Sáng kiến một số biện pháp giúp học sinh lớp 8 học tốt phần phân tích đa thức thành nhân tử tại trường thcs trà mai

Vì vậy, việchọc sinh nắm chắc kiến thức và vận dụng nhuần nhuyễn các phương phápphân tích đa thức thành nhân tử là một yếu tố quan trọng góp phần nâng caochất lượng bộ môn Toán.. Hiểu đư

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

BÁO CÁO SÁNG KIẾN MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 8 HỌC TỐT PHẦN

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

TẠI TRƯỜNG THCS TRÀ MAI

1 Mô tả bản chất của sáng kiến:

Phân tích đa thức thành nhân tử có ý nghĩa quan trọng trong phần Đại sốcủa môn toán ở chương trình Trung học cơ sở Phân tích đa thức thành nhân

tử có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải các bài tậptrong chương trình đại số lớp 8 cũng như ở các khối lớp khác Vì vậy, việchọc sinh nắm chắc kiến thức và vận dụng nhuần nhuyễn các phương phápphân tích đa thức thành nhân tử là một yếu tố quan trọng góp phần nâng caochất lượng bộ môn Toán

Hiểu được điều này, trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 8 tôi đã dàycông tìm tòi, nghiên cứu để tìm ra các phương pháp phân tích đa thức thànhnhân tử một cách đa dạng và dễ hiểu, kết hợp với việc lồng ghép các trò chơi

để tạo thêm hứng thú cho học sinh khi học dạng toán này Góp phần giúp họcsinh học tốt môn Toán cũng như giúp các em hình thành và phát triển cácphẩm chất, năng lực cần thiết của người học, giúp các em phát triển năng lực

tư duy sáng tạo, vận dụng kiến thức vào giải quyết vấn đề, các bài tập cụthể…

Tuy trong sách giáo khoa trình bày khá đầy đủ nhưng trong quá trình dạyhọc tôi nhận thấy các em chưa biết sắp xếp các kiến thức logic khoa học,nhiều em còn lúng túng khi vận dụng kiến thức vào giải các bài tập liên quan,các em chưa phân loại, nắm vững các dạng và các phương pháp giải bài tập

về phân tích đa thức thành nhân tử Mặt khác, trong sách giáo khoa chỉ trình

bày bốn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là: Phương pháp đặtnhân tử chung, phương pháp nhóm các hạng tử, phương pháp dùng hằng đẳngthức và phối hợp nhiều phương pháp Như vậy vẫn chưa bao quát hết cácdạng của bài toán này như một số dạng: Phân tích đa thức thành nhân tử bằngphương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, phương pháp thêm, bớtcùng một hạng tử, phương pháp đặt biến phụ Đồng thời vận dụng các phươngpháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm một số dạng bài tập có liên quannhư: Rút gọn phân thức đại số, tìm x, tính nhanh giá trị của biểu thức,

Từ thực tiễn dạy học đó, trong năm học 2021 – 2022 tôi đã thực hiện đề

tài sáng kiến: “Một số biện pháp giúp học sinh lớp 8 học tốt phần phân tích đa thức thành nhân tử tại trường THCS Trà Mai” Qua đề tài cung

cấp cho các em đầy đủ các dạng về bài toán phân tích đa thức thành nhân tử,đồng thời giới thiệu đến các em các phương pháp giải phù hợp và hiệu quả, từ

đó góp phần nâng cao chất lượng học tập bộ môn Toán lớp 8 tại trườngTrường THCS Trà Mai

1.1 Các giải pháp, các bước và cách thức thực hiện:

1.1.1 Xây dựng các dạng toán và phương pháp giải các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử:

Qua quá trình dạy học phần phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8, tôi đãxây dựng được các dạng bài toán và phương pháp giải sau:

1.1.1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung:

- Phương pháp chung:

+ Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số)

+ Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy với số mũ nhỏnhất )

Khi đó, nhân tử chung của đa thức là tích của nhân tử chung bằng số vànhân tử chung của các biến

Nhằm đưa về dạng: A.B + C.B - B.Q = B.(A + C-Q)

Mấu chốt của vấn đề là làm thế nào để đưa được biểu thức đã cho vềdạng tích của nhiều đa thức Bởi nhiều bạn mới học, cũng bảo đặt nhân tửchung nhưng khi xem kết quả thì chưa tồn tại dạng tích mà vẫn ở dạng tổng.

