BIỂU DIỄN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ

Mở đầu Theo dòng lịch sử,chủ đề nghiên cứu về điều kiện giải được và công thức biểu diễn nghiệm của một phương trình trong toán họccó một vị trí hết sức đặcbiệt và thu hút sự chú ý của r

BIỂU DIỄN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP

PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ

Trần Văn Cương

Mục lục

Mở đầu 2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

Chương 2 Biểu diễn nghiệm của một số lớp phương trình toán tử 6

2.1 Đặc trưng của đa thức với toán tử đại số 6

2.2 Tiêu chuẩn chuyển vị,giao hoán và phản giao hoán với phần tử đại số 9

2.3 Biểu diễn nghiệm của phương trình toán tử bậc nhất sinh bởi S 12

2.4 Phương trình với cặp phần tử đại số tùy ý (S,W) trong bX 15

Kết luận 19

Tài liệu tham khảo 20

1

Mở đầu

Theo dòng lịch sử,chủ đề nghiên cứu về điều kiện giải được và công thức

biểu diễn nghiệm của một phương trình trong toán họccó một vị trí hết sức đặcbiệt và thu hút sự chú ý của rất nhiều nhà toán học thiên tài.Đầu tiên phải kểđến lớp các phương trình đại số.Nó có một lịch sử phát triển từ rất lâu đời.Từnăm 2000 TCN,người Ai Cập đã biết giải các phương trình bậc nhất,ngườiBabylon đã biết giải các phương trình bậc hai và tìm được những bảng đặcbiệt để giải phương trình bậc ba.Tất nhiên các hệ số của phương trình đượcxét đều là những số đã cho nhưng cách giải của người xưa chứng tỏ rằng

họ cũng đã biết đến các quy tắc tổng quát Trong nền toán học của người

Hi Lạp, lý thuyết phương trình đại số được phát triển trên cơ sở hình học,liên quan đến việc phát minh ra tính vô ước của một số đoạn thẳng Vì lúc

đó ,người Hi Lạp chỉ biết các số nguyên dương và phân số dương nên đối

với họ, phương trình x2 =2 vô nghiệm Tuy nhiên, phương trình đó lại giảiđược trong phạm vi các đoạn thẳng vì nghiệm của nó là đường chéo củahình vuông có cạnh bằng 1

Đến thế kỷ VII,lý thuyết phương trình bậc nhất và bậc hai được các nhàtoán học Ấn Độ phát triển,họ cho ra đời phương pháp giải phương trình bậchai bằng cách bổ sung thành bình phương của một nhị thức.Sau đó,người

Ấn Độ cũng sử dụng rộng rãi các số âm,số Ả Rập với cách viết theo vị trícủa các chữ số

Đến thế kỷ thứ XVI,các nhà toán học La Mã là Tartlia (1500-1557),Cardano(1501-1576) và nhà toán học Ferrari (1522-1565) đã cho công thức giải cácphương trình bậc ba và bậc bốn.Tiếp đó,việc giải phương trình bậc năm

đã giày vò các nhà toán học trong suốt gần 300 năm,cho tới 1826 khi Abel

chứng minh định lý đáng kinh ngạc khẳng định rằng không tồn tại công thức

biểu thị nghiệm của các phương trình tổng quát bậc≥5 qua căn thức.Vài năm sau

đó,Galois đưa ra một tiêu chuẩn cho tính giải được bằng căn thức của tất cảcác phương trình đại số

Chính bởi những tư tưởng căn nguyên,sâu sắc đó đã thôi thúc và tạođộng lực để không ít các nhà toán học khác mạnh dạn,táo bạo hơn trong

việc mở rộng ra nghiên cứu về điều kiện giải được và tìm công thức biểu diễn

nghiệm của các lớp phương trình khác trong toán họcnhư :Phương trình tuyếntính,phương trình vi phân,phương trình vi phân đạo hàm riêng,phươngtrình tích phân, Và một cách tổng quát hơn là đi nghiên cứu một số lớpphương trình toán tử

Như vậy với việc đi nghiên cứu một cách có hệ thống về điều kiện giải

được và công thức biểu diễn nghiệm của một vài lớp phương trình toán tử thường gặpsẽ giúp chúng ta có một cách nhìn tổng quan và sâu sắc hơn về tất cả các

loại phương trình trong đó có cả phương trình đại số mà chúng ta đã từngđược học và làm quen trước đây.

Bố cục của tiểu luận bao gồm 2 chương :

• Chương 1 của tiểu luận trình bày tóm tắt về một số vấn đề cơ bản được

sử dụng trong việc khai thác,nghiên cứu tiểu luận

• Chương 2 của tiểu luận đi vào trình bày tổng quan về điều kiện giảiđược cũng như công thức biểu diễn nghiệm tổng quát của một vài lớpphương trình toán tử thường gặp trong giải tích và đại số tuyến tính.Tác giả chân thành cảm ơn NGND.GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu-giảngviên môn toán tử tuyến tính đã cung cấp,giảng giải nhiều kiến thức quantrọng và quý báu về môn học để tác giả có thể hiểu được sơ lược vấn đềđang quan tâm và hoàn thành được tiểu luận này.Tác giả cũng chân thànhcảm ơn các anh,chị và bạn bè đồng nghiệp trong lớp Cao học K11-13 đãtận tình giúp đỡ,giải đáp một số thắc mắc mà tác giả còn nghi vấn.Tác giảcũng đặc biệt gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình,người thân đã ra sức độngviên,khích lệ cả về vật chất lẫn tinh thần để tác giả có thể hoàn thành đượctiểu luận này

Vì thời gian thực hiện tiểu luận không nhiều và kiến thức còn hạn chếnên tiểu luận chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mongnhận được sự quan tâm,đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn đồngnghiệp để bản tiểu luận được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 01 năm 2012

Học viên

Trần Văn Cương

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Xuyên suốt tiểu luận này nếu không nói cụ thể thì ta luôn ký hiệu :

• ǫ=exp 2πi/n là một nghiệm của phương trình z n =1

• P(t), G(t),· · · là các đa thức biến phức trên trường số phức C.

• bBlà không gian Banach

• L(Bb) là đại số các toán tử tuyến tính tác dụng trong bB với miền xác định trùng với bB.

• bXlà đại số các toán tử trongL(Bb)

• Nếu X là không gian tuyến tính trên trường số phức C thì

Định nghĩa 1.0.2 Một đại số trên trường số phức C là một C-không gian véc tơ

A được trang bị một phép nhân · : A×A → A, (α , β) 7→ αβ thỏa mãn những điều kiện sau :

(i) A cùng với phép cộng véc tơ và phép nhân lập thành một vành.

(ii) Các phép nhân với vô hướng và phép nhân của A liên hệ với nhau bởi hệ thức :

(aα)β=α(aβ) =a(αβ), với mọi a∈ C, α, β ∈ A.

Tập con khác rỗng B ⊂ A được gọi là một đại số con của đại số A nếu nó vừa là một không gian véc tơ con vừa là một vành con của A.

4

Định nghĩa 1.0.3 Giả sử X là không gian tuyến tính trên trường số phức C.

Phần tử (toán tử) T ∈ L0(X) được gọi là phần tử đại số (toán tử đại số) nếu tồn tại đa thức với hệ số phức

P(t) = t n+a1t n−1+ · · · +a n−1t+a n , a j ∈ C, j=1, 2,· · · , n

sao cho P(T) =0.

Nếu T thỏa mãn đồng nhất thức P(T) = 0 và không tồn tại đa thức Q(t) với

hệ số phức mà deg Q(t) < n sao cho Q(t) = 0 thì T được gọi là phần tử đại số

(toán tử đại số) bậc n.Khi đó P(t) được gọi là đa thức đặc trưng của T và ký hiệu

là P T(t),các nghiệm của đa thức này được gọi là nghiệm đặc trưng của T.Nếu đa thức P T(t) chỉ có các nghiệm đơn thì T được gọi là phần tử đại số (toán tử đại số)

có đa thức đặc trưng đơn.

Định lý 1.0.1 (Định lý Cayley-Hamilton) Mỗi ma trận vuông A đều là một

nghiệm của đa thức đặc trưng của chính nó.

Định nghĩa 1.0.4 Giả sử T ∈ L0(X)là phần tử đại số với đa thức đặc trưng

được gọi là các phần tử chiếu liên kết với T.

Định nghĩa 1.0.5 Phần tử đại số T ∈ L0(X)được gọi là phép đối hợp bậc n (n ≥

2) nếu :

T n = I

Bổ đề 1.0.1 (Công thức nội suy Lagrange)

Nếu f(x)là đa thức bậc n và xác định tại n+1 điểm x0, x1,· · · , x n Khi đó :

Định nghĩa 1.0.6 (Đa thức đối xứng bậc n)

Giả sử R[x1,· · · , x n]là vành đa thức của n ẩn x1,· · · , x n Đa thức f ∈ R[x1,· · · , x n]

đối xứng nếu f(x1,· · · , x n) = f(x σ(1),· · · , x σ (n)),∀σ∈ S n Trong đó S n là nhóm đối xứng trên n phần tử.

Chương 2

Biểu diễn nghiệm của một số lớp phương trình toán tử

2.1 Đặc trưng của đa thức với toán tử đại số

Giả sử S là phần tử đại số trong đại số X có đơn vị I trên trường số phức

Cvới đa thức đặc trưng P(t)

Giả sử G được tạo thành bởi k phần tử khác nhau : r1, r2,· · · , r k (k ≤

n).Không mất tính tổng quát, có thể giả thiết rằng các giá trị giống nhauđược sắp xếp cạnh nhau :

G(t) nhận giá trị r1tại n1phần tử của G :

Chứng minh Đa thức G(t) −r j lần lượt chia hết cho t−t ν , ν =ν j+1,· · · , ν j+

n j vậy nên nó chia hết cho ν j∏+n j

Chứng minh Xét phần tử Q(V) = ∏k

j= 1

[G(S) −r j].Theo bổ đề (2.1.1) (côngthức (2.1.4)) thì

Xét đa thức tùy ý Q0(t) thỏa mãn điều kiện Q0(V) = 0.Khi đó V = G(S)

nhận các giá trị G(t1), G(t2),· · · , G(t n) là nghiệm đặc trưng,vậy nên Q0(t)

chia hết cho ∏k

j= 1

(t−r j).Suy ra deg Q ≤ deg Q0.Định lý được chứng minh

Hệ quả 2.1.1 Nếu G(t i) 6= G(t j); i 6= j thì V = G(S) là toán tử đại số với đa thức đặc trưng

Chứng minh Thật vậy,khi đó đa thức đặc trưng của V là Q(t) = t−r.Vậy

2.2 Tiêu chuẩn chuyển vị,giao hoán và phản giao

hoán với phần tử đại số

Định nghĩa 2.2.1 Giả sử S là phần tử đối hợp bậc n.Phần tử A ∈ X được gọi làb

phần tử chuyển vị của S nếu AS =ǫSA

Định nghĩa 2.2.2 Giả sử S là phần tử đại số bậc n.Phần tử A ∈ X được gọi làb

giao hoán (phản giao hoán) với S nếu :

AS =SA (AS = −SA)

Định lý 2.2.1 Giả sử S là phần tử đối hợp bậc n.Khi đó A ∈ X là phần tử chuyểnb

vị của S khi và chỉ khi tồn tại A0 ∈ X sao cho :b

Hệ quả 2.2.1 Nếu S là phần tử đối hợp bậc n thì để A ∈ X giao hoán với S,điềub

kiện cần và đủ là tồn tại A0sao cho :

A=σ n−1(A0, S) = A0S n−1+SA0S n−2+ · · · +S n−1A0 (2.2.5)

Hệ quả 2.2.2 Nếu S là phần tử đối hợp bậc n (n- chẵn) thì để A ∈ X là phần tửb

phản giao hoán với S,điều kiện cần và đủ là tồn tại A0sao cho :

A=σ n−−1(A0, S) = A0S n−1−SA0S n−2+ · · · −S n−1A0 (2.2.6)

Định lý 2.2.2 Giả sử S là phần tử đại số với đa thức đặc trưng đơn P(t).Khi đó,để

A ∈ X giao hoán với S,điều kiện cần và đủ là tồn tại Ab 0 ∈ X sao cho :b

A =σ n−1(A0, S) +α1σ n−2(A0, S) + · · · +α n−1A0trong đó σ k(A0, S) được tính theo (2.2.5).

Chứng minh. Điều kiện đủ được kiểm tra trực tiếp

Để chứng minh điều kiện cần,ta chỉ cần đặt :

trong đó P1, P2,· · · , P n là các phần tử chiếu liên kết với (sinh bởi) S.

Định lý 2.2.3 Giả sử S là phần tử đại số với đa thức đặc trưng đơn P(t)còn G(t)

là đa thức tùy ý thỏa mãn điều kiện (2.1.2).Khi đó để phần tử B∈ X giao hoán với

V =G(S),điều kiện cần và đủ là tồn tại B0 ∈ X sao cho :b

B =σ k−1(B0, V) +σ k′ 1·σ k−2(B0, V) + · · · +σ k′k− 2·σ1(B0, V) +σ k′k− 1·B0trong đó σ k′j là đa thức đối xứng theo r1, r2,· · · , r k bậc j ; σ j(B0, V)được xác định theo (2.2.5) bằng cách thay A0bởi B0; S bởi V =G(S).

Chứng minh. Điều kiện đủ suy từ kết luận của các định lý (2.1.1) và định lý(2.2.1)

Để chứng minh điều kiện cần,ta chọn :

Chứng minh Từ giả thiết XS = −SX suy ra

Từ (2.2.9) suy ra X =O.Định lý được chứng minh

Hệ quả 2.2.3 Giả sử S là phần tử đối hợp bậc n.Khi đó X là phần tử phản giao

hoán với S khi và chỉ khi X =O∈ X.b

Định lý 2.2.5 Giả sử S là phần tử đại số với đa thức đặc trưng :

k (X0, S) được tính theo công thức (2.2.6)

Chứng minh. Điều kiện đủ : Ta có :

P′(t j)P j

2 Nếu các điều kiện (2.3.13) được thỏa mãn thì nghiệm tổng quát của (2.3.11) được

cho bởi công thức :

2 Giả sử X là một nghiệm tùy ý của (2.3.11) Khi đó, X−X0là phần tử giao

hoán của S.Theo định lý (2.2.2),ta được dạng thức tổng quát của : X−X0 =

A0, xác định theo (2.3.16).Định lý được chứng minh

Hệ quả 2.3.1 Phương trình XS−SX =aI, a 6=0 a ∈ Ckhông giải được Chứng minh Thật vậy,ta có P i aIP i = aP i 6= 0 ∈ Xb.Suy ra điều kiện (2.3.13)không thỏa mãn

Định lý 2.3.2 1 Giả sử G(t) là đa thức tùy ý thỏa mãn các điều kiện (2.1.2).Khi

đó phương trình (2.3.12) giải được khi và chỉ khi :

Q j YQ j =0 , j =1, 2,· · · , k (2.3.17)

2 Điều kiện (2.3.17) được thỏa mãn thì nghiệm tổng quát của phương trình (2.3.12)

được cho bởi công thức :

X = A1+X1trong đó

2 Nếu các điều kiện (2.3.19) được thỏa mãn thì nghiệm tổng quát của (2.3.18) được

cho bởi công thức :

A =R0+A0, (2.3.20)

2 Nếu các điều kiện (2.3.24) được thỏa mãn thì nghiệm của phương trình (2.3.23)

được cho bởi công thức :

D0được tính theo công thức (2.2.10) với X0 ∈ X.b

Chứng minh. 1 Điều kiện cần : Ta có :

Điều kiện đủ : Nếu (2.3.24) được thỏa mãn thì Y0 xác định theo (2.3.26) sẽcho ta nghiệm của (2.3.23).Thật vậy :

2 Được suy ra trực tiếp từ những định lý (2.2.5).Định lý được chứng minh

2.4 Phương trình với cặp phần tử đại số tùy ý

Định nghĩa 2.4.1 Đa thức F(t) (theo (2.4.28)) được gọi là đa thức đặc trưng của

cặp(S; W) như đã nói ở trên.

Ta sẽ đi khảo sát các phương trình :

SX =XW (2.4.29)

SX−XW = A (2.4.30)(

SX =YW+B

SY= XW+C (2.4.31)

16Trước hết,xét phương trình (thuần nhất) (2.4.29) :

Gọi Q1, Q2,· · · , Q n là những phần tử chiếu liên kết với W P1, P2,· · · , P n

là những phần tử chiếu liên kết với S, và giả sử các đa thức đặc trưng thỏa

mãn các điều kiện (2.4.27).Khi đó ta có

Định lý 2.4.2 1 Điều kiện cần và đủ để phương trình (2.4.30) giải được là :

Để chứng minh điều kiện đủ ta chỉ cần kiểm tra nghiệm X0theo (2.4.36)

là nghiệm của (2.4.30).Thật vậy :

Bằng phương pháp tương tự,ta có thể khảo sát chi tiết hệ phương trình(2.4.31) bằng cách chuyển về phương trình (2.4.30)

Bổ đề 2.4.1 Hệ phương trình (2.4.31) tương đương với hệ sau :

S2X−XW2 =D1

Y =S−1XW+D2 (2.4.38)

trong đó

D1=CW+SB

D2=S−1C Chứng minh Từ giả thiết đối với phần tử đại số S ta suy ra : S− 1tồn tại và :

Kết luận

Trong tiểu luận này em đã trình bày được một cách tổng quan về điềukiện giải được cũng như các công thức biểu diễn nghiệm của một số lớpphương trình toán tử với cặp toán tử đại số thường gặp trong giải tích và

đại số tuyến tính.Giả hạn như phương trình XS−SX =Ytrong trường hợp

Y = aI, a ∈ C, a 6= 0 được xét trong hầu hết các giáo trình đại số tuyếntính.Vì thế qua cách tìm hiểu tiểu luận này sẽ giúp chúng ta có một cáchnhìn sâu sắc hơn về bộ môn đại số tuyến tính mà chúng ta đã được họctrước đây.Bên cạnh đó với việc xét các phương trình

mẻ và có phần táo bạo này sẽ phần nào làm thỏa mãn thị hiếu,tính tò mòcủa bạn đọc

Mặc dù,tác giả đã rất cố gắng nhưng với khoảng thời gian khá eo hẹp vàvới vốn kiến thức còn rất hạn chế nên chắc chắn tiểu luận sẽ không tránhkhỏi những hạn chế và sai sót.Tác giả rất mong nhận được sự quan tâm,đónggóp ý kiến của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp để bản tiểu luận nàyđược hoàn thiện hơn.Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Văn Mậu,Lý thuyết toán tử và phương trình tích phân kỳ dị, Nhà

xuất bản ĐHQGHN

[2] Danuta Przeworska-Rolewicz,Linear spaces and linear operators,Warsaw

2007

[3] N.I.Akhiezer and I.M.Glazman,Theory of Linear Operations in Hilbert

Space,New York 1993

[4] Nelson Dunford and Jacob T Schwartz,Linear Operations,New York

1957

[5] S.Banach,Theory of Linear Operations,North-Holland 1987.

20