tổng hợp tài liệu môn toán phần giới hạn

tổng hợp tài liệu ôn thi môn toán ,tổng hợp đầy đủ kiến thưc học tập môn toán dành cho học sinh lớp 10 và giáo viên nghiên cứu và học tâptổng hợp tài liệu ôn thi môn toán ,tổng hợp đầy đủ kiến thưc học tập môn toán dành cho học sinh lớp 10 và giáo viên nghiên cứu và học tâp

Trần Thành Minh - Phan Lưu Biên – Trần Quang Nghĩa

GIẢI TÍCH 11

www.saosangsong.com.vn

Chương 4 GIỚI HẠN

A GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

§1 Dãy số có giới hạn 0

A Tóm Tắt Giáo Khoa

1 Dãy số (un) có giới hạn là 0 nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi

e) Nếu |q| <1 thi lim qn = 0

Định lí : Cho hai dãy số (un) và (vn) Nếu |un| ≤ vn , n∀ và limvn = 0 thì limun = 0

B Giải Toán

Dạng toán : Tìm giới hạn 0 của dãy số

Cách 1 : Sử dụng các tiêu chuẫn a, b, c, ,d ,e kết hợp với định lí

Cách 2 : Dùng định nghĩa

Ví du ï 1 : Chứng minh các dãy số sau có giới hạn là 0

a) un = 13

n b) un =

2cosn

n= , do đó theo định lí trên thì limun = 0

b) Vì | cosn2 | ≤ 1 , n∀ nên | un| ≤ 1

n , n∀ Mà lim 1

n = 0 , do đó theo định lí trên lim un = 0

n = , do đó theo định lí trên lim un = 0

d) Aùp dụng bất đẳng thức Cô si : 22n + 32n ≥ 2 2 32n 2n =2 62n

=> 0 < un ≤

n n

6 = , do đó theo định lí trên limun = 0

Ví dụ 2 : Dùng định nghĩa, chứng minh

Với số ε > 0 cho trước , để có |un| < ε , ta phải chọn n sao cho : n > 7 và 2

n< ε Ù n > 7 và n >

2

ε Như vậy nếu gọi n0 là số nguyên > 7 và > 2

ε, thế thì với mọi ε > 0 cho trước , ta có : | un | < ε , ∀ n > n0 Theo định nghĩa limun = 0

Chẳng hạn với ε = 0, 001 thì n0 > 7 và n0 > 2 200

0,001= vậy lấy n0 = 201 ( hay một số nguyên bất kì > 200),

C Bài Tập Rèn Luyện

Chứng minh các dãy số sau có giới hạn là 0

4.2 un = n (n 2)n 2nn

(2n 2)

++

n n 2 n(n 2) 2n n− + = + < = Mà lim 1 0

n = nên limun = 0 c) Vì 0 < q = 1

4

π< nên limu

n = 0 d) | un | = n 12

ε Như vậy nếu gọi n0 là số nguyên > 2

ε , thế thì với mọi ε > 0 cho trước , ta có : | un | < ε , ∀ n > n0 Theo định nghĩa limun = 0

n = , do đó : limun = 0

4.6. Ta có : 2n + 3n ≤ 3n + 3n = 2.3n , suy ra : | un | ≤

n n

§2 Dãy số có giới hạn

A Tóm Tắt Giáo Khoa

1 Định nghĩa : Dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu lim(un – L) = 0

limun = L ( hoặc un → L) Ù lim(un – L) = 0

2 Định lí 1 : Giả sử lim un = L , khi đó :

a) lim | un | = | L | và lim 3 3

n

u = L b) Nếu un ≥ 0 với n∀ thì L ≥ 0 và lim un = L

Định lí 2 : Giả sử limun = L , limvn = M và c là một hằng số Khi đó :

n = 0 ( c ; hằng số ; k , m : số nguyên dương

3, Cho (un) là cấp số nhân với |q| < 1 ( cấp số nhân lùi vô hạn) thì :

n

Dạng 2 : Tìm giới hạn của P(n)

