Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng

Một trong những vấn đề toán học hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẻ đẹp, tính độc đáo của phương pháp cũng như kĩ thuật giải, đó chính là bài toán về bất đẳng thức.. Để giải được các bài toán về bất

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong bài khóa luận này là hoàn toàn trung thực Đây là công trình nghiên cứu của chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của thầy giáo ThS Nguyễn Kế Tam

Chúng tôi chịu hoàn toàn trách nhiệm về nội dung khoa học của công trình này

Quảng Bình, tháng 5 năm 2018

Tác giả

Trần Thị Mỹ Hạnh

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian cố gắng và nỗ lực , em đã phần nào hoàn thành đề tài “ Một

số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng” Ngoài sự có cố gắng hết mình của bản thân, em đã nhận được rất nhiều sự khích lệ từ phía các thầy cô, nhà trường, gia đình và bạn bè

Với tình cảm chân thành của mình, em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, cán bộ, giảng viên Trường Đại học Quảng Bình, giảng viên khoa Khoa học – Tự nhiên đã tận tình truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm cho chúng em trong suốt quá trình học tập Đặc biệt, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Th.S Nguyễn Kế Tam, người đã tận tình giúp đỡ em về kiến thức cũng như phương pháp trong suốt quá trình thực hiện khóa luận

Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn lo lắng, động viên và ủng hộ em trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này

Cuối cùng em xin kính chúc các thầy, cô giáo nhiều sức khỏe và thành công trong sự nghiệp trồng người cao quý

Em xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

PHẦN I : MỞ ĐẦU 1

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 2

III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2

IV NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2

PHẦN II: NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 3

1.1 Định nghĩa 3

1.2 Các tính chất của bất đẳng thức 3

1.3 Một số bất đẳng thức cần nhớ 5

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 6

2.1 Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa 6

2.2 Phương pháp 2: Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức 8

2.3 Phương pháp 3: Sử dụng các bất đẳng thức cổ điển 11

2.3.1 Bất đẳng thức Cauchy 11

2.3.2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (BĐT Bunhiacopxki) 18

2.3.3 Bất đẳng thức Chebyshev 22

2.4 Phương pháp 4: Sử dụng phép biến đổi tương đương 27

2.5 Phương pháp 5: Sử dụng đạo hàm 30

2.6 Phương pháp 6: Sử dụng quy nạp 34

2.7 Phương pháp 7: Sử dụng tam thức bậc 2 37

2.8 Bài tập tương tự 40

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 44

3.1 Dùng bất đẳng thức để giải phương trình, hệ phương trình 44

3.2 Dùng bất đẳng thức đề tìm cực trị 47

3.4 Bài tập tương tự 49

PHẦN III KẾT LUẬN 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

LỜI NÓI ĐẦU

Toán học là một bộ môn khoa học cơ bản rất quan trọng trong đời sống và được ứng dụng rộng rãi Hoạt động giải bài tập toán học là một phương tiện có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức và phát triển tư duy Một trong những vấn đề toán học hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẻ đẹp, tính độc đáo của phương pháp cũng như kĩ thuật giải, đó chính là bài toán về bất đẳng thức

Để giải được các bài toán về bất đẳng thức đòi hỏi người học toán không những phải nắm vững những kiến thức cơ bản, mà còn biết áp dụng các phương pháp phù hợp với đặc thù của từng bài toán cụ thể Chính vì vậy, em đã chọn đề tài

“ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng” cho khóa luận của mình Với đề tài này, em mong rằng học sinh sẽ bớt lúng túng và e ngại khi gặp các bài toán về chứng minh bất đẳng thức, cũng như ứng dụng của nó Qua đó, các em

có thể định hướng tốt hơn về các giải, đánh giá các biểu thức, sử dụng các công thức bất đẳng thức quen thuộc, thay đổi hình thức giữa các bất đẳng thức,… để đi đến giải quyết bài toán một cách tốt nhất Mong rằng trong quá trình học tập, các

em học sinh thay vì ngại chạm trán với các bài bất đẳng thức thì sẽ yêu thích, hứng thú và say mê hơn khi học và giải các bài toán về bất đẳng thức

Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Kế Tam và các thầy cô trong khoa Khoa học – Tự nhiên đã tận tình hướng dẫn giúp em hoàn thành khóa luận này Mặc dù đã cố gắng trong quá trình thực hiện, song không thể tránh khỏi những thiếu sót Vậy em kính mong nhận được sự thông cảm và góp ý chân thành của các thầy cô về nội dung cũng như hình thức trình bày để khóa luận của em được hoàn thiện và có hiệu quả cao

