chuyên đề là tập bất đẳng thức cực hay dành cho ôn tập học sinh giỏi ôn th vào cấp 3 và ôn thi đại học. Chuyên đề gồm 2 phần. Phần 1 giới thiệu nhưng bất đẳng thức cơ bản thường gặp và cách giải dễ hiểu ngắn gọn cho học sinh và giáo viên tham khảo. Phần 2 dành cho các bạn tự luyện làm tốt hơn.
Trang 1Chuyên đề b ất đẳng thức
Bµi 1
Chøng minh a b c
ab
c ca
b bc
a
+ +
≥ + + 3 3
3
; víi a, b, c d¬ng
Gi¶i:
Theo cauchy:
a4 + b4 ≥ 2a2b2
⇒ a4 + b4 + c4 ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2
Ta có
a2b2 + b2c2 ≥ 2ab2c
⇒ a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc(a + b + c)
a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c) , chia abc
ab
c ca
b bc
a
+ +
≥ +
+ 3 3
3
Bµi 2
Chøng minh:
) )(
(a b a c
a
a
+ +
+ + b+ (b+b a)(b+c) + c+ (c+c b)(c+a) ≤ 1 Víi a, b, c > 0
Gi¶i:
bunhiacopxki
ac ab
c a b
a + )( + ) ≥ +
(
⇒(a+b)(a+c)-( ac + ab) 2 = (a− bc) 2 ≥ 0
c b a
a ac
ab a
a c
a b a a
a
+ +
= +
+
≤ + +
+ ( )( )
Trang 2Cộng ba vế lại có (đpcm)
Bài 3
Cho a, b, c là ba số dơng và a1+b1+c1= a + b + c
Chứng minh:
a + b + c ≥ 3abc
Giải:
Từ
c b
a
1 1
1
+ + = a + b + c
⇔ ab + bc + ca = abc(a+b+c)
Theo Cụ si
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
⇔ a2 + b2 + c2+ 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab + bc + ca)
(a+b+c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) = 3abc(a+b+c)
⇔ a + b + c ≥ 3abc
Bài 4
Chứng minh bất đẳng thức: 1
1
1 1
1 1
1
≥ +
+ +
+
ab
với a, b, c là các số dơng và a2 + b2 + c2 = 6
Giải:
Sử dụng
z y x z
y
x + + ≥ + +
9 1
1 1
+
+ +
+
1 1
1 1
1
ca bc
9 + + +bc ca
ab
Ta cú
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca dấu bằng khi a = b = c
⇒
3
9 3
9
2 2
2 + + +
≥ + +
khi a = b = c = 2
Trang 3Bµi 5
Gäi a, b, c lµ ba c¹nh tam gi¸c Chøng minh
a3 + b3 + 3abc > c3
Gi¶i:
Ta có
a+b> c vµ a2 - ab + b2 > 0,
a3 + b3 + 3abc = (a+b)(a2-ab+b2) + 3abc
> c(a2-ab+b2) + 3abc = c(a+b)2 > c3
Bµi 6
Cho a, b, c lµ ba sè d¬ng vµ cã tæng b»ng 3 Chøng minh a + b + c ≥ ab + bc + ca
Gi¶i:
Ta có a+b+c=9
a2 +b2+c2 +2(ab+bc+ca) = 9
⇒ ab+bc+ca = 9−a2 −2b2 −c2
Thay vµo ta cÇn chøng minh:
a2 +b2+c2 + 2( a + b + c )≥ 9
a2 + 2 a= a2 + a + a≥ 33 a a a2 = 3a
Céng c¸c vÕ ta cã (®pcm)
Bµi 7
Cho a, b lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n a2 + b3 ≥ a3 + b4 Chøng minh:
a3 + b3 ≤ 2
Gi¶i:
C¸ch 1:
Tríc hÕt chøng minh a + b2 ≥ a2 + b3
Gi¶ sö a + b2 < a2 + b3
⇒ 2(a2 + b3) > a + b2+ a3 + b4 ≥ 2(a2 + b3) v« lý
a + b2 ≥ a2 + b3≥ a3 + b4
Trang 4⇒ 2(a + b2) ≥ a2 + b3 + a3 + b4
(1+a2 ) + (1+b4) ≥ 2(a + b2) ≥ a2 + b3 + a3 + b4
⇒ a3 + b3 ≤ 2
Cách 2:
Bằng phơng pháp phản chứng Giả sử a3 + b3 > 2 Chứng minh:
a2 + b3 < a3 + b4
3 3 2
2
2 2
b a b
⇒ a2 + b2 ≤ 3 2 (a3 +b3 ) 2 < 3 (a3 +b3)2(a3 +b3) =a3+b3