Q(n)trong đó P(n), Q(n) là hai đa thức theo n

Chia tử và mẫu cho đơn thức có bậc cao nhất rồi sử dụng : lim k

m k

c lim c 0

và các định lí về giới hạn

Ví dụ 2 : Tìm giới hạn các dãy số sau :

Vì lim(2 - 1 12) lim 2 lim1 lim 12 2 0 0 2

Dạng 3 : Dạng sử dụng công thức : lim q n = 0 nếu | q| < 1

Ta thường chia tử và mẫu cho lũy thừa an với a lớn nhất Nhớ các quy tắc :

an + m = an am ; n m n

m

aaa

− = ; (an)m = anm ;

n n

Giải a) Ta có : limun =

3.9 15 25.25

74.9 2.15 25

− +

=+ +

2

=+b) Vì x ≠ k

* Dạng 4 : Tìm giới hạn bằng cách thiết lập công thức u n theo n

Ví dụ 5 : Tìm limun biết un = 21 21 21 21

n12

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ , n∀ Suy ra limun

Giải Ta chứng minh un = 2 - 2

n12

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ , thế thì theo giả thiết quy nạp : uk+1 = uk +

k12

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ +

k12

limun = 2 – 2lim

n12

C Bài Tập Rèn Luyện

4.7 Chọn câu đúng : lim3n sin(2n 4)

a) – 5 b) – 1/5 c) 3/16 d) đáp số khác

4.12 Chọn câu đúng : Tổng vô hạn của cấp số nhân sau - 4 + 2 – 1+ bằng :

4.13 Tìm giới hạn các dãy số sau :

4 15. Tìm giới hạn các dãy số sau :

a) 4.3nn 7n 1n

2.5 7

++

5.2 4.3

+ +

+

− c) 2.32n n 16n 1 n 222n 1

4 18 Biểu diễn các số thập phân tuần hòan sau đây dưới dạng phân số , ví dụ : 38 1,151515

33= là số thập phân tuần hòan có chu kì là 15

a) 0, 123123123 b) 1, 272727

4.19 Cho một góc xOy = 300 Từ điểm A trên Ox với OA = 1 , đựng AA1 vuông góc Oy Tiếp theo dựng

A1A2 vuông góc Ox , rồi A2A3 vuông góc Oy và cứ thế mãi mãi

Tình độ dài đường gấp khúc AA1 A2

4.20 Cho hình vuông ABCD có độ dài là 1 Ta nội tiếp trong hình vuông này một hình vuông thứ hai , có đỉnh là trung điểm của các cạnh của nó Và cứ thế Tính tổng

chu vi của các hình vuông

* 4 21 Tìm giới hạn các dãy số sau :

Tìm công thức tính un theo n Suy ra limun

D Hướng Dẫn – Đáp Số

nên lim(un – 3) = 0 => limun = 3

b) Ta có : lim(un 2) lim1 cosn2

c) limun = 2.3.33 2 2

2 5 = ( Chia tử và mẫu cho n5

4 ) d) limun = 31 1

0 42

=

91

4 17. Các hoành độ lần lượt của ốc sên là : 1 , - 1 1; ;

4 16 lập thành một cấp số nhân , số hạng đầu 1 , công bội - 1

4 Suy ra hoành độ của ốc sẽ tiến đến vị trí

1

1 51

4

=+

(m) Các tung độ của ốc sên là : 1; 1 1; ;

2 −8 16 lập thành một cấp số nhân , số hạng đầu 12 , công bội - 1

4 Suy ra tung độ của ốc sẽ tiến đến vị trí la : 1

.1

4

=+Vậy ốc sên sẽ bò đến điểm 4 2;

1000

−b) Ta có : 1, 272727 = 1 + 0, 27 + 0, 2727 + 0, 272727 +

3 = 3 , công bội

3

2 Vậy độ dài đoạn gấp khúc là : 1 1 2

4 20. Các cạnh hình vuông này bằng 1

2 cạnh hình vuông trước nó Do đó các chu vi hình vuông lập thành một cấp số

nhân số hạng đâu là 4 ( chu vi hình vuông ABCD) , công bội

là 1

2, vậy tổng các chu vi là : 4

1112

5b) Biểu thức trong dấu ngoặc của tử là tổng n + 1 số hạng của một cấp số nhân với u1 = 1 , q = 2 và của

mẫu là tổng của n + 1 số hạng của một cấp số nhân với v1 = 1 , q’ = 5 Vậy : un =

n 1 n

n 1 n

n+ , n∀ bằng phưong pháp quy nạp

Suy ra : limun = lim n 1 1

n+ =

§3 Dãy số dần đến vô cực

A Tóm Tắt Giáo Khoa

1 Dãy số dần đến vô cục :

• (un) có giới hạn là + ∞ nếu mọi số hạng đều lớn hơn một số dương lớn tùy ý cho trước kể từø

một số hạng nào đó trở đi

Kí hiệu : limun = + ∞ hoặc un → + ∞

• (un) có giới hạn là - ∞ nếu mọi số hạng đều nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý cho trước kể từ một

số hạng nào đó trở đi

Kí hiệu : limun = - ∞ hoặc un → - ∞

CHÚ Ý : (1) lim nk = + ∞ , limmn = + ∞ , k , m : số nguyên dương k

(2) Nếu lim un = 0 và un ≠ 0 , n∀ thì lim

−b) Chia tử và mẫu cho n3 (lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu), ta được :

Giải a) Chia tử và mẫu cho n = n2 =3n3, ta được :

+ ++

Dạng 2 ( dạng ∞ - ∞ ) : Tìm giới hạn của P(n)− Q(n)trong đó P(n), Q(n) là hai đa thức cùng bậc theo n

Viết : P(n)− Q(n) = P(n) Q(n)

P(n) Q(n)

−+ , ta đưa về trường hợp của dạng 1

• Tương tự : 3 3

P(n) Q(n)P(n) Q(n)

2 3 3

11n

dãy số v n = n – 8 nên lim(u n – v n ) = + ∞

Những giá trị của u n và v n tương ứng với các giá trị rất lớn của n trong bảng dưới đây cho thấy điều đó :

Tử tiến dần đến 0 và có giá trị dương còn mẫu tiến dần đến 4− 3 > 0 , do đó lim u = +∞ n

Ví dụ 5 : Tìm giới hạn dãy số 2

Ghi chú : Ở đây tử và mẫu đều là hiệu của hai dãy số “ đồng tài ngang sức “ , có nghĩa là giới hạn của hiệu của chúng là một số hữu hạn , cho nên ta phải dùng lượng liên hiệp để tìm giá trị hữu hạn ấy Còn đối

C Bài Tập Rèn Luyện

4.24 Chọn câu đúng : Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào dần đến + ∞ ?

(I) 2n 7+ − n 4+ (II) (2n2 3)32

(3 n)

−

− a) Chỉ (I) b) Chỉ (II) c) Cả (I) và (II) d) Không dãy số nào

4.25 Chọn câu đúng : Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào dần đến 0 ?

a) Chỉ (I) b) Chỉ (II) c) Cả (I) và (II) d) Không dãy số nào

4.26 Chọn câu đúng : lim n( n4+ + −n 3 n4+3n 1− )

e) 4n2+1 n3 3+ −7 2n2+ 1

*4.33. Cho dãy số un = 1 + 1 1 1

2 3+ + + Chứng minh limun n = + ∞

D Hướng Dẫn – Đáp Số

3

3

nlim u lim 1 3

e) Ở đây 4n2+ “ đồ ng tài ngang sức” với n 4n2 =2n, còn 3n3+n2+ thì “ đồng ngtài ngang sức 1

> + Theo định nghĩa , ta suy ra : limun = + ∞

B GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ HÀM SỐ LIÊN TỤC

§4 Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số

A Tóm Tắt Giáo Khoa

1 Giới hạn của hàm số tại một điểm :

a) Giới hạn hữu hạn : Cho hàm số f xác định trên (a ; b) \ {x0 } và x0 ∈ (a ; b) , ta nói :

x xlim f(x)

→ = L , thế thì : a)

Khi đó giới hạn là f(x0)

Ví dụ 1 : Tìm các giới hạn sau :

a) f(x) = 2x 1

x 2

−+ tại x0 = 2 b) f(x) = 3x 8 x 32

x 1 x

+ − ++ + tại x0 = 0

Giải a) f(x) là hàm số hữu tỷ xác định tại x0 = 2 nên

x 2

3lim f(x) f(2)

g x trong đó f(x) và g(x) là các đa thức hay biểu thức tiến tới vô cựïc khi

x tiến tới vô cựïc

• Chia tử và mẫu cho đơn thức có bậc cao nhất , rồi dùng : k

3x

*

0

x xlim

→ g(x)f(x) = + ∞

Ví dụ 3 : Tìm các giới hạn sau :

a)

x 2

x 2 3xlim

x

2x 4xlim

e) Nhận xét rằng tử và mẫu đều dương ( tiến tới + ∞ ) khi x tiến tới + ∞ Ta có :

xlim f(x) limx

→ + ∞ = → +∞

2

42x3

x x

+1

− = + ∞ vì giới hạn của tử là 2 , của mẫu là 0

C Bài Tập Rèn Luyện

x 1

2 | x | x xlim

19x 19lim

2 | x | x x 1lim

3 x

→+∞

++ +

D Hướng Dẫn – Đáp Số

4.34.(c) Vì hàm số f(x) xác định khi x = 1 nên

x 1

4lim f(x) f(1) 2

4.42 a)

x 0

1lim f(x) f(0)

3 2

xlim f(x)

→+∞ = 0 b) Vì f(x) 2 2

§5 Giới hạn một bên

A Tóm Tắt Giáo Khoa

1 Cho f(x) xác định trên khỏang (x0 ; b) :

0

x xlim f(x)+

→ = L Ù ∀ xn ∈ (x0 ; b) , limxn = x0 => limf(xn ) = L

( f(x) có giới hạn phải là L khi x → x0 )

2 Cho f(x) xác định trên khỏang (a ; x0 ) :

0

x xlim f(x)−

→ = L Ù ∀ xn ∈ (a ; x0 ) , limxn = x0 => limf(xn ) = L

( f(x) có giới hạn trái là L khi x → x0 )

Dạng 1 : Tìm giới hạn phải , trái

Chú ý khi x→xo+ thì x > x 0 và khi x→xo− thì x < x0

Ví dụ 1 : Tìm các giới hạn sau :

a)

2

x 1

x 1lim

→ nên hàm số f(x) không có giới hạn tại x = 1

C Bài Tập Rèn Luyện

4.46 Tìm các giới hạn sau :

4.48 Cho hàm số : f(x) = 2

b) Tìm giới hạn phãi và trái của f(x) tại x = 0 Hàm số có giới hạn tại x = 0 hay không ?