Bất đẳng thức là một nội dung khó trong môn Toán ở trường phổ thông, tuy nhiên đây cũng là một lĩnh vực rất hay, đòi hỏi người học phải động não, tìm tòi, sáng tạo Từ một bất đẳng thức đơn giản có thể tạo ra những bài toán khó và do đó cũng có những cách giải hay, độc đáo và đơn giản cho một bài toán phức tạp Bất đẳng thức xuất hiện trong nhiều bộ phận khác của toán phổ thông như trong việc giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, tìm các giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các biểu thức, xuất hiện trong các bài toán hình học, lượng giác… Do đó bất đẳng thức sẽ là công cụ quan trọng và hiệu quả trong việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa

Là một sinh viên được đào tạo để trở thành một giáo viên giảng dạy môn Toán, em luôn tìm tòi những cách giải hay và mới ở những bài toán khó mà học sinh thường ngại mỗi khi làm Vấn đề đặt ra ở đây là điều gì ở các bài toán bất đẳng thức mà các em còn vướng mắc và làm thế nào để giúp các em có thể nắm vững và giải thành thạo các bài toán chứng minh bất đẳng thức?

Xuất phát từ những lý do trên em quyết định chọn đề tài: “ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng”

2

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Tìm hiểu sâu hơn vấn đề “bất đẳng thức” trong trường phổ thông Đưa ra một

số phương pháp chứng minh BĐT và ứng dụng của BĐT trong việc giải toán Từ

đó giúp học sinh hiểu và nắm được các phương pháp chứng minh BĐT thông thường cũng như nâng cao Bên cạnh đó rèn luyện cho các em kỹ năng tư duy tính toán trong các bài toán chứng minh

III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp nghiên cứu khái quát hóa

Phương pháp nghiên cứu phân tích, tổng hợp tài liệu

Nghiên cứu tài liệu: Sách giáo khoa, sách tham khảo về bất đẳng thức

Tham khảo từ Internet: dienantoanhoc.net, toanmath.com,…

Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

IV NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Trong đề tài “ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng”

em đã đưa ra một số định nghĩa, tính chất,… cũng như các bài tập vận dụng cho những phương pháp chứng minh BĐT bao gồm những chương sau:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết về bất đẳng thức: Đây là chương tóm tắt một số kiến thức lý thuyết cơ bản mà học sinh cần nắm để sử dụng trong quá trình chứng minh bất đẳng thức

Chương 2: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức: Tổng hợp một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức, với mỗi phương pháp có các lý thuyết cần nắm và các bài tập áp dụng để học sinh tự mình hình thành tư duy, cảm nhận về phương pháp đó

Chương 3: Ứng dụng của bất đẳng thức: Trình bày những ứng dụng phổ biến của chứng minh bất đẳng thức

3

PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

1.1 Định nghĩa

Định nghĩa : Cho hai số a và b là hai số thực Khi đó: a lớn hơn b (kí hiệu

a  ) nếu hiệu a b b  là một số dương; a nhỏ hơn b (kí hiệu a b  ) nếu hiệu a b

là một số âm Ngược lại, nếu hiệu a b 0 thì ta nói rằng a , nếu b a b 0 thì

Ngược lại, khi cần chứng minh A B 0 ta có thể đưa về BĐT A B để chứng minh

2

(bc)  với0 b,c Dấu “ = ” xảy ra   b c

2(ca)  với0 c a, Dấu “ = ” xảy ra  c a

Nên A 0 (a2 b2 c2) ( ab bc ca) với0 a b c, ,

Từ đó suy ra :

a   b c ab bc ca vớia b c, , Dấu “ = ” xảy ra   a b c(đpcm)

30

Nhận xét: Qua các ví dụ trên, ta thấy khi xét hiệu vế trái và vế phải của bất đẳng

thức thì thường xuất hiện các hằng đẳng thức Việc phát hiện ra những hằng đẳng thức để tách và ghép có nhiều ý nghĩa trong chứng minh bất đẳng thức Vậy để

chứng minh A B  ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích hiệu A B

thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm

2.2 Phương pháp 2: Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức

2.2.1 Lý thuyết

Vận dụng hợp lí các tính chất của bất đẳng thức để suy ra các bất đẳng thức cần chứng minh

