Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Chính vì các lý do trên tôi ñã chọn ñề tài “ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ”.. - Tìm hiểu thêm các phương pháp mới về chứng minh bất ñẳng thức và hoàn thiện các kỹ năng ñã

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Công trình ñược hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN

Phản biện 1: TS CAO VĂN NUÔI

Phản biện 2: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

Luận văn ñược bảo vệ tại Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 23 tháng 10 năm 2011

* Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

Với mong muốn sẽ tìm hiểu và hệ thống hoá một cách ñầy ñủ về các phương pháp chứng minh bất ñẳng thức, nhằm hoàn thiện cho mình một kỹ năng chứng minh bất ñẳng thức Qua ñó phục vụ cho công tác giảng dạy sau này Chính vì các lý do trên tôi ñã chọn ñề tài “ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ”

Điều kiện ñảm bảo cho việc hoàn thành ñề tài : Được thầy giáo PGS TSKH

Trần Quốc Chiến hướng dẫn, cung cấp tài liệu và tận tình giúp ñỡ, ñồng thời bản thân

cố gắng nghiên cứu sưu tập tài liệu ñể ñảm bảo hoàn thành ñề tài

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Hệ thống và phân loại một số phương pháp chứng minh bất ñẳng thức

- Tìm hiểu thêm các phương pháp mới về chứng minh bất ñẳng thức và hoàn thiện các kỹ năng ñã biết nhằm phục vụ cho công tác giảng dạy sau này

- Đề xuất một số dạng quan trọng trong các kỳ thi ñại học, thi học sinh Giỏi

3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Khảo sát lý thuyết tổng quát, các phương pháp chứng minh bất ñẳng thức dựa trên phương pháp dồn biến, phương pháp ñường thẳng tiếp tuyến và các bất ñẳng thức

AM – GM, Cauchy – Schwarz, Bernoulli, Chebyshev

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Khảo sát lý thuyết tổng quát và ñặc biệt ứng dụng trong chương trình toán học phổ thông và toán học dành cho học sinh giỏi các ñội tuyển quốc gia

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Đề tài này ñã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

- Phương pháp nghiên cứu tư liệu gồm: Các tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, tạp chí toán học tuổi trẻ, các ñề tài nghiên cứu có liên quan…

- Phương pháp tiếp cận lịch sử: Sưu tầm, phân tích và tổng hợp tư liệu

- Phương pháp tiếp cận hệ thống

- Thực nghiệm sư phạm ở trường phổ thông

5 Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

- Đề tài ñã hệ thống và phân loại một số phương pháp chứng minh bất ñẳng thức giải quyết hàng loạt các bài toán bất ñẳng thức khó ở phổ thông, góp phần cho học sinh

và giáo viên có thêm một số phương pháp chứng minh bất ñẳng thức

- Đề tài ñược trình bày một cách logic, khoa học, rõ ràng và dễ hiểu

6 CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Mở ñầu:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Trong chương này nêu ñầy ñủ kiến thức cơ sở về bất ñẳng thức như ñịnh nghĩa, tính chất, kỹ thuật chọn ñiểm rơi trong bất ñẳng thức

Chương 2: Một số phương pháp chứng minh bất ñẳng thức

Trong chương này hệ thống lại các phương pháp chứng minh bất ñẳng thức dựa trên các bất ñẳng thức AM – GM, Cauchy – Schwarz, Bernoulli, Chebyshev và các phương pháp khác như phương pháp dồn biến, phương pháp ñường thẳng tiếp tuyến

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 ĐỊNH NGHĨA

Bất ñẳng thức là các biểu thức ñược nối với nhau bởi các dấu ''>''; ''<''; ''≥''; ''≤''

Các mệnh ñề ''A>B''; ''A≥B''; ''A<B''; ''A≤B'' ñược gọi là các bất ñẳng thức Trong ñó A, B là các biểu thức, A ñược gọi là vế trái và B là vế phải của bất ñẳng thức Các bất ñẳng thức A>B; C>D ( hoặc A<B; C<D ) là 2 bất ñẳng thức cùng chiều Các bất ñẳng thức A>B; C<D ( hoặc A<B; C>D ) là 2 bất ñẳng thức trái chiều Xét 2 bất ñẳng thức A >B & C<D

+ Nếu ta có A >B ⇒ C<D ta nói bất ñẳng thức C>D là hệ quả của bất ñẳng thức A >B

+ Nếu A>B ⇔ C<D ta nói bất ñẳng thức A>B & C>D là hai bất ñẳng thức tương ñương

9 a/ n n ( )

A> >B 0 ⇒ A > B ∀ ∈n Z+b/ 2n 1 2n 1 ( )

1.3 KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC :

Trong các phương pháp chứng minh bất ñẳng thứcA≥B ta thường chứng minh theo một trong hai sơ ñồ sau :