2

1 x x 1 với x 1

x 3 1 ; với x 12x x

⎩Tìm giới hạn phãi và trái của f(x) tại x = 1 Hàm số có giới hạn tại x = 1 hay không

D Hướng Dẫn – Đáp Số

4.46 a)

x 3

tử 3lim f(x) vì

mẫu 0 và mẫu 0

§6 Giới hạn vô cựïc §7 Các dạng vô định

→

f x lim

Ghi chú : Sau khi nhân lượng liên hiệp , ta xuất hiện nhân tử x+ 3( tác nhân gậy nên dạng vô định) Đơn

Giải Vì x2 – 1 = (x – 1)(x + 1) → 0 kh x → 1 , do đó để f(x) có giới hạn hữu hạn thì điều kiện cần là x2 +

( Chia tử và mẫu cho x x= x3)

= (2 0) 1 0

1 3

+

−+ = 1

=

2 x

Dạng 4 ( dạng ∞ - ∞ ) : Tìm giới hạn của

nhanh hơn nhiều ( Xem bảng giá trị sau )

Ghi chú : Ở đây cả u(x) và v(x) đều tiến đến + ∞ một cách “ ngang ngữa “ nên ta phải sử dụng “ chiêu lượng liên hiệp” để phá vở dấu căn thức , cho hai biểu thức bên trong dấu căn thưc đụng độ trực tiếp nhau

2

(2x 1) (4x 4x 1)lim f(x) lim

B Bài Tập Rèn Luyện

4.50.Chọn câu đúng : 22

x 2

x 3x 10lim

4.51 Chọn câu đúng :

x 1

3 x 2xlim

3 3 x

x 1

→

− −

− e)

lim3x x 1 x

⎩Tìm a để hàm số có giới hạn hữu hạn tại x = 1

4.63 Cho hàm số f(x) =

2 2 2

⎩Tìm a và b để hàm số có giới hạn hữu hạn tại x = 1

D Hướng Dẫn – Đáp Số

2 3 3

x

2 2

Để hàm số có giới hạn tại x = 1 thì 1 a a a 2

x 2 x 2

u(x)lim f(x) lim

§8 Hàm số liên tục

A Tóm Tắt Giáo Khoa

1 Cho hàm số f(x) xác định trên (a ; b) và x0 ∈ (a ; b) :

o f(x) liên tục tại điểm x 0 Ù

0

x xlim f(x)

→ = f(x0)

o f(x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại x 0

Hình 1 : f(x) liên tục tại x0 Hình 2 : f(x) gián đoạn tại x0

( đồø thị liền lạc tại điểm (x0 ; f(x0)) ( đồø thị “ đứt đoạn tại điểm (x0 ; f(x0))

b) f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] Ù

4 Tính chất của hàm số liên tục :

Định lí : ( Định lí về giá trị trung gian )

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b] Nếu f(a) ≠ f(b) thì ∀ M nằm giữa f(a) và f(b) , tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a ; b) sao cho f(c) = M

Hệ quả : Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a ; b) sao cho f(c) = 0

• Phát biểu khác :

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a; b]

và f(a).f(b) < 0 thì phương trình : f(x) = 0

có ít nhất một nghiệm ∈ (a ; b)

o 0

thì hàm số gián đoạn tại x0

Ví dụ 1 : Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0

a)

2 2

x x ; x 1f(x) x 1

1 ; x 08

f(b)

•

sin x 1 sin 0 1 1lim f(x) lim

Vậy f(x) gián đoạn tại điểm x0 = 0

Ví dụ 2 : Định a để hàm số sau liên tục rại điểm x0 = 2

Dạng 2 : Chứng minh hàm số liên tục trên một khỏang , đoạn

Sử dụng định nghĩa và nhớ mọi hàm số đa thức , hữu tỉ , vô tỉ , lượng giác đều liên tục tại mọi điểm mà nó xác định

Ví dụ 3 : Chứng minh hàm số sau liên tục trên [1 ; + ∞ ) :

Từ (1) và (2) hàm số liên tục trên [ 1 ; + ∞ )

* Ví dụ 4 : Định a và b để hàm số sau liên tục trên R :

f(x) =

2 2 2

⎨

⎩

• Xét x > 1 : f(x) = 2x22 ax 1 2x2 ax 1

x x 2 (x 1)(x 2)