- Ví dụ minh hoạ:

Phân tích đa thức 3(x – y) – 5x(y – x) thành nhân tử

Giáo viên gợi ý:

+ Tìm nhân tử chung của các hệ số 3 và 5 ? (Học sinh trả lời là: 1 vìƯCLN(3;5)= 1)

+ Tìm nhân tử chung của (x – y) và y(y – x) ? (Học sinh trả lời là: khôngcó)

+ Sau đó giáo viên hướng dẫn thực hiện đổi dấu tích 3(x – y) hoặc tích –5x(y – x) để có nhân tử chung (x – y) hoặc (y – x)

Cách 1: Nếu đổi dấu tích –5x(y – x)= 5x(x – y) thì nhân tử chung của

biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơngiản.

Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?

(Học sinh trả lời có dạng: A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 với A = x, B= 2)Giải:

x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

b) 1 – x3

Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?

(Học sinh trả lời có dạng: A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2))với A=1,B=x)

Giải:

1 – x3 = (1 – x)(1 + x 1 + x2) = (1 – x)(1 + x + x2)

Lưu ý: Giáo viên cần rèn cho học sinh kỹ năng vận dụng các hằng đẳngthức đáng nhớ, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán, dựa vào các

hạng tử, số mũ của các hạng tử (Ở các bài về những hằng đẳng thức đángnhớ) để học sinh sử dụng hằng đẳng thức cho thích hợp ở dạng này.

1.1.1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:

- Phương pháp chung:

Dùng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức để kếphợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng cácphương pháp khác phân tích nhân tử theo từng nhóm rồi phân tích chung đốivới các nhóm Thường sau khi nhóm chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặtnhân tử chung hoặc dùng hằng đắng thức để làm tiếp

Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:

+ Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán.+ Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:

Mỗi nhóm đều phân tích được

Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trìnhphân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa

- Ví dụ minh hoạ:

+ Nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung:

Ví dụ: Phân tích đa thức x2 – 3x + xy – 3y thành nhân tử

Gợi ý: Các hạng tử có nhân tử chung không?

Làm thế nào để xuất hiện nhân tử chung?

(Học sinh trả lời: nhóm (x2 – 3x) và (xy – 3y))

Ví dụ: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử

Gợi ý: x2 – 2x + 1 có dạng hằng đẳng thức nào? (Học sinh: A2–2AB+B2=(A–B)2)

Giải:

x2 – 2x +1– 4y2 = (x2 – 2x +1) – (2y)2

= (x – 1)2 – (2y)2

+ Nhóm để sử dụng hai phương pháp trên:

Ví dụ: Phân tích đa thức x2 + 2xy + y2 + 4x + 4y thành nhân tử

Gợi ý: Có thể nhóm ba hạng tử đầu thành một nhóm, hai hạng tử sauthành một nhóm

1.1.1.4 Phối hợp nhiều phương pháp:

- Phương pháp chung:

Phối hợp nhiều phương pháp là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa cácphương pháp nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức Vì vậy,học sinh cần nhận xét bài toán một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử

Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x2- 7xy+ 5y2Gợi ý: Có thể tách -7xy thành -2xy- 5xy, sau đó nhóm hai hạng tử đầuthành một nhóm, hai hạng tử sau thành một nhóm.

Giải:

2x2- 7xy+ 5y2= 2x2- 2xy- 5xy+5y2= (2x2- 2xy)- (5xy-5y2)

= 2x(x- y)- 5y(x- y)= (x- y)(2x- 5y)

1.1.1.6 Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử:

Ta có thể thêm hoặc bớt 1 hạng tử nào đó của đa thức để làm xuất hiệnnhững nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tíchđược

Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 4

Gợi ý: Có thể thêm bớt 4x2 để phân tích tiếp

Đặt y= x2+ 2x+ 8 Khi đó, (x2+ 2x+ 8)2+ 3x(x2+ 2x+ 8)+ 2x2

=y2+ 3xy+ 2x2= y2+ xy+ 2xy+ 2x2 = (y2+ xy)+ (2xy+ 2x2)

= y(x+ y)+ 2x(x+ y)= (x+ y)(2x+ y)

Để học sinh nắm vững các phương pháp phân tích một cách tổng quátgiáo viên yêu cầu học sinh làm việc theo nhóm (từ 4 đến 6 học sinh) tóm tắtlại các phương pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử dưới dạng sơ

đồ tư duy và cho học sinh trình bày lại

Học sinh hoạt động nhóm vẽ sơ đồ tư duy

1.1.2 Sử dụng các bài tập phù hợp với năng lực, mức độ nhận thức của học sinh khi dạy học:

Trong thực tế giảng dạy môn toán, mức độ tiếp nhận kiến thức của họcsinh không đồng đều, có học sinh tiếp thu kiến thức rất nhanh, ngược lại cũng

có những học sinh tiếp thu rất chậm Do đó, để học sinh nắm bắt và tiếp thukiến thức dễ dàng giáo viên nên sắp xếp các bài toán theo các mức độ khácnhau Đồng thời, hình thành những dạng toán cơ bản thường gặp để học sinh

có thể dễ dàng trong việc học tập và giúp các em tiếp thu kiến thức nhanhhơn

1.1.2.1 Đối với học sinh yếu, kém:

Có thể cho học sinh làm những bài toán có vận dụng phương pháp đặtnhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức, phương pháp nhóm hạng

tử ở mức độ đơn giản học sinh có thể nhận dạng ngay phương pháp cần ápdụng

Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

(Học sinh dễ dàng thấy được hai hạng tử đầu x2 – xy có nhân tử chung

là x, hai hạng tử cuối 2x – 2y có nhân tử chung là 2 thì lập tức nhóm hạng tử)

1.1.2.2 Đối với học sinh trung bình:

Có thể cho học sinh làm những bài tập có vận dụng phương pháp đặtnhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức, phương pháp nhóm hạng

tử ở mức độ cao hơn Đồng thời, vận dụng phối hợp các phương pháp nêutrên

Ví dụ minh họa: (Bài tập 48a – Sgk trang 22, Toán 8 tập 1)

Phân tích đa thức đa thức x2 + 4x – y2 + 4 thành nhân tử

Gợi ý: Có thể nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức, sau đó tiếp tụcvận dụng hằng đẳng thức

Giải:

x2 + 4x – y2 + 4 = (x2 + 4x + 4) – y2

= (x + 2)2 – y2 = (x + 2 – y)(x + 2 + y)

1.1.2.3 Đối với học sinh khá, giỏi:

Ngoài việc vận dụng các phương pháp trên ở mức độ bình thường cònphải vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng dạng toán như: Tínhnhanh giá trị của biểu thức, các bài toán tìm x, rút gọn phân thức đại số, giảiphương trình tích…

- Dạng tính nhanh giá trị của biểu thức:

Ví dụ minh họa: (?2a – trang 23 sgk Toán 8 tập 1)

Tính nhanh giá trị của các biểu thức P = x2+2x +1 – y2 tại x = 94,5 và y

P = (94,5 + 1 – 4,5) (94,5 + 1 + 4,5) = 91.100 = 9100

- Dạng toán tìm x (dạng phương trình đưa được về phương trình tích):

Ví dụ: (Bài 50a – trang 23 sgk Toán 8 tập 1) Tìm x biết: x(x – 2) + x – 2

- Dạng toán rút gọn phân thức đại số:

Ví dụ: (Bài 12a – trang 40 sgk Toán 8 tập 1)

Rút gọn phân thức

Gợi ý: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử.

Giải

Bên cạnh đó, đối với học sinh khá, giỏi giáo viên còn giới thiệu cho họcsinh các bài toán vận dụng các phương pháp phân tích nâng cao: Phương pháptách hạng tử, phương pháp thêm bớt hạng tử và đặt biến phụ

Để thực hiện biện pháp này, thông thường giáo viên chia nhóm học sinh

và tổ chức trò chơi theo gói câu hỏi trong đó phân loại mức độ dễ, trung bình,khá, giỏi để học sinh lựa chọn

Học sinh tham gia trò chơi “ Đường lên đỉnh Olympia”

1.1.3 Giúp học sinh sửa chữa những sai lầm khi giải bài toán

Trong tính toán, do chưa nắm rõ các phương pháp phân tích nên học sinhthường nhầm lẫn Từ đó, dẫn đến kết quả tính toán sai mà không phát hiện ra

Vì vậy, giáo viên cần chỉ ra những sai lầm để học sinh sữa chữa và rút kinh nghiệm

Ví dụ 1: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử

Lời giải sai:

9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai )

= (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên)

= (x – y)(19x – 10y) (kết quả sai )

Sai lầm của học sinh ở đây là:

Thực hiện đổi dấu sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y) 2

Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ

số và nhân tử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất)

Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích

Ví dụ 2: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử

Lời giải sai:

x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai)

