Nghiệm Dương của một số lớp phương trình Toán tử 6

Luận văn Thạc sĩ -chuyên ngành Giải Tích-Chuyên đề :Nghiệm Dương của một số lớp phương trình Toán tử

"-DIEM BAT DQNG CUA TOAN TV T- DON DIEU

§1 Toan td ddn di~u va diim ba't dQng

Trang chuang niiy ta vftnxet X Iii khong gian Bancah thlJCvoi quan h~ thu tVsinh

Mi non K

SOA E R duQc gQi Iii di€m chinh quy cua roan tu tuy6n tint A : X -+ X n6u

AI-A Ii song ant, (j day I Iii roan tUd6ng nha't trang X

Ky hi~u p (A) Iii t~p mQidi€m chinh quy cua , vii () (A)=R \ P (A) duQc gQi Ia

ph6cuaJoan tuA

Toan tu A duQcgQiIii compact y6u n6u A bi6n <uo, yo> thanh mQtt~p compact

y6u

A gQi Iii lien Wc y6u n61,lA bi6ri m6i day hQi W y6u thanh day hQi tv y6u trong X

Ky hi~u L (X, X) Iiikhong gian cac roan tu tuy6n tint trong X roan tu Te-L (~,X) gQiIiiduongn6u T (K) c K voi K Iiinon trong X

Giii sa Dc X, roan tu A : DcX -+ X duQcgQiIii T- don di~u n6u A (x) - A (y) ~

?

-T (x - y), \;jx ~ y. d day TEL (X,X)

Nhu v~y n6u T==0 thl khai ni~m T don di~u tra thiinh khai n i~m don di~u thong

~? ~

BO DE 3.1.1.

N6u TEL (X,X) vii -A ~ cr (T}thl

(A I + T)- (A A + T) (x) =x ~ A (x) =x

Chung mint : Do AI + T 1ftsong ant nen

A(x) =x ~ (AI +T) -I (AA + T)x =(A,X+ T (x» -I (AX+ T (x»

=(A + Trl (A + T) (x) =I (x)=x 0

.

EO DE 3.1.2.

Gia slYliO, vo EK va liO< VO,A: <Uo,vo> -+ X Ia roan tlYT- don di~u vdi uo :::; Auo, Avo:::;vo Hon mla gia sa T thoa di~u ki~n

(HI) T duong

(H2) :3A E (0,1) sao cho:- A ~ cr (T) va T (x);;::; A x

suy ra x E K

Kpi do S=(AI + T) -1 ('AA+ T) la don di~u tren <uo, vo> va uo:::;S (uo); S (vo):::;

YO.

Chung minh :

Do gia thi€t (H2) ta co anh x:;t(AI + T) -1 Iii duong.

Neu x ;;::y ta c6 A (Ax - Ay) ;;::- A T (x - y) ;;::- T (x - y)

~ AAx +T x;;::AAy +Ty

Tac d~ng anh x:;t(AI + T) -1 Tenhai v€ cua ba't d~ng thuc tren, ta co Sx;;::Sy Ia roan tu don di~u

B€ chung rninh uo :::;S (uo); S (vo) :::;vo ta chi dn tac dQng (A I + T) -1 Ien cac ba't

A uo + T uo :::;A Auo, AAvo + Tvo :::;AVO+ T vo.

Va b6 d~ duQcchung rninh 0

Dinh Ir : 3.1.1.

Gia slYKIa non chinh quy, A : <uo, vo> -+ X 1a roan tlYT- don di~u vdi uo :::;Auo, Avo:::;va Hon mla T thoa cae di~u ki~n (HI), (H2) trong b6 d~ 3.1.2

Khi do A co it nha't rnQt di€rn ba't dQng tren <uo, vo>

Chung minh

S': (AI + T) -1 (AA +T) vdi - A ~ cr (T)

21

Do b6 d~ 3.1.1 ta chi c~n chung minh S co it J;1hatmQt di€m bat dQng tren <uo,

vo>

Nho b6 d~ 3.2.1., S : <uo, vo>~ <uo, vo> 1a don di~u ;\p dl,mg h~ qua 2.1.2, S co di€mbat dQng tren <uo, vo> va dinh 19 duQc chung minh 0

Dink if 3.1.2.

Gia sii' K 1anon chuc1n.A <uo, vo> ~ X 1a loan tii'T don di~u,co uo ::;A (uo), A (vo)::;vo, T th?a cac di€u ki~n (HI) (H2) trong b6 d~ 3.1.2 Ne'u X 1a kh6ng gian phan X<;l thl Acolt nha~ mQt di€m bat dQng tien<uo, vo>

Chung minh

. Ta d€ bill, do dinh 19 1.2.1, khi.K 1a non chuc1nthl t~p <uo, vo> 1a t~p 16idong va

bi ch~n VI X 1a phan X<;lnen <lio, vo> 1a compact ye"u Theo b6 d~ 3.1.2 thl loan tii' S = (AI+ T) -1 (AA + T) bie'n <uo, V0> vao <uo, vo> va don di~u Ap d\;mg h~ qua 2.1.3 ta tha'y S co di€m bat dQng lIen <uo, vo>, theo b6 d~ 3.1.1 A co di€m bat dQng lIen <uo, vO>.D

~

§ 2 Nguyen Iy anh x~ co tren 16'pcac phftn tii' so

sanh duQc

Cho x la khong gian Banach thvc du'Qcs~p boi non K A la roan ta tren X Xet phuongtrinh roan ta

Nghi~in (1) thu'ong du'Qctim du'oi d,;mggioi h:;mtua day l?p : .

)(n =A (~II-I) (2) (n ~1) voi gia tIi ban d§u xo tuy 9 Ke't qua da bie't trong giai tich ham do la nguyen 19 anh x~ co

Du'oi day la chung mQt ke't qua tu'dng tv nguyen 19 anh x~ co, song sv danh gia chi dva tren cac ph§n tU'so sanh du'Qc

Dinh 1'£3.2.1.

Gia sa :

1 K Ia non sinh, chuffn

2 A 12.roan ta trong X thaa di~u ki~n

Ne'u x ~ y thi : - B (x - y) ~ A (x) - A (y) ~ B (x - y) (3)

(j day B la roan ta tuye'ntinh du'dngvoi ban kinh ph6 r (B) < 1

Khi do A co trang X di€m ba't dQng duy nha't, voi khoi d§u xo tuy 9trong X..

Chung minh : Ta da bie't voi m6i loan ta tuye'n tinh B trong X co th€ xet mQt

chu~ntu'ongdu'dngvoi chuffnban dftusaGcho II B II va r (B) sai khac nhau du nha V~y

tu gia thie'tr (B < 1 ta co th€ xem la II B II < 1 .

K la non sinh nen voi m6i x E X, co th€ bi~u di<§ndu'oi d~ng x=u(x) - vex) voi

. u(x);vex) E K

Nghla la voi x E.K co ung voi mQt y E K saG cho - y ~ x ~ y (ch~ng h~n ta co th€

la'y y=u(x) + vex) tU khai tri€n tIeD).

Tren X ta dinh nghla chuffn mojo

23

,1/xllo=imllyll ,.(4)

(Vi~c ki€m ITa II 11~lachu§n dva tren tinh cha't II " IIva dinh nghla infimum)

VI K la non sinh nen voi x E X ~o th€ chQn u v E K sao cho II u II, IIvII II ~

a II x II, ,0day a la mQt h~ng so'khong ph1,1thuQc vao:x (dinh ly 1.2.5) V~y V x EX:

"x II 0 =II u - v II o ~ II u II 0 +11 v II 0 ~ II u II + II v II ~ 2a II x II.

M~t khac K la non chu§n nen co h~ng s6 chuin N sao cho tU

0 ~ x ~ y => II x II ~ N II y II. Do v~y ta co

II x II ~ (2N + 1) II x II o' V~y II II~ II IIo'

T~ xet x,y tuy YEX Gia sii'-u~ x-y~ u voi UEK ",

R6 rang tu day ta co x~ '!2(x+y-u) ,

y~ Yz (x+y-u)

Tu gia thie't (3) suy ra : ,

-B(~ -y + u) ~ A(x)-A(x -Y + u) ~ B{x-Y + u)

-B(Y -x + u) ~ A(y)-A(x + Y- Uf:-B(Y -x + u)

Tru ve' voi ve' ba't d~ng thuG tren cho ba't d~ng thuG duoi ta duQc :

-B(ll) ~ A(x) - A(y) ~ B(u)

V?y IIA(x)- A(y) II 0 ~ II B(u) II ~qJ!ullvoi q<l

(do gia thie't va nh~n xet liB 11<1)

=> IIA(x)-A(y) II o~qinf II u II =:=q II x-y II 0

-u~ x-y~ u

V?y Ala anh X<;l'COtheo chuin II -I/o. VIX Ia khonggian Banachnen A co'di€m

ba'tdQng duy nha't

Chu yr~ng dinh ly 3.2.1 v~n dung ne'u (3) duQc thay boi di~u ki~n -B l(x-y) ~

A(x)-A(y) ~ B2(x-y); x ~ y, V'x,y EX(3'),0 day B1,132la cac toan tii'tuye'n tinh lien Wc du'ongvoi r(B1+B2)<1

§ 3 Phuong trinh v8i toan til nguQc duong

Voi F la toan tii' t.ll'khong gian Banach Xl duQCs~p boi non Kl V8.0khong gian Banach, X2 duQc s~p boi non K2" z la'ph~n tii'co' dinh trong X2.- , ,

24

Gia stt F thoa di~u ki~n : BI(x-y) ::;F(x) -F(y) ::;B2(x-y) (2)

d day BI,B2 la cae toan ttt tuye'ntinh tu Xl VaGX2

Ta co dinh 19 sari:

Binh ly 3.3.1

Gia stt1) Xlla non sinh, chu§'n

2) Toan ttt F:XI -+ X2 thoa di~u ki~n (2)

BI va BI +B2co cac toan tttnguQc duong

Khi do phuong trlnh (1) co trong XI nghi~m duong duy nha't voi m6i ZEX2

Chung min~

Ta d~t D=Y2 (~I+B2) khi do (1) co the dua v6 d<;lngy=Ay trong X voi to<lnttt

Nghien x*cua (1) duQc xac dinh qua nghien y* cua (3) bdi h~ thUGx* =DOI(y*).

Tlr gia thie't doi voi BI,B2 suy fa 151la toan ttt tuye'n tinh duong, VI v~y voi u,V EX2va u ~ v ta co DOI(u)~ Dol (v) Va tu gia thie't (2) ta co danh gia:

BI D-I (u-v) ::;F Dol (u) - F D-I(v) ::;B2 Dol (u-v)

Bua v~ danh gia co chua A, va tudinh nghla D ta duQc

- (I-BIDOl)(u-v) ::;A (u) - A (v)::; (I-BID-I)(u-v) (4)

',.

X >

VOl U,V E 2, u- V.

Ba't d&ng thUG(4) co the xem nhu (3) trong 2 doi voi toan ttt B= I-BI Dol Theo dinh 19 3.2.1 de hoan thanh phep chung minh ta

(5)Tu (4) ta cling co nh~n xet : I-B] Do] la toan tli' tuye'n tinh

duong tu X2 VaG X2 VI the' I-B ]Dol lien t\lC ( VI toan ttt tuye'n tinh

duong tu non sinh VaGnon chu§'n thllien We ) Song khi do B] Do] toan

ttt nguQc cua no D BI -Ila lien t\lc Bieu thUG(5) se duQc chung miJih

ne'u ta co duQc danh gia :

ltU') < It

(G\)-25 (6)

d day P =I-BI D-I; Q ~D B1 -1- I (7)

Cac roan tii' P,Q trang (7) la duong va chung lien h~ nhau bC'Jih~ thuc :

Q =pel-F) -1= per-F) -1-1=(I-P) -lp (8) Gis sii' £> 0 va r( 8Q))< I Khi dO I-'£Q cOroan tii' nguQc lien t\lC

(I -£Q)"1 =I +£Q + +£nQn+

Hon n~a tli tint duong cua Q suy ra tint duong 'cua (I - 8 Q) -1 Tli dang nhuc 1-(I + £) P=(I - P) (I -£ Q) suy ra roan tii'1 - (1 + £) P cO roan tii' nguQc lien t\lC va vdi m6i

n ~ 1 cO :

n

,L (1 + 8) j =[I- I (1 + 8) P j -1 [P (1 + 8) n + 1Pn + 2

1-0

= [I - 8 Q) -1 (I - P) -1 P [ 1- (1 + 8) n + I Pn + I

= (I -8 Q) -I Q [ I - (1 +8)n + 1 Pn + I]

VI v~y roan tii' duong P thoa di€u ki~n

(1 + £) nP n+1 (u) :$ (I -£ Q) - 1 Q (u) (u E K2, n ~ I ) (9)

Gia sa x la diemtuy ytrong X2 VI K2la nOn sinh nen x=u- v, u, V E K2 Tli cac ba't d~ng thuc

-v < x < u va (9) suy ra

~(I - EQ) -I Q (v) :$ (1 + Et Pn - I (x) :$ (1 - EQ) -I Q (u)

VIK2lanOnchu£nnendays6 11(1 +E)npn-I (x) IlIa bich~n VakhidOds.y (1 + E)n II pn-I II bi ch~n, VI the', (1 + e) r (P):$ 1.

1 - I( Q) 0 V~y: r(P):$ mf 1+8 -l+r(Q)

Ta cO nh~n xet : Trang cac di€u ki~n clia dint 19 3.3.1 nghi~m x (z) cua phuong trinh (1) ph\l thuQc don di~u VaGz Ne'u1 :$~ thl x (Zl):$x (Z2)'

26

3.2 Bay giG ta x6t phuong trlnh

T, G la {oan tlYtac dQng tuXI vao X2; T la roan tlYtuye'n tint, G la roan tlYphi tuye'n thoa dieu ki~n :

-B(x - y) ~ G ex) - G (y) ~ B (x - y) (11)

(\ix, Y E X1.~~~ y)

?

() day B la roan tiYtuye'n tinh Tuong tV dinh ly 3.3.1 ta chung minh ke't qua sail

Dink 1£ 3.3.2.

Gia slY1) K21a non sinh, chuffn:

2) Cac roan tiYT,G thoa di~u ki~n (11) them nlYa cac roan tlYT, T - B co

roan tlYnguQc duong.

Khi do phuong trlnh (10) co ngqi~m duy nha't

Chung minh:

Phuong trlnh (10) tuong duong voi T(x) -G(x) =8

D~t F(x) = T(x) - G(x), ta co

(T-B) (x-y) ~ F(x) - F(y) ~ (T+B)(x-y)

V~y F thoa dieu ki~n dinh ly 3.3.1 voi BI=T-B va B2=T+B, nen phuong trinh T(x) -'-G(x) =8 co nghi~m duy nha't 0 '

3.3 Trang ph~n nay ta v~n xetphucmg trinh (10) Ne'u gia thie't T co roan tlY nguQc thl phuong trlnh (10) tuong duong voi phuong trlnh sail trong X2

Eli di 3.3.1 Giii slY

1)~ ~i.~ Bi~-ti~ I Zo E K2 va HI :Xj -7X2tuye'n tint duong

2) T, T- BI co roan tlYnguQc duong

27

. Khi do phftn tU'Uo=T(T-Blyl ZOthuQc K2 va toan tii' arl bie'n°< 0, Uo>vao

Chung millh

Tir d6ngnha't thuc T( T-Blyl =I+Bl( T-B1yl ta tha'y Uo E K2 Do tinh du'ong cua toan tii' rl ta c6 V y E <8, Uo>

8 $ Ty-l $ rl (uo)

=> 8 $ arl y$ BI rly +Zo $ BlTluo + Zo

Nhu'ng BlTl(uo) + Zo = Bl(T-Blylzo + Zo=uo'

Nen ta co di€u dn chung minh 0

Billh If 3.3.3

aia sii' cac toan tii'T.a thoa cac di€u ki~n 1) 2) cua b6 d€ 3.3.1 va cac di€u ki~n sail

(i) K2 la non chinh qui arl( < 8, Uo>) 13t~p compact tu'ong d6i.

(ii) X2 la kh6ng gian phan x~

Khido phu'ong trinh (10) co nghi~m tren < 8, (T-Blrl Zo >

Chung minh

VIddon di~u, Tl tuye'n tinh, du'ong nen aTl cling don di~u va bie'n < 8, Uo>VaG

< 8,uo > Ap dt,lngcac h~ qua 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, ta tha'y aTl co di~m ba't dQngtr~~ <8,

Uo>hay (10) c6 nghi~m tren

<8, Tl(uo» =< 8, (T-Blylzo >.0

5\J