Một số các phương pháp nội suy để giải phương trình toán tử và các ứng dụng của chúng

Ific dO hOi ty.

n rr

I E 383 3S0 3E) 3 » 3 » a m 3 » i © 2 f f l jeo 3 » 3 » 3 » aro 3 » 39D s o 360 3 © 3fiO 3 » 3 K a » 3 e 0 3 » 3«^

BO mi mo VA 'x'^UITG IDC CHUYEN NCaHiiP

SxmsjL

PhSn loo' dSu 3 Chifo^np: n 5 t : I*i§t sfi ptocme; phap n£i sijy t t ^ e n t i n h

d5 g i a i 6§ja dung phuPcmg t r i n h toan ti^

S 1 M§t v a i k h a i nigm vo ty sal phan syy r^ng cho

§ 5 M§t v a i tn^cfr^'hgj? dglc MJ^t cua phop 1$P ( 2 9 ) 52

§ 4 V5 in§t logii phuctog phq? l§p b^c cao thrf h a i

do g i S i gSn dung phifcmg t r i n h to5n ti> • 37

C^^ctofa: haj 5 M$t v a i phi:?cmg phap ngi suy tSng qu5t

svQT T§ng d | g i a i gin dung phtfcmg t r i n l i tofin tiJ

g o D^t v8n etS 45

i 1 M§t v a i kiaai nlga ve cSng thrJo n§i suy Tfiu-tcm

si^y rOng i^

§ 2 "VS ffiOt v a i pbucng phSp n§i s^y tong quat s i ^

rgng g i a i gSn dung phu^c?ng t r i n h t o a n tiJ va

si; h $ l t v cua n6 • • • ^

Gfaifgya;;!^ l?a t Ph8n iJng d^ng

i 1 Mgt s5 T^ag d\wig cho 3191 v a i to^n ti> cy thS 61

1.1 Phi?c?n6 t r i n h haci thi/c vo^ b i § n s8 thi;c 61

1^2 H$ phtfc^ng t r i n h dgii sfi p h i tuySn hc$c

siSu v l ^ t 62 1.5 Phi^c^ng t r i n h t i c h phan p h i txo^Sn G5

i 2 CSc v i d\i bang 06 68

Tai l l § u t r i c b dan 70

o£o

T l f c i5ng dyng g i a i t i c h ham ^to n g h i e n C'\i c i c ph'.^'ng phap g i a i gan dung c a c l o p i phi?o'nc t r i n h n g t c5ch tong q u i t

da dem i Q i n h i e u k e t qua v6 cung quan trgni^ '2u» ti^o'nt; cua

g i a i t i c h ham khong nhu^ng cho phep dcn [^Inn hoe each n h i n

cho n h i e u phUHo'ng phfip k h a c nhau ma eon giup t a ki^m t o a n

m i o u GO' do t i n h t o a n t r o n g nhiou l i n h vy^c khoa hgc k h a c nhau,

•vf dy nhu^ dpi s5 t^iySn t i n h , phu'C^ng t r i n h v i p h a n , phutmg

va CO g i a t r t t r o n g mgt khong i;ian cung l o ^ i

DS g i a i gan dung phu^c-rig' t r i n h ( 1 ) ngi;?o'i t a dung n h i e u phi?o'ng phap k h £ c nhau L.oi phv.Xi^r^'; phap dou oo nhu'ng 'J*ii (Tien

va nhu-ng hgin che n h a t d i n h 2n?o'ng hg»p A l a t o a n tu' t u y 3 n

t i n h , c a c k e t quo ve g i a i ;;Sn dmux, da duvc :<Qt g5n nhu* t r g n

v g n Vol A khong t u y o n t i n h , v§n do mc'i chi duvc z<6t cho t i m g trj'c^ng hg^ r i e n g , chang hgn l o p t o o n tu t h a t , loip t o a n tu (to»n dipu v.^-" ••

Trong nhiJng nam gan dixy n h i o u cuSn each chuyen khao

da do cfp o ^ t each dang kt t o i nh5ng phuxmg phSp t o n g ( l u a t ,

Chang h ? n , c5c t a i l i f n i cua Gang to r6 v l c h / " ^ t ^ - ? * ® l a t x

Chu-^ng 1 t r i n h bay mgt Q6 cac phiAD'ng phap n g i cuy

t u y e n tfnh dS g l M gSn d'ms phuv^ng t r i n h t o a n ti ( 1 ) Thi/c

r a phuang t r i n h ( 1 ) da '*u^c nhiou t ^ c g i o n g h i o n oS\ \ni <^xx^n

r a n h i e u phutJ'ng phop k h a c nhau nhu^' phuvng ph%> Niuto^n C^^'^J*

p h w n g phap S t e f f e n x e n - Aitt:en £ ^'y^ ^'^ J ^ phu\>'nu: phap l^p clip k tong q u a t (phut^ng phap Sruede - Tsobu'sep) /f 1 5 ; 27 J - • • y

t r o n g s6 do phuang phap r i u t c n - ' - i n g t o r o v l c h t-uy di.;vo su'

ct\mg i ^ n g r o i , nh>mg nhuyc diem chinh l a t r o n g n h i S u tru?o»ng hgj) v i t ; c x a c ^ n h toi'n ti> ^ A x J " ^ (d^o ham t h e o P r e s o ) thu^'n^i

^gp kho khan v-o ph'^e t ^ p ITgoai ra t r o n g n g t G6 tr-fo'ng hgp

Cvl dy k h i t^iei c<ac b a i t o a n b i e n p h i tuySn ^6i vti h$ ohu'd'ng

t r i n h \d phfm) cong thi?c h l ^ cua Ax khong t h e b i S t tru'iS'c

mo chi b i S t cTuvc t h u 0 t t o a n t r ? n nay t l n l i d i f n tu' vpn nang

de x a c cT4.nh g i a tr% Ax^^ va v^ t h 3 khong t h e op dyn^j dug'c

phv?o^ phap TUu-to'n

Di;'a vao k h a i niv'ia t y sax p h a n stjy rQng cho t o 5 n ti

t r o n g nhu'ng nhjsi gan day cac con^ tA.nh cua / " 1 1 - 1 3 ; 2 2 - 2 3 7

da l a n lirg^t xuSt hii^n nh?aa k h l e phyc nhu^ng nhu^c d-icm t r e n ,

nhfj?r4g -oSc ilg h g i t y cua cac phu'r;ng phap do chu*o vxf.gt qua t S c

d§ h g i t y cua phuc?ng phap T'iiT-tCn

l ^ n g chuttog nkj chx'jig t o i nSu r a mgt B6 phuNj'ng phap

CO t i n h chSt n g i suy tuyen t i n h Cac phii'O^ng phop nay khong

nhu'ng t h u g t t o a n do?n g i a n ma t 5 c dg h g i t-y l ^ i c a o , chung t o

r a dgc bi^^t t i g n I g l t r o n g truVng hg^) t o a n tu' A co dsua haa

phiJc tjip hogic khong k h a v l

Chi?c^ng h a i t r i n h bSy mgt s6 cac phut)*nc; phap n g i Bvxy

t 6 n g q u a t suy r g n g cho toon t&* PhSn d2u t i e n cua chu'c^ng nay

l a dUB TV coc k h S i n i p n ve 1^ s a i p h a n suy r g n g 'oong q u a t cho

t o i^n tl? va c a c cong thi^c n g i sy^^ U i u - t e n t o n g q u a t S"uy rgng cho toSn tu' t r e n khong g i a n Banach PhSn t i e p t h e o l a x£y dijPng

x^t Q6 phut^'ng phap ao nh5ng phuang phap nay bao gSn ragt so

k e t qiTO c^'ia ch'.;x»'ni3 I va cua coo t o e g i a k h a c

L:5i p h u a n g phap 6" cb^Mn^ T cTuig nhi," & c h w n g TT ^eu

dxjt^o khao B:OZ qtia cac phSn 5

- ilgi dung phittrng phap

- S^ h g i t y

- Gong th-^c danh g i a s a i s6 (Xem c5e c^nh l y : 2 1 ; :i:.2; 2.35 2.45 2 2 ' t 2 5 ' ; 2 2 " ; 2 5 "

§ 2 chux^ng I , 5 1 ; 5 - 2 ; 5-;^; 3«4; 5 o S 5 cht:c'ng T, 4 1

g 4 c h m n g I 2 1 ; 2 2 ; 2 5 0 2 chi.?o'r^' I T )

ChL?o'*ng ba (phan iJng dyng)

khao c a t ngt; oS v'nx: ^yng cua cac pht!t?ng phnp o' di^x^nz 1 va

chi't5»ng TI cho m^t so t o 5 n ti*? cy t h e ; ITeu l e n t h u g t t o a n , d i e u

k i ^ n h g i t \ i , cong thu'c canh g i a s a i so cho t o a n tu' dang khao

s a t C-^o^ cac d^nh l y t L i ; 1.2 § 1 chuWo^^ b a )

Phan cu^i cung ci^o ch*:'c?ng nay l a nigl v a i v l dy b a n g

28 do k i e n nghii^m c a c phuc?ng phap neu r a

C/Xic k e t qua ohlnh c»^a Ir^/n v l n dn dirg'c r a i r o c boo cao

t r o n g cac b u o i s i n h h c p t x6-iai-na "Cac phuti*ng ph&p gl.al gan dung ^.ihu^i'ng t r i n h t o a n ti" vh nhu*ng ftxg dyng cu.a chnng" cua

to bO ^5n 'Doan hgc vinh t o a n , khoa 'Joan ir.>?o'ng Bjii h g c l o n g hfi'p "^a-ngi l';?76 va ia$t oh'&n da dug^c cong b6 t r o n g / " 5 5 - 5 5 7 »

Tac g i a x i n chan thanh can o'n dor^g c h i -"oang dll'c ITgijye]

da dgc k y lu'^ng ban tiiao va cho n h i e u y k i e n dong gop q u i ban Dgic bi^^t, t a c g i a x i n chan thanli c^:a o'n d3ng c h i Phan van ^^p

da da x u a t ^phucfxux; hu'o'ng, da cho n h i e u y k i ^ n dong gop q u i b a n

t r o n g c5 qua t r i n h hoan thanh b a n l u g n v2.n n a y

Cn'^^^n^-^; I

IE Cg-AT GAN DTTITG PHHONG 'H^lTii lOAN l^T

PJxao s a t phi?o»ng tri.nh to5n t\^

-( 1 ) • Ax ^ 0 ,

t r o n g ro A l a t o a n tu" p h i IrL^on anh x^ ingt inien l o i ^TL nho

do c\ia khong g i a n Banaeh X vao n g t khong g i a n cung l o ^ i i

Gia t h i e t r a n g A kha v i th^»o P'rOsG va TL lo nghicm dune cua ( 1 ) t r o n g l a n ojn iTIi

§ ^ • ^'-9t v a i k h a i n i g n ve t y s a l phC^n suy r ^ n g ^'-]0

t o a n tu" ( : ^ m ^ 5 l 7 ) * ^

Xot n g t ham tr\i t':Vng Ax, han nhy chTij^'n khong g i a n

d5.n!i chuan X vao khong g i a n dj.nh ehu*n ! ,.-^,-"

* ( i " 0 , 1 ) iltWig ty:, p h s n ti> cua B^.^ di^vc -^rio-i; dL^'c'l djing

( X Q , X T _ , , :5C^„-()» "^^ ^ 1 ^ ^ " ' ^^ ^ c T l ^ )

Gia ^ tBn t f i ngu h^a tr*a: ui^ijr'ng A(x^, :^:^), han nay chuyen nhiJng ph3n tu' cua khong g i a n Z-, vho nhSn;: phan txf cua khong g i a n f x - ^ l j , tron^ Co >^ e X, ( i ^ 0 , 1 )

D6i v c i nhu'ng -xyYian x,-^^ x^ , ( i = 0 , 1 ) , o5 d3.rih t n ? n g X

j o i v(?i c5c phSn ti: x ^ , ( i = 0 , 2 ) o5 ^^nh t^x^ng X t h i A(x , X | , Xp) l a n g t t o a n tu LzonQ tuySn l a n h

Toan tl? so.ng- tuy-Sn t i n h ACX^, :20: , s>^) t h o a nan *iou

k i g n ;

( 1 2 ) ACx^, x ^ , x^) (x;^ - 3ii) ^ A ( X Q , X;^) - A ( X Q , X ) ,

d i ^ c ^ i l a t y s a i phan b-v^c h a i cua han trOYi tJ'g'ng Ax i S y t g i cac phSn tir x^ ^ X, ( i = 0 , 2 )

Feu A t o n t g i cac r^go han l i u n t y e don bgc 1: ( t h o o r eae) t h i

cac t y col phan xac d^n^ nho' coc t i c h p h a n 'Urjan tru^i tii'g'ng,

De den gian, t^:- day vo sau se ky hi^^u :

^01 k ^ ''^^^o' ^^•••» -^1:^

^Jo1 k = ^^^' ^^o' ^^l' -' ^1:^

§ 2 Ve mot ohUD^'A ohao 1 5 P bg.c k do f:±a± ;-an dnj\p;

Phu^tyng t r i n h toan ti? Cl)

Xu3t phat tiJP gia t r i ban dau yP du gan x^, t a x§y di/ng

c§c phSn t i theo each sau s

L'^t khac, cung d^a vao dj.nh nGhia cua ty s a i phan suy r9ns

b | c k dio toan ti? va dieu ki^>n ( 2 2 ) t a I p i co :

+ f- A 0 1 Q ( k - D ^ ( x - x ? ) ( x - s g _ ^ )

Ti> ( 2 4 ) va ( 2 3 ) t a suy r a rang vo'i \ / x € i Q g ^ C i i ^ ^

t r c n g fid 5

^ g j = i X : l | ' £ x ° ( x - x ^ ) ^ ° | / ^ |)A2t>1„ (k-1)J( n ^ ))x-x°|| f

k

(ic) B§t dang thi5c t r o n g LQ* co nang t i n h ch3-c d}.nh t i n h n h i e u

hd»n l a djnh lijg'ng VSn do d-^t ro lt>, co t^n t ? l cae phSn

tii X ^ u 2J gS , sao cho thoo n a n ( 2 6 ) khon^:^* ? 'Tay

n o i each k h a c can chgn [fh^o l a k h a c t r S n g l l i g t v g y , do

t o 00 :

( 2 6 ) Ax - Ax^ - To,k ( x - x ^ ) = " ^ — ^ Ax^1 (k-^ )^ Cx-x^)

XSp x i Ax bang da th'?c taiyen t i n h <:io(x) :

t r o n g do 0^ nhgn d^rg'^ tu G^ bung each thay c a c s8 hgng

Q ( k - D ^ b?ir^- A O I Q k^

CO chu^a Axo1- ( k - 1 )_ bar^- A o l - , k ^

Tic ( 5 ^ ) t a s e x a c djnh duVc cZ

t h i l y l u g n hoan t o a n tit^ng tg' nhti* t r e n t o GO C6 :

Tl) ( 2 8 ) sijy ra qna t r i n h Igp :

t r o n g d6 ^ duVc xoc d^nb ti^'o'nG ti;' nhir ^ t r o n i j ( l ' i - )

i^p dyng cone; thu'c ' l a y - l o co p h a n dir cho t o a n tiV £"1v_7 ( 2 1 2 ) Ax^ = A(x* + x " - x^) =

= Ax* ^ ^ iL^(x-^ _ ^f , ^(^^^ ^ ) ,

1=1

Keu xap XI ban '^au x° t h o a niin c a c d i e u ki^in :

1 ^ / l o a n tu* AO1Q t o n t a i toan uJ nijhjch dao Aol^^ va

IIAOIOII 4 Boj

2 ° / | | A o ( k - i ) ^ | i < L^, (^i = 1 , k - 2 ) ;

3 ° / Cac h a n s s6 Bo, L,, th.oa nlin b a t dSnfj thifc

The nhu^ng, di;a \^ao c5c g i a t h i o t c^ja dxlrin Tj t a co

11 A?!,"? (-O'"^^-"^ 4.^ Ao(^-i)o

" i=1

Dya vao d5.nh l y Banach, tu' uSt dang thu^c cu.6i cun;j suy ra

t o n t ? i t o a n ti? nghich dao :

- 1 ^Zf i - ( k - 1 ) ^ v-1 ^

( l + A0I3 £ ( - 1 ) -i^^T -'io(i^-^)J) V'^

-1 ^ J ^ l - ( k - 1 ) -1,1 ^

( | ( l + A o 1 o } _ ' ( - 1 ) t.5_^ A o ( k - i ) o ) \\ ^ - 1 - •

- 1 1 -1

Do do t o a n ti nghi eh ^^^o l-o,!: t o n t ? i va l|l'o,k \\ 4: - ^

Gia su' :

1 ° / ifin t j i t o a n f'^ nGhich dao in,!:: va 1| % , ! : |l 4 B;

2 ' ' / l u i ^ ^ l U ^ ^k ' x " € ^ v ' l V n

Lhl do qu5 t r i n h Igp ( 2 y ) GO !^;i "cy t o i n-ghl^^n x"^ cri.a (1 )

l o e dg hgi ty d-u<;^c :-*anh gi.a bang b S t dang thu'c :

Thay (2.17) vao ( 2 1 9 ) ta nh^n :

k_-1

x ^ ^ ' ' - X* I k II Tn'k 1! l l ' I n , k ( x ^ - ^ ) - i : - ^ 7 A x - ( ^ - ^ ) ' l l +

i=1 1 ' -1

* II I^ik II II \ ( ^ ^ ) I) •

Dya vao cac dieu k i p n ciia d^nh l y va c5c bSt dang thu*c ( 2 1 8 ) ,

( 2 1 1 ) , tii* b a t dong thu'c cu5i cung suy ra dieu p h a i c^iihig

minh I^u khdng gi5 t h i e t trx^&o ve ay.' tSn t ^ i n g h i ^ cua

phi?cmg t r i n h ( 1 ) , ta co cac dinh l y sau day «

Dinh l y 2 ?

Gih sv? X thoa nan cac dieu k i y n :

1^/ Toan tiJ To,k tSn t g i toan tu' nghidi dao To,k

-1

va fJTo,k ll - 4 Bo ;

2^/ \\Ak iLcL^ 4 I^i f (i = ^ ) »

trong do l a n cgn liTj ^ duyc >:ac dinh ti^ ( 2 2 4 )

3°/ II To"'k Ax°|U >'^, )i:^.i - ^ _ J U >o' <i = ^ ^ ) '

4 ^ / Cac hang s8 Bo, / ^ , L^ th6a man :

Chu'^ minh rang k h i chuyen ti? ph&n ti5= x*^ song x t h i

c a c d i e u k i g n cua dinh l y v^m cT>-?g'c b a c t o a n Do dang a-^y r o

k>1

( 2 2 7 ) j j < i , Ax-^ll <, - ^ \ ^ , - o ^ ^ 1 ^ '

Qua n g t vai phep biSn doi dc?n gian, t'J* ( 2 2 7 ) si:ty ra !

(2.28) K ; , , Ax^ii 4 ?;^(A,^^ '1.k :o> o'' "o^

TiJP (2.50) suy ra f^ ^i^C'o^

dinh ^<^c cac d^i li?g»ng sau day :

Binh l y da du'o'c ch'?ng minh*

Gia siV x*^ thoa man cac d i e u k i f n cua d i n h l y 2 ^ 3 , ngoai

r a con thoa man thom :

B j j < , B v^ Vnf

k-2 J^— \ *'" ~i

(i-i>««ao) ^

Ehi do t r o n g l a n c?.n J

se cht?a duy nhSt m§t n g h l ^ a r cua p h i r c ^ t r i n h (1)*

Bang phifc^ng phap phan chi'hag, t a gia su* rang trong l a n

c§n , ^^ ngoai x , ph:/o*ng t r i n h (1) eon ton t$± mgt nghigm

khac x*^ Can c^'5'ng inin^ rang x ^ trTing vt3l xT

( 2 4 0 ) y^^^^ X** = iQl^ fA:^ Ax^ - T^^^ (x*^ :,^) J

M|lt k h i c , d\fQ vao c6ng th'^c Tay-lo cd phSn diP cho

toan ti5 t s oc5 :

-Khi cho n -ro^, tu' bSt dong th'jc cu6i cunc suy ra :

X = lim X ' - X *• t^inh l y da dug'c chu'ng min^

va ( 2 3 ) ci'mg vc'i ( 2 4 ) t a nhi^n dang thi^c cm :

A^ - Ax°- T^^^ ( ^ - :°) = k! (t,^ A ( ^ 4 , , ^^J) ^ o

Ly lU'^n hoan t o a n tu'cng tu? nhi' ( 2 5 ) t a n^gn :

Ax - AX^ - To^K^x-x^) •-= h ! ,W^ A ( x , x ^ , , ^^^) A^c

Cung v5l bo do 1, dinh ly 2.2 va dinh ly 2.5 ta co bo de va cac dinh ly sau dSy :

t h i v^-i x° du gSn x* qua t r i n h l&p ( 2 9 ) s i hQ± ty t o i nghipm

x^ cua phu'o'ng t r i n h ( 1 )

Ific dO hOi ty <^yVc ' ^ a ^ Si^ ^a»S I^St dang tht'-c :

CSn^ng a l n h Phep chu'ng minh dinh ly nay hoan toan tn'Cng t^? nhi? chu'ng minh dinh l y 2 2

Gia su? gia t r i ban ^au x^ thoa man :

1^/ Ton t g i to5n t& nghich d^o T^^j^ va i, TQ^J^J ^^BO ,

5'/ ii<3 ^ ^ i i ^ ^ K ^ - -k-ilU^i ' Ci = T;k7i)

4 ° / Cf'c hang 88 BQ, • Q, LJ|_ thao man cac b S t dang thi5c

Khi d6 phuwng t n n h (1) t r o n g l a n can ^ co nf;hipE yT va qua

t i i n h l ^ p ( 2 9 ) se hvi t y tc'i nghigui (^6

T8C d9 b§i t y duVc danh g i a bang b S t dang th't-c :

Ch'ing Qinh d^nh l y nay hoan t o a n t i f o ^ ty' jihu' dinh l y 2 3

M u t a thay cac d i s u k i p n gl<5l n ^ i t h e o chui^-n cua dgo

han b i n s cac d i s u k±-^n g i o l n g i theo chuEn cua ty s a i phan v6'i

cSp ti^a»ng feg, t h i cung vtSl din.'^ l y 2 2 va 2 3 t a GO n h ^ n r*u?g>c

cac din.h l y cau :

k-2

i=1 (x-x-)

Itfu vao Ijy higu (2#4cO tu co t i l -^IS 06: g thUC a:.: uy Iliutou

CS.»u'.j;j aiu)i t j uC iX.s/ -•;'>'•'.! > ->u.i lift".::,, tu" a;\\t ciu?u~ v i iU bd ufi i , ebi o?.ii iu:u y l\ tiuxy o.'-c tuiuc ^iVyio uo ph?.:: d'.: I:'.-; ooag -asiirc

( 2 , V ^ )

Sin?: l y g>

Gie* nf c i8u irl;n our din-: l y 2.;^ thou rati.:, ugc>fd rr

Qhx\ 'x'oa iic.xi J? "ri t

.^

V jj ixnl.^ (kHi)a jl ij^.^^

troi-^g do ''^^j^^j • • 2^ X j\ (>-*, x ^ , • • • , x ^ ^ )

-«» n ' , "V

:t3:il d o qua t r l n i t l ^ p (2*.;) se I t j i 44 tc'i ughivn :.^» 2t5c dp

i i ^ i t^i.ctUjy^ d c l : g i e u!^n'-: bflt -.^i:-; i;iii!»c s

(2.^) p ^ ' ' - : ^ , ! ^ f; 11*^.0^11 \

teo:3? do ^ j ^ - - - - P -

Sffong c3ag i u ' : id^t) a^d u^it x = xT*, t ' BO i&(ln :

DlT vLo Cite ci«i wii3t Cua v^jh iy^ ':''- 1:SL city^ t'luc cu6i ctu:i^

Gia eii? x'' ^lOil ::&aii c i c ci?u ki^u : , v^ ' , '-*- dinli l y

1) i|7to1 • i jl J ^ 4 L^ , Cl-lT^

Dia'i l y ney c;)u.:j i^ioti Jioeii toiu; OU:C*::G «l* -""-^i^^ ^^4-—^ i ' / '-•5»

*'}hxonix, P^^'l.: ui\y c}; -:^; u^i se 'vJ'eo seu n^u s 5 t:c'ubn^ i)q*'n

dvc i:;iet lc}!l l^V -ec "I.L3C lioi 3uy" l e u;3i?.iG ^^c J-'u.:,^ u^'.a^

I r e Co c}iiu:i:; U £ic xuMjxi i:::U:.i^ p)i<^P l ^ P ciu\: Z^-'-^ •^^^ ^^ "^''^

iphop l;:n a}>;; cU*x^-c Li: ^.j.cc i;.i; ( ^ ; )

c ) TrixiiY: :)Q»p Ic^^;, t e c;ii>;-o n'»op I f p sen dTo^ :

tri^-iiC *i(?p 1:6.- qiic\t (':»>)•

s y ;:3:1 tu cue que trlni> ( 7 # l ) ui^^'o tho AL^II a c e c

l u c d^> que; tvlixn Ifip Om^i) Bii h ^ i ii^i U^'i i:;hiou >r' c u e phi:^'^:^

oriiifi C l ) Olio ^v ^^i^l '^i^ euc^c v.i^iii: ^ l e ba.io b!it -:::'.:i(;^ •o?!irc :

t r j — do

A ^

o_

\ ^ -:

Gi:* nil >:?/o x i x'^ "uuou laen c ' c :li3u : d § a ;

1 ^ / Ibn t e i Loe: tiv - 4 ^ ^ ^ ^^0 A^J^^^ ve l l i ^ i o o i l ^ S o • •

CO- Q.LQ d;*.! li:^'riG ^T^, p ,, o^^ GO duvc xec d%.'i)i\ tro::-;, cec di?^u

r:-x.yz '-^^ A - -^'' -ijiii?^'-^ cuViir; cue p)>uV;;o t r l r J i :

Qiv:i::G iai.:h d^nn ly i^xy hdsi t o a n tiA.';:^ t^? nJu; c;uniE

niiVi d4,ii}: l y i^^*

IT CO T:hei3 i-"^r) :

I

'l8o dO hgi t y c u e u/iuVnG I^^^P i ^ P (3*2) duc^x tliu hii;

S Q'\o c.^m ly 3r.u ufv/ ;

viv:i\ l y 3 3

G i a sir ::f.p i:.{ b:u: dJlu x ° tJicr' rat.:! :

1 ° / O^Ru t^ii vo/:- U ii^^hic;) aclo i ' ^ ; ^ va i|A~^^||4Il^

2V i l ^ j i i H ^ ^ s (iA^, :;/k, k;ii), j 3 , - > ~ x ^ ! | i ^

1 - c

x-.:5^ c, '^ que '.^:JXX:\ l^iP (5«'-) rio h u l ti; tc':: ;^c-^i9^- >- ope i:iiuX/ix3

t r i ; : ; i C 1 ) -6c vlv iiyi t, .u^'c d^ic ivunr; hJi bti: dLx, tiiuc :

.)ui!G pMop c}u;.r; u i u b iioaii to.^:i tuvne '>v -^^ui^ p-'^.op c^neic

ilSu liioDc Gi^'* t J i i S t triage B\: t ^ n t ^ iiG-'ii'?^i c^^^'- pin^c^i^c

t r l a b C1)» Te co dlni) l y stvu duy :

PirJ.i l y 3*5

G i e cir xJlp X3 x^ t}ioe raen :

1 ^ / x&ii t<,a t o e J t u iisliicb e e o H'^'^ ve ll It*' 11 ^ B^i

Uix UO tra;:{j l u : : c;in ^ ^ ' / j piiie'i^c ^rl:i)i ( i ) aiJ zo x^t\iJiXXi

y^ v e qi?e trliiii l ^ p (5»2) 3c h o i t\\ tc;i ::, )ii9i-' e j / 'roc dy -^o:'

tyi di^'c deu}i ^,1:; b*.;)r bf^-; (irnr t'lUc :

^^* V^ ^^$^^ l o e i j ; i a ::r, p}i;'.^ j^.y; b ^ c c e o \::\U h e i do

aiei._G£:: due^, phu:.'.:^ : : r i : l i ( - ; )

Xu?.t p u ' t t u p}.i?.ii tu" X^ u u