Tích phân ngẫu nhiên đối với martingale

Do đó đã được các nhà toán học và các nhà kinh tế nghiên cứu và phát triển.Phạm vi của luận văn này là hệ thống lại một số kết quả đã có và tìmhiểu thêm các tính chất của tích phân ngẫu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG

Hà Nội - 2011

Mục lục

1.1 Không gian Lp và tính đo được 7

1.2 Hàm biến phân bị chặn và tích phân Stieltjes 8

1.3 Không gian xác suất,biến ngẫu nhiên,lọc 9

1.4 Điều kiện hội tụ 10

1.5 Quá trình ngẫu nhiên 11

1.5.1 Các định nghĩa 11

1.5.2 Hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng 13

1.6 Thời điểm dừng 15

1.7 Kỳ vọng có điều kiện và tính chất 16

1.7.1 Các định nghĩa của kỳ vọng có điều kiện 17

1.7.2 Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện 17

1.8 Martingale 18

2 Tích phân ngẫu nhiên đối với L2-Martingale 26 2.1 Các tập hợp và quá trình dự đoán được 28

2.2 Khoảng thời gian ngẫu nhiên 29

2.3 Độ đo trên các tập hợp dự đoán được 32

2.4 Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên 34

2.5 Mở rộng phép lấy tích phân và hàm lấy tích phân 42

3 Công thức Ito 47 3.1 Quá trình biến phân bậc hai và các tính chất 47 3.1.1 Định nghĩa và đặc trưng của biến phân bậc hai 48 3.1.2 Tính chất của biến phân bậc hai đối với L2-Martingale 51

3.1.3 Định lý giới hạn 54

3.2 Công thức Ito một chiều 56

3.3 Ứng dụng của công thức Ito 59

3.3.1 Đặc trưng của chuyển động Brown 59

3.3.2 Quá trình mũ 62

3.3.3 Một họ Martingale sinh ra bởi M 65

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích ngẫu nhiên ngày nay đóng một vai trò hết sức quan trọng trong

lý thuyết xác suất - thống kê hiện đại, nó có ứng dụng rộng rãi ở tất cảcác lĩnh vực khác nhau như trong công nghệ thông tin, công nghệ viễnthông, kinh tế, thị trường chứng khoán, bảo hiểm, dự báo rủi ro, trongnông nghiệp.Và hiện đang được giảng dạy ở hầu hết các trường đại họctrong và ngoài nước, nó thu hút rất nhiều nhà khoa học không ngừngnghiên cứu và phát triển về nó

Trong đó tích phân ngẫu nhiên là một trong những khái niệm quantrọng của giải tích ngẫu nhiên Từ khái niệm đó người ta đã xây dựngnên một loại tích phân ngẫu nhiên đối với Martingale,mở rộng tích phânIto, chúng rất có ý nghĩa về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng Do đó

đã được các nhà toán học và các nhà kinh tế nghiên cứu và phát triển.Phạm vi của luận văn này là hệ thống lại một số kết quả đã có và tìmhiểu thêm các tính chất của tích phân ngẫu nhiên, xem xét một số ứngdụng của tích phân ngẫu nhiên, khái quát lại những kiến thức cơ bảncủa giải tích ngẫu nhiên và trên cơ sở đó bước đầu tìm hiểu về tích phânngẫu nhiên đối với Martingale

Luận văn được chia làm 3 chương cụ thể như sau:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày các kiến thức cơ

sở cần cho các chương tiếp theo.Trọng tâm là: Martingale, martingaleliên tục, martingale liên tục phải, martingale địa phương, martingaleliên tục phải địa phương

Chương 2: Tích phân ngẫu nhiên Nghiên cứu các tập hợp và quá trình

dự đoán được, khoảng thời gian ngẫu nhiên, độ đo trên các tập dựđoán được, mở rộng phép lấy tích phân và hàm lấy tích phân địaphương

Chương 3: Công thức Ito Tìm hiểu về biến phân bậc hai và tính chấtcủa biến phân bậc hai, công thức Ito và ứng dụng của công thức Ito

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nêncác vấn đề trong luận văn vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thểtránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày Mong được sự chỉ bảocủa thầy cô và sự góp ý xây dựng của bạn bè cũng như đồng nghiệp

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, ngày 10 tháng 3 năm 2011

Học viên

Nguyễn Văn Tính

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian Lp và tính đo được

Giả sử (S, Σ) là một không gian đo được, gồm một tập hợp S khác rỗng

và một σ- trường Σ các tập con của S Một hàm X : S → Rd gọi làΣ- đo được nếu X−1(A) ∈ Σ với mọi tập Borel A trong Rd, ở đây X−1

kí hiệu là nghịch ảnh Một định nghĩa giữ nguyên tương tự đối với hàm

X : S → ¯R = [−∞, ∞] Ta sử dụng 00X ∈ Σ00 có nghĩa là " X là Σ- đođược " và 00X ∈ bΣ00 có nghĩa ” X bị chặn và Σ đo được "

Nếu Γ là một họ con của Σ, một hàm X : S → Rd gọi là Γ- đơn giản nếu

X = Pn

k=1ck1Λk với ck là hằng số trong Rd, tập hợp Λk ∈ Γ, và n ∈ N.Một hàm như vậy gọi là Σ-đo được Ngược lại bất kỳ hàm Σ- đo được

là một giới hạn theo từng điểm của một dãy các hàm Σ-đơn giản

Ví dụ : Một hàm Σ-đo được X : S → R là giới hạn theo từng điểm củamột dãy {Xn} của hàm Σ-đơn giản xác định bởi:

Giả sử v là một độ đo dương trên (S, Σ) Một tập hợp trong Σcủa v-độ đo không gọi là một v- tập hợp có độ đo không Với p ∈[1, ∞), Lp(S, Σ, v) biểu thị không gian vectơ của hàm Σ- đo được X :

S → R mà

||X||p ≡



Z

là hữu hạn Nếu các hàm là bằng nhau v - hầu khắp nơi, thì Lp(S, Σ, v)

là một không gian Banach với chuẩn ||.||p Trong trường hợp p = 2 ,

nó cũng là một không gian Hilbert với tích trong (., ) xác định bởi(X, Y ) = RS X(s)Y (s)v(ds) với X và Y trong L2(S, Σ, v) Bất cứ khinào ta xem những không gian theo cách này, nó sẽ được ẩn mà ta đangxác định các hàm là bằng nhau v-hầu khắp nơi

1.2 Hàm biến phân bị chặn và tích phân

là sự phân hoạch của [0, t] bởi 0 = t0 < t1 < < tn = t Biến phân

|g|t tăng theo t Nếu |g|t < ∞, g gọi là biến phân bị chặn trên [0, t].Nếu điều này đúng với mọi t trong R+, g gọi là có biến phân bị chặn địaphương trên R+; và nếu supt∈R+|g|t < ∞ thì g là biến phân bị chặn trên

R+ Một hàm liên tục là biến phân bị chặn địa phương trên R+ nếu vàchỉ nếu nó là hiệu của hai hàm tăng liên tục Một hàm g có biến phân bịchặn địa phương trên R+ cảm sinh một độ đo có dấu µ trên σ- trường

B, trong đó

µ((a, b]) = g(b) − g(a) với a < b trong R+ và µ({0}) = 0

Độ đo µ là duy nhất xác định bởi những khoảng ở trên (a, b] cùng với{0} sinh ra B Nó là độ đo dương trên (a, b] nếu g tăng và không có các

nguyên tử nếu g liên tục Biến phân |µ| của µ là độ đo liên kết với biếnphân |g| Nếu f ∈ L1([0, t],Bt, |µ|), thì tích phân Lebesgue-Stieltjes của

f đối với g trên [0, t] xác định bởi

k−1, tnk] và maxNn

k=1|tk − tk−1| → 0 khi n → ∞ Nếu gliên tục, thì R0tf (s)dg(s) cũng xác định bởi (1.1) khi f liên tục phải trên[0, t] với giới hạn trái hữu hạn trên (0, t] hoặc liên tục trái trên (0, t] vớigiới hạn phải hữu hạn trên [0, t)

1.3 Không gian xác suất,biến ngẫu nhiên,lọc

Cho(Ω,F , P ) ,là một không gian xác suất Điều này có nghĩa là (Ω,F )

là một không gian đo được và P là một độ đo xác suất trên (Ω,F ) ,saocho mỗi tập con của một P -tập hợp có độ đo không trong F là trong F

Kí hiệu ω biểu thị một phần tử sinh của Ω Đối với hàm Y :Ω 7−→ Rd ,(hoặc ¯R),và một tập A trong Rd (hoặc ¯R), Y−1(A) ={ω:Y (ω)∈ A} thì

cũng viết như {Y ∈ A}.

Ta viết Lp đối với Lp(Ω,F , P ) Với X∈ L1, E(X) ≡ RΩX dP biểu thị

kỳ vọng của X Khi mở rộng ký hiệu đối với Λ ∈ F , E(X,Λ) biểuthị RΛX dP và khi Λ là dạng của {Y ∈ A} ,điều này thì được viết nhưE(X;Y ∈ A) Một hàm F - đo được X: Ω 7−→ Rd được gọi là biến ngẫunhiên nếu d = 1 hoặc một véc tơ ngẫu nhiên nếu d ≥ 2 Cho một tập hợpchỉ số tùy ý Γ và hàm tùy ý Xα từ Ω tới Rd hoặc ¯R, σ-trường σ{Xα,α

∈ Γ} là σ- trường nhỏ nhất của tập hợp con của Ω sao cho Xα là đođược đối với nó cho mỗi α ∈ Γ.Điều này được gọi là σ- trường sinh bởitập hợp {Xα,α ∈ Γ} Nếu G là một σ- trường con của F , bổ sung ˜Gcủa G là σ- trường nhỏ nhất chứa G và tất cả các P- tập hợp có độ đokhông trong F

Lọc là một họ {Ft ,t ∈ R+} của σ- trường con của F sao cho Fs⊂ Ft vớimọi s < t trong R+ Nếu thoả mãn hai điều kiện sau ,thì {Ft, t ∈ R+}gọi là một lọc tiêu chuẩn :

(i) Ft = Ft+ ≡ V

s>t ,với mọi t;

(ii) F0 chứa tất cả P- tập hợp có độ đo không trong F

1.4 Điều kiện hội tụ

Ta xem lại một vài khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất dưới đây.Giả định rằng với các tính chất cơ bản của sự hội tụ trong Lp, theo xácsuất ,và hội tụ hầu chắc chắn , cũng như tính khả tích đều và hội tụtheo phân phối

Định nghĩa 1.4.1 Biến ngẫu nhiên Xn được gọi là hội tụ theo xác xuấttới biến ngẫu nhiên X nếu với ε > 0 bất kỳ

lim

n→∞P [|Xn− X| > ε] → 0Định nghĩa 1.4.2 Dãy biến ngẫu nhiên Xn được gọi là hội tụ hầu chắcchắn đến biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại tập A có xác suất không saocho

Xn(ω) → X(ω) với ω /∈ A

Định nghĩa 1.4.3 Dãy biến ngẫu nhiên Xn được gọi là hội tụ theotrung bình bậc p (0 < p < ∞) đến biến ngẫu nhiên X nếu

E|Xn − X|p → 0, (n → ∞)

Mệnh đề 1.4.4 Cho p ∈ [1, ∞) và {Xn} là một dãy biến ngẫu nhiêntrong Lp hội tụ theo xác suất hoặc hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫunhiên X Khi đó ba phát biểu dưới đây là tương đương

(i) {Xn} hội tụ đến X trong Lp

(ii) {|Xn|p} là khả tích đều

(iii) limn→∞E(|Xn|p) = E(|X|p)

1.5 Quá trình ngẫu nhiên

Cho một không gian xác suất (Ω,F , P ) và một không gian trạng thái đođược {E,E } , một quá trình ngẫu nhiên là một họ (Xt)t≥0 sao cho Xt làmột biến ngẫu nhiên có giá trị trong E cho mỗi thời điểm t ≥ 0 Chínhthức hơn, một ánh xạ X:(R+×Ω,B+⊗F ) −→ (R, B) , ở đây B+ là tậpBorel của không gian thời gian R+

Định nghĩa 1.5.1 Quá trình (Xt)t≥0 được cho là đo được nếu ánh xạ(R+×Ω,B+⊗F ) −→ (R) :(t,ω ) −→ Xt(ω) là đo được trên (R+×Ω) đốivới σ- trường B(R+)⊗F

Liên kết với một quá trình là một lọc , một chuỗi tăng của σ - đại số,nghĩa là

Nếu (Xt)t≥0 là một quá trình ngẫu nhiên,thì lọc tự nhiên của (Xt)t≥0

được cho bởi

FtX = σ(Xs : s 6 t)

Quá trình (Xt)t≥0 được cho là (Ft)t≥0 thích nghi, nếu Xt là Ft đo đượcđối với mỗi t ≥ 0

Quá trình (Xt)t≥0 rõ ràng là thích nghi đối với lọc tự nhiên

Định nghĩa 1.5.2 Một quá trình đo được dần dần nếu cho mỗi t hạnchế của t với thời gian khoảng [0, t] là đo được đối với B[0,t]⊗Ft, ở đâyB[0,t] là σ-đại số Borel của các tập con của [0, t]

Định nghĩa 1.5.3 Một quá trình (Xt)t≥0 được cho là bị chặn nếu cótồn tại một hằng số K ,sao cho đối với tất cả ω và t≥ 0, thì |Xt(ω)| < KĐịnh nghĩa 1.5.4 Cho (Xt)t≥0 là một quá trình ngẫu nhiên xác địnhtrên (Ω,F P ), và cho X’ = (Xt0)t≥0 là một quá trình ngẫu nhiên xác địnhtrên (Ω,F , P ) Thì X và X0 có cùng phân bố hữu hạn chiều nếu với mọi

n, 06 t1<t2< , tn<∞, và A1, A2· · · , An∈ E

P (Xt1 ∈ A1, , Xtn ∈ An) = P (Xt10 ∈ A1, Xt20 ∈ At2, , Xtn0 ∈ An)

Một Quá trình ngẫu nhiên d chiều X là một hàm X : I × Ω −→ Rdtrong đó I là một khoảng thời gian trong R+ và X(t, ) là F - đo được đốivới mỗi t ∈ I Khi chiều là không quan trọng hoặc được hiểu là xác định

" d-chiều " được bỏ qua Một quá trình X là đo được nếu X là B×F- đođược Ta nói rằng X có giá trị ban đầu x ∈ Rd nếu 0 ∈ I và X(0, ) = xhầu chắc chắn Quá trình X cũng được biểu thị bởi {Xt, t ∈ I}, hoặcđơn giản {Xt} khi I = R+ Biến ngẫu nhiên vectơ X(t, ) thì cũng biểuthị bởi X(t) hay Xt Cho một họ tăng {Ft, t ∈ I} của σ-trường trên Ωthì quá trình X được gọi là thích nghi với họ này nếu Xt ∈ Ft với t ∈ IQuá trình X được gọi là liên tục (phải/trái) nếu t → X(t, ω) là liên tục(phải/trái) trên I với mỗi ω ∈ Ω Dĩ nhiên tính liên tục phải (trái) tạiđiểm cuối bên phải (trái) của I thì không xác định

Hai tập hợp của biến ngẫu nhiên (hoặc vectơ) X = {Xα, α ∈ Γ} và

Y = {Yα, α ∈ Γ} ,chỉ số bởi tập hợp tương tự nhau, là bản sao khácnhau nếu P (Xα = Yα) = 1 với mọi α ∈ Γ Ta nói X và Y là không phân

biệt được nếu P (Xα = Yα với mọi α ∈ Γ ) = 1 Hai tập hợp mà bảnsao của mỗi tập khác nhau không cần phải phân biệt rõ ràng Tuy nhiênnếu X và Y là mỗi bản sao khác nhau và Γ là đếm được hoặc X và Y làquá trình liên tục phải (hoặc trái), thì chúng không phân biệt được Đốivới tất cả mục đích thực hành quá trình không phân biệt được nên đượccoi là giống nhau Đối với trường hợp cá biệt, nếu trong định nghĩa củaquá trình liên tục ta chỉ cần đòi hỏi rằng hầu hết mọi quỹ đạo liên tục,như vậy một quá trình sẽ không phân biệt được từ một với tất cả quỹđạo liên tục Thực vậy ta sẽ thường chứng minh rằng trên phần bù củamột P - tập hợp có độ đo không có một bản sao liên tục của một quátrình đã cho Điều đó tầm thường để định nghĩa bản sao trên tập hợp

có độ đo không để làm cho nó liên tục trên tất cả Ω Như vậy một bảnsao là duy nhất về tính không thể phân biệt được Tương tự như vậy đểđiều chỉnh cho đúng nếu ta thay thế liên tục bởi liên tục phải ở trên Từbây giờ quá trình có nghĩa là một quá trình một chiều với I = R+ trừtrường hợp quy định

1.5.2.1 Quá trình Poisson

Một quá trình N = {Nt, t ∈ R+} là một quá trình Poisson với tham số

α > 0 nếu nó có những tính chất sau đây:

(i) N0 = 0

(ii) với 0 6 s < t < ∞, Nt − Ns là một biến ngẫu nhiên Poisson vớitrung bình là α(t − s) có nghĩa là Nt − Ns lấy giá trị trong N0 saocho

P (Nt− Ns = n) = (αt)

ne−αtn!

Nhận xét: Mọi quá trình Poisson đều có bản sao với quỹ đạo liên tụcphải Ta sẽ chỉ sử dụng bản sao này Hầu chắc chắn quỹ đạo của mộtquá trình Poisson là các hằng số trừ tại các bước nhẩy Các bước nhẩynày có độ lớn là 1 Số các bước nhẩy này là hữu hạn trong mỗi khoảngthời gian bị chặn Nhưng sẽ là vô hạn trong [0; ∞) Lượng thời gian giữacác bước nhẩy liên tiếp là các biến ngẫu nhiên độc lập và có phân phối

mũ với tham số α Nhưng nếu Tn là thời gian giữa các bước nhẩy nts và(n + 1)st thì P (Tn > t) = e−αt với mỗi t

Đối với một quá trình Poisson N , thì tồn tại một bộ lọc tiêu chuẩn{Ft}xác định bởi Ft = σ{Ns, 0 6 s 6 t} với t ∈ R+, vì bộ lọc chứa các tập

P - không của F trong Ft ta có Ft = Ft+

là một tập hợp các biến ngẫu nhiên độc lập

(iii) B là quá trình liên tục,tức là hầu hết các quỹ đạo của B là hàmliên tục

Một chuyển động Brown trong Rd là một bộ d- quá trình một chiều

Nhật xét : Từ tính chất (i) ta suy ra rằng mỗi thành phần độc lậpcủa B phân phối của Bt - Bs chỉ phụ thuộc vào phân phối của t − s.Tính chất này được gọi là tính chất thuần nhất theo thời gian hay làtính dừng Hơn nữa, nếu B0 = x hầu chắc chắn, thì xác suất chuyển là

Mọi chuyển Brown đều có một bản sao liên tục Ta sẽ sử dụng bản saonày Chuyển động Brown có lọc tự nhiên xác định bởi:

Ft = σ{Bs, 0 6 s 6 t} với mỗi t

Mội tính chất cơ bản của chuyển động Brown là tính chất Markov mạnh.Tính chất này nói lên điều sau đây: Cho trước diễn biến của một chuyểnđộng Brown B tới một thời điểm dừng hữu hạn τ , thì dáng điệu của Bsau đó chỉ phụ thuộc vào τ và vào trạng thái Bτ của B tại thời điểm τ Nói chính xác nếu f : Rd → R là một hàm đo được Borel và τ là mộtthời điểm dừng thì

một lọc tiêu chuẩn để Ft = Ft+, thì điều kiện trên τ là tương đương với{τ < t} ∈ Ft với mỗi t

Kết hợp với một thời điểm dừng τ là σ-trường Fτ Điều này bao gồmtất cả tập A trong F∞ ≡ ∨t∈R+Ft , thỏa mãn

1.7.1 Các định nghĩa của kỳ vọng có điều kiện

Định nghĩa 1.7.1 Cho một không gian xác suất (Ω,F , P ) và cho A ∈ Fvới P (A) > 0 Xác định Q(B) = P (B|A) = P (AB)P (A) , với mọi B ∈ F ,Q(B) là một độ đo xác xuất trên (Ω,F ) Nếu X là một biến ngẫu nhiên,ta xác định kỳ vọng có điều kiện của X đối với A là

E(X|A) =

Z

A

XdQ

Định nghĩa 1.7.2 Giả sử (Ω,F , P ) là không gian xác suất,G là σ-đại

số con của F ,X là biến ngẫu nhiên khả tích Kỳ vọng có điều kiện củabiến ngẫu nhiên X với G đã cho là biến ngẫu nhiên M thỏa mãn cácđiều kiện sau:

(i) M là G- đo được

M còn được ký hiệu là E(X|G)

Định nghĩa 1.7.3 Giả sử (Ω,F P ) là không gian xác suất X là biếnngẫu nhiên bất kỳ sao cho với xác suất một

min{E(X+|G), E(X−|G)} < ∞Khi đó ta nói X có kỳ vọng có điều kiện đối với σ- trường G, và gọi

E(X|G) = E(X+|G) − E(X−|G)

là kỳ vọng có điêu kiện của X đối với G

Sau đây là các tính chất cơ bản của kỳ vọng có điều kiện Các đẩngthức hay bất dẳng thức trong các tính chất sau được hiểu là đúng hầuchắc chắn

1.Nếu C là hằng số thì E(C|G) = C

2.Nếu X 6 Y thì E(X|G) 6 E(Y |G)

3.Nếu a, b là các hằng số thì E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G)4.|E(X|G)| 6 E(|X||G)

Định nghĩa 1.8.3 Một quá trình X = {Xt, Ft, t ≥ 0} được cho là một

Lp bị chặn nếu (supt)t≥0E(|Xt|p) < ∞

Định nghĩa 1.8.4 Một quá trình X = {Xt, Ft, t ≥ 0} được cho là khảtích đều nếu và chỉ nếu (supt)t≥0E(|Xt|1|Xt|>N) −→ 0 khi N → ∞.Với p ∈ [1, ∞), M được gọi là một Lp - martingale nếu nó là mộtmartingale và Mt ∈ Lp đối với t Nếu supt∈R+E(|Mt|p) < ∞, ta nói M

là Lp- bị chặn Tính chất martingale thì được bảo toàn bởi Lp - giới hạnkhi F0 là hoàn toàn đầy đủ Một cách chính xác hơn nữa ta có điều sauđây

Mệnh đề 1.8.5 Giả sử {Xn} hội tụ trong Lp tới X ∈ Lp đối với

p ∈ [1.∞) Thì với bất kỳ σ - trường con G của F ,{E(Xn|G)} hội tụtrong Lp đến E(X|G)

Chứng minh Điều này được chứng minh bởi bất đẳng thức Jensen đốivới kỳ vọng có điều kiện thoả mãn

E(|E(Xn|G) − E(X|G)|p) 6 E(E(|Xn− X|p|G))

= E(|Xn− X|p

Mệnh đề 1.8.6 Cho p ∈ [1, ∞) Giả sử {Mtn, Ft, t ∈ R+} là một Lp

- martingale đối với mỗi n ∈ N, và đối với mỗi t, Mtn hội tụ trong Lptới Mt khi n → ∞ Nếu F0 là đầy đủ ,thì {Mt, Ft, t ∈ R+} là một Lp -martingale

Chứng minh Theo định nghĩa của martingale cố định s < t trong R+

bỏ đi

Định nghĩa cho trên là một martingale với tham số liên tục, t ∈ R+.Đôi khi ta sẽ đề cập đến martingale với tham số t bị thu hẹp trên mộttập con của R+ một khoảng thời gian con hoặc một tập rời rạc của cácđiểm

Nếu M = {Mt, Ft, t ∈ R+} là một martingale, thì với mỗi hằng số

T ∈ R+ thì dễ dàng kiểm chứng lại rằng MT = {Mt∧T, Ft, t ∈ R+} làmột martingale ,và từ đó Mt∧T = E(MT|Ft) ,suy ra rằng MT là khảtích đều Khi T được thay thế bởi một thời gian bị chặn τ , một kết quảtương tự bảo toàn, cung cấp cho M có quỹ đạo liên tục phải và lọc tiêuchuẩn Thực vậy nhiều lý thuyết có ích đối với martingale tham số liêntục đòi hỏi những giả thiết này Bởi vậy ta chọn định nghĩa sau

Định nghĩa 1.8.7 Một martingale M = {Mt, Ft, t ∈ R+} được gọi làliên tục phải nếu

(i) {Ft, t ∈ R+} là một lọc tiêu chuẩn, và

(ii) {Mt, t ∈ R+} có tất cả quỹ đạo liên tục phải

Ví dụ 1 Cho N = {Nt, t ∈ R+} là một quá trình Poisson với tham

số α > 0 và {Ft} là một lọc tiêu chuẩn liên đới Thì {Nt−αt, Ft, t ∈ R+}

là một Lp - martingale liên tục phải với p ∈ [1, ∞)

Ví dụ 2 Cho B = {Bt, t ∈ R+} là một chuyển động Brown trong R với

B0 ∈ Lp đối với p ∈ [1, ∞) và cho {Ft} là lọc tiêu chuẩn liên đới với B.Thì {Bt, Ft, t ∈ R+} là một Lp- martingale liên tục.Hơn nữa, nếu p > 2thì {Bt2 − t, Ft, t ∈ R+} là một Lp/2- martingale liên tục

Nếu M là một martingale và điều kiện (i) ở trên là thỏa mãn thì có mộtbản sao liên tục phải của M

Định lý 1.8.8 Cho p ∈ [1, ∞) và M là một Lp- martingale liên tụcphải Thì với mỗi t và c > 0

|| sup

06s6t

|Ms|||p 6 q||Mt||p (1.4)

ở đay 1/p + 1/q = 1

Chứng minh Bất đẳng thức (1.3) được áp dụng đối với tham số rời rạctheo định lý 9.4.1 của Chung [3] thì martingale trên |M |p là ước lượnghữu hạn tại nhiều điểm thời gian và làm cho giới hạn những điểm nàytrở thành trù mật hội tụ hầu chắc chắn trong [0, t] , một cách tương

tự (1.4) được áp dụng theo định lý 9.5.4 của Chung [3] đối với [M ] làmột martingale trên dương Bất đẳng thức (1.4) sẽ gọi là bất đẳng thứcDoob Như trường hợp tham số rời rạc, nó được thay thế bởi một kếtquả phức tạp hơn khi p = 1

Định lý 1.8.9 (Định lý hội tụ martingale)

Cho p ∈ [1, ∞) và M là một martingale liên tục phải và Lp-bị chặn.Khi đó có một biến ngẫu nhiên M∞ ∈ Lp sao cho limt→∞Mt = M∞ hầuchắc chắn Hơn nữa, nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện sau đây(i) p=1 và {Mt, t ∈ R+} là khả tích đều hoặc

(ii) p>1

thì {Mt, Ft, t ∈ [0, ∞]} là một Lp-martingale trong đó F∞ =W

t∈R + Ft và E(|M∞|p)= limt↑∞ ↑ E(|Mt|p)

Chứng minh Sự tồn tại của M∞ ∈ L1 sao cho limt→∞Mt = M∞ hầuchắc chắn theo bổ đề của Fatou ta có

E(|M∞|p) 6 lim

n→∞inf E(|Mn|p) 6 sup

t∈R +

E(|Mt|p) < ∞ (1.5)

Nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện (i) hoặc (ii), thì Mn hội tụ đến

M∞ trong L1 khi n → ∞ Khi đó đối với n > 1, ta có

Mt = E(Mn|Ft)

và bằng cách cho n → ∞ và dùng mệnh đề 1.8.5, ta được

Từ M∞ = limt↑∞Mt hầu chắc chắn và F∞ là hoàn toàn đầy đủ, ta có

M∞ ∈ F∞ Như vậy {Mt, Ft, t ∈ [0, ∞]} là một Lp-martingale Do đó{|Mt|p, Ft, t ∈ [0, ∞]} là một martingale trên ,và do đó

lim

t↑∞ ↑ E(|Mt|p) = supt∈R+E(|Mt|p) 6 E(|M∞|p)

Bằng cách kết hợp điều này với (1.5) ta thấy rằng bất đẳng thức cuốicùng ở trên là đúng

Định lý 1.8.10 (Định lý bị chặn Doob) Cho p ∈ [1, ∞) và M là mộtmartingale liên tục phải Lp-bị chặn Nếu p = 1,giả sử M là khả tích đều Cho M∞ ∈ Lp sao cho limt→∞Mt = M∞ hầu chắc chắn Giả sử Γ ⊂ R+

và {τt, t ∈ Γ} là một họ tăng của thời điểm dừng Thì {Mτt, Fτt, t ∈ Γ}

là một Lp-martingale và {|Mτt|p, t ∈ Γ} là khả tích đều

Chứng minh Theo định lý hội tụ martingale, {Mt, Ft, t ∈ [0, ∞]} là một

Lp-martingale và Mt = E(M∞|Ft) với mọi t Đối với bất kỳ hai thời điểmdừng η 6 σ ,Mη và Mσ là trong L1 ,và Mη=E(Mσ|Fη) Bởi η = τs và

σ = τt với s < t trong Γ ,theo tính chất martingale cho {Mτt, Fτt, t ∈ Γ}.Mặt khác nếu ta cho η = τs với t ∈ Γ và σ = ∞ thì theo bất đẳng thứcJensen đối với kỳ vọng có điều kiện ta có

Chứng minh Đối với phần (i), từ Mt∧T = E(MT|Ft) và MT ∈ Lp ,do đó{Mt∧T, Ft, t ∈ R+} thỏa mãn giả thiết của định lý (1.8.10), ta kết luận(i) từ đó τt ∧ T = τt

Đối với phần (ii), áp dụng (i) với τt = t ∧ τ với t ∈ Γ = [0, T ] và cốđịnh T ∈ R+ Từ T là tuỳ ý, ta kết luận rằng {Mt∧τ, Ft∧τ, t ∈ R+} làmột Lp-martingale ta coi nó như một bài toán để thử lại rằng Ft∧τ cóthể thay thế bởi Ft do đó Nếu τ bị chặn bởi T , thì khả tích đều trên[0, T ]

Định nghĩa 1.8.12 {Ft, t ∈ R+} là một lọc tiêu chuẩn và với p ∈ [1, ∞)một tập hợp M = {Mt, Ft, t ∈ [0, ∞]} được gọi là một Lp-martingaleđịa phương Nếu

(i) M0 là một biến ngẫu nhiên F0-đo được

(ii) Có một dãy {τk, k ∈ N} của thời điểm dừng sao cho τk ↑ ∞ hầu chắcchắn và với mỗi k ,

Mk = {Mt∧τk − M0, Ft, t ∈ R+} (1.7)

là một Lp-martingale

Dãy {τk} được gọi là một dãy địa phương hóa đối với M Khi p = 1, ta

bỏ qua sự xác định ” Lp ” Nếu Mt = M0 ∈ F0 với mọi t, thì M là mộtmartingale địa phương phù hợp với định nghĩa trên Một ví dụ ít tầmthường là một chuyển động Brown trong R Với biến ngẫu nhiên banđầu tùy ý và thường dùng bộ lọc Ft = σ{Bs, 0 6 s 6 t} Định nghĩatrên được thúc đẩy bởi các ví dụ như nơi biến ngẫu nhiên ban đầu M0không phụ thuộc vào bất kỳ điều kiện khả tích Ta sẽ thường bỏ qua

bộ lọc {Ft} từ kí hiệu đối với một martingale địa phương

Một Lp - martingale địa phương M = {Mt, Ft, t ∈ R+} được gọi là liêntục phải nếu

(i) {Ft, t ∈ R+} là một lọc tiêu chuẩn , và

(ii) M có tất cả quỹ đạo liên tục phải

Mệnh đề 1.8.13 Cho p ∈ [1, ∞) và M là một Lp martingale địa phươngvới một dãy địa phương hóa {τk} Nếu với mọi t > 0 ta có

{|Mt∧τk|p, k ∈ N} là khả tích đều (1.8)

thì M là một Lp-martingale Đảo lại thì cũng đúng để chứng minh rằng

M là liên tục phải

Chứng minh Giả sử (1.8) là đúng Thì với t = 0 ta có |M0| ∈ Lp và

do đó {M0, Ft, t ∈ R+} là một Lp - martingale Nó được bổ sung bởibiểu thức (1.7) mà {Mt∧τk, Ft, t ∈ R+} là một Lp-martingale Bây giờlimk→∞Mt∧τk = Mt hầu chắc chắn và tính khả tích đều (1.8) thì cũngkéo theo tính hội tụ trong Lp bởi mệnh đề 1.4.1 Từ Mt ∈ Ft cho mỗi

t, tương tự mệnh đề 1.8.6 mà {Mt, Ft, t ∈ R+} là một Lp- martingale Nếu M là một Lp-martingale liên tục phải thì từ hệ quả 1.8.11 (i) suy ra{|Mt∧τk|p

p ∈ [1, ∞)

Ví dụ: Cho B = {Bt, t ∈ R+} biểu thị một chuyển động Brown trong

R3 Cho h : R3\{0} → R xác định bởi h(x) = |x|−1 với x ∈ R3\{0} Đốivới mỗi k ∈ N , cho τk = inf{t > 0 : |Bt| 6 k−1} Thì {τk} là dãy tăngcủa thời điểm dừng , thích nghi với lọc Ft kết hợp với B, và τk ↑ ∞ hầuchắc chắn từ

P {Bt = 0 với t > 0} = 0

h là hàm điều hoà trong R3\{0} mà bao hàm

Dk = {x : |x| > k−1} với mỗi kXác định một hàm gk trên bao đóng ¯Dk của Dk bởi gk(x) = Ex{h(Bτk)}với mỗi x ∈ ¯Dk, trong đó Ex biểu thị kỳ vọng cho B0 = x hầu chắc chắn

Bởi tính chất Markov mạnh và tính đối xứng cầu của B, gk có tínhchất giá trị trung bình mà đó là tính chất giá trị trung bình ở trên bềmặt của bất kỳ một hình cầu đủ nhỏ với x ∈ Dk giá trị của nó tại x lànhư nhau.Điều đó cho thấy rằng gk là điều hòa trong Dk và nó có thểtrở thành liên tục trong ¯Dk với giá trị giới hạn là bằng nhau của h Bởinguyên lý giá trị lớn nhất đối với hàm điều hòa gk = h trong ¯Dk với mọi

k Đối với k ∈ N và x ∈ Dk , ta có với mỗi t cố định

Ex0(h(Bt)) 6= Ex0(h(B0)) = x0 với mọi t đủ lớn,bởi phép tính sau Đối với t > 0 và R > 2|x0|

Ở đây y ∈ R3 và C1 và C2 là hằng số độc lập đối với t và R Bởi khi cho

t → ∞ và R → ∞ ,thì dẫn đến limt→∞Ex0(h(Bt)) = 0

Một phép tính tương tự chỉ ra rằng h(Bt) ∈ L2 với mỗi t và cho ướclượng tốt hơn supt>0Ex0{(h(Bt))2} < ∞

Chương 2

Tích phân ngẫu nhiên

Trong chương này ta sẽ xác định tích phân ngẫu nhiên dạng R[0,t]XdMtrong đó M là một L2 - martingale liên tục phải địa phương , và X làmột quá trình thỏa mãn chắc chắn tính đo được và tính khả tích, giảthiết rằng họ tích phân ngẫu nhiên {R[0,t]XdM, t ∈ R+} là một L2 -martingale liên tục phải địa phương đối với M và X, tích phân có thểđược xác định quỹ đạo theo các quỹ đạo.Chẳng hạn , nếu M là một L2 -martingale liên tục phải địa phương mà quỹ đạo là biến phân bị chặn địaphương và X là một quá trình thích nghi liên tục thì R[0,t]Xs(ω)dMs(ω)

là xác định tốt, như là tích phân Riemann - Stieltjes với mỗi t và ω, bởigiới hạn khi n → ∞ của

trong đó τk là thời gian bước nhẩy kth của N , và hầu chắc chắn với mỗi

t cố định Tổng trên bên phải được xác định bởi các số hạng khác khôngbởi hầu chắc chắn chỉ có xác định những bước nhẩy của N trong [0, t].Tích phân ngẫu nhiên được xác định trong sự suy diễn có hiệu lực ngay

cả khi M không có quỹ đạo mà biến phân bị chặn địa phương ,ví dụđiển hình là chuyển động Brown B trong R Ngay khi tích phân đơngiảnR[0,t]BdB không thể xác định quỹ đạo trong tích phân Stieltjes Bởi

vì hầu hết quỹ đạo của một chuyển động Brown là biến phân không bịchặn trên một khoảng thời gian Trong thực tế tích phân ngẫu nhiênxuất hiện ở đây , biết như là tích phân Ito khi M là một chuyển độngBrown, không xác định quỹ đạo nhưng qua một phép đẳng cự giữa mộtkhông gian của quá trình X đó là bình phương khả tích về quan hệ tới

độ đo cảm sinh bởi M và một không gian tích phân ngẫu nhiên bìnhphương khả tích R XdM

Ta cung cấp những nét chính trong định nghĩa của tích phân ngẫunhiên

Điều kiện tính đo được trên X sẽ là chính xác hóa đầu tiên trong việclàm này,ta thực hiện phép chiếu mới của X như một hàm trên R+× Ω

và cần nó trở thành đo được đối với một σ-trường P sinh ra bởi một lớpđơn giản R của hình chữ nhật dự đoán được Mặc dù định nghĩa nàycủa hàm lấy tích phân đo được có thể không rõ ràng lắm, đó là thuậntiện đối với sự phát triển một cách hiệu quả của tích phân Hơn nữa ta

sẽ chứng tỏ rằng lớp P- hàm đo được gồm tất cả quá trình thích ứngliên tục trái

Sau sự biểu thị của σ-trường P, ta sẽ xét đến trường hợp trong đó M làmột L2- martingale liên tục phải Một độ đo µM liên kết với M sẽ đượcxác định trên P và do đó ta sẽ xác định tích phân R[0,t]XdM theo babước sau

(i) R XdM sẽ xác định đối với bất kỳ R - quá trình đơn giản X theo

phương pháp phép đẳng cự cố định sau.

E

(

ZXdM

2)

=Z

(iii) Với mọi quá trình X thỏa mãn 1[0,t]X ∈ L2

với mỗi t ∈ R+ , điều

đó chỉ ra rằng có một bản sao của {R 1[0,t]XdM, t ∈ R+} đó là một L2martingale liên tục phải , được biểu thị bằng {R[0,t]XdM, t ∈ R+}.Cuối cùng , mở rộng trường hợp trong đó M là một L2-martingale liêntục phải địa phương và X là "địa phương" trong L2 sẽ đạt được bằngcách sử dụng một dẫy thời điểm dừng tiến tới ∞ Định nghĩa trên củatích phân ngẫu nhiên sẽ được áp dụng cho các quá trình thu được bởithời điểm dừng M − M0 và X tại bất cứ một trong những thời gian này,và sau đó tích phân đối với M và X sẽ xác định hầu chắc chắn giới hạncủa tích phân này khi thời điểm dừng tiến đến ∞

-Bây giờ ta bắt đầu chương trình trên sẽ định nghĩa của σ-trường

2.1 Các tập hợp và quá trình dự đoán được

Họ các tập hợp con của R+ × Ω bao gồm tất cả các tập hợp có dạng{0} × F0 và (s, t] × F , trong đó F0 ∈ F0 và F ∈ Fs với s < t trong R+

được gọi là lớp các hình chữ nhật dự đoán được và ta kí hiệu bởi R.Vành Bun A sinh ra bởi R là họ các tập con nhỏ nhất của R+× Ω baohàm R và như vậy nếu A1 ∈ A và A2 ∈ A thì hợp A1∪ A2 và hiệu A1\A2trong A Nó có thể thỏa mãn rằng A bao gồm tập hợp rỗng Ø và tất cảhợp hữu hạn các hình chữ nhật rời nhau trong R σ- trường P của cáctập con của R+ × Ω sinh ra bởi R được gọi là σ- trường dự đoán được

và các tập hợp trong P được gọi là các tập hợp dự đoán được Một hàm

X : R+× Ω → R gọi là dự đoán được nếu X là P - đo được.Điều nàyđược kí hiệu bởi X ∈ P Nếu A là một tập hợp trong R , thì 1A(t, ) là Ft

- đo được với mỗi t Do đó, 1A là một quá trình thích nghi và cũng như

là 1Ac trong đó Ac kí hiệu là phần bù của A Nó cũng được tạo thànhbởi tổ hợp tuyến tính hữu hạn điều đó thì đúng đối với A trong miền

sinh ra bởi R và bởi một lớp đối số đơn điệu,nó đúng đối với bất kỳ Atrong P Từ bất kỳ hàm P - đo được là giới hạn theo từng điểm của một

tổ hợp tuyến tính hữu hạn của hàm chỉ tiêu của các tập hợp trong P do

đó nó là một quá trình dự đoán được Như vậy một hàm sẽ hướng theonhư một quá trình dự đoán được

Nhận xét: Trong khi nghiên cứu quá trình lý thuyết quá trình đó cảmthấy tự nhiên hơn để chú ý đến σ- trường P và quá trình có thể dự đoánđược khi xác định trên (0, ∞) × Ω Tuy nhiên , ta tìm nó được thuậntiện để xác định tất cả quá trình tại thời điểm không Hiệu quả hơn nữa

là ý nghĩa thực chất lôgic là không thời gian và tập hợp đó giống như{0} × F0 đòi hỏi cần phải xử lý khác nhau

Điều đó được biển thị dưới đây cho bất kỳ thời điểm dừng τ

[0, τ ] = {(t, ω) ∈ R+× Ω : 0 6 t 6 τ (ω)}

là một tập hợp dự đoán được Sao cho khoảng thời gian đóng một vaitrò quan trọng trong sự mở rộng cuối cùng của định nghĩa của tích phânngẫu nhiên

2.2 Khoảng thời gian ngẫu nhiên

Cho η và τ là thời điểm dừng, tập hợp

[η, τ ] = {(t, ω) ∈ R+× Ω : η(ω) 6 t 6 τ (ω)}

được gọi là khoảng thời gian ngẫu nhiên, ba khoảng thời gian ngẫu nhiênkhác nhau (η, τ ],(η, τ ) và [η, τ ) với điểm η cuối bên trái và điểm cuối τbên phải được xác định tương tự.Số hạng khoảng thời gian ngẫu nhiên

sẽ hướng tới bất kỳ bốn loại khoảng này ở đây η và τ là thời điểm dừngbất kỳ Lưu ý rằng khoảng thời gian ngẫu nhiên là những tập con của

R+ × Ω không phải ¯R+ × Ω ,do đó (∞, ω) không bao giờ là một bộphận của một tập như vậy , ngay cả khi τ (ω) = ∞ Ngoài ra ta cũngkhông quy định rằng η 6 τ , nhưng xác định tương giao của [η, τ ] với

khoảng thời gian ngẫu nhiên, thì 1A(t, ) là Ft - đo được đối với mỗi t,bởi các điểm cuối của A là điểm dừng Khi đó điều sau đây đối với cáchàm dự đoán được mà bất kỳ hàm dừng là một quá trình thích nghi và

ta sẽ hướng tới nó như là một quá trình dừng

Bây giờ ta nghiên cứu sự quan hệ giữa P và O Mỗt hình chữ nhật dựđoán được của dạng (s, t] × F trong đó F ∈ Fs và s < t trong R+ là mộtkhoảng thời gian ngẫu nhiên dạng (η, τ ] với η ≡ s, τ = s trên Ω\F và

τ = t trên F Ngoài ra,cho F0 ∈ F0, {0} × F0 = ∩n[0, τn] ở đây

là tùy ý đối với n, nó cho bởi R ⊂ O và do đó từ R sinh ra P, ta có

P ⊂ O trong các bổ đề sau ta chỉ ra rằng khoảng thời gian ngẫu nhiên

τn giá trị đếm được của thời điểm dừng , xác định bởi τn = 2−n[2nτ + 1]

(ii) Tất cả các khoảng thời gian ngẫu nhiên mà cả hai điểm kết thúc

dự đoán được là dự đoán được

(iii) Các σ- trường dự đoán được sinh ra bởi lớp các khoảng thời gianngẫu nhiên dạng [τ, ∞) trong đó τ là thời điểm dừng

(iv) Các σ- trường dừng được tạo ra bởi lớp các khoảng thời gian ngẫunhiên của dạng [τ, ∞) trong đó τ là thời diểm dừng.

Chứng minh Để chứng minh (i) giả sử τ là thời gian dự đoán được và{τn} là một dãy thông báo đối với τ Từ τn ↑ τ và τn < τ trên {τ 6= 0},ta có

[τ, ∞) = ({0} × {τ = 0}) ∪ \

n

(τn, ∞)

!

Ở đây {τ = 0} ∈ F0 và (τn, ∞) = (R+× Ω)\[0, τn) là dự đoán được đốivới mỗi n , bởi bổ đề 2.2.1 Do đó [τ, ∞) là dự đoán được, ta đã chứngminh (i)

Chứng minh (ii) Đối với thời gian dự đoán được τ, [0, τ ] là dự đoánđược bởi bổ đề 2.2.1 và [0, τ ) là bộ phận của [τ, ∞) là dự đoán được bởiphần (i) ở trên Từ một trong bốn loại khoảng thời gian ngẫu nhiên vớicác điểm cuối cùng dự đoán được τ và η có thể viết như một sự khácnhau của hai khoảng thời gian [0, τ ], [0, η], [0, τ ) và [0, η)

Đối với chứng minh (iii) cho O¸ kí hiệu σ - trường dự đoán được bởi lớpcác khoảng thời gian ngẫu nhiên của dạng [τ, ∞) ở đây τ là dự đoánđược Bởi phần (i) , O¸ ⊂P và chứng tỏ P ⊂ O¸, nó thỏa mãn để chứng tỏrằng R ⊂ O¸ Với bất kỳ thời điểm dừng τ , ta có [0, τ ] = T

n[0, τ + 1n).Ởđây τ +n1 là dự đoán được và do đó bằng cách bổ sung ,[0, τ +n1) ∈ O¸ Do

đó [0, τ ] ∈ O¸ Một hình chữ nhật dự đoán được (s, t] × F với F ∈ Fs và

s < t, là một khoảng thời gian ngẫu nhiên của dạng (η, τ ] = [0, τ ]\[0, η]

và do đó trong O¸ Nó thỏa mãn dễ dàng {0} × F0 ∈ O¸ với F ∈ F0 Do

đó R ⊂ O¸ và do đó (iii) được chứng minh

Từ O được tạo ra những khoảng thời gian ngẫu nhiên, để chứng minh(iv) nó thỏa mãn để chứng tỏ rằng tất cả khoảng thời gian ngẫu nhiên

là bao hàm trong σ - trường S sinh ra bởi lớp các khoảng thời gian ngẫunhiên dạng [τ, ∞).Nếu τ là thời điểm dừng ,thì τ + n1 là thời điểm dừngđối với mỗi n và do đó (τ, ∞) = S

n[τ + n1, ∞) là trong S Từ các lớpbao hàm của các khoảng thời gian ngẫu nhiên của dạng [τ, ∞) và (τ, ∞)sinh ra tất cả các khoảng thời gian ngẫu nhiên bởi sự phối hợp các phéptoán phần bù của một hiệu , điều đó chỉ ra rằng tất cả các khoảng thờigian ngẫu nhiên là trong S

Đối với τ : Ω → ¯R+, ta có bởi bổ đề trên

(i) Nếu τ là dự đoán được, thì [τ, ∞) là dự đoán được

(ii) Nếu τ là thời điểm dừng , thì [τ, ∞) là thời điểm dừng.

Tiếp theo ta xác định một độ đo trên các tập hợp dự đoán được mà lờigiải đáp tới cơ sở phép đẳng cự đã dùng trong xác định tích phân ngẫunhiên

2.3 Độ đo trên các tập hợp dự đoán được

Giả sử rằng Z = {Zt, t ∈ R+} là một quá trình có giá trị thực thích nghivới lọc (tiêu chuẩn) {Ft, t ∈ R+}, Zt ∈ L1

với mỗi t ∈ R+.Chúng ta xác định một hàm tập hợp λZ trên R bởi

λZ((s, t] × F ) = E(1F(Zt − Zs))với F ∈ Fs và s < t trong R+,

λZ({0} × F0) = 0 với F0 ∈ F0

(2.1)

Ta mở rộng λZ để trở thành một hàm tập hợp cộng tính hữu hạn trênvành A sinh bởi R xác định bởi

Điều đó thì rõ ràng rằng nếu Z là một martingale thì λZ ≡ 0, và nếu Z

là một martingale dưới thì λZ > 0 Đặc biệt,giả sử M = {Mt, t ∈ R+} làmột L2-martingale, thì(M )2 = {(Mt)2, t ∈ R+} là một martingale dưới

và do đó λ(M )2 > 0 Một cách rõ ràng hơn ,đối với F ∈ Fs và s < t

λ(M )2((s, t] × F ) = E{1F(Mt − Ms)2} (2.2)

Điều này được chứng minh bởi tập Y = 1F trong đồng nhất thức quantrọng sau Với s < t trong R+ và bất kỳ giá trị thực Y ∈ bFs

Ta chú ý trong L2 - martingale M mà λ(M )2 có thể mở rộng tới một độ

đo trên P Nếu λ(M ) 2 là đếm được cộng tính trên A Thì theo định lý sự

mở rộng Caratheodory có một sự mở rộng duy nhất của λ(M )2 tới một

độ đo trên P Một điều kiện đủ đối với λ(M ) 2 để trở thành cộng tínhđếm được mà L2 - martingale M có quỹ đạo liên tục phải Giả sử rằng

M = {Mt, t ∈ R+} là một L2-martingale liên tục phải Chúng ta sử dụng

µM để biểu thị độ đo duy nhất trên P để mở rộng λ(M ) 2 Độ đo nàyđược gọi là độ đo Doleans của M tiếp sau C Ta dùng L2 để biểu thị

L2(R+ × Ω,P, µM), trừ khi ta cần nhấn mạnh sự liên kết với M trongtrường hợp ta sử dụng L2(µM)

Thí dụ: Xét một chuyển động Brown B trong R với B0 ∈ L2.Thì B làmột L2 - martingale liên tục với sự liên kết của nó với lọc tiêu chuẩn{Ft} Phép tính sau chỉ ra rằng µB là độ đo tích λ × P trên P, ở đây λ

là độ đo Lebesgue trên R+ Đối với s < t và F ∈ Fs ta có

Bt − Bs có trung bình không và phương sai t − s Đối với F0 ∈ F0.

λ(B)2({0} × F0) = 0 = (λ × P )({0} × F0)

Do vậy λ(B)2 phù hợp với λ × P trên R và do đó trên A Từ đó λ × P

là một độ đo trên B × F ⊃ P, ta có µB = λ × P trên P , bởi tính duynhất của sự mở rộng của λ(B)2 trên A tới µB trên P

2.4 Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên

Đầu tiên ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên R XdM ở đây X là mộtR-quá trình đơn giản và chỉ ra rằng ánh xạ X → R XdM là một phépđẳng cự từ không gian con của L2 vào L2 Phép đẳng cự này là kết quảcủa sự mở rộng định nghĩa tới tất cả X trong L2

Khi X là một hàm chỉ tiêu của hình chữ nhật dự đoán được , tích phân

R XdM thì xác định như sau Với s < t trong R+ và F ∈ Fs

ở đây cj ∈ R, Fj ∈ Fsj, sj < tj trong R+ với 1 6 j 6 n, n ∈ N, c0 ∈ R và

F0 ∈ F0 Phép biểu diễn này mặc dù không phải duy nhất,luôn luôn cóthể được lựa chọn sao cho các hình chữ nhật dự đoán được (sj, tj] × Fj

với 1 6 j 6 n là rời nhau

Tích phân R XdM với X ∈ E được xác định bởi tính chất tuyến tính.

Do đó với X biểu diễn bởi (2.6) ta có

ZXdM ≡

2)

=Z

R + ×Ω

Chứng minh Cho X ∈ E biểu thị trong (2.6) ở đó các hình chữ nhật dựđoán được Rj = (sj, tj] × Fj với 1 6 j 6 n là rời nhau Thì bởi (2.7) tacó

E{Y (Mtk − Msk)} = E{Y E(Mtk − Msk|Fsk)} = 0

Từ 1FJ∩F k(Mtj − Msj) ∈ L2(Ω, Fsk, P ) điều sau đây cho rằng giá trị củachỉ số số hạng j và k trong tổng kép trong (2.9) thì cũng bằng khôngnếu (ii) cố đinh Vì vậy bằng cách lấy kỳ vọng trong (2.9) và dùng (2.1)

R + ×Ω

(X)2dµM

Bổ đề 2.4.2 Tập hợp của R- quá trình đơn giản E là trù mật trongkhông gian Hillerrt L2

Chứng minh Từ P là được sinh ra bởi vành A, đối với mỗi  > 0 , và

A ∈ P sao cho µM(A) < ∞, có A1 ∈ A sao cho µM(A∆A1) < , ở đâyA∆A1, là hiệu đối xứng của A và A1 Điều sau đây chỉ ra rằng bất kỳP- hàm đơn giản trong L2 có thể xấp xỉ một cách tùy ý chặt chẽ trong

L2- chuẩn bởi hàm trong E Chứng minh được hoàn thành bởi kết quảtiêu chuẩn dẫn chứng mà tập hợp của P- hàm đơn giản là trù mật trong

L2

Nếu ta coi L2 và L2 như là không gian Hilbert thì ánh xạ X →

R XdM là một phép đẳng cự tuyến tính từ không gian con trù mật Ecủa L2 vào L2 và từ đó có thể mở rộng duy nhất tới một phép đẳng cựtuyến tính L2 vào L2 Đối với X ∈ L2, ta định nghĩa R XdM như ảnhcủa X dưới phép đẳng cự này thì (2.8) cố định với mọi X trong L2 và

ta hướng theo để nó đơn giản như "phép đẳng cự" do đó nó chỉ là mộttrong những cái mà ta dùng

Kí hiệu: Cho Λ2(P, M) biểu thị không gian của tất cả X ∈ P sao cho

1[0,t]X ∈ L2

với mỗi t ∈ R+