Giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy

Trên thế giới, giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy đãđược nghiên cứu mạnh vào khoảng cuối thế kỷ 20, với các tác giả như R.S.Bass,R.Cont và P.Tankov với nhiều ứng dụn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGUYỄN HỮU CHỈNH

GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI CÁC

QUÁ TRÌNH CÓ BƯỚC NHẢY

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2013

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGUYỄN HỮU CHỈNH

GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI CÁC

QUÁ TRÌNH CÓ BƯỚC NHẢY

Chuyên ngành: LÍ THUYẾT XÁC SUẤT-THỐNG KÊ TOÁN HỌC

Mã số: 60.46.15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS.Trần Hùng Thao

Hà Nội - 2013

Lời nói đầu

Giải tích ngẫu nhiên truyền thống nghiên cứu về vi phân ngẫu nhiên, tích phânngẫu nhiên Itô và ứng dụng đối với các hệ động lực chi phối bởi chuyển độngBrown

Cùng sự phát triển nghiên cứu ứng dụng, người ta nhận thấy giải tích ngẫunhiên Itô không đủ nghiên cứu các hệ động lực mô tả và chi phối bởi các quá trình

có bước nhảy Nhiều quá trình trong thực tế không liên tục theo thời gian mà cóbiến đổi theo kiểu nhảy bậc, thí dụ như giá bất động sản hoặc giá của các tài sản cơ

sở nào đó Quá trình Poisson và Poisson phức hợp là các ví dụ rất phổ biến dùngtrong kỹ thuật và trong kinh tế tài chính, đó là những quá trình có bước nhảy Do

đó hình thành nghiên cứu về giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bướcnhảy Trên thế giới, giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy đãđược nghiên cứu mạnh vào khoảng cuối thế kỷ 20, với các tác giả như R.S.Bass,R.Cont và P.Tankov với nhiều ứng dụng trong kinh tế, tài chính và trong kỹ thuật.Chính khả năng ứng dụng thực tế to lớn của lý thuyết này là lý do tôi chọn đó lànội dung nghiên cứu của luận văn này

Luận văn này đề cập các vấn đề cơ bản của giải tích ngẫu nhiên đối với cácquá trình có bước nhảy, như tích phân ngẫu nhiên, công thức đổi biến Itô, định lýGirsanov, cùng các quá trình có bước nhảy quan trọng là quá trình Poisson, quátrình Lévy, Các tài liệu cơ bản để chuẩn bị cho luận văn này là ba tài liệu quantrọng của Bass, Cont và cuốn sách về tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi

phân ngẫu nhiên của tác giả Philip Protter.

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình có bước nhảy Chương 3: Các vấn đề liên quan

Mục lục

Lời cảm ơn i

Lời nói đầu ii

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị 1

1.1.Quá trình ngẫu nhiên và các quỹ đạo cadlag 1

1.2.Quá trình đo được 3

1.2.1 Định nghĩa 3

1.2.2 Chú ý 3

1.3.Quá trình thích nghi với bộ lọc 3

1.4.Thời điểm dừng 4

1.4.1 Mở đầu 4

1.4.2 Nội dung trực quan của khái niệm "Thời điểm dừng" 5

1.5.Martingale 6

1.6.Phân tích Doob-Meyer 7

1.7.Quá trình khả đoán 7

1.8.Thời điểm dừng khả đoán 8

1.9.Semimartingales 9

Chương 2 Tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình có bước nhảy 11

2.1.Biến phân bậc hai của một quá trình 12

2.1.1 Định nghĩa 12

2.1.2 Tính chất của biến phân bậc hai 13

2.1.3 Biến phân bậc hai của một số quá trình 13

2.2.Biến phân bậc hai và martingale 13

2.3.Biến phân bậc hai và semimartingale 14

2.4.Tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình có bước nhảy 16

2.5.Công thức Itô đối với quá trình có bước nhảy 19

2.5.1 Công thức Itô cho các quá trình có bước nhảy hữu hạn 20

2.5.2 Công thức Itô cho quá trình khuếch tán có bước nhảy 22

2.5.3 Hệ quả của công thức Itô 24

Chương 3 Các vấn đề liên quan 26

3.1.Công thức Itô đối với các quá trình semimartingale và semimartingale mũ có bước nhảy 26

3.1.1 Công thức Itô đối với quá trình semimartingale có bước nhảy 26

3.1.2 Công thức Itô đối với quá trình semimartingale mũ 29

3.2.Định lý Girsanov đối với các quá trình có bước nhảy 31

3.2.1 Độ đo xác suất tương đương 31

3.2.2 P-martingale 31

3.2.3 Định lý Girsanov đối với các quá trình có bước nhảy 32

3.3.Quá trình Poisson 35

3.3.1 Định nghĩa quá trình Poisson 35

3.3.2 Quá trình Poisson đối trọng 36

3.3.3 Độ đo ngẫu nhiên và các quá trình điểm 37

3.3.4 Độ đo ngẫu nhiên Poisson 38

3.3.5 Độ đo ngẫu nhiên Poisson đối trọng 39

3.3.6 Tích phân ngẫu nhiên đối với độ đo ngẫu nhiên Poisson 39

3.4.Quá trình Lévy 42

3.4.1 Mở đầu 42

3.4.2 Các bước nhảy của quá trình Lévy 44

3.4.3 Quá trình Lévy là một semimartingale 49 3.4.4 Biểu thức phân tích một quá trình Lévy và công thức Lévy-Khintchin 52

Kết luận 54

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị

Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị cho Luận văn, bao gồm các định nghĩa về các quá trình: đo được, thích nghi, quá trình ngẫu nhiên, quá trình khả đoán, quá trình semimartingale, quá trình bước nhảy; thời điểm dừng khả đoán, martingale, martingale trên, martingale dưới và phân tích Doob-Meyer.

Cho (Ω,F ,P) là một không gian xác suất

Đối tượng nghiên cứu của quá trình ngẫu nhiên là họ các biến ngẫu nhiên phụthuộc tham số t ∈ T nào đó

Giả sử T là tập vô hạn nào đó Nếu với mỗi t ∈ T , Xt là biến ngẫu nhiên thì ta

kí hiệu X = {Xt,t ∈ T } là hàm ngẫu nhiên với tham biến t ∈ T

• Nếu T là tập đếm được thì ta gọi X = {Xt,t ∈ T } là quá trình ngẫu nhiên vớitham số rời rạc

• Nếu T = N thì ta gọi X = {Xn, n ∈ T } là dãy biến ngẫu nhiên

• Nếu T thuộc một trong các tập sau: (−∞, +∞) , [a; +∞) , (−∞, b] , (a, b] , [a, b] ,(a, b] , (a, b) thì ta gọi X = {Xt,t ∈ T } là quá trình ngẫu nhiên với tham số liêntục.

• Nếu T ⊂ Rd thì ta gọi X = {Xt,t ∈ T } là trường ngẫu nhiên

Ta sẽ xét các hàm cadlag f (t) được định nghĩa như sau

Với mỗi ω, ta xét một quỹ đạo f (t) = Xω(t) của quá trình ngẫu nhiên X (t)

Hiển nhiên, mọi hàm liên tục là cadlag song điều ngược lại không đúng Nếu t

là điểm không liên tục, ta ký hiệu

là "cỡ bước nhảy" của f ở t

Ví dụ hàm cadlag là hàm có bước nhảy ở thời điểm T0, giá trị của nó ở thời điểm

T0 được định nghĩa là giá trị sau bước nhảy f = 1[T0,T )(t) Trong trường hợp này

f(T0−) = 0, f (T0+) = 1 và 4 f (T0) = 1 Tổng quát hơn, cho hàm liên tục g : [0, T ] →

1.2 Quá trình đo được

1.2.1 Định nghĩa

Một quá trình ngẫu nhiên X : (Xt,t ≥ 0) được gọi là đo được nếu nó đo được đốivới σ -trường tích BR+⊗F Điều đó có nghĩa là, với mọi tập B ∈ BR+⊗F , tậphợp:

{(t, ω) : X(t, ω) ∈ B}

thuộc về σ -trường tích BR+⊗F Đó là σ-trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng[0,t] × A với t ∈ R+, A ∈F

1.2.2 Chú ý

a) Mọi quá trình liên tục là đo được

b) Nếu X là một quá trình đo được thì mọi quỹ đạo của nó Xω(t) đều là nhữnghàm thực Borel trên R+

a) Một họ các σ -trường conFt ⊂F được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điềukiện thông thường nếu:

i) Đó là một họ tăng, tức là Fs ⊂Ft nếu s < t

ii) Họ đó là liên tục phải, tức làFt = T

ε >0

Ft+ε.iii) Mọi tập P-bỏ qua được A ∈F đều chứa trong F0 (do đó nằm trong mọi

Ft)

b) Cho một quá trình ngẫu nhiên X : (Xt,t ≥ 0) Xét họ σ -trường FX

t sinh bởibiến ngẫu nhiên Xt(ω), tức làFX

t = σ (Xs, 0 ≤ s ≤ t) Khi đó họ (FX

t ,t ≥ 0)được gọi là bộ lọc tự nhiên của quá trình X , hay lịch sử của X

c) Cho một bộ lọc bất kỳ (Ft,t ∈ R+) trên (Ω,F ) Một quá trình Y được gọi làthích nghi với bộ lọc này nếu với mọi t, Yt là đo được với σ -trường Ft

Mọi quá trình X = (Xt,t ∈ R+) là thích nghi với lịch sử của nó (FX

t ,t ∈ R+).d) Cho một quá trình X với lịch sử của nó là (FX

là một hàm Borel thực trên RN? (cũng phụ thuộc vào t) Đó là theo tiêu chuẩn

cổ điển của Doob về tính đo được

Như vậy, nếu quá trình Y thích nghi với lịch sử (FX

t ) của X thì khi đó với mọi

t và với mọi ω, muốn biết giá trị của Yt tại điểm ω, chỉ cần biết quỹ đạo tươngứng

a) Cho T là một ánh xạ Ω 7−→ [0, ∞] Muốn cho T là một biến ngẫu nhiên (lấy giátrị số), điều kiện cần và đủ là: với mọi số thực t ≥ 0, ta phải có {T < t} ∈F b) Trong trường hợp T còn thỏa mãn điều kiện chặt hơn sau đây

{T < t} ∈Ft với mọi t ≥ 0thì ta nói rằng T là một thời điểm dừng

1.4.2 Nội dung trực quan của khái niệm "Thời điểm dừng"

a) Ta chọn bộ lọc (Ft) là bộ lọc tự nhiên của quá trình ngẫu nhiên X Khi đóthời điểm dừng T có nghĩa là, với mọi t ≥ 0, tập hợp {T ≤ t} có thể biểu diễndưới dạng

{T ≤ t} = {ω : (Xs1(ω), Xs2(ω), ) ∈ B} ,trong đó s1, s2, là một dãy các phần tử trên đoạn [0,t] và B là một tập Borelcủa RN? Như vậy, muốn biết một phần tử ω là thỏa mãn hệ thức T (ω) ≤ t hay

là nó thỏa mãn hệ thức đối lập t < T (ω), ta chỉ cần biết quỹ đạo s 7−→ X (s, ω)của quá trình X , mà thực ra chỉ cần biết hạn chế của quỹ đạo này trên đoạn[0,t]

b) Trở lại trường hợp chung với Ft là một bộ lọc tùy ý, giả thiết rằng T là mộtthời điểm dừng và Y là một quá trình liên tục thích nghi cho trước Khi đó ta

có thể định nghĩa một quá trình mới Z bằng cách

c) Với mọi t ∈ [0, ∞] thì hằng số t (xem như một ánh xạ Ω 7−→ [0, ∞] là một thờiđiểm dừng.

d) Thời điểm đầu tiên đi vào một tập hợp

Cho (Ft)t∈R+ là một bộ lọc liên tục phải và cho X là một quá trình ngẫu nhiênliên tục phải Cho một tập mở U của R và đặt

T(ω) = inft ∈ R+

: X (t, ω) ∈ U trong đó qui ước inf ∅ = ∞

Ta nhắc lại kết quả sau đây được gọi là phân tích Doob-Meyer:

Giả sử Xt là martingale trên với các quỹ đạo liên tục phải có giới hạn trái và tập hợp các biến ngẫu nhiên {XT : T là thời điểm dừng} là khả tích đều Tồn tại martingale Mt và quá trình tăng khả đoán At sao cho Xt = Mt− At Khai triển này

là duy nhất.

Định nghĩa 1.6.

1) σ -đại số các tập hoàn toàn đo được trên [0, T ] × Ω.

Đó là σ -đại số O các tập con nhỏ nhất của [0,T] × Ω mà đối với nó, mọi quá trình liên tục phải và có giới hạn trái là đo được.

2) Nếu X = (Xt(ω))t∈[0,T ]là ánh xạ đo được từ [ 0, T ] × Ω vào (R, BR) thì ta nói

X là quá trình hoàn toàn đo được.

3) σ -đại số khả đoán trên [0, T ] × Ω.

Đó là σ -đại số P các tập con của [0,T] × Ω sinh bởi các quá trình liên tục trái thích nghi trên [ 0, T ] × Ω.

4) Ánh xạ X : [0, T ] × Ω → Rd đo được đối với P được gọi là quá trình khả đoán

Từ định nghĩa ta thấy tất cả các quá trình khả đoán được "sinh" từ các quá trìnhliên tục trái, tuy nhiên có quá trình khả đoán không liên tục trái Ta có chú ý sau:

Cadlag (liên tục phải)+ tương thích =⇒ Hoàn toàn đo đươc

Caglad (liên tục trái)+ tương thích =⇒ Khả đoán

Định nghĩa 1.7 (σ -trường khả đoán)

Cho (Ft) là bộ lọc đầy đủ liên tục phải Chúng ta định nghĩa σ -trường khả đoán

P là σ-trường trên Ω × [0,∞) được sinh ra bởi tất cả các quá trình có dạng

Nếu Xt là quá trình liên tục phải có giới hạn trái, chúng ta đặt

Xt−= lim

s→t s<t

Xs, 4Xt = Xt− Xt−

Bởi vậy 4Xt là cỡ bước nhảy của Xt tại thời điểm t.

Chúng ta gọi thời điểm dừng T là khả đoán nếu tồn tại dãy thời điểm dừng Tn

tăng tới T với Tn < T trên tập (T < ∞) Một ví dụ là T = inf{t : Bt = 1}, ở đó Bt

là chuyển động Brown, trong trường hợp này chúng ta có thể lấy Tn = inf{t : Bt =

1 −1

n}

Thời điểm dừng T là hoàn toàn không đạt được nếu với mọi thời điểm dừng khảđoán S, ta có P(T = S) = 0 Một ví dụ là T = inf{t : Pt = 1}, ở đây Pt là quá trìnhPoisson Để thấy điều này, giả sử S là khả đoán Cho M là số tự nhiên lớn tùy ý Dễthấy rằng S ∧ M là khả đoán Nếu chúng ta chứng minh được P(T = S ∧ M) = 0với mọi M thì P(S = T ) = 0 Bởi vậy ta có thể giả sử S bị chặn Lấy Sn tăng tới S.Chú ý rằng

E(PSn∧T) = E(Sn∧ T ) ↑ E(S ∧ T ) = E(PS∧T) = P(S ≥ T )

Mặt khác E(PS n ∧T) = P(Sn ≥ T ) −→ P(S > T ) Bởi vậy P(S > T ) = P(S ≥ T ) và

do đó P(S = T ) = 0

Chú ý rằng nếu T là khả đoán thì 1[0,T (ω))= lim 1[0,Tn(ω)] Nhưng 1[0,Tn(ω)] là quátrình liên tục trái, do đóP đo được

Ta định nghĩa một semimartingale là một quá trình có dạng Xt = X0+ Mt+ At,

ở đó X0 là hữu hạn, Mt là một martingale địa phương và At là một quá trình màquỹ đạo của nó có biến phân giới nội trên [0,t] với mỗi t

Người ta đã chứng minh được rằng

a) Mọi quá trình biến phân hữu hạn là semimartingale

b) Mọi martingale bình phương khả tích là semimartingale

Nhận xét: mọi tổ hợp tuyến tính của hữu hạn các semimartingale là gale Từ nhận xét này và 2 ví dụ trên cho phép ta kết luận các quá trình dưới đây làsemimartingale:

semimartin-+) Quá trình Wiener (vì quá trình này bản thân đã là martingale Hơn nữa nócũng là martingale bình phương khả tích)

+) Quá trình Poisson (vì nó là quá trình biến phân hữu hạn)

