Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phạm Thị Lan Anh Trường đại học Khoa học Tự nhiên.. Trình bày các khái niệm cơ bản về bất đẳng thức cũng như các tính chất của bất đẳng thứ
Trang 1Một số phương pháp chứng minh bất đẳng
thức
Phạm Thị Lan Anh
Trường đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội
Luận văn Thạc sĩ ngành: Toán học; Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn: PGS.TS Phan Huy Khải
Năm bảo vệ: 2013
Abstract Trình bày các khái niệm cơ bản về bất đẳng thức cũng như các tính chất
của bất đẳng thức Trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy, trong đó đưa ra các phương pháp như: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản; Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy; Phương pháp thêm bớt hằng số; Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến; Phương pháp nhóm các số hạng; Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu Trình bày cách từ miền giá trị của biến số để tìm ra miền giá trị của hàm số, từ
đó xác định được điểm cực trị của hàm số trong miền giá trị để chứng minh bất đẳng thức Trình bày phương pháp sử dụng các hệ thức lượng giác hoặc biến đổi bất đẳng thức trở thành các hệ thức lượng giác quen thuộc để chứng minh bất đẳng thức Trình bày phương pháp lựa chọn hàm số từ bất đẳng thức để từ đó qua đạo hàm ta thấy được chiều biến thiên trong một khoảng xác định để chứng minh bất đẳng thức ban đầu Trình bày phương pháp biến đổi bất đẳng thức trở thành các biểu thức chứa các yếu tố hình học, từ các bất đẳng thức hình học quen thuộc ta chứng minh được
bất đẳng thức ban đầu
Keywords Phương pháp toán sơ cấp; Bất đẳng thức; Toán học
Content
Trang 2Mục lục
Lời nói đầu
Chương 1: Mở đầu 1
1.1 Định nghĩa: 1
1.2 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức: 1
Chương 2: Bất đẳng thức Cauchy 2
2.1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản 2
2.1.1 Bất đẳng thức Cauchy: 2
2.1.2 Bất đẳng thức Cauchy cơ bản: 2
2.1.3 Các bài toán minh họa 2
2.1.4 Một số bài tập tương tự 7
2.2 Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy 8
2.2.1 Bất đẳng thức Cauchy: 8
2.2.2 Các bài toán minh họa 8
2.2.3 Một số bài toán tương tự 16
2.3 Phương pháp thêm bớt hằng số 17
2.3.1 Phương pháp: 17
2.3.2 Các bài toán minh họa: 17
2.3.3 Một số bài toán tương tự 23
2.4 Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến 24
2.4.1 Phương pháp: 24
2.4.2 Các bài toán minh họa: 24
2.4.3 Một số bài toán tương tự 38
Trang 32.5 Phương pháp nhóm các số hạng 40
2.5.1 Phương pháp thứ 1 40
2.5.1.1 Nội dung phương pháp: 40
2.5.1.2 Các ví dụ minh họa: 40
2.5.2 Phương pháp thứ 2 44
2.5.2.1 Nội dung phương pháp 44
2.5.2.2 Các ví dụ minh họa 44
2.5.3 Một số bài toán tương tự 50
2.6 Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cô-si ngược dấu 50
2.6.1 Phương pháp: 50
2.6.2 Các bài toán minh họa: 50
2.6.3 Các bài tập tương tự: 52
Chương 3: Phương pháp miền giá trị hàm số 53
3.1 Nội dung phương pháp 53
3.2 Các bài toán minh họa 53
3.3 Các bài tập tương tự 55
Chương 4: Phương pháp lượng giác hóa 56
4.1 Nội dung phương pháp 56
4.2 Các ví dụ minh họa 56
4.3 Bài tập tương tự: 62
Chương 5: Phương pháp dùng chiều biến thiên hàm số 63
5.1 Nội dung phương pháp: 63
5.2 Các bài toán minh họa: 63
Trang 45.3 Các bài tập tương tự 69
Chương 6: Phương pháp sử dụng hình học 70
6.1 Nội dung phương pháp 70
6.2 Các bài toán minh họa 70
6.3 Các bài tập tương tự 74
Kết luận 75
Tài liệu tham khảo 76
Trang 5Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt:
1 Trần Phương (2011), Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học,
NXB Tri Thức
2 Phạm Kim Hùng (2007), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức
3 Nguyễn Văn Mậu (2005), Bất đẳng thức và một số vấn đề liên quan-tài liệu bồi dưỡng giáo viên THPT chuyên
4 Võ Quốc Bá Cẩn, (2011), Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức, NXB
Đại học Sư Phạm
5 Phạm Văn Thuận, Lê Vĩ (2007), Bất đẳng thức-Suy luận và khám phá, NXB Đại
học Quốc gia Hà Nội
Tiếng Anh:
1 J Michael Steele (2004), The Cauchy-Schwarz master class, Cambridge
University Press
2 T Andreescu, V Cartoaje, G Dospinescu, M Lascu, Old and new inequalities,
3 D J H Garling, (2007) Inequalities - A Journey into Linear Analysis, Cambridge
University Press.