu ý: Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta phải phân tích triệt để

*Ví dụ 4: Phân tích đa thức 𝑥2 − (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 thành nhân tử (BT-c-đề số

4-ĐKTT8-tr31)

Gợi ý:

- Nhận thấy đa thức đã cho không có nhân tử chung, không có hằng đẳng thức,

và với 3 hạng tử thì không thể nhóm được

- Đối với bài toán này, ta tiến hành khai triển (bỏ dấu ngoặc) rồi tìm cách giải thích hợp

- Sau khi khai triển (𝑎 + 𝑏)𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 đa thức đã cho trở thành:

= (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)

Lưu ý: Đôi khi ta phải khai triển (bỏ ngoặc) đề bài đã cho rồi lựa chọn hạng tử thích hợp để nhóm

2.2.2.4 Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp

Phân tích đa thức thành nhân tử ta phải vận dụng linh hoạt các phương pháp và thường phải phối hợp các phương pháp một cách hợp lí

+ Nếu các hạng tử đều có nhân tử chung thì ta áp dụng ngay phương pháp đặt nhân tử chung

+ Dùng hằng đẳng thức nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức nào đó

+ Nếu hai phương pháp trên đều không áp dụng được thì ta mới xét phương pháp nhóm hạng tử

* Ví dụ 2: Phân tích đa thức 5𝑥2− 10𝑥𝑦 + 5𝑦2− 20𝑧2 thành nhân tử

Giải: 𝑎3− 𝑎2𝑥 − 𝑎𝑦 + 𝑥𝑦 = (𝑎3− 𝑎2𝑥) − (𝑎𝑦 − 𝑥𝑦)

= 𝑎2(𝑎 − 𝑥) − 𝑦(𝑎 − 𝑥) = (𝑎 − 𝑥)(𝑎2− 𝑦)

* Ví dụ 4: Phân tích đa thức 𝑥4− 2𝑥2 thành nhân tử (BT-54c-SGK-tr25)

Phân tích đa thức thành nhân tử nếu không áp dụng được các phương pháp: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử thì ta có thể sử dụng một trong hai phương pháp sau:

2.2.3.1 Phương pháp tách hạng tử :

Để phân tích đa thức bậc hai 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 thành nhân tử Nếu không áp dụng được hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu để phân tích thì ta dùng phương pháp tách hạng tử, có nhiều cách để tách hạng tử Ở đây giới thiệu cách tách hạng tử 𝑏𝑥 thành 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥 Sao cho 𝑏1+ 𝑏2 và 𝑏1 𝑏2 = 𝑎 𝑐

* Cách tìm 𝑏1 và 𝑏2

Bước 1: Tìm tích ac

Bước 2: Phân tích tích ac thành tích của hai số nguyên

+Lưu ý sau khi tách hạng tử ta sẽ dùng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích

bước tiếp theo

Lưu ý: Ta có thể tách hạng tử tự do như sau:

* Ví dụ 1: Phân tích đa thức 𝑥4+ 4 thành nhân tử (BT-53a-SGK-tr24)

Giải: 𝑥4 + 4 = (𝑥2)2+ 22

= (𝑥2)2+ 22+ 4𝑥2− 4𝑥2 = [(𝑥2)2+ 4𝑥2+22] − 4𝑥2 = (𝑥2 + 2)2− (2𝑥)2

= (𝑥2 + 2)2+ (2𝑥)2

Đến đây bài toán của chúng ta không tiếp tục được nữa Điều này là không phù hợp

* Ví dụ 2: Phân tích đa thức 4𝑥4+ 𝑦4 thành nhân tử (Ví dụ 6-BTNC-tr18)

Giải: 4𝑥4+ 𝑦4 = (2𝑥2)2+ (𝑦2)2

= (2𝑥2)2+ (𝑦2)2+ 4𝑥2𝑦2 − 4𝑥2𝑦2 = [(2𝑥2)2+ 4𝑥2𝑦2+(𝑦2)2] − 4𝑥2𝑦2 = (2𝑥2+ 𝑦2)2− (2𝑥𝑦)2

= (2𝑥2+ 𝑦2− 2𝑥𝑦)(2𝑥2+ 𝑦2+ 2𝑥𝑦)

2.2.4 Một số kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử

Qua thực tế nghiên cứu và thử nghiệm sáng kiến, bản thân tôi đưa ra một số kinh nghiệm giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử như sau:

- Nếu đa thức đã cho có 2 hạng tử:

Bước 1: Đặt nhân tử chung

Bước 2: Dùng hằng đẳng thức

Hằng đẳng thức nếu có là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, hiệu hai lập phương hoặc tổng hai lập phương

Bước 3: Với đa thức có 2 hạng tử không có nhân tử chung, không có hằng đẳng thức

thì ta áp dụng phương pháp thêm bớt hạng tử (Đa thức 2 hạng tử thì không thể nhóm,

cũng không tách được)

- Nếu đa thức đã cho có 3 hạng tử:

Bước 1: Đặt nhân tử chung

- Nếu đa thức đã cho có 4 hạng tử:

Bước 1: Đặt nhân tử chung

Bước 2: Dùng hằng đẳng thức

Hằng đẳng thức nếu có là hằng đẳng thức lập phương của tổng hoặc lập phương của hiệu

(Dựa vào dấu của các hạng tử để xác định hằng đẳng thức Tất cả các hạng tử cùng dấu thì không thể là lập phương của hiệu, cũng như 2 hạng tử mang dấu

âm, 2 hạng tử mang dấu dương thì không thể là lập phương của tổng)

Bước 3: Với đa thức có 4 hạng tử không có nhân tử chung, không có hằng đẳng thức thì ta có thể áp dụng phương pháp nhóm hạng tử: nhóm 3 hạng tử - 1 hạng tử hoặc nhóm 2 hạng tử - 2 hạng tử

- Nếu đa thức đã cho có 5 hạng tử trở lên:

Bước 1: Đặt nhân tử chung

Bước 2: Với đa thức có 5 hạng tử trở lên sẽ không có hằng đẳng thức nên ta có thể áp dụng phương pháp nhóm hạng tử một cách phù hợp:

(Đa thức có 5 hạng tử có thể nhóm 3 hạng tử - 2 hạng tử hoặc nhóm 4 hạng tử - 1 hạng

tử Đa thức có 6 hạng tử có thể nhóm 3 hạng tử - 3 hạng tử hoặc nhóm 4 hạng tử - 2 hạng tử…)

2.3 Một số dạng toán ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức:

+ Phân tích biểu thức đã cho thành nhân tử

+ Thay giá trị của biến vào biểu thức đã phân tích để tính giá trị

Tại 𝑥 = 6 và 𝑦 = −8 biểu thức có giá trị là: [2.6 − (−8)]3 = 203 = 8000

* Ví dụ 3: Tính nhanh giá trị biểu thức: 𝑥2− 𝑦2− 2𝑦 − 1 tại 𝑥 = 93 và 𝑦 = 6

(BT-56b-SGK-tr25)

Giải: 𝑥2 − 𝑦2− 2𝑦 − 1 = 𝑥2 − (𝑦2+ 2𝑦 + 1)

= 𝑥2−(𝑦 + 1)2 = (𝑥 − 𝑦 − 1)(𝑥 + 𝑦 + 1) Tại 𝑥 = 93 và 𝑦 = 6 biểu thức có giá trị là:

= 5200

* Ví dụ 4: Tính nhanh: 37,5.6,5 − 7,5.3,4 − 6,6.7,5 + 3,5.37,5 (BT-49a-SGK-tr22) Giải: 37,5.6,5 − 7,5.3,4 − 6,6.7,5 + 3,5.37,5

= (37,5.6,5 + 3,5.37,5) − (7,5.3,4 + 6,6.7,5)

Dạng 3: Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước

+ Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái của đẳng thức để vế phải bằng 0

+ Phân tích vế trái thành nhân tử để được đẳng thức dạng: 𝐴 𝐵 = 0 ⇔ [𝐴 = 0

Dạng 4: Các bài toán chia hết

Phân tích các biểu thức đã cho thành nhân tử để xuất hiện số chia và áp dụng tính chất chia hết

Ta thấy 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

* Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 55𝑛+1 − 55𝑛 chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên)

(BT-42-SGK-tr19)

Giải:

55𝑛+1 − 55𝑛 = 55𝑛(55 − 1) = 55𝑛 54 chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên)

* Ví dụ 3: Chứng minh rằng: (5𝑛 + 2)2 − 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n

(BT-52-SGK-tr24)

Giải:

(5𝑛 + 2)2− 4 = (5𝑛 + 2)2 − 22 = (5𝑛 + 2 − 2)(5𝑛 + 2 + 2) = 5𝑛(5𝑛 + 4) chia hết cho 5 với mọi số nguyên n

= 𝑥 − 3

*Kết quả: Qua thời gian giảng dạy và áp dụng sáng kiến trên tại trường Thời gian đầu

các em còn lú ng túng, vâ ̣n du ̣ng chưa thành tha ̣o thì nay có rất nhiều em từ chỗ e nga ̣i đã tự tin, thích thú với dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

- Tinh thần ham học bộ môn nâng cao có 95% các em đều thích học môn Toán học

- Phần lớn các em đã xác định đúng yêu cầu của bài toán, tìm ra được hướng giải và giải đúng kết quả

- Cụ thể: Kết quả sau khi áp dụng sáng kiến như sau:

3 PHẦN KẾT LUẬN

3.1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng sáng kiến:

a Ý nghĩa sáng kiến:

Qua quá trình áp du ̣ng sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh phân tích đa thức

thành nhân tử và một số bài tập ứng dụng nhằm nâng cao chất lượng đại trà” bản

thân rút ra được một số kinh nghiệm như sau:

- Đối với các bài tập phân tích đa thức thành nhân tử, sau khi hướng dẫn xong giáo viên cho học sinh hoạt động theo nhóm để phát huy tính tích cực chủ động của các em

và khả năng cộng tác trong nhóm, thông qua đó kỹ năng giải bài tập được hình thành một cách bền vững

- Hướng dẫn học sinh nghiên cứu kỹ đề bài, tìm mối liên hệ các yếu tố trong bài toán

- Xác định phương hướng giải, xét các trường hợp có thể xảy ra để đi đến lời giải đúng

và hay nhất có thể

- Ngay từ đầu năm học, giáo viên nên thành lập nhó m ho ̣c tâ ̣p bô ̣ môn Toán học để các

em có thể giúp đỡ lẫn nhau và giải đáp những thắc mắc, đồng thời kiến nghị với giáo viên khi gặp những vấn đề khó hiểu

b Phạm vi áp dụng sáng kiến:

“Hướng dẫn học sinh phân tích đa thức thành nhân tử và một số bài tập ứng dụng nhằm nâng cao chất lượng đại trà” áp dụng cho chương trình Toán 8 nói riêng

và chương trình Toán THCS nói chung mà bản thân đang trực tiếp giảng dạy

81 30 12 40,0 13 43,3 5 16,7 0 0

82 27 6 22,2 9 33,4 10 37,0 2 7,4

- Trườ ng: Tiếp tu ̣c bổ sung tăng trưởng cơ sở vâ ̣t chất bô ̣ môn Toán ho ̣c

Trên đây là nội dung sáng kiến mà bản thân đã nghiên cứu và vận dụng trong quá trình giảng dạy bộ môn Toán học 8 Rất mong nhận được sự góp ý, trao đổi của các thầy giáo, cô giáo, các đồng nghiệp để sáng kiến của bản thân được hoàn thiện hơn

và triển khai năm sau có hiệu quả hơn nữa

DANH MỤC CÁC CỤM TỪ, KÝ HIỆU VIẾT TẮT

Thứ tự Các cụm từ viết thường Các cụm từ, ký hiệu

TÀI LIỆU KHAM KHẢO

1 Sách giáo khoa Toán học 8 (Tập 1) - Nhà xuất bản giáo dục

2 Sách bài tập Toán học 8 - Nhà xuất bản giáo dục

3 Sách bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8 - Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam

4 Sách đề kiểm tra Toán 8 – Nhà xuất bản đại học sư phạm

tích đa thức thành nhân tử 2 - 9 2.2.3 Các phương pháp khác để phân tích đa thức

9 Danh mục các cụm từ, ký hiệu viết tắt 21

XẾP LOẠI CỦA HĐKH NHÀ TRƯỜNG

………

………

………

………

………

………

………

………

………

XẾP LOẠI CỦA HĐKH PHÒNG GD & ĐT QUẢNG NINH ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………