tổng hợp tài liệu ôn tập môn toán ,tài liệu ôn tập môn toán đầy đủ chi tiết dành cho học sinh lớp 12 và giáo viên nghiên cứu học tập và tham khảotổng hợp tài liệu ôn tập môn toán ,tài liệu ôn tập môn toán đầy đủ chi tiết dành cho học sinh lớp 12 và giáo viên nghiên cứu học tập và tham khảo
Trang 1Chương
1/ Mặt nón tròn xoay
Trong mặt phẳng( ) P , cho 2 đường thẳng d,Dcắt nhau tạiOvà chúng tạo thành gócb với 00< < b 900 Khi quaymp P ( )xung quanh trụcDvới gócbkhông thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnhO(hình 1)
Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón
Đường thẳngDgọi là trục, đường thẳngdđược gọi là đường sinh và góc2bgọi là góc ở đỉnh
2/ Hình nón tròn xoay
ChoDOIM vuông tạiI quay quanh cạnh góc vuôngOI thì đường gấp khúcOIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay(gọi tắt là hình nón) (hình 2)
Đường thẳngOI gọi là trục, Olà đỉnh, OI gọi là đường cao vàOM gọi là đường sinh của hình nón
Hình tròn tâmI , bán kínhr =IM là đáy của hình nón
3/ Công thức diện tích và thể tích của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáyrvà đường sinh là l thì có:
Diện tích xung quanh: Sxq = p r l
Diện tích đáy (hình tròn): Sð = p r2
V = S h = p r h
4/ Tính chất:
Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinhÞ Thiết diện là tam giác cân
+ Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón
Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nónÞ giao tuyến là một đường tròn
+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nónÞ giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol
+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nónÞ giao tuyến là 1 đường parabol
Hình
2
Diện tích toàn phần hình nón:
MẶT NÓN MẶT NÓN – MẶT TRỤ – MẶT CẦU
2
Trang 25/ Một số thí dụ
Bài giải tham khảo GọiSlà đỉnh của hình nón Mặt phẳng( ) P đi qua đỉnhScắt khối nón theo
hai đường sinh bằng nhauSA =SB =l nên ta có thiết diện là tam giác cânSAB
GọiI là trung điểm của đoạnAB Þ OI ^AB Từ tâmO, ta kẻOH ^SI tạiH
Ta có: OH ^ mp SAB ( ) Þ OH = d O SAB é ê ë , ( ) ù ú û = 12 ( ) cm
a/ Tính diện tích xung quanh hình nón đã cho
* Ta có: SA = AO2+SO2 = 202+252 =5 41( )cm
(Pitago trong tam giác vuông SAO)
* Diện tích xung quanh của hình nón:
( )2
xq
S = p r l = p OA SA = p = p cm
b/ Thể tích của khối nón: 1 2 1 2 12500 ( )3
non
V = p r h = p = p cm c/ Tính diện tích của thiết diện SDSAB
* Diện tích thiết diện: 1 . 1 .2 . ( ) 1
SAB
SD = AB SI = IA SI = IA SI
* Xét tam giác vuôngSOI , ta có: 2 2 2 ( )
15
OH = OI + OS Þ = .
* Mặt khác, xét tam giác vuôngSOI thì: . 20.15 25 ( ) ( ) 2
12
OSOI
OH
* Trong tam giác vuôngAIO IA: = OA2- OI2 = 252- 152 =20( ) ( )cm 3
* Thay( ) ( ) 2 , 3 vào( ) 1 Þ SDSAB = 20.25 = 500 ( ) cm2
Bài giải tham khảo
* Khối nón có chiều cao bằngavà bán kính đáy
2
a
r =
* Diện tích xung quanh khối nón:
( )
.
xq
S = p rl = p a a + æö ç ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø ÷ = p Ðvdt
* Thể tích của khối nón:
( )
2
a
V = Bh = p r h = p æö ç ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø ÷ a = p a Ðvtt
Thí dụ 1 Một hình nón tròn xoay có đường cao h=20cm, bán kính đáy r =25cm
a/ Tính diện tích xung quanh hình nón đã cho
b/ Tính thể tích khối nón tạo nên bởi hình nón đó
c/ Một thiết diện đi qua đỉnh có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là12 cm ( ) Tính diện tích thiết diện đó
S
A
B
O I
H
h
r
l
Thí dụ 2 Cho hình lập phươngABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh làa Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của
khối nón có đỉnh là tâmOcủa hình vuôngABCDvà đáy là hình tròn nội tiếp hình vuôngA B C D' ' ' '
A
’
O
B
’
D
a
a
a
Trang 3Bài giải tham khảo
Do thiết diện đi qua trục là tam giác vuông cân (DSABvuông cân tại
đỉnhS) có cạnh huyền bằnga 2nênDSABlà nửa hình vuông với
đường chéo hình vuông làAB = a 2
Þ đường sinh hình nón: l =SA=SB =a, đường cao hình nón là
2
AB a
h = SO = = và bán kính đáy: 2
2
a
r = = h SO = a/ Tính diện tích xung quanh hình nón
( )
2
xq
S = p rl = p a = p Ðvdt
Diện tích toàn phần:
( )
2
tp xq ð
a
S = S + S = p + p r = p + p = p + Thể tích khối nón tương ứng:
( )
3 2
.
a
V = B h = p r h = p Ðvtt
b/ Tính diện tích thiết diện( SDSBC)
GọiI là trung điểm củaBC và kẻOH ^SI tạiH Đặt mặt phẳng chứa đáy hình nón làmp a ( )
Ta có:
( )
mp SBC mp BC
BC SI mp SBC
a
Trong tam giác vuôngSIO(vuông tại O), ta có: ·
0
2
6 2
sin
3
2
a
SI
Trong tam giác vuôngSIB (vuông tại I), ta có: 2 2 2 2 2 2 3
BC = IB = SB - SI = a - =
Do đó, diện tích thiết diện cần tìm là: 1 1 6 2 3 2 2 ( )
SBC
SD = SI BC = = Ðvdt
Bài giải tham khảo
Thí dụ 3 Thiết diện đi qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh cạnh huyền bằnga 2
a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón, giả sử nó có đỉnh làS
b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng
c/ Cho dây cungBC của đường tròn đáy hình nón, sao chomp SBC ( )tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc600 Tính diện tích tam giácSBC
S
A B
O C I
Thí dụ 4 Mặt nón tròn xoay có đỉnh làS,Olà tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằnga 2và góc giữa đường
sinh và mặt phẳng đáy bằng600
a/ Tính diện xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón được tạo nên
b/ GọiI là một điểm trên đường caoSOcủa hình nón sao cho tỉ số 1
3
SI
SO = Tính diện tích của thiết
diện quaI và vuông góc với trục của hình nón
Trang 4a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón: Sxq = p rl = p AO SA ( ) 1
* DoAOlà hình chiếu củaSAlên mặt phẳng đáy, nên góc giữa đường
sinh SAvà mặt phẳng đáy làSAO = · 600.
* Trong tam giác vuôngSAO:
( )
0
0
2 2
.cos60
2
SA a
SA a AO
a
* Thay( ) 2 vào( ) 1 2. 2 2( )
2
xq
a
S p a p a Ðvdt
Diện tích toàn phần của hình nón:
( )
tp xq ð
S = S + S = p a + p r = p a + p = p Ðvdt
Thể tích của khối nón tròn xoay:
( )
2
3
V = p r h = p AO SO = p æ ç ç ç ö ÷ ÷ ÷ ÷ SA = p a a = p Ðvtt
b/ Tính diện tích của thiết diện
Thiết diện quaI và vuông góc với trục của hình nón là một hình tròn có bán kính làIBnhư hình vẽ Gọi diện
tích của hình tròn này làStd
18
td
a
S p IB p Ðvdt
Bài giải tham khảo a/ Diện tích xung quanh của hình nón
Trong tam giác vuôngDSOA:
SA = SO + OA = R + R = R
2
xq
S p rl p R R p R
Thể tích khối nón:
3
R
V = p OA SO = p R R = p
b/ CMR: N di động trên một đường thẳng cố định
* GọiWlà mặt xung quanh của mặt nón đã cho và
( )
mp a là mặt phẳng đi qua các điểmS A I , ,
* Ta có:
N
N mp
N mp a doN IM a
ìï Î W
ïïî
B
r
l
S
A
O
I
60
0
B
h
Thí dụ 5 Cho hình nón đỉnhSvới đáy là đường tròn tâmO, bán kínhR, chiều cao của hình nón bằng2R GọiI
là một điểm nằm trên mặt phẳng đáy sao choIO =2R Giả sửAlà điểm nằm trên đường tròn( O R , )
sao choOA ^OI
a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo thành
b/ GọiM là một điểm di động trênSA IM , cắt mặt nón tại điểm thứ hai làN Chứng minh rằngN di
động trên một đường thẳng cố định
c/ Chứng minh rằng hình chiếuK củaOtrênIM di động trên một đường tròn cố định đi qua trực tâm
H củaDSAI
I
M
K
O
N S
B A
H
Trang 5VậyN di động trên đoạnSBlà giao tuyến thứ hai củamp a ( )vàW (Blà giao điểm thứ hai củaIAvà đường tròn đáy)
c/ CMR: Hình chiếuK củaOtrênIM di động trên một đường tròn cố định đi qua trực tâmH của DSAI
Dễ thấy trực tâmH củaDSAI chính là hình chiếu vuông góc củaOtrênmp SAI ( )
Do OH ( SAI ) OH IM IM ( OHK ) HK IM HKI · 900
OK IM
Vậy,K di động trên đường tròn, đường kínhIH trongmp a ( ) Hiển nhiên, đường tròn này đi quaH và nó là đường tròn cố định
Bài giải tham khảo Giả sửABlà một đường kính của đường tròn đáy hình nón,Olà tâm đáy Mặt phẳng qua đỉnh của hình nón cắt hình nón theo thiết diện là tam giác cânSAM có:
SA = SM = h + R (không đổi)
Ta có: 1 . .sin ·
2
ASM
SD = SA SM ASM
Do đó, SDASMlớn nhất khi và chỉ khisinalớn nhất
Vậy:
NếuASB < · 900, nghĩa làh>Rthìsinalớn nhất khi
· sin a = sinASB, lúc đó: max SDSAM = hR .
NếuASB ³ · 900, nghĩa làh£ R thìsinalớn nhất bằng 1, lúc
đó: max 1 ( 2 2)
2
SAM
SD = h + R
6/ Bài tập rèn luyện
Bài 1 Cho khối nón tròn xoay có đường caoh=avà bán kính đáy là 5
4
a
r = Một mặt phẳng( ) P đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâmOcủa đáy bằng3
5
a .
a/ Hãy xác định thiết diện củamp P ( )đối với khối nón Tính diện tích khối thiết diện đó
b/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của khối nón
c/ Tính thể tích của khối nón tạo nên hình nón đó
Bài 2 Trong không gian choDOIM vuông tạiI cóIOM = · 300và cạnhIM =a Khi quay tam giác OIM
quanh cạnh góc vuôngOI thì đường gấp khúcOMI tạo thành một hình nón tròn xoay
a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón đó
b/ Tính thể tích khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón trên
Bài 3 Một hình nón tròn xoay có chiều caoh=30cmvà bán kính đáy bằng20cm
a/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng chứa đường cao Tính diện tích của thiết diện
b/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua đỉnh, ta được một thiết diện là một tam giác đều Tính diện tích của thiết diện này và khoảng cách từ tâm của mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện
Bài 4 Thiết diện đi qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằnga
a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng
Thí dụ 6 Cho hình nón tròn xoay có bán kính đáyRvà chiều caoh Trong tất cả các mặt phẳng đi qua đỉnh của
hình nón, hãy xác định mặt phẳng cắt hình nón theo thiết diện có diện tích lớn nhất và tính diện tích lớn nhất đó
M
S
với
Trang 6c/ Một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng đáy một góc600 Tính diện tích của thiết diện được tạo nên
Bài 5 Hình nón có bán kính đáy bằng2a, thiết diện qua trục là một tam giác đều
a/ Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của khối nón
b/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua đỉnh, ta được thiết diện là một tam giác vuông Tính diện tích của thiết diện này và khoảng cách từ tâm của mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện
Bài 6 Một hình nón có bán kính đáy bằng2cm, góc ở đỉnh bằng600
a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng
Bài 7 Một hình nón có đỉnhS, bán kính đáyr =10cm
a/ Tính diện tích thiết diện domp P ( )cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc nhau
b/ GọiGlà trọng tâm của thiết diện và mặt phẳng( ) a quaG, đồng thời vuông góc với trục của hình nón Tính diện tích của thiết diện do mặt phẳng( ) a cắt hình nón