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên)

= (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả dấu sai)

Sai lầm của học sinh là: Nhóm và đặt dấu sai ở ngoặc thứ hai

Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:

Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinhcần chú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm

Ví dụ 3: Phân tích đa thức x2 – 4y2 thành nhân tử

Lời giải sai: x2 – 4y2 = (x + 4y)(x – 4y) (kết quả sai)

Sai lầm của học sinh là: dùng hằng đẳng thức A2 – B2 mà không đưa vềđúng dạng Chưa phân tích 4y2 về dạng bình phương của một biểu thức

Lời giải đúng: x2 – 4y2 = x2 – (2y)2 = (x + 2y)(x – 2y)

Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Khi vận dụng các hằngđẳng thức A2 – B2 , A3 – B3 , A3 – B3… cần phân tích đưa các hạng tử về đúngdạng.

Ví dụ 4: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử (BT- 28a –trang 6 – SBT – Toán 8 tập I)

Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? (HS: có dạng A2 –

B2)

Lời giải sai:

(x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc) = 0.(2x) = 0 (kết quả sai)

Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc dẫn đến kếtquả sai

= (x – y)x (kết quả sai vì bỏ sót số 1)

Sai lầm của học sinh là: bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung

(HS cho rằng ở ngoặc thứ hai khi đặt nhân tử chung (x – y) thì hết, cónghĩa là còn lại là số 0)

Giáo viên nên hướng dẫn học sinh ở trường hợp này nên phân tích (x –y) = 1.(x – y) thì khi đặt nhân tử chung x – y thì học sinh vẫn còn nhìn thấy sốcòn lại là 1

Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)

= x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1)

Ví dụ 6: Khi phân tích đa thức 3(x – y) – 5x(x – y) thành nhân tử họcsinh làm như sau: 3(x – y) – 5x(x – y) = (x – y) + (3 – 5x)

Sai lầm của học sinh ở đây là chưa biết phân tích đa thức thành nhân tử

là biến đổi đa thức đã cho thành tích của những đa thức Khi đặt nhân tửchung xong các em không biết dùng phép tính gì nên đặt đại dấu “+” hoặcdấu “–”

Vì vậy, giáo viên cần lưu ý cho học sinh khi đặt nhân tử chung thì phéptính tiếp theo là phép nhân

Lời giải đúng: 3(x – y) – 5x(x – y) = (x – y).(3 – 5x)

Để thực hiện biện pháp này, giáo viên chia nhóm học sinh và tổ chức tròchơi, trong đó giáo viên đưa ra lời giải sai và yêu cầu học sinh phát hiện điểmsai lầm trong lời giải đó

Học sinh tham gia trò chơi “ Ai nhanh hơn”

1.2 Phân tích tình trạng của giải pháp đã biết:

Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiếnthức và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trongthực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xãhội phát triển

Môn Toán ở trường Trung học cơ sở góp phần hình thành và phát triểncác phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh;phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trảinghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởngtoán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các môn học và hoạtđộng giáo dục khác, đặc biệt với các môn Vật lí, Hoá học, Sinh học, Côngnghệ, Tin học để thực hiện giáo dục STEM.

Nội dung môn Toán thường mang tính logic, trừu tượng, khái quát Do

đó, để hiểu và học được Toán, chương trình Toán ở trường phổ thông cần bảođảm sự cân đối giữa “học” kiến thức và “vận dụng” kiến thức vào giải quyếtvấn đề cụ thể

Trong quá trình học và áp dụng Toán học, học sinh luôn có cơ hội sửdụng các phương tiện công nghệ, thiết bị dạy học hiện đại, đặc biệt là máytính điện tử và máy tính cầm tay hỗ trợ quá trình biểu diễn, tìm tòi, khám phákiến thức, giải quyết vấn đề toán học

Từ thực tiễn dạy học tại trường THCS Trà Mai tôi nhận thấy:

- Mức độ nhận thức của học sinh trong các lớp giảng dạy không đồngđều nên nhiều học sinh có lực học yếu không tiếp thu kịp với nhóm khá, giỏi

- Học sinh còn yếu trong tính toán, kĩ năng biến đổi, vận dụng kiến thứcgiải toán còn chậm, chưa chắc chắn trong giải bài tập

- Các em còn lúng túng, chưa tìm được hướng giải quyết thích hợp,không biết áp dụng phương pháp nào phù hợp với các dạng toán nào để giải

Do đó, dẫn đến việc vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân