Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Lời nói đầu Bất đẳng thức là một chuyên đề khá thú vị trong chương trình toán học phổ thông và cũng có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học.. Lý thuyết về bất đẳn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

- -

PHẠM THỊ LAN ANH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI - 2013

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

- -

PHẠM THỊ LAN ANH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phan Huy Khải

HÀ NỘI - 2013

Mục lục

Lời nói đầu

Chương 1: Mở đầu 1

1.1 Định nghĩa: 1

1.2 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức: 1

Chương 2: Bất đẳng thức Cauchy 2

2.1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản 2

2.1.1 Bất đẳng thức Cauchy: 2

2.1.2 Bất đẳng thức Cauchy cơ bản: 2

2.1.3 Các bài toán minh họa 2

2.1.4 Một số bài tập tương tự 7

2.2 Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy 8

2.2.1 Bất đẳng thức Cauchy: 8

2.2.2 Các bài toán minh họa 8

2.2.3 Một số bài toán tương tự 16

2.3 Phương pháp thêm bớt hằng số 17

2.3.1 Phương pháp: 17

2.3.2 Các bài toán minh họa: 17

2.3.3 Một số bài toán tương tự 23

2.4 Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến 24

2.4.1 Phương pháp: 24

2.4.2 Các bài toán minh họa: 24

2.4.3 Một số bài toán tương tự 38

2.5 Phương pháp nhóm các số hạng 40

2.5.1 Phương pháp thứ 1 40

2.5.1.1 Nội dung phương pháp: 40

2.5.1.2 Các ví dụ minh họa: 40

2.5.2 Phương pháp thứ 2 44

2.5.2.1 Nội dung phương pháp 44

2.5.2.2 Các ví dụ minh họa 44

2.5.3 Một số bài toán tương tự 50

2.6 Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cô-si ngược dấu 50

2.6.1 Phương pháp: 50

2.6.2 Các bài toán minh họa: 50

2.6.3 Các bài tập tương tự: 52

Chương 3: Phương pháp miền giá trị hàm số 53

3.1 Nội dung phương pháp 53

3.2 Các bài toán minh họa 53

3.3 Các bài tập tương tự 55

Chương 4: Phương pháp lượng giác hóa 56

4.1 Nội dung phương pháp 56

4.2 Các ví dụ minh họa 56

4.3 Bài tập tương tự: 62

Chương 5: Phương pháp dùng chiều biến thiên hàm số 63

5.1 Nội dung phương pháp: 63

5.2 Các bài toán minh họa: 63

5.3 Các bài tập tương tự 69

Chương 6: Phương pháp sử dụng hình học 70

6.1 Nội dung phương pháp 70

6.2 Các bài toán minh họa 70

6.3 Các bài tập tương tự 74

Kết luận 75

Tài liệu tham khảo 76

Lời nói đầu

Bất đẳng thức là một chuyên đề khá thú vị trong chương trình toán học phổ thông và cũng có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học Trong các đề thi chọn học sinh giỏi hay đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng những năm gần đây thì bài toán bất đẳng thức thường xuất hiện như một dạng đề quen thuộc và thường được hiểu như là một bài toán để lấy điểm tối đa vì việc giải quyết trọn vẹn bài toán này không phải là đơn giản với phần lớn học sinh

Lý thuyết về bất đẳng thức được trình bày ở rất nhiều cuốn sách khác nhau và

từ đó các phương pháp chứng minh bất đẳng thức cũng được đề cập để giải quyết các bài toán bất đẳng thức đó Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi chỉ trình bày và tổng hợp một vài phương pháp chứng minh bất đẳng thức quen thuộc để giải quyết các bài toán của chương trình phổ thông, phục vụ quá trình dạy và học môn toán

Trong luận văn này ngoài phần lời nói đầu và kết luận thì bố cục được trình bày như sau:

- Chương 1: Mở đầu Ở chương này đưa ra các khái niệm cơ bản về bất đẳng thức cũng như các tính chất của bất đẳng thức

- Chương 2: Bất đẳng thức Cauchy Chương này trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy, trong đó đưa ra các phương pháp như:

 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản

 Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy

 Phương pháp thêm bớt hằng số

 Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến

 Phương pháp nhóm các số hạng

 Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu

- Chương 3: Phương pháp miền giá trị hàm số Chương này trình bày cách từ miền giá trị của biến số để tìm ra miền giá trị của hàm số, từ đó xác định được điểm cực trị của hàm số trong miền giá trị để chứng minh bất đẳng thức

- Chương 4: Phương pháp lượng giác hóa Chương này trình bày phương pháp sử dụng các hệ thức lượng giác hoặc biến đổi bất đẳng thức trở thành các hệ thức lượng giác quen thuộc để chứng minh bất đẳng thức

- Chương 5: Phương pháp sử dụng chiều biến thiên hàm số Chương này trình bày phương pháp lựa chọn hàm số từ bất đẳng thức để từ đó qua đạo hàm

ta thấy được chiều biến thiên trong một khoảng xác định để chứng minh bất đẳng thức ban đầu

- Chương 6: Phương pháp sử dụng hình học Chương này trình bày phương pháp biến đổi bất đẳng thức trở thành các biểu thức chứa các yếu tố hình học, từ các bất đẳng thức hình học quen thuộc ta chứng minh được bất đẳng thức ban đầu

Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn của PGS.TS Phan Huy Khải, thầy

đã hướng dẫn và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này, xin chân thành cảm ơn Thầy

Tôi cũng xin gửi lời cám ơn đến các thầy cô giáo khoa Toán – Tin và các cán bộ giáo viên khoa sau đại học trường ĐH KHTN-ĐH QG HN cùng các bạn bè lớp cao học toán khóa 2011-2013, những người đã dạy dỗ, hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Sau cùng tôi xin gửi lời tri ân tới cha mẹ, người thân đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành chương trình thạc sĩ này

Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2013

Phạm Thị Lan Anh

1.2.8 Nếu a > 𝑏 ⟺ a3 > b3

1.2.9 Các bất đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit: Nếu a > 1 𝑡𝑕ì x1 > x2 ⟺ ax1 > ax2

Nếu 0 < 𝑎 < 1 𝑡𝑕ì x1 > x2 ⟺ ax 1 < ax 2 Nếu a > 1 𝑡𝑕ì 𝑐 > 𝑑 > 0 ⟺ logac > logad

Nếu 0 < 𝑎 < 1 𝑡𝑕ì 𝑐 > 𝑑 > 0 ⟺ logac < logad

1.2.10 Các bất đẳng thức với dấu giá trị tuyệt đối:

Cho α > 0 𝑘𝑕𝑖 đó:

A > 𝛼 ⟺ A > 𝛼

A < −𝛼

A < 𝛼 ⟺ −𝛼 < 𝐴 < 𝛼

2.1.3 Các bài toán minh họa

Cộng 2 vế của 3 bất đẳng thức trên ta được:

1

x + 2y + z+

1

x + y + 2z≤ 1 Dấu “ = “ xảy ra khi x = y = z =3

3

Bài toán 4

Cho x > 0; y > 0; x + y < 1 Chứng minh rằng: x

Dấu “ = “ xảy ra khi 1 − x = 1 − y = x + y ⟺ x = y = 1

3

13a + b + 2c <

1

a + c+

1

2 b + c ≤ 1

4

14

1

a +

12b+

32c Dấu “ = “ xảy ra khi

a + c = 2 b + c

a = c

b = c

⟺ a = b = c = 0 mâu thuẫn giả thiết a, b, c dương

⟹ Dấu “ = “ không xảy ra do đó ta có 1

a + 2b + 3c<

116

1

a +

12b+

32c Tương tự ta có:

1

b + 2c + 3a<

116

1

b+

12c+

32a 1

c + 2a + 3a<

116

1

c+

12a+

32b Cộng 2 vế các bất phương trình trên ta có

1

a + 2b + 3c+

12a + 3b + c+

13a + b + 2c <

13a + b + 2c<

3

16

𝐁à𝐢 𝐭𝐨á𝐧 𝟔

Cho ∆ABC là tam giác nhọn Chứng minh rằng:

1cosA+

1cosB+

1cosC≥

1sinA

2 ⟹ cos A, cosB, cosC > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản ta được:

1

cosA+

1cosB >

4cosA + cosB=

2sinA

2

Dấu “ = “ xảy ra khi cosB − C

2 = 1 ⟺ B = C 1

cosC+

1cosA ≥

2sinB

2

Dấu “ = “ xảy ra khi cosC − A

2 = 1 ⟺ C = A Cộng 2 vế của 3 bất đẳng thức trên ta có:

2 1

cosA+

1cosB+

1cosC ≥ 2

1cosC ≥

1sinA

2

Dấu “ = “ xảy ra khi A = B = C hay ∆ABC đều

2+

2SsinBsin

Bài 5: Chứng minh rằng: trong mọi ∆ABC ta có ∶ ab + bc + ca ≥ 4 3S với S là diện tích ∆ABC

2.2 Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy

2.2.1 Bất đẳng thức Cauchy:

Cho n số không âm a1, a2, … , ankhi đó:

(a1 + a2 + ⋯ + an)

n ≥ an 1a2… an Dấu “ = “ xảy ra khi a1 = a2 = ⋯ = an 2.2.2 Các bài toán minh họa

3

= 3 3

⟹ P ≥ 3 3

Dấu “ = “ xảy ra khi

x = y = z = 11

xy=

1

yz=

1zx ⟺ x = y = z = 1

Bài toán 2

Chứng minh rằng: ∀x ∈ ℝ ta có:

125

x

+ 154

x

+ 203

x

+ 154

x

⟹ x = 0 20

3

x

+ 125

x

⟹ x = 0 Cộng 2 vế các bất đẳng thức ta có:

12

5

x

+ 154

x

+ 203

x

≥ 3x + 4x + 5x Dấu “=” xảy ra khi x=0

Khi đó bài toán đã cho trở thành:

Cho X, Y, Z là 3 số dương thỏa mãn XY + YZ + ZX = 1

Dấu “ = “ xảy ra khi X

1 − z2 ≥ 3 3

2 z

2 Dấu “ = “ xảy ra ⟺ z = 3

3 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có:

y 2 =y

8

⟺ x = 2 y = 2 Theo giả thiết x + y

2 ≥ 2

=3

4x Dấu “ = “ xảy ra khi x

z

1 + cos A cos B cos C ≥ 9 sinA

Thay vào bất đẳng thức ta có:

sin A + sin B + sin C sin2A + sin2B + sin2C ≥ 9 sin A sin B sin C

Trong ΔABC ta luôn có: sin A, sin B, sin C > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

sin A + sin B + sin C ≥ 3 sin A sin B sin C3

sin2A + sin2B + sin2C ≥ 3 sin3 2A sin2B sin2C

Nhân 2 vế ta được điều cần chứng minh

Dấu “ = “ xảy ra khi sin A = sin B = sin C ⟺ A = B = C hay ΔABC đều

sin2A+

1sin2B+

1sin2C ≥

Bài toán 2

Tương tự x − 2

x − 2 + 22x 2 =

1

2 2 Dấu “ = “ xảy ra khi x − 2 = 2 ⟺ x = 4

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

y = 421

x = 121

Bài toán 4

Cho 3 số dương a, b, c và a + b + c = 3

4 Chứng minh rằng: a + 3b 3 + b + 3c3 + b + 3c3 ≤ 3

b + 3c3 ≤b + 3c + 2

3

b + 3c3

≤c + 3a + 2

3 Cộng các vế ta có:

Dấu “ = “ xảy ra khi

b3 + 1

c3 + 1 ≥ 3

bc 1

c3 + 1

a3 + 1 ≥ 3

ca Công các vế ta được:

b3 = 1

c3 = 11

2.3.3 Một số bài toán tương tự:

Bài1: Cho 3 số dương x, y, z và x + y + z = 1

Bài 5: Cho x, y, z là 3 số thỏa mãn: x + y + z = 0

Chứng minh rằng: 2 + 4x + 2 + 4y + 2 + 4z ≥ 3 3

2.4 Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến

b5

c2 + bc2 ≥ 2b3

c5

a2 + ca2 ≥ 2c3 Cộng từng vế ta được:

S + ab2 + bc2 + ca2 ≥ 2 a3 + b3 + c3

Ta sẽ chứng minh a3 + b3 + c3 ≥ ab2 + bc2 + ca2

Thật vậy, ta có a3 + a3+ c3 ≥ 3 a3 3 a3 c3 = 3a2c

Tương tự: b3 + b3 + a3 ≥ 3 b3 3 b3 a3 = 3b2a

c3 + c3 + b3 ≥ 3c2b

Cộng các vế ta có 3 a3 + b3+ c3 ≥ 3 a2c + b2a + c2b

a3 + b3 + c3 ≥ a2c + b2a + c2b Dấu “ = “ xảy ra khi a = b = c

Do đó: S + a3 + b3 + c3 ≥ S + ab2 + bc2 + ca2 ≥ 2 a3 + b3 + c3 Vậy S ≥ a3 + b3 + c3 Dấu “ = “ xảy ra khi a = b = c

a3 + ca ≥2c

3

a Cộng từng vế ta có a

c + a 2 = c + a 8c3

a + b 2 = a + b

⇔ a = b = c

Cho 3 số dương: x, y, z thỏa mãn1

z + 2x+ y z + 2x 9z3

x + x ≥ 4y

=3a

4 Tương tự ta có:

Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

y2

1 + z+

1 + z4

z2

1 + x+

1 + x4

Thay vào ta có được điều phải chứng minh

Dấu “ = “ xảy ra khi:

2cos

C

2 =

34cosC

2cos

A

2 =

34

2

2, cos

B

2 > 0sinC

2

2 Xét vế phải ta có:

VP =1

2 tanA

2 sin B + sin C + tanB

2 sin C + sin A + tanC

= cos A + cos B + cos C

2

Dấu “ = “ xảy ra ⇔

cosA2cosB

2

= cos

B 2

⇔ A = B = C Hay ΔABC đều

2.4.3 Một số bài toán tương tự

Bài 1: Cho 3 số dương a, b, c

2.5 Phương pháp nhóm các số hạng

Trong phần này ta xét 2 phương pháp sau:

2.5.1 Phương pháp thứ 1

2.5.1.1 Nội dung phương pháp:

Có những bài chứng minh bất đẳng thức ta phải sử dụng nhiều bất đẳng thức phụ,

để dấu “=” trong bất đẳng thức chính xảy ra đồng thời có dấu bằng trong tất cả các bất đẳng thức phụ Việc nhóm các số hạng trong biểu thức của bất đẳng thức phải đảm bảo tiêu chí này

x +

1

y Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

1 + 1

2x ≥ 2 x.

12x = 2 Dấu “ = “ xảy ra khi x = 1

x = y ⇔ x = y

a = 3 ⇔ a = 3

Bài toán 4

Cho a ≥ 2 Chứng minh S = a + 1

a2 >9

4

y ≥ 18

2.5.2.1 Nội dung phương pháp

Trong khi nhóm các số hạng của biểu thức trong bất đẳng thức cần chứng minh, giống như trong phương pháp 1, việc nhóm đúng có vai trò quyết định

Việc nhóm này thường dựa vào giả thiết của đầu bài và dĩ nhiên tuân thủ theo yêu cầu đề ra trong phương pháp 1

Bài toán 1

Cho a ≥ 3, ab ≥ 6; abc ≥ 6 Chứng minh rằng:

3=

b2

a = 3

⇔ b = 2a = 3

c = 1

a =

2b

a = 3

⇔ a = 3b = 2

c = 1

Bài toán 3:

Cho 3 số dương a, b, c sao cho

b

2+ c ≤ 2a

23c

2

b+

1

c + 12c Theo bất đẳng thức Cauchy cơ bản ta có:

1c

c = 1

⇔ a = 3b = 2

c = 1

Tổng quát ta có: a12 + a22 + ⋯ + a2n ≥ n a1+ a2 + ⋯ + an

n

2

Dấu “ = “ xảy ra ⇔ a1 = a2 = ⋯ = an

Theo kết quả trên ta được:

2=

c3

c = 3

⇔ a = 1b = 2

c = 3

Bài toán 5:

Cho x > 0; y > 0; z > 0 và xy = 1 Chứng minh rằng:

yz + z + 1=

xxyz + xz + x =

x

1 + xz + x

2.6.2 Các bài toán minh họa:

Bài toán 1 Với a+b+c=3 Chứng minh rằng:

c32c − a ≥ a

2 + b2 + c2 khi mẫu số dương

Bài 3: Cho a, b, c, d là các số dương Chứng minh rằng:

12a − 1+

12b − 1+

12c − 1+

12d − 1

Chương 3: Phương pháp miền giá trị hàm số

3.1 Nội dung phương pháp

Giả sử ta phải chứng minh một bất đẳng thức có dạng: α ≤ f x ≤ β với x ∈ D

Khi đó để sử dụng phương pháp miền giá trị hàm số chứng minh bất đẳng thức trên

ta làm như sau:

Gọi m là giá trị tùy ý của f x trên miền x ∈ D Khi đó phương trình

f x = m

x ∈ D có nghiệm, và từ đó ta có điều kiện để phương trình có nghiệm

Phương pháp này thích hợp để giải các bất đẳng thức dạng:

α ≤ P x

Q x ≤ β hoặc α ≤

a sin x + b cos x + c

A sin x + B cos x + C ≤ β

Ở đây P x , Q x là các đa thức của x

3.2 Các bài toán minh họa

y

2

+2x

y + 3

2 + 12t

t2 + 2t + 3 Điều đó có nghĩa là phương trình ẩn t sau có nghiệm

2t2+ 12t

t2 + 2t + 3= m (2)

Do t2 + 2t + 3 > 0 với ∀t nên phương trình trên

⇔ 2t2 + 12t = m t2 + 2t + 3

⇔ m − 2 t2 + 2 m − 6 t + 3m = 0 (3)

∗ Nếu m = 2 Phương trình trên ⇔ −8t + 6 = 0 ⇔ t =3

4 Vậy m = 2 là một giá trị của hàm f t

∗ Nếu m ≠ 2 Do phương trình 3 có nghiệm nên

𝐋ờ𝐢 𝐠𝐢ả𝐢:

Gọi m là giá trị tùy ý của hàm số f x = 2 sin x cos x + 1

sin x − 2 cos x + 3, x ∈ R Khi đó phương trình ẩn x 2 sin x cos x + 1

sin x − 2 cos x + 3= m 1 có nghiệm

1 ⇔ 2 sin x + cos x + 1 = m sin x − 2m cos x + 3m

2 − x + 12x2 + x + 1 ≥

Chương 4: Phương pháp lượng giác hóa

4.1 Nội dung phương pháp

Bằng phép biến đổi lượng giác thích hợp như (x = sin⁡t, x = tan⁡t … ) ta đưa bất đẳng thức ban đầu về bất đẳng thức trong đó biểu thức của nó có dạng lượng giác, dưới dạng này các bất đẳng thức sẽ dễ chứng minh hơn

Các bất đẳng thức dạng này thường có dấu hiệu:

− Trong biểu thức chứa x2 + y2, 1 + x2…

− Điều kiện của bất đẳng thức có dạng x2 + y2 = a2…

− Biểu thức gắn liền với một hệ thức lượng giác nào đó

Do x2 + y2 = 1 nên có thể đặt x = sin t , y = cos t

Bất đẳng thức đã cho có dạng tương đương như sau:

sin 2t + cos 2t + 2 điều này chứng tỏ phương trình 1 − cos 2t + 6 sin 2t

sin 2t + cos 2t + 2 = m có nghiệm

Do sin 2t + cos 2t + 2 ≥ 0 với ∀t nên ta có phương trình

⇔ 1 − cos 2t + 6 sin 2t = m sin 2t + cos 2t + 2

x = 3

13

y = − 2

13

y = 1 10

x = − 3

10

y = − 1

10

Ta có:

sin 5t = sin 2t cos 3t + sin 3t cos 2t

= 2 sin t cos t 4 cos3 t − 3 cos t + 3 sin t − 4 sin3t 1 − 2 sin2t

= 2 sin t cos2t 4 cos2t − 3 + 3 sin t − 10 sin3t + 6 sin5t

= 2 sin t 1 − sin2t 1 − 4 sin2t + 3 sin t − 10 sin3t + 6 sin5 t

= 16 sin5t − 20 sin3t + 5 sin t

= 16x5 − 20x3 + 5x

Biến đổi tương tự ta có:

cos5t = 16y5− 20y3 + 5y

Thay vào biểu thức ban đầu ta có:

2

− x

2y− 2 2

x 2y

2 ⇔ tan⁡2t = −1 ⇔ tan t = ± 2 − 1

x = tan a , y = tan b , z = tan c

Từ xy + yz + zx = 1 ⇒ tan a tan b + tan b tan c + tan c tan a = 1

⇒ tan a tan b + tan c = 1 − tan b tan c

⇒ tan a = 1 − tan b tan c

tan b + tan c = cot b + c