tài liệu môn toán tích phân và ứng dụng

tổng hợp tài liệu ôn tập môn toán ,tài liệu ôn tập môn toán đầy đủ chi tiết dành cho học sinh lớp 12 và giáo viên nghiên cứu học tập và tham khảotổng hợp tài liệu ôn tập môn toán ,tài liệu ôn tập môn toán đầy đủ chi tiết dành cho học sinh lớp 12 và giáo viên nghiên cứu học tập và tham khảo

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 1 -

1/ Khái niệm nguyên hàm

Hàm số f x( ) xác định trên K Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của f x( )trên K nếu:

Nếu: Bậc tử ≥ Bậc mẫu  PP → Chia đa thức

Nếu: Bậc tử < Bậc mẫu  PP → Đồng nhất thức

4/ Các phương pháp tính nguyên hàm thường gặp

Tích của đa thức hoặc lũy thừa  PP → Khai triễn

Tích các hàm mũ  PP → Khai triễn theo công thức mũ

Chứa căn  PP → Chuyển về lũy thừa

Tích lượng giác bậc một  PP → Biến đổi tổng thành tích

Bậc chẳn của sinx và cosx  PP → Dùng công thức hạ bậc

Hàm hữu tỉ (không chứa căn) 







Phương pháp đổi biến số

Nếu ∫ f u du( ) =F u( )+C C, ∈
và u = u x( ) có đạo hàm liên tục thì:

 Nhận dạng : Tích 2 hàm khác loại nhân nhau (mũ nhân lượng giác, log nhân đã thức,…)

 Cách chọn : thứ tự ưu tiên chọn u là “log – đa – lượng – mũ” và dv là phần còn lại

Nghĩa là : Nếu trong bài toán tìm nguyên hàm có chứa lnx thì ta chọn u = lnx, còn dv là phần còn lại, nếu không có ln hoặc log thì ta chọn u là đa thức, dv

 Khi tính nguyên hàm cần phải nắm vững bảng nguyên hàm cơ bản và phép tính vi phân

 Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần Điều đó cũng đồng nghĩa với khẳng định: “Muốn

tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc

hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm)”

 Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm hàm số không bao giờ bằng

tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần

 Khi tính nguyên hàm của hàm lượng giác, cần nắm vững công thức biến đổi

lượng giác

Vi phân Nguyên hàm

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 3 -

II – Dạng toán 1 Tính nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản

Phương pháp: Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản

Lưu ý :

 Để sử dụng được phương pháp này cần phải :

Nắm vững bảng nguyên hàm

Nắm vững phép tính vi phân

 Để chứng minh F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) Ta chứng minh: F' x( )= f x( )

 Để tìm điều kiện của tham số sao cho F x( ) là 1 nguyên hàm của hàm số f x( ), ta thực hiện:

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 5 -

Bài 3 Chứng minh F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( )

4ln

32

x

F x

xx

2 1ln

x x

x x

III – Dạng toán 2 Tính nguyên hàm ∫ f x dx ( ) bằng phương pháp đổi biến số

Phương pháp

Nếu f x( ) có dạng f x( )= g u x u' x ( ) ( ) thì ra đặt t= u x( )⇒ dt=u' x dx( )

Khi đó: ∫ f x dx( ) =∫ g(t).dt Trong đó ∫ g(t).dt dễ tìm được

Lưu ý rằng: Sau khi tính∫ g(t).dt ta phải trả lại t = u x( )

Lưu ý Thường gặp các trường hợp sau:

Dạng nguyên hàm Cách đổi biến

2 2

2 2

1cos

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 7 -

3

5 2

xdxx+

cos

xdxx

∫

m/

3

x x

∫

p/

3

ln xdxx

1x

dx

e +

tan 2cos

xedxx

∫

Bài 2 Tính các nguyên hàm sau

a/

( )3 21

dxx

−

( )3 21

dxx+

dxx

dxx+

∫

g/

2 21

x dxx

xdx

x −

2

1.3

dx

x −

∫

∫ ĐS: F x( )=ln cos( x) tanx +tanx− +x C

Phương pháp

 Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì ∫ u.dv=u.v−∫ v.du

Chọn

 Nhận dạng : Tích 2 hàm khác loại nhân nhau (mũ nhân lượng giác, log nhân đã thức,…)

