Chuyên đề bất đẳng thức hay

Chuyên đề: Sử dụng phương pháp tiếp tuyến chứng minh Bất đẳng thức Hiện nay, dễ thấy trong các đề thi cao đẳng, đại học, đề thi học sinh giỏi các cấp thì Bất đẳng thức BĐT là một câu h

Chuyên đề: Sử dụng phương pháp tiếp tuyến

chứng minh Bất đẳng thức

Hiện nay, dễ thấy trong các đề thi cao đẳng, đại học, đề thi học sinh giỏi các cấp

thì Bất đẳng thức (BĐT) là một câu hỏi khó Hầu như các bạn học sinh đều bỏ qua hoặc

làm không trọn vẹn câu này Một phần vì cách học chưa đúng, phần khác vì BĐT là một

chủ đề khó, rất nhiều dạng và phương pháp giải làm các bạn lúng túng không biết sử

dụng phương pháp nào Sau đây tôi xin trình bày phương pháp tiếp tuyến để chứng minh

Bất đẳng thức Nếu biết nhận dạng và vận dụng linh hoạt các phương pháp thì tôi tin

rằng các bạn sẽ thành công ở phương pháp này Tuy nhiên, do trình độ hạn chế nên còn

nhiều thiếu sót mong nhận được ý kiến từ các thầy (cô) và các bạn để chuyên đề được

hoàn thiện

I.Đặc điểm nhận dạng và phương pháp chứng minh

a/Đặc điểm nhận dạng:

+BĐT đạt cực trị tại tâm đối xứng mà ta đã biết điểm rơi

(Cực trị tại tâm đối xứng là BĐT đạt dấu ”=” khi các biến bằng nhau và bằng điểm rơi

Điểm rơi của BĐT tức là giá trị của các biến làm cho dấu “=” xảy ra)

+Qua việc chuẩn hóa hoặc điều kiện của đề bài sẵn có dạng ∑ ∑

∑ (k là hằng số) Trong phần dưới chỉ trình bày điều kiện ∑ vì đây là

đặc điểm thường gặp và vì 2 điều kiện còn lại cũng làm tương tự

(Với những BĐT đồng bậc hay thuần nhất bằng cách dùng phương pháp hệ số bất định

ta chuẩn hóa được điều kiện có dạng như trên)

+Qua một số bước biến đổi hoặc BĐT sẵn có dạng ∑ ( ) ∑ ( )

b/Phương pháp:

-Bằng cách xét hàm số đặc trưng f(x) và đã biết điểm rơi, ta viết phương trình tiếp

tuyến của đồ thị hàm f(x) tại điểm M( ( ))

+Phương trình tiếp tiếp có dạng ( )( ) ( )

-Bước tiếp theo ta chứng minh ( ) ( ) ( ) tùy theo đề bài

Ở bước này ta thường dùng phương pháp biến đổi tương đương

*Chú ý:

+Phương pháp tiếp tuyến không phải là hiệu quả nhất đối với các bài BĐT Vì

vậy nếu BĐT đề bài thõa cả 3 điều kiện trên nhưng f(a) có dạng “rất” phức tạp thì

ta có thể chọn phương pháp khác

+Bước quan trọng của phương pháp này là chứng minh ( )

( ) ( ) Nếu làm đúng ta dễ dàng thấy biểu thức sau khi biến đổi có

a/Các vd minh họa

Vd1: Cho a,b,c,d là các số thực không âm và a+b+c+d=1

CMR: ∑ ∑

*Nhận xét: BĐT đề bài tương đương ∑( ) ∑ ( )

Dấu “=” xảy ra khi

Rõ ràng từ điều kiện và biến đổi ta thấy có thể sử dụng phương pháp tiếp tuyến Ta xét ( ) ( )

Tính ( ) ( ) ( )

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm f(x) tại điểm ( ) là ( ) ( ) ( )

Xét hiệu ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Hay ( )

*Từ các nhận xét trên ta đi đến lời giải như sau: BĐT đề bài ∑( )

Vì a,b,c,d > 0 và a+b+c+d=1 => a,b,c,d ( )

Ta có: ( )

( ) ( ) ( )

Hay ( )

Tương tự ta được:

Cộng vế theo vế các BĐT ta được ∑( ) ( ) (đpcm)

Vd2: Giả sử a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1

CMR: ∑

*Nhận xét: Dấu “=” xảy ra khi

Xét hàm số ( ) ( )

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm f(x) tại điểm (

) là

Xét hiệu ( ) ( ) ( ( )) ( )

*Lời giải: Do a,b,c >0 và a+b+c=1 ( )

Tacó

( ) ( ) ( ) ( )

( ) Tương tự ta có:

Vậy ∑

( )

Qua vd trên ta đã thấy được hiệu quả của phương pháp này Tuy nhiên không phải bài BĐT nào ta cũng có thể sớm nhận dạng và áp dụng được phương pháp này Có những bài toán cần một số bước biến đổi cơ bản hoặc áp dụng cái BĐT khác thì ta mới chuyển BĐT đề bài trở về dạng chúng ta mong muốn Mới bạn đọc cùng đến với những ví dụ còn lại để thấy được những phương pháp thường được kết hợp với phương pháp tiếp tuyến

Vd3: Cho 2 số thực dương x,y sao cho x+y=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ∑

√

*Nhận xét: Ta thấy ở mỗi biểu thức con của P chứa cả 2 biến x và y Điều ta cần

làm là đưa mỗi biểu thức con của P về 1 biến duy nhất, việc này rất dễ dàng với điều kiện đã cho

Ta có: ∑

√ ( ) ∑√

P đạt GLNN khi

Xét hàm sốf(t) =

√ ( ) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm f(t) tại điểm ( √ ) là: √ √

Giả sử:

( ) [ ( )] ( ) ( ) ( )

*Lời giải:

Ta có: ∑

√ ( ) ∑√

Vì x,y>0 và x+y=1 nên ( )

Ta chứng minh BĐT sau:

√

√ √ ( ) Thật vậy BĐT trên tương đương

( ) ( ) ( )

Tương tự ta cũng có:

√

√ √ ( ) √ ( ) √ √

Dấu bằng có khi Vậy Min P = √

Bài toán trên cũng có thể giải bằng BĐT B.C.S tuy nhiên nó đòi hỏi người làm phải có mức hiểu “kĩ” về BĐT B.C.S Một lần nữa nhìn lại bài toán ta thấy việc biến đổi các biểu thức con của P theo một biến như trên đã làm tăng độ phức tạp của căn thức ở mẫu Mời bạn đọc cũng giải bằng phương pháp tiếp tuyến nhưng biến đổi theo cách:

∑

√ ∑

√

Tiếp theo ta đi đến vd mới bằng cách kết hợp phương pháp chuẩn hóa

Vd4: Cho a,b,c là các số thực dương

CMR: ∑ ( )

( )

*Nhận xét: Do BĐT trên thuần nhất nên ta chuẩn hóa a+b+c=3

Khi đó ta cần chứng minh ∑

Dấu “=” của BĐT trên xảy ra khi a=b=c=1

Xét hàm số ( ) ( )

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm f(x) tại điểm ( ) là

Xét hiệu: ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

*Lời giải: Không mất tính tổng quát ta giả sử a+b+c=3 ( )

Khi đó ta cần chứng minh ∑

Ta có:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) Tương tự cũng có:

Vậy: ∑

( ) (đpcm)

Qua vd trên ta đã thấy một kĩ thuật nhỏ ngay từ lúc vào bài giải là chuẩn hóa

Chỉ khi chuẩn hóa ta mới biểu diễn được từng biểu thức theo một biến nhất định

Vd5: Cho a,b,c là các số thực không âm thõa mãn a+b+c=3

CMR: ∑√ ( ) √

*Nhận xét: Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1 BĐT cần chứng minh được viết lại: ∑ √

Lại có đánh giá sau ∑ √

√ ∑√ √ ∑√

Vậy ta phải chứng minh ∑ √ √ Phương trình tiếp tuyến của hàm ( ) √ tại điểm ( √ ) là √

Giả sử ( ) ( ) ( ) ( )

*Lời giải: Vì a,b,c > 0 và a+b+c=3 => ( )

BĐT cần chứng minh được viết lại: ∑ √

Ta có: ∑ √

√ ∑√ √ ∑√

Vậy ta phải chứng minh ∑ √ √ Đầu tiên ta chứng minh: √ √ ( ) ( ) ( )

Tương tự ta có: √ √ √ √ ∑ √ √

√

(đpcm)

Không phải lúc nào biểu thức biến đổi tương đương cuối cùng ta cũng dễ nhận ra nó âm hoặc dương với điều kiện ( ) Mời bạn đọc đến với ví dụ sau

Vd6: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

CMR:

*Nhận xét: BĐT đã cho là thuần nhất vậy nên ta có thể chuẩn hóa a+b+c=1

Dấu “=” xảy ra khi

Khi đó ta cần chứng minh ∑( ) ∑

Phương trình tiếp tuyến của hàm ( ) tại điểm ( ) là

Xét hiệu ( ) ( ) ( )( )

Đến đây ta chưa khẳng định được hiệu trên âm hay dương Với điều kiện chuẩn

hóa thì ta xét ( ) điều kiện này đúng là làm cho mẫu số dương nhưng còn

biểu thức (2x-1)??? Ta lại đặt ra dấu chấm hỏi ở đây Có thể một số bạn đọc suy

nghĩ ta sẽ xét trên 2 khoảng ( ) * ) Việc này có thể rất khó thực hiện

hoặc không thực hiện được Vậy chăng nên bỏ cuộc, lựa chọn phương pháp khác

trong khi ta đã mất nhiều thời gian để tính được hiệu số trên? Nếu chịu đọc kĩ đề

ta sẽ thấy còn một dữ kiện nữa đó là “a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác”

Nghĩ ngay đến BĐT trong tam giác ta có: 1=a+b+c > 2a (do b+c>a) =>

Tương tự cũng có b,c < Nên ta chỉ xét hàm số trên trong khoảng ( )

*Lời giải: Không mất tính tổng quát giả sử a+b+c=1

Khi đó ta cần chứng minh ∑( ) ∑

Xét hiệu:

( ) ( ) ( )

( )

Ta có: 1= a+b+c > 2a (do b+c>a) =>a< Tương tự cũng có b,c <

=> ( )

Do đó ( ) ( )

( ) ( ) hay ( ) ( )

Tương tự với b,c rồi cộng 3 BĐT vế theo vế

Vd7: Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa

CMR: ∑

*Nhận xét: Rõ ràng ở mỗi biểu thức trong BĐT trên đều có 2 biến Vì vậy ta tìm cách dồn về một biến để sử dụng phương pháp tiếp tuyến

Ta có: ∑

∑

∑ ∑( ) ( )

Mà ∑( ) ( ) ∑ ( ) ∑

Tóm lại ta có: ∑

∑

Ta phải chứng minh ∑

Đổi biến ( ) ( )

Bài toán trở thành Cho x,y,z > 0 và x+y+z=3

√

*Lời giải cho bài toán nhỏ:

Do x,y,z > 0 và x+y+z=3 => ( ) √ √ √ √ )

Ta cần chứng minh ( ) ( ) ( )

Trong đó hàm đặc trưng ( ) √ ( )

Phương trình tiếp tuyến của hàm ( ) √ tại điểm ( )là

Giả sử ( ) ( ) (√ ) ( √ ) đúng √ ( √ ) ( )

( ) ( ) ( )

(đpcm) Bài toán trên đã sử dụng tổng hợp 4 phương pháp là: BĐT cô-si, BĐT schwarz, đổi biến, phương pháp tiếp tuyến

b/Bài tập vận dụng

Câu 1: (BĐT Nesbit): Cho a,b,c là các số thực dương

CMR: ∑

HD: Chuẩn hóa a+b+c=3

Câu 2: Cho a,b,c > 0 và a+b+c =3

CMR: √ √ √

HD: Sử dụng đẳng thức ( ) ( )

Câu 3: Cho a,b,c là các số thực dương

CMR: ∑ ( )

( )

HD: Chuẩn hóa a+b+c=1

Câu 4: Cho a,b,c > 0 và thõa mãn a+b+c=1

HD: Sử dụng ∑ ∑

Câu 5: Cho a,b,c > 0 và ( )

CMR:

HD: Đổi biến ( ) ( )

Câu 6: Cho a,b,c,d > 0 và a+b+c+d=4

Tìm GTNN của biểu thức ∑ √

HD: Đặt x=a+1;y=b+1;z=c+1;t=d+1; Áp dụng BĐT phụ √

Cuối lời, xin chúc bạn đọc thành công trong việc sử dụng thành thạo phương pháp này Mong sớm nhận được ý kiến đóng góp của các thầy (cô) và các bạn qua sđt 0924040426 hoặc zuni: Vitamin Tờ

_Hết