tài liệu môn toán mũ logarit

tổng hợp tài liệu ôn tập môn toán ,tài liệu ôn tập môn toán đầy đủ chi tiết dành cho học sinh lớp 12 và giáo viên nghiên cứu học tập và tham khảotổng hợp tài liệu ôn tập môn toán ,tài liệu ôn tập môn toán đầy đủ chi tiết dành cho học sinh lớp 12 và giáo viên nghiên cứu học tập và tham khảo

Trang 1

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

1) Khái niệm về Lũy thừa

Lũy thừa với số mũ tự nhiên: n= ,

a a a a a với n là số tự nhiên

Lũy thừa với số nguyên âm: −n= 1 ,

n a

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương

3) Các công thức cơ bản của Lũy thừa

Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức :

Tài liệu bài giảng:

01 MỞ ĐẦU VỀ LŨY THỪA

Thầy Đặng Việt Hùng

Trang 2

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2

11 16

a

+ +

Trang 3

4442

a B

a a a

B

a a

Trang 4

Bài 4: Cho hàm số ( ) 4

=+

x x

π2

 

 

10 4

35

 

 

  và

5 2

47

Trang 5

1) Khái niệm về Logarith

Logarith cơ số a của một số x > 0 được ký hiệu là y và viết dạng =log ⇔ = y

Khi a = 10 thì ta gọi là logarith cơ số thập phân, ký hiệu là lgx hoặc logx

Khi a = e, (với e ≈ 2,712818…) được gọi là logarith cơ số tự nhiên, hay logarith Nepe, ký hiệu là lnx, (đọc là len-x)

2) Các tính chất cơ bản của Logarith

• Biểu thức logarith tồn tại khi cơ số a > 0 và a ≠ 1, biểu thức dưới dấu logarith là x > 0

log 32=log 2 =5;log 16=log 2 =log 2 =8

Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:

a)

3 2 5

02 CÔNG THỨC LOGARITH – P1

Trang 6

a)

1 1 3

a a

a

+ + +

Áp dụng công thức (1) ta được : ( ) log log

log =log a x+ a y =log +log ⇒

log 81=log 27.3 =log 27+log 3=log 3 +log 3= + =3 1 4

a)

4 2

4 10log 4 16 log 4 log 16 log 2 log 2 2

b)

1 3

1

3 3

Trang 7

Ví dụ 3: Cho biết loga b=2;loga c= 2 Tính giá trị của loga x với

a) x=a b3 2 c

b) x= ab3 a bc3

Công thức 4: log   log log = −     a a a x x y y , (4) Chứng minh: Áp dụng công thức (2) ta có log log log log log log −  =  → = =  =  a a a a a a x x x y y y x a x a a y a y a Áp dụng công thức (1) ta được : log log log   log − log log = = − ⇒     a x a y a a a a x a x y dpcm y Ví dụ 1: 4 5 3 2 3 2 3 2 2 2 2 32 5 4 7 log log 32 log 16 log 2 log 2 2 3 6 16 = − = − = − = Ví dụ 2: Cho biết log 1;log 3 3 a b= a c= Tính giá trị của loga x với a) 2 3 2 ab c x abc =

b) 5 3 3 4 a bc x a abc =

Ví dụ 3: Tìm tập xác định của các hàm số sau : a) 1 2 1 log 5 x y x − = + b) 2 1 5 5 1 log log 3 x y x  +  =   +   c) 2 3 log 1 x y x − = + f) 2 0,3 3 2 log log 5 x y x  +  =   +   d) 2 1 2 2 1 log log 6 1 x y x x x − = − − − +

2

1

6

x x

1 log

x y

x

−

=

−

Hướng dẫn giải:

2

1 log

5

x

y

x

−

=

+ Điều kiện :

1 2

1

0

1 1

x

x x

−

 >  >  < − >  < − >

 Vậy D= +∞(1; )

b)

2

5

1 log log

3

x y

x

+

  Điều kiện :

2 3

2

1

3

x

+



3; 2 2;7

x

− < < − >



< − − < <



Phần còn lại các em tự giải nốt nhé!

Trang 8

3) Các công thức về logarith (tiếp theo)

Công thức 5: log m= log

2 3

Công thức 6: loga n b=1loga b

n , (6) Chứng minh:

5

2 2

2

2 2

2

1log 16 log 16 log 16 2.4 8

121log 64 log 64 log 64 5.6 30

15

Hệ quả: Từ các công thức (5) và (6) ta có : log n m= log

a a

Trang 9

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức

1

3 4

1 3

3

27log 27 log

9

a, (7) Chứng minh:

+ Để cho dễ nhớ thì đôi khi (7) còn được gọi là công thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau

loga b=loga c.logc b

+ Khi cho b = c thì (7) có dạng log log 1

Ví dụ 1: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:

a) Cho log 142 = a → =A log 492 =?

b) Cho log 315 = a → =B log 1525 =?

Hướng dẫn giải:

a) Ta có log 142 = ⇔ =a a log2( )2.7 = +1 log 72 ⇒log 72 = −a 1

Khi đó A=log 492 =2log 72 =2(a−1 )

b) Ta có

3 15

3 25

a Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết ta có log 3 log 1

3

Trang 10

.2

a a

d) 36log 5 6 +101 lg2− −3log 36 9 =6log 25 6 +10log5= + =25 5 30

Ví dụ 4: Tính giá trị của các biểu thức sau :

Trang 11

log 2 log 3 log 2011 log 1.2.3 2011 log 2011!

Ta có logax log log log

a +b =c a> b> c> c± ≠b , thì logc b+ a+logc b− a=2 logc b+ a.logc b− a

b) Nếu 0<N≠1thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là :

b) Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : b2=ac

Lấy logarith cơ số N hai vế ta được 2 log log log 1 1 1 1

c C=log 1353 Biết: log 52 =a;log 32 =b

d D=log 356 Biết : log 527 =a;log 78 =b;log 32 =c

e Tính : log 32 Biết : 49 log 142 =a

Trang 12

log 3.log 5 log 7

log 35

b a

b a b D

++

Trang 13

* loga b.logb c.logc a= ⇔1 loga b.logb a=loga a=1

Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn hơn 1

Theo công thức (7): log log .log log ( log )log log

log =log log ⇒ b c = b a a c ⇔ b c = a c b a= b a⇒

1 log 27

49 =2 =2 =4; 2 =27 =27 =3 3

36 3 3

b)

2 3

Trang 14

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831

=

Vậy phương trình có nghiệm x = 0; x = 20

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:

2 x 1 2

Trang 15

1

x x

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = –2.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x= ± 3

Các ví dụ giải mẫu trong video:

Trang 16

2

01

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x=0,x= −2

3 3

x

x x

Trang 17

Đặt 2

2 5

3

x e

x x

x x x

Trang 18

III PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Dạng 1: Phương trình chia rồi đặt ẩn phụ

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = −1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

04 PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P2

Trang 19

Trang 20

x x

0

1log

2 2

Trang 21

49

x u

Trang 22

1

=+

Trang 23

IV PHƯƠNG PHÁP LOGARITH HÓA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Cách giải:

Lấy logarith cơ số a hoặc cơ số b cả hai vế của (1) ta được

1 ⇔loga a f x b g x =loga c⇔loga a f x +loga b g x =loga c⇔ f x( )+g x( ) loga b=loga c, 2

(2) thu được là phương trình bậc nhất của x, hoặc phương trình bậc hai có thể giải đơn giản

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0

x

x x

− + = c) 2x−3=5x2− +5x 6 d) x2lgx=10x

Trang 24

Vậy phương trình có hai nghiệm 2 ; 1

log 5

x x

BÀI TẬP LUYỆN TÂP:

Bài 1 Giải phương trình

Bài 3: Giải các phương trình sau :

c) log 2 2 log 6 2 log 4 2 2

Trang 25

b)

3 1

3 2

x x

c) log 9 2 = 2.3log 2x − log 3 2

x x x Sử dụng công thức : logc b= logc a

a b Phương trình biến đổi thành :

3

101

7log

x t

c) log 2 2 log 6 2 log 4 2 2

Trang 26

1 log 2

x x

V PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Cơ sở của phương pháp:

Xét phương trình f(x) = g(x), (1)

Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) và f(x) là hàm hằng thì (1) có nghiệm duy nhất x = x o

Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) và f(x) nghịch biến (hoặc đồng biến) thì (1) có nghiệm duy nhất x = x o

Các bước thực hiện:

Biến đổi phương trình đã cho về dạng (1), dự đoán x = xo là một nghiệm của (1)

Trang 27

Chứng minh tính đồng biến, nghịch biến hay hằng số của (1)

Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến kết luận ở trên để chứng tỏ khi x > x o và x < x o thì (1) vô nghiệm Từ đó ta

được x = x o là nghiệm duy nhất của phương trình

Chú ý:

Hàm f(x) đồng biến thì x 2> x 1 →f ( x ) 2 > f ( x ) ; f(x) nghịch biến thì 1 x 2 > x 1 →f ( x ) 2 < f ( x ) 1

Hàm = u( x )→ ′ = ′ u( x )

( x )

f ( x ) a f ( x ) u a ln a Khi a > 1 thì hàm số đồng biến, ngược lại hàm nghịch biến

Tổng hoặc tích của hai hàm đồng biến (hoặc nghịch biến) là một hàm đồng biến (hoặc nghịch biến), không có tính chất tương tự cho hiệu hoặc thương của hai hàm.

Với những phương trình có dạng f x;a( u( x ))=0, hay đơn giản là phương trình có chứa x ở cả hệ số và trên lũy thừa, ta coi đó là phương trình ẩn là hàm mũ và giải như bình thường Bài toán sẽ quy về việc giải phương trình bằng phương pháp hàm số để thu được nghiệm cuối cùng.

Dạng 1: Phương trình sử dụng sự biến thiên của hàm số mũ

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau

Từ đó ta thấy f(x) đồng biến, còn g(x) nghịch biến

Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của (1)

Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của (2)

Khi x > 2 thì f(x) < f(2) = 1 → (2) vô nghiệm

Khi x < 2 thì f(x) > f(2) = 1 → (2) vô nghiệm

Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của (3)

Khi x > 1 thì f(x) < f(1) = 1 → (3) vô nghiệm

Khi x < 1 thì f(x) > f(1) = 1 → (3) vô nghiệm

Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Trang 28

  luôn nghịch biến trên R, hàm số y = 3x + 10 luôn đồng biến trên R Do đó x = −2 là nghiệm duy

nhất của phương trình (*) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x=0,x= −2

Chứng tỏ x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Trang 29

Suy ra f(x) là hàm nghịch biến, nên phương trình sẽ có nghiệm duy nhất

Mặt khác f(1) = 0, vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Ta lập bảng biến thiên sẽ suy ra hai nghiệm của phương trình, sẽ không còn nghiệm nào khác

Dạng 2: Phương trình sử dụng phép đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Ví dụ Giải các phương trình sau

(*) là phương trình quen thuộc ở ví dụ 1 đã xét đến, ta dễ dàng tìm được nghiệm x = 1 là nghiệm duy nhất của (*)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1

Từ đó ta được f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến

Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của (**)

( ) (2) 1

f x f x

Trang 30

( ) (2) 1

f x f x

2

23

Ta nhân hai vế phương trình với 3 ta được 2 ( ) ( ) ( ) ( )

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0, x = 1

Trang 31

Mặt khác f(1) = 0 nên phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1

x

t

x

f x t

x

f x

Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến Mặt khác f(1) = 0 nên f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1

Vậy chứng tỏ phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 và x= −log 3.2

Khi đó, phương trình đã cho trở thành : ( )

Trang 32

V PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ (tiếp)

Dạng 3: Sử dụng hàm đặc trưng giải phương trình mũ

Phương pháp:

+ Biến đổi phương trình đã cho vè dạng f u x[ ( )] [ ]= f v x rồi xét hàm đặc trưng f(t) ( )

+ Chứng minh rằng f(t) luôn đồng biến hoặc nghịch biến, khi đó ta thu được u(x) = v(x)

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

Trang 33

Do cos 720 =sin18 ;cos 360 0=sin 540 =sin 3.180

Cho nên đặt t=t=sin180>0, và dùng công thức nhân ba ta có :

4

5 1sin184

Chứng tỏ hàm số f(x) luôn nghich biến Mặt khác f(2) = 0 nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

VI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Dạng 1: Biến đổi về phương trình tích

4x −x+2−x =2x− +1

c) 2.2x+1+2x− +3 2 = 2.2x− +3 4 +2x−1

x x d) 2x2+x −4.2− +x x2 −22x+ =4 0

Trang 34

Trang 35

VII PHƯƠNG TRÌNH MŨ CÓ THAM SỐ

Ví dụ 1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 2 x+2−x− =5 0

a) Giải phương trình với m = 3

b) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Bài 1 Cho phương trình 34 2− x2 −2.32−x2 +2m− =3 0

a) Giải phương trình khi m = 0

b) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm

Trang 36

Bài 5 Tìm m để phương trình 9x+ −1 x2 −8.3x+ −1 x2 + =4 m có nghiệm duy nhất

Hướng dẫn:

Đặt t= +x 1−x2 ⇒− ≤ ≤1 t 2

Trang 37

I PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

Khái niệm:

Là phương trình có dạng loga f x( )=loga g x( ), 1 ( )

trong đó f(x) và g(x) là các hàm số chứa ẩn x cần giải

Cách giải:

- Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa

0; 1 ( ) 0 ( ) 0

Trang 38

a) log (log4 2x)=log (log2 4 x ) b) log2x+log3x+log4x=log20 x

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) log2x x( −1)=1 b) log2x + log (2 x − = 1) 1

8

log ( x 2) 6.log 3 x 5 2 d) log (2 x − + 3) log (2 x − = 1) 3

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) log (2 x + + 3) log (2 x − = 1) 1/ log 25 b) log4x + log (104 − = x ) 2

5

a) log (9 x + − 8) log (3 x + 26) 2 0 + = b) log3x+log 3 x+log1/3x=6

16

1 6log (5x+ −25 )x = −2

Trang 39

I PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN (tiếp theo)

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau

2lg

1lg

lg2

−+

−

=

x x

x

11 4

75 log 2 log

1 3

2 32

a) log4{2 log 1 log (1 3log3[ + 2 + 2x)] }=1 b) log 2 x + 4 log4 x + log8x = 13

c) log3 log9 log81 7

2

x

x x

2loglog

log.log

125 5

25

a) log (9 2 5 6)2 1log 3 1 log3 3

II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA THEO MỘT HÀM LOGARITH

Ví dụ 1 Giải phương trình sau

a) 2 log22 x−14 log2 x+ =3 0 b) log22 x+log2x3− =4 0

c) log (2 )32 x =2 log22x−9 d) log3 log 3 log3 log 3 1

Trang 40

Định dạng
Số trang	89
Dung lượng	4,12 MB