 Cách chọn : thứ tự ưu tiên chọn u là “log – đa – lượng – mũ” và dv là phần còn lại

Nghĩa là : Nếu trong bài toán tìm nguyên hàm có chứa lnx thì

ta chọn u = lnx,còn dv là phần còn lại, nếu không có ln hoặc log thì ta chọn u là đa thức, dv là phần còn lại,…

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 9 -

( 1)

xxedx

x +

1

xe

e dxx

++

Bài 2 Tính nguyên hàm của các hàm số sau

2

sin.cos

dxx

+

∫

p/

2 sin

xdxx

cos x

2 2( 2)

xdxx+

∫

x− x

sin cos

xdx

x + x

sin cos

x dx

xdx

xdx

e e

−

−+

V – Dạng toán 4 Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng hàm phụ

Đặt vấn đề: Xác định nguyên hàm của hàm số f x( ), ta cần tìm một hàm g x( )sao cho nguyên

hàm của hàm số f x( )±g x( ) dễ xác định hơn so với f x( ) Từ đó suy ra nguyên hàm của f x( )

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 11 -

tiến hành chia đa thức, rồi dùng công thức trong bảng nguyên hàm để tính

Nếu bậc của tử P x( )< bậc của mẫu Q x( ) và Q x( ) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân

3 2 ln3

+ Nếu ∆ ≥0 ta tiến hành đồng nhất thức bình thường⇒ Kết quả

+ Nếu ∆ <0 ta biến đổi ( )

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 13 -

11/

2

1 1

5 4 3

8 4

1

x dxx

−

2 4

1

x dxx

1

4 1

x

dxx

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 15 -

x

dx

++ +

11

xdxx

++

x dx

x +

( )3 2

x dxx

−

7 2

∫

17/

41

dxx

−

2 51

11

xdxx

−+

11

xdxx

++

x dxx+

VII – Dạng toán 6 Tính nguyên hàm lớp hàm vô tỉ (chứa căn thức)

Nếu gặp nguyên hàm chứa căn thức dạng f  u x v x dx( ) ( ) →PP 90%

cot

tt

f x a x .dx

ax

sincos

tt

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 17 -

dxI

Bài 1 Tính nguyên hàm của các hàm số sau

x +

2

1

2

2 8

xdxx+

2

1.6

dxx

2

25

xdx

1

xdxx

dxx

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 19 -

3 3

Một số phương pháp đổi biến thông thường đối với lớp nguyên hàm lượng giác

 Dạng: I1 = ∫ f cosx sinx.dx( ) → =PP t cosx

 Dạng: I2 = ∫ f sinx cosx.dx( ) → =PP t sinx

2 2

PP

1

I f tanx dx

t tanxcos x

I f tanx 1 tan x dx3

t

21

 =

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 21 -

18/ ∫ sin sin 3x xdx 19/ ∫ cos 7 cos 3 x x dx

21/ ∫ sin 5 cos x x dx 22/ ∫ sin sin 2 cos 5x x xdx

23/ ∫ cos cos 2 cos 3 x x x dx 24/ ∫ cos 5 cos 4 sin 3 x x x dx

−+

xdxx

3 2

sin.cos

xdxx

1 sin

xdxx+

4 cos

xdxx

sin 2x

−+

4 cos

xdxx

sin cos

1 cos

dxx+

2sin 2 1x +sin x dx

1 cos 3

dxx

−+

∫

27/ cos 2

1 cos

xdxx+

cos 2

.sin cos

xdx

4

1.sin xdx

1 cos

xdxx

−+

∫

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 23 -

37/

sin cossin cos

1 cos

xdxx+

∫

2sin 2 1x +sin x dx

tan 2cos

xedxx

∫

5/

1 tan

dxx+

2

tan 1cos

x

dxx

sintan 1 cos

xdxx

∫11/

3tancos 2

xdxx

sincos

xdxx

3 11sin cos

dx

∫

9/

3sin cos

dx

4tancos 2

xdxx

7 cos 2

xdxx+

1 3 cos

dxx

++

∫

5/

2

1sin cot

++

∫

11/

2

tancos 1 cos

3 3

sin sin

cot sin

x dxx

−

3 3

tan cos cos

.cos

dxx

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 25 -

3 sin 4 sin 6 3 sin 2

xdxx

∫

17/

2cossin 3 cos

xdx

Bài 8 Tính nguyên hàm các hàm số

cosx

xdxx

1 cos 2

xdxx+

∫17/ sin2x.sin cos3

++

∫19/ 2 sin x

x e x dx

.sin cos ,x

2

ln coscos

xdxx

27/

3 2 4

tancos

xdxx

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 27 -

B – TÍCH PHÂN

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Khái niệm tích phân

Cho hàm số f x( ) liên tục trên K vàa, b∈K Hàm số F x( ) gọi là nguyên hàm của f x( )trên K thì F b( ) ( )−F a được gọi là tích phân của f x( )từ a đến b và được kí hiệu là

dxx

−

2 2

xdx

x +

4 1

2 2

4x

dxx

−

+

2 1

2

dxx

−

2 1

e

dxx

∫m/

8

3 2

14

 Biến đổi biểu thức để sử dụng được bảng nguyên hàm cơ bản Sau đó, tìm nguyên hàm F x( )

của f x( ), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân: b ( ) ( ) ( ) ( )

 Một số phép biến đổi biểu thức cơ bản:

+ Nhân phân phối: (a +b c)( −d)= ac−ad+bc−bd……

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 29 -

xdxx+

4 2 0

( 1)

xdx

x x

++

2

5 3 1

π

0sin 3x cos 2x dx

tancos

xdxx

π

3

2 4

3 tan xdxπ

π

6

2 cot x 5 dxπ

1 cos

1 cos

xdxx

π

−+

2

0sin xcos xdx

xdxxπ

2 1

1ln

x dx

++

1 20

42

x x

e

dxe

−+

edx

e +

2 11

edx

∫

g/

2

cos 0

sinx

π

4 1

xedxx

1

1 lne

xdxx

1 0 x

x e dx

1 0

1

1 x dxe+

π

−+

0

cos cosx

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 31 -

Biến đổi thuận, đặt x =φ( )t :

14/ Dạng ∫ f( x2 +a2).x .dx Đặt x a t

x a t

tancot

sincos

tt

 Khi gặp dạng  fx gx dx đ "ô  trừ các trường hợp trên

 Đổi biến thì phải đổi cận : $ % &

0 1

xdxx+

5 2 1

xdx

21

dxx

++

ln 2

0 1

x x

edxe+

e

xdxx

+

1

1 3 ln lne

x xdxx

cos sin

1 sin

dxx

π+

p/

3 2 4

0

sincos

xdxx

π

2 0

cos sin cos

2 sin

dxx

π

++

2

2 0

sin 2

1 cos

xdxx

π+

∫

s/ π4 ( )2

2 0

tan 1cos

x

dxx

+

π 2

π 4

2

3 cot 1sin

xdxx

+

π 4 0

cos 2sin cos 2

0 2

dxx+

1

3 2

0 1

dxx+

1x

dxx

0 1

dxx+

−

2

2 0

xdxx

+

−

1 0

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 33 -

Nhận dạng : Tích 2 hàm khác loại nhân nhau (mũ nhân lượng giác, log nhân đã thức,…)

Cách chọn : thứ tự ưu tiên chọn u là “log – đa – lượng – mũ” và dv là phần còn lại

Cần lưu ý :

 Bậc của đa thức, củalnứng với số lần lấy tích phân Cách chọn u và dv lần sau cũng theo cách chọn trên

 Đôi khi tính tích phân từng phần mà chưa có dạng cụ thể, ta phải dùng các công thức đại

số, lượng giác hoặc kết hợp phương pháp đổi biến số thì mới xuất hiện các dạng cụ thể