Bài 8 Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân, thiết diện này có diện tích bằng12a2
a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng
c/ Mặt phẳng( ) P đi qua đỉnh của hình nón, cắt mặt phẳng đáy theo một dây cung có độ dài bằng2 3 a Tính góc tạo bởi mặt phẳng( ) P và mặt phẳng đáy
Bài 9 Mặt nón tròn xoay có đỉnh làS,Olà tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằnga 2và góc giữa đường sinh
và mặt phẳng đáy bằng600
a/ Tính diện xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón được tạo nên
b/ GọiI là một điểm trên đường caoSOcủa hình nón sao cho tỉ số SI 2
SO = Tính diện tích của thiết
diện quaI và vuông góc với trục của hình nón
Bài 10 Cho hình chóp tam giác đềuS ABC có cạnh bên bằnga, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng300
Hình nón đỉnhScó đường tròn đáy nội tiếp tam giác đềuABC (được gọi là hình nón nội tiếp hình chóp) a/ Tính thể tích của hình chópS ABC
b/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo nên
Bài 11 Cho hình chóp đềuS ABCD có chiều caoSO = h SAB , · = a , 45 ( 0< < a 900) Hãy tính diện tích
xung quanh của hình nón có đỉnh làSvà có đường tròn đáy ngoại tiếp đáyABCDcủa hình chóp
Bài 12 Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng2a
a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo nên
b/ Thiết diện qua đỉnh của hình nón và cách tâm của đáy hình nón một khoảng là
2
a Tính diện tích của
thiết diện tạo thành đó
Bài 13 Đường sinh của hình nón bằng13a, chiều cao là12a Một đường thẳngdsong song với đáy của hình nón
và cắt hình nón Khoảng cách từ đường thẳngdấy đến mặt phẳng đáy và chiều cao hình nón lần lượt là 6a
và2a Tính độ dài đoạn thẳngdnằm trong phần hình nón
Bài 14 Cho hình nón đỉnhSvà đáy là hình tròn tâmO Mặt phẳng( ) a đi qua đỉnh, cắt đáy theo một dây cung
AB, sao choAOB = · 600vàmp a ( )hợp với mặt phẳng chứa đáy một góc300.
a/ Tính góc ·ASB
b/ Cho diện tích của tam giácSABbằngb Tính diện tích xung quanh của hình nón
Bài 15 Tính thể tích hình nón biết thể tích hình chóp tam giác đều nội tiếp hình nón làV
Bài 16 Trên một hình tròn làm đáy chung ta dựng hai hình nón (hình này chứa hình kia) Sao cho hai đỉnh cách
nhau một đoạn là a Góc ở đỉnh của thiết diện qua trục của hình nón lớn là 2avà của hình nón nhỏ là 2b
.Tính thể tích phần ở ngoài hình nón nhỏ và ở trong hình nón lớn
Bài 17 Cho hình nón có đường caoSO =hvà bán kính đáy R GọiM là điểm trên đoạnOS, đặt OM =x
( 0 x < < h )
Trang 7A
D
B
C
l
r
r
a/ Tính diện tích thiết diện( )G vuông góc với trục tạiM
b/ Tính thể tích của khối nón đỉnhOvà đáy( )G theoR h x , , Xác địnhxsao cho thể tích đạt giá trị lớn nhất
Bài 18 Cho hình nón tròn xoay đỉnhS Trong đáy của hình nón đó có hình vuôngABCD nội tiếp, cạnh bằng a
Biết rằng: ASB · = 2 , 0 a ( 0< < a 450) Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón
1/ Mặt trụ tròn xoay
Trongmp P ( )cho hai đường thẳngDvàlsong song nhau, cách nhau một
khoảngr Khi quaymp P ( )quanh trục cố địnhDthì đường thẳnglsinh ra
một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ
Đường thẳng Dđược gọi là trục
Đường thẳnglđược gọi là đường sinh
Khoảng cáchrđược gọi là bán kính của mặt trụ
2/ Hình trụ tròn xoay
Khi quay hình chữ nhậtABCDxung quanh đường thẳng chứa một cạnh,
chẳng hạn cạnhABthì đường gấp khúcABCDtạo thành một hình, hình
đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ
Đường thẳngABđược gọi là trục
Đoạn thẳngCDđược gọi là đường sinh
Độ dài đoạn thẳngAB =CD=hđược gọi là chiều cao của hình trụ
Hình tròn tâmA, bán kínhr =ADvà hình tròn tâmB , bán kínhr =BC được gọi là 2 đáy của hình trụ
Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ
3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ
Cho hình trụ có chiều cao làhvà bán kính đáy bằngr, khi đó:
Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2 p rh
Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp = Sxq+ 2 SÐay = 2 p rh + 2 p r2
Thể tích khối trụ: V = B h = p r h2
4/ Tính chất:
Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính làr) bởi mộtmp a ( )vuông góc với trụcDthì ta được đường tròn có tâm trênDvà có bán kính bằngrvớircũng chính là bán kính của mặt trụ đó
Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính làr) bởi mộtmp a ( )không vuông góc với trụcDnhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng2rvà trục lớn bằng 2
sin
r
j , trong đó
j là góc giữa trụcDvàmp a ( ) với00< < j 900
Chomp a ( )song song với trụcDcủa mặt trụ tròn xoay và cáchDmột khoảngk
+ Nếuk<r thìmp a ( )cắt mặt trụ theo hai đường sinhÞ thiết diện là hình chữ nhật
+ Nếuk=rthìmp a ( )tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh
+ Nếuk>r thìmp a ( )không cắt mặt trụ
MẶT TRỤ
h
Trang 8B
’
A
O
C
A’
C
’
B
D
’
5/ Một số thí dụ
Bài giải tham khảo a/ Tính diện tích của thiết diện
Từ một đáy của khối trụ, ta vẽ hai bán kínhOA OB , sao cho
AOB = GọiA O B ', ', 'lần lượt là hình chiếu vuông góc của
, ,
A O Btrên mặt đáy còn lại Ta có: OAvàO B' 'tạo với nhau một góc
0
30 Thiết diện là hình chữ nhậtABB A' 'có:
( )
AB = OA + OB - OAOB =
-( )
Mặt khác, ta có: AA ' = BB ' = OO ' = 20 ( ) cm
( )2
ABB A
b/ Diện tích xung quanh của hình trụ
( )2
xq
S = p rh = p OAOO = p = p cm
Diện tích toàn phần hình trụ:
( )
tp xq Ðay
S =S + S = p rh+ p r = p+ p = p cm
Thể tích khối trụ: V = B h = p r h2 = p 10 20 20002 = p ( ) cm3
Bài giải tham khảo a/ Tính diện tích xung quanh của khối trụ
Vì thiết diện qua trục hình trụ là một hình vuông nên l = =h 2r
Do đó, diện tích xung quanh của khối trụ đó là: Sxq = 2 p rl = 4 p r2
b/ Tính thể tích của hình lăng trụ
GọiABCD A B C D ' ' ' 'là lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ
Ta có, hình vuôngABCDnội tiếp trong đường tròn đáy
Do đó, AB = r 2 và thể tích khối lăng trụ là:
( )2 3( )
ABCD
V = S AA = r r = r Ðvtt
c/ Tìm tỉ số:
2
V = Bh = p r r = p.
Thí dụ 7 Một khối trụ có chiều cao bằng20 cm ( )và có bán kính đáy bằng10 cm ( ) Người ta kẻ hai bán kính đáy
OAvàO B' 'lần lượt nằm trên hai đáy, sao cho chúng hợp với nhau một góc bằng300 Cắt mặt trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳngAB'và song song với trục của khối trụ đó
a/ Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng cắt hình trụ trên
b/ Hãy tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ
O ' B
B '
A '
0
30
Thí dụ 8 Một khối trụ có bán kính đáy bằngrvà có thiết diện qua trục là một hình vuông
a/ Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó
b/ Tính thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho
c/ GọiV là thể tích hình lăng trụ đều nội tiếp trong hình trụ vàV 'là thể tích khối trụ Hãy tính tỉ số
'
V
V .
Thí dụ 9 Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuôngABCDcạnhacó hai đỉnh liên tiếpA B , nằm trên đường tròn
đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ Mặt phẳng ( ABCD ) tạo với đáy hình trụ góc450 Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích của khối trụ
Trang 9Bài giải tham khảo
* GọiM N , theo thứ tự là trung điểm củaABvàCD Khi đó:
OM ^ABvàO N' ^DC Giả sửI là giao điểm củaMN vàOO'
* ĐặtR = OA h OO , = '
* TrongDIOM vuông cân tạiI nên: 2
2
OM = OI = IM
.
* Ta có: R2= OA2+ AM2+ MO2
2
a æ a ö a a a
= ç ç ÷ ç è ø ÷ + ç ç çè ÷ ÷ ÷ ø = + =
2
2
2 2
xq
V R h
p
ìïï
ïï
Þ í
ïï
ïî
Bài giải tham khảo
* Kí hiệuRlà bán kính đáy,hlà độ dài đường cao của khối trụ
* Ta có: S = 2 p R2+ 2 p Rh Ta cần tìmRvàhđểV = p R h2 có giá trị lớn nhất
* Theo trên, ta có: S = 2 p R2+ 2 p RhÛ
2
2 3.