2.2.2 Bài tập vận dụng

9

Bài 1: Cho a2,b CMR: 2

ab a b Giải:

2ab2a2b Chia hai vế cho 2, ta được:

ab a b Vậy ab a b với a2,b (đpcm) 2

3 3 2

1

b   c b c (2)

a3  c3 1 c a2 (3) Cộng từng vế các bất đẳng thức (1); (2) và (3), ta có:

2a 2b 2c  3 a b b c c a (đpcm)

Vậy a4 b4  c4 abc a(   với b c) a b c, , (đpcm)

Nhận xét: Các ví dụ trên sử dụng linh hoạt các tính chất của bất đẳng thức để suy

ra bất đẳng thức cần chứng minh Để chứng minh một bất đẳng thức không chỉ sử dụng một tính chất mà có thể sử dụng nhiều tính chất của bất đẳng thức để biến đổi

bất đẳng thức cần chứng minh về một điều hiển nhiên đúng

12

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau

Cho các số không âm a a a1, 2, , ,3 a Khi đó, ta có các BĐT sau: n

• Với n = 2:

1 22

a a

a a

Dấu “ = ” xảy ra   a1 a2

• Với n = 3:

1 2 33

a a a

Dấu “ = ” xảy ra  a1 a2  a3

i n

i i

a

a n

a  a

 với a a1, 2  0Suy ra:

1 22

a a

a a

Dấu “ = ” xảy ra   a1 a2

k

k k i

Theo quy nạp thì BĐT ( ) đúng với n2 (m mN)

- Mặt khác nếu BĐT ( ) đúng với nk k( 2,kN)thì nó cũng đúng với

1

n  k

Thật vậy, đặt

1 1 1

k k

i i

k k k k

i i

1

k k

Theo quy nạp BĐT ( ) đúng với n  k 1

Vậy theo nguyên lý quy nạp BĐT ( ) đúng với mọi n2,n

Dấu “ = ” xảy ra  a1 a2   a n

2.3.1.2 Bài tập vận dụng

14

Bài 1: Cho , ,a b c  CMR: 0

32

b cc a a b 

3.2

Cộng từng vế của BĐT trên ta được :

(1 )(3 1)4

1(3 3 )(3 1).12

1.3

Nhận xét: Qua các ví dụ trên, ta thấy sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi điều kiện

của bài toán cho các ẩn là các số dương Nhiều bất đẳng thức không sử dụng trực tiếp ngay bất đẳng thức Cauchy để chứng minh mà thường phải biến đổi bài toán

đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức Cauchy

2.3.2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (BĐT Bunhiacopxki)

19

2 1

25

x y x  y 

22

Nhận xét: Để chứng minh các bất đẳng thức có khi áp dụng ngay và cũng nhiều

khi phải biến đổi bài toán đưa về trường hợp thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacopxki là hai bất đẳng thức phổ biến nhất trong chứng minh bất đẳng thức

23

Suy ra:

(a k A b)( k B) 0Suy ra :

25

Bài 4: Cho a a1, , ,2 a là cạnh của n đa giác lồi có p là chu vi CMR: n

n i

i i n

26

Bài 3: Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a2    CMR: b2 c2 1

12

Nhận xét: Khi sử dụng bất đẳng thức Chebyshev phải để ý đến điều kiện của 2 dãy

số để áp dụng đúng công thức đối với 2 dãy cùng tăng (cùng giảm) hay 1 dãy tăng,

1 dãy giảm Qua các ví dụ trên, ta thấy đa số các bài toán không đề cập đến điều kiện của hai dãy số nên trước khi sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cần đặt điều kiện

 Chuyến vế các thừa số về dạng hằng đẳng thức để chứng minh

 Chia nhỏ từng vế để chứng minh sau đó cộng vế theo vế các bất đẳng thức con để được điều phải chứng minh

Nhận xét: Qua các ví dụ trên, ta thấy khi chứng minh bất đẳng thức bằng phương

pháp biến đổi tương đương ta kết hợp linh hoạt nhiều phương pháp khác nhau

c) Phương pháp 3: Tìm F x( ) sao cho AF a( ); BF b( )

• Nếu a b ta chứng minh F x '( ) 0 tăng F F a( )F b( ) A B

• Nếu a b ta chứng minh F x '( ) 0 giảm F F a( )F b( ) A B d) Phương pháp 4: Dùng định lý Lagrange

