Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng

Khi đó, điều kiện cần ,và đủ của tính lồi của f x trong khoảng đó là bất đẳng thức: f x... điều phải chứng minh... Các bất đẳng thức cơ bản khá phổ biến... Lưu điều phải chứng minh.

CHƯƠNG 1

1.1.1.

Nếu từ bất đẳng thứcA B ta suy ra bất đẳng thức C D thì C D gọi là bất

Giả sử f x( ) có hai trong khoảng mở a b Khi đó, điều kiện cần ,

và đủ của tính lồi của f x( ) trong khoảng đó là bất đẳng thức: f ( )x

(1 sin A)(1 sin B)(1 sin C)

= 1 + sin2A + sin2B + sin2C + sin2A sin2B + sin2B sin2C + sin2C sin2A

+ sin2A sin2B sin2C

1 + sin2A + sin2B + sin2C + cos2A+ cos2B+ cos2C + sin2A sin2B sin2C >4

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

điều phải chứng minh

a sin2A + sin2B + sin2C 2 3sinA sinB sinC

b cos A + cos B + cos C > 1

n n

n a a a (2)

14 2 43

1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 43

n m

m n n

ra m

(Do r 1, a 0 nên 1 ra 1 V

n m

m nra

ra

n m

1hay 1 a (1 ra)r Vậy 1 a r 1 ra

4 )

Cho a ,a , ,a ; b , b , ,b 1 2 n 1 2 n b > 0 i i = 1,2, ,n

2 2

a + a + + a a

j j

2

2 2

1 1

j j

j j

2 2

trên

Các bất đẳng thức cơ bản khá phổ biến

T

n k k n

An-1

Bn-1 Bn

C1

C2

Cn-1 Cn

a2 b1

C H A

2 4

-2 -2

B

y P

C B

x B2

An-1

Bn-1 Bn

C1

C2

Cn-1 Cn

a2 b1

b2

B1

a1 O

C H A

2 4

-2 -2

55

B2

An-1

Bn-1 Bn

C1

C2

Cn-1

a2 b1

b2

B1

a1 O

C H A

2 4

-2 -2

B

x

y P

N(c,d)

R Q

a f x( )o 0

1

2 3

0

a

3

36

2

3

a

Đ 2 Cho a 0 n

1 4 4 44 2 4 4 4 43 n daá u caê n 1+ 4a+ 1 a+ a+ a+ + a < 2 Lời g u căn

daá 1 4 4 44 2 4 4 4 43 n n u a a a a (1)

Do a 0 nên suy ra u n u n 1 (2)

(1) u n2 a u n 1 (3)

(2) (3) suy ra u n2 a u n hay u n2 u n 1 a (4)

f x( ) x2 x a

(4) suy ra f u( )n 0

.4

1 S n u1 u2 u n A

k u

Lưu

điều phải chứng minh

n I

CHƯƠNG 4

Ở đây, tôi :

2

2 2

P

= 3(3 +1) = 12

2 3

Kh

(1) ln tanAtanA tanBtanB tanCtanC 3 ( 3)f 3 3 ln 3

tanAtanA tanBtanB tanCtanC ( 3)3 3 hay

x

1 52