Côsi
p = + p = + p + p ³ p
3
2 27
4
p
æ ö ÷
ç ÷
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2 2
V R h Rh R
p
= = = hay h=2R
Khi đó 6 2 nên
6
S
S p R R
p
* Vậy khối trụ có thể tích lớn nhất là khối trụ có
6
S R
p
= và 2.
6
S h
p
Bài giải tham khảo
* Ta có: OO ' ^ ( OAB ) GọiH là trung điểm củaAB thìOH ^ AB O H , ' ^ AB Þ OHO · ' = 600.
D
45
0
A
O
C
N O
’
B M
I
Thí dụ 10 Trong số các khối trụ có diện tích toàn phần bằngS, khối trụ nào có thể tích lớn nhất ?
Thí dụ 11 Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn( O R , )và( O R ', ) Biết rằng tồn tại dây cungABcủa
đường tròn( ) O sao choDO AB' đều vàmp O AB ( ' )hợp với mặt phẳng chứa đường tròn( ) O một góc
0
60 Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ
Trang 10* Giả sử OH =x Khi đó: 0 x< <RvàOO ' = x tan600= x 3.
* XétDOAH, ta có: AH2= R2- x2
* Vì DO AB' đều nên: O A' =AB =2AH =2 R2- x2 ( )1
* Mặt khác, DAOO'vuông tạiOnên:
( )
AO = OO + R = x + R
* Từ( ) ( ) 1 , 2 4 ( 2 2) 3 2 2 2 3 2
7
R
7
R
h OO x
* Vậy, nếu kí hiệuSlà diện tích xung quanh vàV là thể tích của hình trụ
thì, ta có:
2
3 2
2
7
7
R
S Rh
R
V R h
p p
p p
ìïï
ïï íï
ïïî
6/ Bài tập rèn luyện
Bài 19 Trong không gian cho hình vuôngABCDcạnha GọiI H , lần lượt là trung điểm của các cạnhABvà
CD Khi quay hình vuông đó xung quanh trụcIH , ta được một hình trụ tròn xoay
a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó
b/ Tính thể tích khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ nói trên
Bài 20 Một khối trụ có bán kính đáy bằngRvà có thiết diện qua trục là một hình vuông
a/ Tính diện tích xung, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ
b/ Tính thể tích hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ đã cho (hình lăng trụ này có đáy là hình vuông nội tiếp trong đường tròn đáy của hình trụ)
Bài 21 Một hình trụ có bán kính đáy là 20 cm ( ), chiều cao là 30 cm ( )
a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b/ Tính thể tích của khối trụ tương ứng
c/ Cho hai điểmAvàBlần lượt nằm trên hai đường tròn đáy, sao cho góc giữa đường thẳngABvà trục của hình trụ bằng 600 Tính khoảng cách giữa đường thẳngABvà trục của hình trụ
Bài 22 Một khối trụ có bán kính đáy bằng10 cm ( )và chiều cao bằng10 3 cm ( ) GọiA B , lần lượt là hai điểm
trên hai đường tròn đáy, sao cho góc được tạo thành giữa 2 đường thẳngABvà trục của khối trụ bằng 300 a/ Tính diện tích của thiết diện quaABvà song song với trục của khối trụ
b/ Tính góc giữa hai bán kính đáy quaAvà quaB
c/ Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung củaABvà trục của khối trụ
Bài 23 Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâmOvàO', có bán kínhrvà có đường caoh = r 2 GọiAlà
một điểm trên đường tròn tâmOvàB là một điểm trên đường tròn tâmO'sao choOAvuông góc vớiO B' a/ Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diệnOABO'là những tam giác vuông Tính thể tích tứ diện này b/ Gọimp a ( )đi quaABvà song song vớiOO' Tính khoảng cách giữa trụcOO'vàmp a ( )
c/ Chứng minh rằngmp a ( )tiếp xúc với mặt trụ trụcOO'có bán kính bằng 2
2
r dọc theo 1 đường sinh.
Bài 24 Một hình trụ có bán kính đáy bằng30 cm ( )và có chiều caoh = 30 ( ) cm
a/ Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên
b/ Một đoạn thẳng có chiều dài60 cm ( )và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ
Bài 25 Hình chóp tam giác đềuS ABC cóSA =SB =SC =avà góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằngb
A O
O
’
B
H