a2 - a3 < b3- b2 , nhng 0 ≤ b2(b - 1)2
⇒ b3 - b2 ≤ b4 - b3
⇒ a2- a3 < b4 - b3
⇒ a2 + b3 < a3 + b4
Bài 8
Cho a, b, c là các số thực đặt
M = a + b + c + 2 a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca
Chứng minh M ≥ max{3a, 3b, 3c} và một trong 3 số:
M − 3 a ; M − 3 b ; M − 3 c
bằng tổng hai số kia
Giải:
3(b - c)2 ≥ 0
⇒ 4b2 + 4c2 - 4bc ≥ b2 + c2 + 2bc
⇒ 4(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) ≥ (2a - b - c)2
⇒2 a2 +b2 +c2 −ab−bc−ca ≥ 2a - b – c
⇒ cộng hai vế với a + b + c
Tơng tự M ≥ 3b, M ≥ 3c
⇒ M ≥ max{3a, 3b, 3c}
Trang 5đặt x = M 3− a ,
y = M 3− b ,
z = M 3− c
⇒ a=
3
2
x
M −
,b=
3
2
y
c=
3
2
z
M −
⇔ x2 + y2 + z2 =6 2 2 ( ) 2
2
1 ) ( 2
1 ) ( 2
1
a c c
b b
a− + − + −
x2 + y2 + z2=2 x4 + y4 + z4 − x2y2 − y2z2 − z2x2
x4+y4+z4 - 2x2y2- 2y2z2 – 2z2x2 = 0
(x2+y2)2 - 2z2(x2+y2) + z4 - 4x2y2 = 0
(x + y + z)(x + y - z)(x + z - y)(y + z - x) = 0
Bài 9
Cho 4 số thực a, b, c, d và a2 + b2 ≤ 1
Chứng minh:
(ac + bd - 1)2 ≥ (a2 + b2 - 1)( c2 + d2 - 1)
Giải:
Nếu c2 + d2 ≥ 1 bất đẳng thức đúng
Chúng ta chứng minh c2 + d 2 < 1,
đặt x = 1- a2 - b2
và y = 1- c2 - d 2
0 ≤ x, y ≤ 1
Bđt ⇔ (2 - 2ac - 2bd)2 ≥ 4xy
Trang 6⇔ ((a-c)2+(b-d)2+x+y)2≥ 4xy
((a-c)2+(b-d)2+x+y)2 ≥ (x + y)2 ≥ 4xy
Trang 7* Tự luyện:
Câu 1:
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=1 Chứng minh rằng:
ab + bc + ca ≥ 4(a2b2 + b2c2+ c2a2) + 5abc
Câu 2 :
Cho bốn số nguyên dương bất kì a b c d, , ,
Chứng minh rằng số
A
a b c a b d b c d a c d
không phải là một số nguyên
Câu 3:
Chứng minh rằng:
0 ,
, 2
1 1
1
2 2
+
+ +
+
c b
a ab
c ac b
bc
a
Câu 4:
Cho a, b, c là các số thực dương
Chứng minh rằng:
2
Câu 5:
Cho các số dương x, y, z Chứng minh bất đẳng thức:
Trang 8Câu 6:
Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn:
a2 + b2 + c2 = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P = ab2 + bc2 + ca2 – abc
Câu 7:
Cho x2 +y2 +z2 =1 CM:
xyz +2(1+x+y+z+xy+yz+zx) >0
Caau8:
Cho tØ lÖ thøc b a = d c Chøng minh rằng:
2 2
2 2
d c
b a cd
ab
−
−
= 2 2
2 2 2
d c
b a d
c
b a
+
+
=
+ +
Câu 9
Cho
z y x
t y
x t
z x
t z
y t
z y
x
+ +
= +
+
= + +
= +
+
chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn
P x z t y t y x z x z y t y t x z
+
+ + +
+ + +
+ + + +
=
Trang 9Cho
d
c b
a
= Chøng minh r»ng: 2
2
) (
) (
d c
b a cd
ab
+
+
=
Câu11
BiÕt
c
bx ay b
az cx a
cy
Chøng minh r»ng: a x = b y = c z
Câu12
Cho z, y, z lµ c¸c sè d¬ng
Chøng minh r»ng:
4
3 2
2
+ +
+ + +
+ +
z x
z y
y z
y x
x
Câu 13:
Chøng minh r»ng:
NÕu
c b a
z c
b a
y c
b a
x
+
−
=
− +
= +
Th×
z y x
c z
y x
b z
y x
a
+
−
=
− +
= +
Câu 14:
Cho:
d
c c
b b
a
=
Chøng minh:
d
a d
c b
c b a
=
+ +
+
Trang 10
c = b
chứng minh rằng:
a) a22 c22 a
+ =
+
b) b22 a22 b a
+