Nếu F liên tục trên  a b; và F khả vi trên  a b; thì  c  a b, thỏa

F x

0



1'( )

a b lna lnb

Nhận xét: Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp đạo hàm để xét sự biến

thiên hay tìm cực trị của hàm số từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh Khi chứng minh bất đẳng thức bẳng phương pháp sử dụng đạo hàm, cần chọn hàm số thích hợp để khảo sát sự biến thiên (đơn điệu) của hàm số phù hợp với bất đẳng thức cần chứng minh Ứng dụng của đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức rất

đa dạng nên thường xuất hiện trong các đề thi

34

2.6 Phương pháp 6: Sử dụng quy nạp

2.6.1 Lý thuyết

Nếu BĐT là 1 hàm mệnh đề phụ thuộc vào biến tự nhiên n Để chứng minh

BĐT đúng với n ta thực hiện các bước sau: n0

- Bước 1: Kiểm tra BĐT đúng với n n0

- Bước 2: Giả sử BĐT đúng với n  (thay n k k  vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp)

- Bước 3: Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n  ( thay k 1 n  vào k 1BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)

- Bước 4: Kết luận đúng BĐT đúng với mọi n n0

Giả sử BĐT đúng với nk k,  , tức là:

(1a)k  1 k a

Ta cần chứng minh BĐT đúng với n  , tức là: k 1

1(1 )k 1 ( 1)

Ta thấy: VT < VP Vậy BĐT đúng với n  2

Giả sử BĐT đúng với n ta cần chứng minh BĐT đúng với k n  k 1Thật vậy:

Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có ĐPCM

Bài 4: CMR: Mọi số tự nhiên n 1, ta có:

( 1)(2 1)

( 1)6

( 1)

6( 1)( 2)(2 3)

.6

Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có ĐPCM

Nhận xét: Qua các ví dụ trên ta thấy bài toán chứng minh đẳng thức bằng cách

dùng phương pháp qui nạp toán học chỉ khó khăn và phức tạp ở phần cuối bước 2 , tức là chứng minh đẳng thức đúng với n  Khi đó từ đẳng thức cần chứng k 1minh ứng với n  , ta biến đổi khéo léo (dùng kĩ thuật thêm bớt, hoặc tách số k 1

hạng…), để sử dụng được giả thiết đẳng thức đúng với n ,tiếp tục thực hiện tính k

toán một số bước nữa ta sẽ có đpcm Ngoài ra, ta có thể biến đổi trực tiếp từ giả

thiết đẳng thức đúng với n (giả thiết qui nạp của bài toán), để suy ra đẳng thức k

Nếu  0 thì f x( ) luôn cùng dấu với hệ số a , trừ khi

2

b x a



 Nếu  0 thì f x( ) cùng dấu với hệ số a khi x hoặc x1 x , trái dấu với hệ số x2

a khi x1  trong đó x x2 x , 1 x2 (x1 x2) là hai nghiệm của f x( )

A B m

2

40

Bài 4: Cho , , ,a b c d  và b  CMR: c d

2(a  b c d) 8(acbd)

a b b c c a  b)

Hướng dẫn: Sử dụng đạo hàm ( tính đơn điệu của hàm số)

Bài 8: Cho ,a b là số dương tùy ý: CMR:

Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp quy nạp

Bài 14: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai

Bài 16: Cho , , ,a b c d là số thực thỏa mãn b  CMR: c d

2(a  b c d) 8(acbd).

Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai

Bài 17: Cho , ,a b c là số thực thỏa mãn 1 a b c, ,  và 2 a   CMR: b c 0

ab b  bc c  ca a 

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bài 19: Cho , ,a b c là hai số thực dương tùy ý CMR:

Từ (1) và (2) suy ra: x  (thỏa mãn đk )là nghiệm của phương trình 4

Bài 2: Giải phương trình: 2 2 9

46

Bài 4: Giải hệ phương trình:

2 3

Phương pháp: Ta sử dụng các bất đẳng thức thông dụng nhất như: BĐT Côsi,

BĐT Bunhiacốpxki,… để đánh giá biểu thức P ( hoặc hàm số f x( )), từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất cần tìm

- Nếu P thì m f x( )có giá trị nhỏ nhất là m

- Nếu PM thì f x( )có giá trị lớn nhất là M

Kiểm tra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị