Tích phân ngẫu nhiên ITO và toán tử ngẫu nhiên trong không gian Banach

5 1 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss vμ tích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều 11 1.1 Biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.. 2 Tích phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều vμ côn

đại học quốc gia hμ nội

trường đại học khoa học tự nhiên

đại học quốc gia hμ nội

trường đại học khoa học tự nhiên

Mục lục

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

Mở đầu 5

1 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss vμ tích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều 11 1.1 Biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach 12

1.2 Độ đo véc tơ vμ tích phân của hμm nhận giá trị toán tử đối với độ đo véc tơ 14

1.2.1 Độ đo véc tơ 14

1.2.2 Tích phân Bochner 16

1.2.3 Tích phân của một hμm nhận giá trị toán tử đối với một độ đo véc tơ 16

1.3 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên vμ tích phân ngẫu nhiên của hμm tất định đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên 18

1.4 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss 20

1.5 Tích phân ngẫu nhiên Wiener đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng 24

1.6 Martingale nhận giá trị trong không gian Banach 25

2 Tích phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều vμ công thức Ito 27

2.1 Tích phân ngẫu nhiên của hμm ngẫu nhiên nhận giá trị toán

tử đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss 27

2.2 Biến phân bình phương của độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng 41

2.3 Quá trình Ito vμ công thức Ito 46

3 Toán tử ngẫu nhiên giữa các không gian Banach 58 3.1 Khái niệm của toán tử ngẫu nhiên bị chặn, ví dụ vμ các tính chất tổng quát 58

3.2 Các điều kiện để một toán tử ngẫu nhiên lμ bị chặn 65

3.3 Nguyên lý bị chặn đều không có hiệu lực cho toán tử ngẫu nhiên bị chặn 71

3.4 Thác triển của toán tử ngẫu nhiên bị chặn 75

Về các nghiên cứu tiếp theo 83

Kết luận 93

Tμi liệu tham khảo 96

Phụ lục 100

Mở đầu

Trong hơn ba thế kỷ qua, với công lao đóng góp của nhiều thế hệ các nhμtoán học, giải tích toán học đã trở thμnh một lĩnh vực toán học lớn với nhữngchuyên ngμnh như: phép tính vi tích phân, phương trình vi phân, phươngtrình đạo hμm riêng, lý thuyết các toán tử tuyến tính, Nó cung cấp cho

nhiều ngμnh khoa học vμ kỹ thuật một công cụ hết sức đắc lực để xử lý vμtính toán các mô hình tất định

Tuy nhiên, chúng ta đang sống trong một thế giới chịu nhiều tác động củanhân tố ngẫu nhiên Phần lớn các hệ động lực, các quá trình trong tự nhiên

lμ các hệ động lực ngẫu nhiên vμ quá trình ngẫu nhiên Thμnh thử để phản

ánh thực tế đúng đắn hơn, ngoμi việc nghiên cứu các mô hình tất định, việcnghiên cứu các mô hình ngẫu nhiên lμ một tất yếu vμ cần thiết

Trong vμi chục năm gần đây, một mặt do nhu cầu phát triển nội tại củatoán học, mặt khác nhằm cung cấp một ngôn ngữ, một công cụ cho phép môtả, phân tích, dự báo vμ điều khiển các mô hình ngẫu nhiên, giải tích ngẫunhiên đã ra đời với các lý thuyết về độ đo ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên,phương trình vi phân ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên, điểm bất động ngẫunhiên, hệ động lực ngẫu nhiên Trong các hướng nghiên cứu của giải tích

ngẫu nhiên, việc nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên vô hạn chiều cũng đượcnhiều tác giả quan tâm do sự phát triển nội tại của giải tích ngẫu nhiên cũngnhư do sự xuất hiện của nhiều bμi toán thực tiễn đòi hỏi cách tiếp cận vô hạnchiều Cần chú ý rằng để nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên trên không gianvô hạn chiều, người ta cần phải có những phương pháp mới vμ dụng cụ mớikhác so với việc nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên hữu hạn chiều Bởi lẽ rằngnhững phương pháp vμ dụng cụ cơ bản của xác suất trên không gian hữu hạnchiều khi mở rộng sang không gian vô hạn chiều thì không còn hiệu lực nữa

Về mặt lịch sử, tích phân ngẫu nhiên đầu tiên trong lý thuyết xác suất lμtích phân của một hμm tất định đối với chuyển động Brown do Wiener đưa

ra vμo năm 1923 Tích phân nμy được gọi lμ tích phân Wiener Tích phânWiener có thể nhìn nhận như lμ tích phân của một hμm tất định thực đối với

độ đo ngẫu nhiên Wiener - một độ đo ngẫu nhiên giá trị thực sinh bởi chuyển

động Brown Tư tưởng về độ đo ngẫu nhiên giá trị thực lần đầu tiên xuấthiện trong công trình của Bochner Các tác giả như Urbanik-Woyczynski,Hoffman-Jorgensen, Okazaki, Rosinski, Đ.H.Thắng, lần lượt đưa ra

những khái niệm về độ đo ngẫu nhiên ngμy cμng tổng quát hơn vμ xét tíchphân của các hμm tất định thực đối với những độ đo ngẫu nhiên đó

Chương1 có tiêu đề "Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss vμ tích phân ngẫunhiên Wiener vô hạn chiều" Chương nμy sẽ trình bμy một cách tóm lượcnhất để lμm quen với định nghĩa, các kết quả cơ bản về độ đo véc tơ ngẫunhiên Gauss đối xứng với giá trị trong không gian Banach vô số chiều Cáckết quả nμy sẽ được sử dụng thường xuyên ở chương2

Nhu cầu của toán học cũng như thực tiễn đòi hỏi phải thực hiện quá trìnhlấy tích phân không chỉ cho các hμm tất định mμ cả cho các hμm ngẫu nhiên.Năm 1942 nhμ toán học Ito đã xây dựng quá trình tích phân cho một hμmngẫu nhiên phù hợp đối với chuyển động Brown Tích phân nμy được gọi lμtích phân ngẫu nhiên Ito Tích phân Ito vμ công thức Ito đóng một vai trò đặcbiệt quan trọng trong giải tích ngẫu nhiên tương tự như tích phân Riemann vμcông thức Newton-Leibniz trong giải tích cổ điển Giải tích cổ điển nghiêncứu vi tích phân trong không gian hữu hạn chiều, giải tích ngẫu nhiên nghiêncứu phép tính vi tích phân ngẫu nhiên Sự khác nhau cơ bản giữa giải tích

cổ điển vμ giải tích ngẫu nhiên thực chất nằm ở sự khác nhau của công thức

đạo hμm hμm số hợp, trong môi trường ngẫu nhiên công thức nμy mang tênIto Vi tích phân ngẫu nhiên Ito ngμy cμng đóng vai trò quan trọng, mô tảngμy cμng đúng vμ sát nhiều mô hình trong thực tế vμ có nhiều ứng dụngthiết thực Một trong những ứng dụng đáng chú ý của nó gần đây có thể kể

đến đó lμ nó trở thμnh công cụ quan trọng trong nghiên cứu toán tμi chính,như việc định nghĩa vμ nghiên cứu các mô hình Black-Scholes, Merton, Hulland White,

Có nhiều hướng nghiên cứu mở rộng tích phân Ito Một số tác giả muốnxây dựng loại tích phân ngẫu nhiên mμ không cần giả thiết phù hợp, như tích

phân Ogawa, tích phân Stratonovich, tích phân Skorokhod Một hướng mởrộng khác lμ xây dựng tích phân của hμm ngẫu nhiên đối với các quá trìnhngẫu nhiên tổng quát hơn Chẳng hạn lý thuyết về tích phân ngẫu nhiên củacác hμm ngẫu nhiên khả đoán đối với một semimartingale đã được nhiều tácgiả ở Mỹ vμ Pháp quan tâm; lý thuyết về tích phân ngẫu nhiên đối với cácquá trình Brown phân thứ được một số tác giả quan tâm vì những dụng mớicủa nó trong toán tμi chính.

Chương2 có tiêu đề "Tích phân ngẫu nhiên Ito vô số chiều vμ công thứcIto" Chương nμy dμnh cho việc xây dựng tích phân Ito của hμm ngẫu nhiêngiá trị toán tử đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss, xây dựng một quá trìnhngẫu nhiên vô hạn chiều X t, kiểu Ito rất tổng quát vμ thiết lập công thức Itotương ứng

Giả sử X, Y lμ các không gian Banach Cho trước Z lμ độ đo ngẫu nhiên

Gauss đối xứng X-giá trị với độ đo covariance Q (được định nghĩa bởi

Đ.H.Thắng) Chúng tôi định nghĩa quá trình ngẫu nhiênX t Y -giá trị có dạng

vμ gọi đó lμ quá trình Ito Y -giá trị đối với độ đo ngẫu nhiên Z Để định

nghĩa được quá trình nμy, chúng tôi đã phải xây dựng khái niệm tích phânngẫu nhiên của một hμm ngẫu nhiên L(X, Y )-giá trị đối với độ đo Z Kết quả quan trọng trong chương nμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô số chiều (Định lý 2.3.2) Để chuẩn bị cho việc thiết lập công thức nμy, luận

án đã sử dụng công cụ tích tensor để lμm rõ tác động của một toán tử songtuyến tính lên một toán tử hạch vμ nghiên cứu biến phân toμn phương của độ

đo Z Công thức biến phân toμn phương nμy viết một cách hình thức có dạng

dZ  ⊗ dZ = dQ.

Trong trường hợp Z lμ độ đo Wiener X-giá trị vμ các không gian X, Y lμ

hữu hạn chiều ta thu được công thức Ito hữu hạn chiều (Hệ quả 2.3.4) Chú

ý rằng công thức nμy cũng lμ mới vì cho tới nay người ta mới xét trường hợpcông thức Ito hữu hạn chiều với quá trình Wiener nhiều chiều với các thμnh

phần độc lập (tức lμ với độ đo ngẫu nhiên Wiener với độ đo covariance Q

dạngdQ = R dt, trong đó R lμ ma trận đơn vị).

Trong giải tích cổ điển (không ngẫu nhiên) ta đã biết tích phân lμ một loạitoán tử tuyến tính đặc biệt vμ rất quan trọng Lý thuyết toán tử tuyến tính(tất định) đã được phát triển thμnh một lý thuyết đồ sộ trong giải tích hμm vμ

đã được áp dụng rất hiệu quả để nghiên cứu trong lý thuyết phương trình viphân vμ phương trình đạo hμm riêng Tương tự như vậy, tích phân ngẫu nhiên

lμ một loại toán tử ngẫu nhiên đặc biệt vμ rất quan trọng Một toán tử ngẫunhiên A từ X vμo Y lμ một phép tương ứng mỗi x ∈ X một biến ngẫu nhiên

Ax nhận giá trị trong Y Phép tương ứng nμy thoả mãn điều kiện tuyến tính

vμ liên tục theo một nghĩa xác suất nμo đó Như vậy khái niệm toán tử ngẫunhiên lμ một sự mở rộng "ngẫu nhiên" (hay sự ngẫu nhiên hoá) một cách rất

tự nhiên của khái niệm toán tử tuyến tính tất định Toán tử ngẫu nhiên giữacác không gian Hilbert được nghiên cứu hệ thống đầu tiên bởi Skorokhod vμ

được phát triển bởi Đ.H.Thắng Theo sự hiểu biết của chúng tôi thì lý thuyết

về toán tử ngẫu nhiên mới đang ở giai đoạn đầu của sự phát triển vμ cònnhiều vấn đề bỏ ngỏ Nếu như lý thuyết toán tử tuyến tính (tất định) đã trởthμnh một lâu đμi đồ sộ, hoμnh tráng trong giải tích, có rất nhiều ứng dụngtrong toán học cũng như thực tiễn thì có cơ sở để hy vọng vμ tin tưởng rằngtrong tương lai lý thuyết toán tử ngẫu nhiên cũng sẽ có một hình hμi, vị tríxứng đáng vμ tầm quan trọng lớn lao trong giải tích ngẫu nhiên

Chương3 có tiêu đề "Toán tử ngẫu nhiên giữa các không gian Banach".Trong chương nμy chúng tôi dμnh sự quan tâm cho lớp các toán tử ngẫunhiên bị chặn Đó lμ một lớp con của lớp các toán tử ngẫu nhiên bị chặnnhưng lại lμ sự mở rộng rất gần gũi các toán tử tuyến tính tất định Chúng tôi

đã thiết lập các điều kiện để một toán tử ngẫu nhiên lμ bị chặn Một trongnhững kết quả chính khá thú vị trong chương nμy lμ chỉ ra rằng nguyên lý

bị chặn đều (Định lý Banach-Steinhaus) cho họ các toán tử tuyến tính tất

định vẫn đúng cho họ các toán tử ngẫu nhiên (bị chặn theo nghĩa xác suất)nhưng đã không còn đúng cho họ các toán tử ngẫu nhiên bị chặn (bị chặn

theo nghĩa h.c.c.) (xem ví dụ 3.3.3 của luận án) Nếu nhìn tích phân Wienernhư một toán tử ngẫu nhiên thì tích phân Ito, tích phân Ogawa, tích phânStratonovich vμ tích phân Skorokhod đều có thể xem như lμ một cố gắng đểthác triển miền xác định của tích phân Wiener từ tập các hμm tất định bìnhphương khả tích lên một lớp nμo đó các hμm ngẫu nhiên có quỹ đạo bìnhphương khả tích Chúng tôi đưa ra một kiểu thác triển vμ chứng minh đượcrằng một toán tử ngẫu nhiên bị chặn từ X sang Y (vμ chỉ có nó) mới có thể

thác triển miền xác định của nó lên toμn bộ các biến ngẫu nhiên nhận giá trịtrong X đồng thời bảo toμn các tính chất tuyến tính vμ liên tục của nó (Định

lý 3.4.5) Một hệ quả thú vị của định lý nμy lμ: không thể thác triển miền xác

định của tích phân Wiener từ tập các hμm tất định bình phương khả tích lên tất cả các hμm ngẫu nhiên có quỹ đạo bình phương khả tích.

Trong quá trình nghiên cứu hoμn thμnh luận án, ngoμi những kết quả đãcông bố, chúng tôi cũng tìm ra một số kết quả thú vị khác về toán tử ngẫunhiên tổng quát (không nhất thiết bị chặn) Nhưng những kết quả đó chưathμnh một hệ thống hoμn chỉnh vμ mạch lạc nên chúng tôi chỉ mới trình bμy

ở những buổi seminar nhỏ

Phần phụ lục nhỏ cuối luận án có tiêu đề "Về các nghiên cứu tiếp theo".Trong chương nμy, chúng tôi đưa ra một số vấn đề mμ chúng tôi chưa giảiquyết hoμn chỉnh vμ kèm theo một số kết quả đã đạt được Chúng tôi dμnhnhững vấn đề đó cho nghiên cứu sau luận án

Các kết quả chủ yếu của luận án đã được báo cáo trong các hội nghị:

1 Hội nghị Khoa học của trường Đông về Xác suất-Thống kê, Vinh(2003),

2 Hội nghị nghiên cứu Khoa học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên(2004),

3 Hội nghị Toμn quốc về Xác suất Thống kê tại Ba Vì (2005)

Vμ được công bố trong các công trình [1-5] được liệt kê trong "danh mụccác công trình đã công bố của tác giả liên quan đến luận án"

mở rộng vô hạn chiều cho tích phân Ito, do đó nó cần sự hỗ trợ từ rất nhiềucác kết quả khá trừu tượng trong không gian Banach, như lμ: toán tử hạch,tích tensor của 2 không gian Banach, hình học trong không gian Banach, độ

đo véc tơ, tích phân đối với độ đo véc tơ, độ đo véc tơ ngẫu nhiên vμ tíchphân ngẫu nhiên của hμm tất định đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss.Trong chương nμy chúng tôi trình bμy một cách tóm lược nhất khái niệm vμmột số tính chất của độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss, khái niệm được sử dụngthường xuyên sau nμy

(Ω, F, P) luôn lμ một không gian xác suất cơ sở.

Định nghĩa 1.5.1.

0 (Ω, F, P) được gọi lμ một độ đo ngẫu nhiên

Gauss đối xứngX-giá trị nếu

1 Với mỗi dãy(A n ) các tập rời nhau trong Σ thì Z(A1), Z(A2), ,

Z(A n ) lμ các biến ngẫu nhiên X-giá trị độc lập vμ đối xứng;

2 Với mỗi dãy(A n) các tập rời nhau trong Σ thì

3 Với mỗi A ∈ Σ thì Z(A) lμ biến ngẫu nhiên có phân bố Gauss đối

xứng

• Cho Z lμ độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X-giá trị Hμm tập Q xác

định trên Σ được gọi lμ độ đo đặc trưng của Z nếu Q(A) lμ toán tử

covariance củaZ(A).

Chú ý rằng toán tử covariance của biến ngẫu nhiênX-giá trị ξ ∈ L2

Định lý 1.5.3 Nếu X lμ không gian Banach loại 2 thì tồn tại một hằng số

C chỉ phụ thuộc vμo không gian X sao cho với mỗi độ đo ngẫu nhiên Gauss

đối xứng X-giá trị Z ta có

2

trong đó Q lμ độ đo covariance vμ |Q| lμ biến phân của độ đo véc tơ Q.

Ví dụ 1.5.7 (Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Wiener).

Cho trước một toán tửR ∈ G(X) vμ μ lμ độ đo hữu hạn dương μ trên (T, Σ).

Lúc đó, tồn tại một độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X-giá trị W sao cho

đo ngẫu nhiên WienerX-giá trị với tham số (μ, R).

Chương 2

Tích phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều

và công thức Ito

trị toán tử đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss

ĐặtS lμ khoảng thực [0, T], Σ lμ σ-đại số các tập Borel của S Trong suốt

luận án nμy, ta luôn giả sử rằng Z lμ một độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X-giá trị trên S với độ đo covariance Q vμ độ đo Q có biến phân |Q| giới

nội

Đặt L(X, Y ) lμ không gian các hμm tuyến tính liên tục từ X vμo Y Ta sẽ

xây dựng tích phân ngẫu nhiên Ito dạng f ã dZ, với f lμ một hμm ngẫu

nhiên phù hợpL(X, Y )-giá trị.

Từ độ đoZ ta xác định một họ tăng dần các σ-đại số F t ⊂ A như sau: F t lμ

σ-đại số sinh bởi các biến ngẫu nhiên X-giá trị Z(A) với A ∈ A ∩ [0, t].

Giả sửE lμ một không gian Banach nμo đó Đặt M1 (S, Z, E) lμ tập các hμm

ngẫu nhiên xác định trên S, E-giá trị, f(t, ω) thoả mãn:

1 f(t, ω) phù hợp đối với Z, tức lμ f(t, ω) lμ biến ngẫu nhiên F t-đo đượcvới mỗit ∈ S.

2



S

2d|Q|(t) < ∞.

ĐặtM2(S, Z, E) lμ tập các hμm ngẫu nhiên trên S, E-giá trị, f(t, ω) sao cho

trong đó: A0 = {0}, A i = (t iư1 , t i ] với 0 = t0 < t1 < t2 < ã ã ã < t n = T,

f i lμ Ft iư1-đo được (1 ≤ i ≤ n) vμ f0 lμ F0-đo được Trong chương nμy ta

chủ yếu nghiên cứu các không gian hμm ngẫu nhiênL(X, Y )-giá trị, để cho

thuận tiện ta ký hiệuM0 := M0(S, Z, L(X, Y )), M1 := M1(S, Z, L(X, Y ))

Bổ đề 2.1.1. M0 trù mật trongM1 (với chuẩn 0 trù mật trongM2

Từ nay, để thuận tiện, nếuf ∈ L(X, Y ) vμ x ∈ X thì ta viết f ã x thay vì

C2 (2.3)

NếuX, Y lμ các không gian Banach loại 2 thì từ Bổ đề 2.1.1 vμ bất đẳng

thức (2.2) ta định nghĩa được tích phân cho lớp hμm M1 như lμ một ánh xạtuyến tính liên tục f → S f ã dZ = T

0 f(t, ω) ã dZ(t) từ M1 vμoL2

Y(Ω).Tương tự, nếu X, Y lμ các không gian Banach loại 2 thì từ bất đẳng

thức (2.3) vμ Bổ đề 2.1.1, ta có thể định nghĩa tích phân ngẫu nhiên

f ã dZ cho hμm ngẫu nhiên f ∈ M2 như lμ một ánh xạ tuyến tính liên tục

Y(Ω).Tương tự, X, Y lμ khơng gian Banach loại từ bất đẳng

thức (2.3) vμ Bổ đề 2.1.1, ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên

f ã dZ cho hμm ngẫu nhiên f ∈ M2 lμ ánh xạ tuyến