 Một số trường hợp, khi tính ta bắt gặp sự lập lại tích phân ban đầu (tích phân luân hồi) hoặc gặp một tích phân mà làm triệt tiêu một tích phân, chẳng hạn như:

2

e 21

α β

2

α

2TPTP

1sin x u

I

dxdx

I

sin x

dxcos x'

ln xdxx

2 2 1

ln xdxx

ln 1 x

dxx

+

2 3 1

ln xdxx

∫

16/

e

2 1

3 ln1

xdxx

++

∫19/

e

1

3

2x lnxdxx

ln 12

xdxx

++

e

3 2 1

ln

x x dx

e 21

ln xdxx

xdx

1ln1

ln 11

xdxx

++

1

1 ln

dxx

+

2 1

.log

x x dx

10 2 1

lg

x xdx

10 2 1

1

ln

xdxx

e 31

1 ln

x

x dxx

+

1 0

1 ln 1

1

dxx

+

2 1

ln1

x

x+

π 4 0cos 2 ln cosx x dx

∫

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 35 -

π 2 0cos ln 1x +cos x dx

cos lnx dx

π e 1cos lnx dx

π 2

π 2

π 6

cos ln tanx x dx

2 0

ln coscos

xdxx

xdxx

π 6

2

cos ln sin

.sin

dxx

π 4

2

ln tan

.cos

xdxx

x e + dx

ln 2 2 0 x

x

x e dx

2 2 0

++

2 3 1

1x

1

x

x edx

1x

x

dxe

+

1 20

2x

1 4

cos 1 xdxπ

−

−

∫

4/

3

3

3 0

π

4 0sin 2

x x dx

π

2 2 0

π

3 2 4sin

xdxxπ

π

1

2 0

sincos

dxx

π+

1

2 2 0

sin.cos

dxxπ

1 cos

dxxπ

π

++

2

2 2 0

e xdx

π

2 0 cos x

e x dx

π

2 0sin 3x

sin 3x

cosx

π

2 3 0sin 5x

sin 4x

π

2 sin 0sin 2x

π

2 cos 0sin 2x

sin cosx

π+

π 4

2 0

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 37 -

13/

1

2 0

sinx

e πxdx

1

2 2 0

sinx

1

x + dx

1 2 0

3

x + dx

1 2 0

1cos xdx

π

2 4 4

1sin xdxπ

π

4 6 0

1cos xdx

2x −1.dx

3 2 3

x −x dx

2 2 0

 Bước 1 Xét dấu f x( ) trên đoạn a b, 

  Giả sử trên đoạn a b, , phương trình f x( )=0 có nghiệm c∈  a b,  và có bảng xét dấu như sau:

x −−∞∞∞ a c b +∞∞( )

13/

4

3 0

π

−

3 4

4cos 2 x dxπ

π

0cos sin x x dx

1 cos xdx

π+

cosx cosx cos xdxπ

dx

xx

x x +

3

3 1

dx

x +x

1 2

11

dxx

+ ++

2 1

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 39 -

1

x

dxx

++

2 0

4

dxx

11

dxx

+ ++

11

x

dx

−+

3 4

2 2

4 1

11

xdxx

−+

2 0

21

xdxx

−+

1.4

dxx

− ++

2 2 0

dxx

1 2 1

.1

xdx

.1

xdx

.1

1.1

xdxx

−+

1.dx

1

4dx

x −

3 22 0

.1

xdx

.1

xdx

.1

xdx

x +

∫

1

7 3

dxx

1 3

x

dxx

+ ++ +

1 0

.1

xdx

x +

0 4

1.1

x

dxx

−+

xdx

x +

5 2

4

xdxx

+

9 3 1

1 2

x + x dx

2 3

2 3 1

1

.1

1

x

dxx

++

∫

16/

2 2

2 0

.1

xdx

x +x dx

1

3 2 0

1

x x

dxx

−

∫

HÀM SỐ VÔ TỈ (chứa căn)

Xem lại phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số vô tỉ

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 41 -

16/

2 2

2 1

1

2 22

2

x

dxx

−

2

2 1

1

29

2 3

3

2

x

dxx

2 1

dxx+

.1

xdxx

2

1

xdxx

−

2 0

2

xdxx

−

3 2

2 0

1.9

dxx

0 1

dxx

−

6 2 2

1

xdxx

−

2 2 1

1+x dx

2 2 1

5

1

9 25x dx

3+

2 1

1

xdxx

1

xdxx

0 1

dxx+

xdxx

+

−

2 1

1 11

x

−+

2 3 2

1 22

x

−+

Page - 42 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”

25/

2

5 2 2

1

1dx

1

xdxx

2 1

12x−4x −8dx

3

2 0

sinx cosx cos xdx

cos

2 cos

xdxx

π+

sin 2 sin

1 3 cos

dxx

π

++

3 0

cos

2 cos 2

xdxx

π+

∫

7/

2

2 0

cos

1 cos

xdxx

tancos 1 cos

sin 2 sin

1 3 cos

dxx

π

++

e dx

e +

2 3 1

1x

x

edx

e −e−

ln 2 0

1x

edx

e −

1

1 3 ln lne

x x

dxx

dxx

ln

ln 1

e

xdx

edx

−+

3 2 2 1

log

1 3 ln

e

xdx

x

dxe

++

∫

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 43 -

π

2

4sin 4 sin 6 x x dxπ

−

2 0sin sin 2 cos 5x x xdx

π

4 2 0sin xdx

tan xdx

π

4 2 6cot xdxπ

π

3 4 4tan xdxπ

cot 3xdxπ

π

3 3 4cos xcos 3xdxπ

π

4 3 0sin xsinxdx

cos xcos 2xdxπ

xdxx

π

3 3 4cos xcos 5xdxπ

sin xdx

π

3 5 0sin x dx

π+

sincos

xdxx

π

2 0

cos 2

1 cos

xdxx

π+

∫

7/

2 0

sin

1 cos

xx

π

4 0tan xdxπ

∫

10/

2

3

1sinxdxπ

π

0sin cosx x 1 cosx dx

π

+

2 0

sin 2 sin

1 3 cos

dxx

π

++

dxx

π +

2 0

sin 3

1 cos

xdxx

π+

∫

16/

2 0

sin

1 cos

xdxx

2

x

dx x

π

−+

sin 2

4 cos

xdxx

π

−

3 0

2 sin 2 sin

6 cos 2

dxx

4 sin

1 cos

xdxx

cos

1 cos

xdxx

π+

2

2 0

sin 4

1 cos

xdxx

π+

xdxxπ

π

2 3 0sin xcosxdx

cos xdxπ

π

2 3 2 6

cossin

xdxxπ

sin xcosxdx

π

2 0

cos sin cos

2 sin

dxx

π

++

2 3

6

cossin

xdxxπ

sin 2

2 sin

xdxxπ

3 4 6sin cos

π

−+

cos

2 cos 2

xdxx

π+

∫

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 45 -

17/

3

0

cos 3sin

xdxx

π

2 sin 0

sin 2 x

π

2 0

cos

1 cos

xdxx

π+

∫

23/

2

2 0

sin 2

4 cos

xdxx

sin cos

1 cos

dxx

π+

6

2 0

sin 2

1 cos

xdxx

sin 4

1 cos

xdxx

π+

0sin 2 1x sin x dx

xdx

π

3 8

8sin cos

π+

∫

4/

4

4 0

1cos xdx

π

4 6 0tan xdx

π

4 3 0tan xdx

tan 1cos

x

dxx

π

6 3 0

tancos 2

xdxx

π

3

2 4

tan

.cos 1 cos

sin 2

dx x

π

+

4 0

cos 2sin 2 cos 2

xdx

sincos

xdxx

tancos

xdxx

0 cos

xedxx

cot sin sin

sin

dxx

π

−

2 4 4sin

dxxπ

3 cot 1sin

xdxxπ

π

+

4 2 6sin cot

cos sin cos 2sin

.sin

dxx

dxxπ

4

3 0

cos 2sin cos 2

cos 2sin cos 2

xdx

sin cossin cos

π

++

π

−+

∫

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 47 -

7/

2

6

1 sin 2 cos 2sin cos

sin

4sin2 2 1 sin cos

cos 2sin cos 3

π

1sin ln

2 1

π

1

2 0

sincos

dxx

π+

∫

16/

0

sinx

e xdx

π

4 0cosx

e xdx

π

2 2 0sin 3x

π

0sinx

sincos

x x

dxxπ

sinsin 2 cos

e dxx

π

++

4

2 0

x

x dxx

sincos

x

dxx

π

4 tan

2 0

tancos

x

dxx

π

4

2 3 3

0

4 sin

sincos

x

x x dxx

1/

2

3

1sinxdxπ

π

−

2 0

1

2 sinxdx

π+

sin

1 sin

xdxx

π+

π

+

2 0

cos

2 cos

xdxx

π

−

2 0

sin

2 sin

xdxx

π+

sin 7 cos 64sin 3sin 5

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 49 -

e dxe+

14

11

x x

edxe

−+

edx

edxe

ln(ln 1)

e

xdx

edxe

−

− +

ln 3 0

11

e xdx

π

2 2 0

x

xe dx

1 0

( x cos ) cos

π+

2 1

1 lne

xdxx

ln(ln )e

e

xdxx

2

ln ln(ln )e

e

dxx

ln xdxx

3 2 6

ln(sin )cos

xdxxπ

π

1 0

ln( 1)

1

xdxx

++

∫

HÀM SỐ MŨ – LOGARIT

Sử dụng các công thức về luỹ thừa và logarit Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm

Dạng 2 Nếu f x( ) liên tục và là hàm chẳn trên
thì ( ) ( )

x

f.dx f x dx

Để J bằng phương pháp đổi biến Đặt t = −x

Dạng 3 Nếu f x( ) liên tục trên đoạn 0;

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 51 -

1cos

dxx

cos ln(x x 1 x dx)π

sin1

dxx

−

++

π

2

2 2

4 sin

xdxxπ

cos

4 sin

dxxπ

4 cos

xdxxπ

−

−+

∫

Dạng 5 Tích phân bằng cách sử dụng tích phân phụ

Phươn pháp: Xác định tích phân của hàm số f x( ) trên đoạn a b, 

 , ta cần tìm một hàm g x( )sao cho tích phân của hàm số f x( )±g x( ) dễ xác định hơn so với f x( ) Từ đó suy ra tích phân của f x( ) Ta thực hiện các bước sau:

3x 1

xdxπ

π

−

++

n

xdx

xdx

xdx

xdx

sin

4 cos

dxx

π

−

2 0

cos

4 sin

dxx

π+

1 cos

xdxx

π+

∫

5/

2

3 0

π+

∫

9/

2 0

sin

1 cos

dxx

π

+

2 0

cos

4 sin

dxx

π

−

∫

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 53 -

xdx

cossin cos

xdx

xdx

cossin cos

xdx

xdx

xdx

xdx

xdx

e e−

1 1

x

edx

e e−

1 1

x

edx

VIII – Dạng toán 7 Tích phân truy hồi

Bài toán: Tính tích phân n b ( ) ( )

a

I =∫ f x n dx , n, ∈N phụ thuộc vào số nguyên dương n Khi đó,

ta thường gặp một số yêu cầu sau:

 Thiết lập công thức truy hồi, nghĩa là biểu diễn In theo các In k− với 1≤ ≤k n

 Chứng minh một công thức truy hồi cho trước

 Tính một giá trị

o n

I cụ thể nào đó

 Một số trường hợp, tính ta bắt gặp lập lại tích phân ban đầu (tích phân luân hồi) gặp tích phân mà làm triệt tiêu tích phân, chẳng hạn như:

2

e...

−

−+

∫

Dạng Tích phân cách sử dụng tích phân phụ

Phươn pháp: Xác định tích phân hàm số f x( ) đoạn a b,...

B – TÍCH PHÂN

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Khái niệm tích phân

Cho hàm số f x( ) liên tục K vàa, b∈K Hàm số F x( )