=+ − − + xác định nên f(x) liên tục khi x > 1

• Xét x < 1 : f(x) = bx2 – 3x + 4 xác định nên f(x) liên tục khi x < 1

Vậy hàm số liên tục trên R Ù f(x) liên tục tai x = 1 Ù a 1 a 1

Ví dụ 5 : Chứng minh phương trình :

a) x4 – 3x3 + 2x – 1 = 0 có ít nhất 2 nghiệm

b) sin3x = 3 – x có nghiệm

Giải : a) Xét hàm số f(x) = x4 – 3x3 + 2x – 1 liên tục trên R

Lại có : f(0) = - 1 < 0 , f(3) = 34 – 3 33 + 2 3 – 1 = 3> 0 , f( - 1) = (-1)4 – 3.(- 1)3 + 2( - 1) – 1 = 1

Vì f(0).f(3) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0 ; 3)

Vì f(0) f(-1) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (- 1; 0)

Vậy phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm

b) Ta có : sin3x = 3 – x Ù sin3x + x – 3 = 0

Xét hàm số f(x) = sin3x + x – 3 liên tục trên R

Lại có : f(0) = sin0 + 0 – 3 = - 3 < 0

f(π =) sin3π + π − > 3 0

Vì f(0).f( π ) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm ( thuộc (0 ; π ))

Ví dụ 6 : Chứng minh phương trình :

a) m(x – 1)3 (x2 – 4) + x4 – 3 = 0 có ít nhất 2 nghiệm với mọi m ,

b) x3 - 2(m2 + 2) x2 + mx +m2 + m + 1 = 0 có đúng 3 nghiệm với mọi m

Giải : a) Xét hàm số : f(x) = m(x – 1)3 (x2 – 4) + x4 – 3 liên tục trên R ,

Ta có : f(1) = m.0 + 14 – 3 = - 2 ; f(2) = f(- 2) = m,0 + 24 – 3 = 13

Vì f(- 2).f(1) < 0 và f(1).f(2) < 0 nên phương trình có ít nhất 2 nghiệm thỏa : - 2 < x1 < 1 < x2 < 2

Ghi chú : Ta ưu tiên chọn các giá trị của x làm mất tham số m là x = 1 , x= ± 2

b) Xét hàm số f(x) = x3 - 2(m2 + 2)x2 +mx + m2 + m + 1 liên tục trên R

Ta có : f(0) = m2 + m + 1 > 0 , với mọi m

f(1) = 1 - 2(m2 + 2) +m + m2 +m +1 = - m2 + 2m - 2 < 0 , với mọi m

Suy ra : f(0).f(1) < 0 , ∀ m Do đó phương trình : f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm ∈ ( 0 ; 1)

C Bài Tập Rèn Luyện

4.65 Xét tính liên tục của hàm số tại x0 :

1 ; x 14

a( x 1 2x 1) , x 0

x (a 1)x b ,x 0

x1; x 0

liên tục trên R

4.68.Tìm a để hàm số f(x) =

32x 4 2 nếu x 2

a) cos2x - x 0= có ít nhất 1 nghiệm

b) x4 – x3 – 9x2 + 2x + 14 = 0 có đúng 4 nghiệm

c) x4 + x – 10 = 0 có ít nhất 2 nghiệm

c) Phương trình : cos2x + acosx + bsinx = 0 có nghiệm , ∀ a , b

d) Phương trình : msin π x + m – x = 0 có nghiệm , ∀ m

e) (m2 + 2m + 2)(x – 1)5 + x – m2 + 2m = 0 có nghiệm , ∀ m ∈ [ 1 ; 2]

4.72 Cho phương trình f(x) = ax2 + bx + c = 0 Biết a f(c ) < 0 , chứng minh phương

trình : a(ax2 + bx + c)2 + b( ax2 + bx + c) + c = x có nghiệm

D Hướng Dẫn – Đáp Số

2( 5 x 2)(x 1)