Sơ ñồ 1 : Tạo ra dãy các bất ñẳng thức trung gian

Muốn tìm ñược tiêu chuẩn P ta cần chú ý tính ñối xứng của biến số và ñiều kiện xảy ra dấu bằng trong các bất ñẳng thức cổ ñiển AM – GM, Cauchy – Schwarz, Bernoulli hoặc trong các phương pháp mới như : dồn biến (MV), ñường thẳng tiếp tuyến… Và người ta gọi ñiểm rơi trong các bất ñẳng thức trên là giá trị các biến nhận ñược ñể bất

ñẳng thức xảy ra dấu “ = ”

Do việc dự đốn điều kiện trạng thái “A=B” xảy ra theo một tiêu chuẩn nào đĩ, để

định hướng biến đổi đại số và đánh giá các bất đẳng thức trung gian hoặc bộ phận nên

cĩ thể gọi các ý tưởng này là : “ Kỹ thuật kiểm tra điều kiện xảy ra dấu bằng ” hay

“Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức”

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH

BẤT ĐẲNG THỨC 2.1 BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM

Đẳng thức xảy ra khi a1 =a2 = = a n ≥0

2.1.2 Chú dẫn : tên gọi AM – GM là viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh Arithmetic mean

–Geometric mean nêu lên bản chất của bất ñẳng thức

Các cuốn sách toán học ñã xuất bản ở Việt Nam thường gọi bất ñẳng thức trên là bất

ñẳng thức Cauchy Cách gọi này xuất phát từ việc nhà toán học Pháp Cauchy là người

ñầu tiên ñã chứng minh bất ñẳng thức này

Hệ quả 2 Với mọi dãy số thực (a a1, 2, ,a n) ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a1=a2 = = a ;n b1 =b2 = = bn

2.4.2 Một số dạng hay gặp của bất ñẳng thức Chebyshev

  là các bộ số ñơn ñiệu cùng chiều

Khi ñó việc chứng minh bất ñẳng thức ban ñầu quy về chứng minh

  là các bộ ñơn ñiệu cùng chiều

Khi ñó bất ñẳng thức ban ñầu quy về chứng minh

2.5.1 Phương pháp dồn biến ( MV–MIXING VARIABLE )

Đặc ñiểm của nhiều bất ñẳng thức, ñặc biệt là các bất ñẳng thức ñại số là dấu bằng

xảy ra khi tất cả hoặc một vài biến bằng nhau

Phương pháp dồn biến dựa vào ñặc ñiểm này ñể làm giảm số biến số của bất ñẳng thức, ñưa bất ñẳng thức về dạng ñơn giản hơn có thể chứng minh trực tiếp bằng cách khảo sát hàm số một biến hoặc chứng minh bằng quy nạp

Và còn rất nhiều dạng khác tùy thuộc vào ñặc ñiểm của bài toán

Sau ñó chuyển việc chứng minh (*) về chứng minh bất ñẳng thức sau

f t t x( , , 3, ,x n)=g t x( , 3, ,x n)≥0 (*****)

Tức là một bất ñẳng thức có ít biến hơn

2.5.2 Phương pháp ñường thẳng tiếp tuyến

Bước 1: Từ bất ñẳng thức xác ñịnh hàm số tương ứng y=f x( )

Bước 2: Xác ñịnh dấu bằng của ñẳng thức xảy ra khi nào Giả sử tại x=x0

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị tại ñiểm có hoành ñộ x =x0

y=g x( )=f ' x( )(0 x−x0)+y0

Bước 4: Vẽ ñồ thị hàm số y=f x( ) và phương trình tiếp tuyến tại ñiểm (x ; y0 0)

Từ ñó xác ñịnh tiếp tuyến nằm trên hay nằm dưới ñồ thị hàm số

Nếu tiếp tuyến nằm trên ta ñi chứng minh

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG

3.1 ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN - GTNN

3.1.1.Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM - GM

Bài tốn Cho a, b, c thoả mãn , , 0

b c a ab bc ca

Định hướng lời giải:

Vì bất đẳng thức đã cho là đối xứng với a, b, c nên ta dự đốn dấu bằng xảy ra khi

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta cĩ

81 84

3.53

84 84

2831

27 3

Trong vế phải của bất đẳng thức trên tức là biểu thức GM cĩ số các thừa số trong căn thức đúng bằng chỉ số căn thức (cùng bằng n) Do đĩ, khi gặp bất đẳng thức mà vế phải của bất đẳng thức cĩ chứa căn thức và số các thừa số ở trong căn thức nhỏ hơn chỉ

số căn thức thì ta cần nhân thêm các hằng số thích hợp để số các thừa số trong căn thức bằng chỉ số của căn thức Để xác định được các hằng số thích hợp chúng ta phải dự

đốn được dấu bằng của bất đẳng thức [10, tr 29]

Bài tốn Cho a, b, c thoả mãn , , 0

Dự đốn và tìm điểm rơi của Max S:

Vì S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên Max S đạt tại điều kiện

3 3 3 31

a b c

b c + c a + a b ≥ + +

Định hướng lời giải:

Do bất đẳng thức đã cho là đối xứng với các biến nên ta dự đốn dấu “=” xảy ra khi các biến bằng nhau Tức là a= =b c

+

a

b c

với các số sao cho sau khi áp dụng bất đẳng thức

AM - GM ta được một biểu thức theo a

Từ ñó ta áp dụng AM-GM với các số sau

3 2

8

; + ; ++

3 2

c a c a b

c a

3 2

Bài toán Cho ba số thực a b c thỏa mãn , , , , 0

Định hướng lời giải:

Để áp dụng ñược giả thuyết ab bc ca 1+ + = ta cần phải tách số 10 ra thành tổng của 2 số ñể có thể áp dụng bất ñẳng thức AM-GM cho từng cặp số từ ñó xuất hiện các tích số ab, bc, ca

2 2

Bài toán Cho bốn số thực a b c d thỏa mãn , , ,, , , a b c d >0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 1 2 1 2 1 2

Áp dụng bất ñẳng thức AM-GM ta có:

2

5 5

2

5 5

2

5 5

a b c d S

3.2.1 Kỹ thuật chọn ñiểm rơi và cân bằng hệ số trong bất ñẳng thức Schwarz

Cauchy-Bài toán.[Poland Second Round 2007]

Cho , , ,a b c d >0 thoả mãn 1 1 1 1 4

2 2

2 2

3

3 3 3

3 3 3

3 3 3

3 3

− + + +

≤

+ +

+ +

+ +

+

d c b a a

d d

c c b b a

Bổ ñề: với mọi x, y >0 ta có bất ñẳng thức sau

y x

y x y x

Chứng minh bổ ñề: bất ñẳng thức

0, , 2

a d

a d d c

d c c b

c b b a

b a a d d

c c b b a

+

+ + +

+ + +

+ + +

+

≤

+ +

+ +

+ +

3

3 3 3

3 3 3

3 3 3

3 3

2 2

2 2

Ta sẽ chứng minh : 2 ( ) 4

2 2 2 2 2 2 2 2

− + + +

≤ +

+ + +

+ + +

+ + +

+

d c b a a

d

a d d c

d c c b

c b b a

b a

Thật vậy, sử dụng

y x

y x

xy y

x

y x y x

11

22

2 2

+

=+

=+

32 1 1 1 1 2

4 2

1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 2

2

2

2 2 2 2 2 2 2 2

+ +

+ +

+ + +

+ + +

+

− + + +

d c b a a

d d c c b b a

a d

a d d c

d c c b

c b b a

b a d c b a

Vậy bất ñẳng thức ñã cho ñã ñược chứng minh

3.2.3 Sử dụng các phép biến ñổi và ứng dụng các hệ quả của bất ñẳng thức Cauchy - Schwarz

Bài toán Cho , ,a b c>0 và a+ + =b c 3. Chứng minh rằng:

Bài toán Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

Bài toán Cho 1 2 n

2n 1

−

Vậy bất ñẳng thức ñã cho ñã ñược chứng minh

Bài toán [PSFJIMO28 – Cuba 1987] Cho a b c, , >0,n∈ +

Chứng minh rằng:

1 2

Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học :

Với n = 1 thì bất ñẳng thức Nesbit quen biết 3

Theo nguyên lý quy nạp suy ra (1) ñúng ∀ ∈n Z+

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c > 0

3.5 ỨNG DỤNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 3.5.1 Phương pháp dồn biến

Bài toán 1 Chứng minh rằng nếu , ,x y z≥0 thìx+ + ≥y z 33 xyz (1)

1 27 1 27 0

0

02

3.5.2 Phương pháp ñường thẳng tiếp tuyến

Bài toán [USA, 2003] Cho a, b, c>0 Chứng minh rằng:

+ − với x∈( )0,1Khi ñó bất ñẳng thức cần chứng minh trở thành

Vẽ ñồ thị hàm số f x và tiếp tuyến trên cùng hệ trục tọa ñộ ta nhận thấy ñò thị ( )

hàm số nằm phía dưới tiếp tuyến nên ta sẽ chứng minh

( )

2 2

KẾT LUẬN

Luận văn ñã hệ thống ñược các phương pháp ñiển hình chứng minh bất ñẳng thức trong chương trình toán học ở trường phổ thông và toán dành cho học sinh trong các ñội tuyển toán Hình thành và khẳng ñịnh ñược một số cơ sở, ñịnh hướng cho học sinh trong quá trình giải toán bất ñẳng thức Gỉa thuyết khoa học của luận văn là có thể chấp nhận ñược Mục ñích và nhiệm vụ nghiên cứu ñã hoàn thành

Tuy nhiên, phương pháp chứng minh bất ñẳng thức rất ña dạng và phong phú, chủ yếu dựa vào ñặc thù riêng của từng bài và do có một số phương pháp mới ñược tiếp cận lần ñầu tiên và trình ñộ còn hạn chế nên không thể tránh ñược những sai sót Mong nhận ñược ý kiến ñóng góp ñể luận văn ñược hoàn thiện hơn

Mong rằng luận văn này sẽ là một tài liệu nhỏ ñể các em học sinh có thể tham khảo từ ñó có thể học tốt hơn chuyên ñề bất ñẳng thức này