+) Quá trình Lévy (vì quá trình Lévy có thể phân tích thành tổng của martingalebình phương khả tích và quá trình biến phân hữu hạn)

Trước hết quá trình ngẫu nhiên có bước nhảy là quá trình X (t, ω) mà các quỹ đạo của nó là các hàm số của t có gián đoạn loại 1, với các bước nhảy có cỡ là

∆Xt = Xt− Xt−

Ta cần nghiên cứu quá trình này bởi vì

• Nhiều quá trình trong thực tế không liên tục theo thời gian mà có biến đổi theo kiểu nhảy bậc, thí dụ như giá bất động sản hoặc giá của các tài sản cơ

sở nào đó Quá trình Poisson và Poisson phức hợp là các ví dụ rất phổ biến dùng trong kỹ thuật và trong kinh tế tài chính, đó là những quá trình có bước nhảy.

• Ta chú ý rằng trong mô hình Black-Scholes với giá chứng khoán St thỏa mãn

thì quá trình St này là liên tục và không phản ánh được mọi tính chất của thị trường, vì thị trường có thể có những biến động đột ngột (có bước nhảy).

Trước tiên ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả về biến phân bậc hai

D: s = t0 < t1 < · · · < tn= t,khi bán kính | 4 |= max | tk+1− tk | dần tới 0

b) Biến phân bậc hai của hai quá trình Xt và Yt được định nghĩa tương tự

2.1.2 Tính chất của biến phân bậc hai

i) [X , X ]t = [X ]t ≥ 0

ii) Tính đối xứng: [X ,Y ] = [Y, X ]

iii) Song tuyến tính: [a1X1+ a2X2,Y ] = a1[X1,Y ] + a2[X2,Y ]

2.1.3 Biến phân bậc hai của một số quá trình

a) Nếu Bt là một chuyển động Brown thì [B]t− [B]s = t − s, nói riêng [B]t = t.b) Nếu Bt và Bt0 là các chuyển động Brown độc lập thì [B, B0]t = 0 với mọi t.c) Nếu Xt=

e) Nếu Xt là một semimartingale liên tục, tức là Xt = Mt+ At với Mtlà martingale

liên tục, At là quá trình thích nghi có biến phân bị chặn thì [X ]t tồn tại và[X ]t = [M]t

Nếu a(t) là hàm tất định có biến phân bị chặn và {0 = s0 ≤ s1≤ · · · ≤ sn = t}

là một phân hoạch của [0,t], ta kí hiệu

Cho qua giới hạn ta được

Nếu Mt là martingale bình phương khả tích thì theo bất đẳng thức Jensen Mt2 là

martingaledưới Theo phân tích Doob-Meyer, tồn tại quá trình tăng khả đoán, kí

hiệu hMit, sao cho Mt2− hMit là martingale Nó cho phép ta định nghĩa

Cho (Xt)t∈[0,T ] là quá trình được quan sát trên mạng lưới thời gian

Π = {t0 = 0 < t1< < tn+1= T }, biến phân bậc 2 của X được định nghĩa như

Định nghĩa 2.2 Quá trình biến phân bậc 2 của semimartingale X là quá trình

cadlag thích nghi định nghĩa bởi

ở đây sự hội tụ là đều theo t

Do [X , X ] được định nghĩa như giới hạn của các tổng dương, [X , X ]t ≥ 0, và với

t > s, do [X , x]t− [X, x]s lại là giới hạn của các tổng dương, [X , X ]t ≥ [X, X]s, và

do đó [X , X ] là quá trình tăng Điều này cho phép chúng ta định nghĩa tích phân

• Các bước nhảy của [X, X] và các bước nhảy của X liên hệ bởi:

∆ [X , X ]t =| ∆Xt |2 Trong trường hợp riêng, [X , X ] có các quỹ đạo mẫu liên tục nếu và chỉ nếu X có các quỹ đạo mẫu liên tục.

• Nếu X liên tục và có các quỹ đạo mẫu với biến phân hữu hạn thì [X, X] = 0.

a) Đầu tiên ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên đối với hàm ngẫu nhiên bậc thang

ở đó φilàFai đo được và bị chặn M là martingale bình phương khả tích Khi

đó tích phân ngẫu nhiên được định nghĩa như sau

Bất đẳng thức trên chỉ ra tích phân ngẫu nhiên hội tụ trong L2, đều theo t.

Mệnh đề 2.5 (Tính bảo toàn martingale)

Nếu (St)t∈[0,T ] là martingale thì với mỗi quá trình khả đoán đơn giản φ , tích phân ngẫu nhiên Gt =

h

1(Ti,Ti+1](t)φi(STi+1− STi) |Ft

i+ E1t≤Ti(t)φi(STi+1− STi) |Ft

Do Ti, Ti+1 là các thời điểm dừng, 1t>Ti+1, 1t≤Ti, 1(Ti,Ti+1] là Ft-đo được và có thểđưa ra ngoài kì vọng điều kiện nên

E1t>Ti+1(t)φi(STi+1− STi) |Ft = 1t>Ti+1(t)φi(STi+1− STi)

E1t≤Ti(t)φi(STi+1− STi) |Ft = 1t≤Ti(t)EE φi(STi+1− STi) |FT i |Ft



= 1t≤Ti(t)EφiESTi+1− STi |FT i |Ft = 0

R

0

δu.dXu bởi việc chọn các quá trình khả đoán đơn giản (δt)t∈[0,T ] Do đó Xt

được giải thích như là "nguồn gốc của sự ngẫu nhiên" và δt như là "hệ số thay đổi"

Tuy nhiên khi X là semimartingale như trong mục 2.3 thì

semi-là quá trình cadlag với các bước nhảy

Ta đã biết công thức Itô cho tích phân đối với chuyển động Brown, với f là hàmthuộc C2 và Xt =

2.5.1 Công thức Itô cho các quá trình có bước nhảy hữu hạn

Chúng ta bắt đầu với một vài chú thích đơn giản không liên quan tới xác suấthoặc quá trình ngẫu nhiên Xét hàm x : [0, T ] → R với hữu hạn điểm không liêntục tại T1 ≤ T2 ≤ ≤ Tn ≤ Tn+1 = T nhưng lại trơn trên mỗi khoảng (Ti, Ti+1) Chúng ta có thể chọn để x liên tục phải có giới hạn trái ở các điểm không liên tụcbởi định nghĩa x(Ti) = x(Ti+) sao cho x có thể được biểu diễn như sau:

cũng trơn Áp dụng (2.9) với i = 0, , n và qui ước T0= 0 ta có

Ở mỗi điểm không liên tục, f (x(t)) có bước nhảy bằng với

f(x(Ti)) − f (x(Ti−)) = f (x(Ti−) + ∆xi) − f (x(Ti−))

Các kết quả trên dẫn đến mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.7 Nếu x là hàm trơn từng đoạn (C1) được cho bởi

ở đó ∆Xi= X (Ti) − X (Ti−) là cỡ của bước nhảy và Nt(ω) là số bước nhảy (ngẫunhiên) mà có thể được biểu diễn như giá trị ở t của quá trình đếm Từ mệnh đề(2.7) ta có:

Mệnh đề 2.8 Công thức Itô cho các quá trình có bước nhảy hữu hạn.

Cho X là quá trình có bước nhảy với giá trị thực được xác định bởi

{n≥1,T n ≤T }

[ f (s, Xs−+ ∆XS) − f (s, Xs−)]

Dưới đây ta xét một ví dụ của công thức Itô

2.5.2 Công thức Itô cho quá trình khuếch tán có bước nhảy

Xét quá trình khuếch tán có bước nhảy

Xt = σWt+ µt + Jt = Xc(t) + J(t) (2.14)

ở đó J là quá trình Poisson phức hợp và Xc là thành phần liên tục của X :

Đặt Yt = f (Xt), ở đó f ∈ C2(R) và Ti, i = 1, , NT là các thời điểm bước nhảy của

X Trên mỗi khoảng (Ti, Ti+1), ta có dXt = dXtc = σ dWt+ µdt Do đó bằng việc

áp dụng công thức Itô như trong trường hợp chuyển đông Brown ta có:

do dXt = dXtc trên khoảng này Nếu cỡ bước nhảy ∆Xt xuất hiện thì kết quả thayđổi trong Yt được cho bởi f (Xt−+ ∆Xt) − f (Xt−) Tổng trong Yt có thể viết lại nhưsau: