NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CỦA HÀM CĂN THỨC Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel Dạng 1: Rx, ax2 bxcdx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ.
Trang 1NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CỦA HÀM CĂN THỨC
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel
Dạng 1: Rx, ax2 bxcdx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ
1 4 0
a c bx ax
a
x ax bx cdx St t dt
R
b ax t
2
2 2
1 ,
Dạng 2:
1 4 0
a c bx ax a
x ax bx cdx St t dt
R
b ax t
2
2 2
1 ,
Dạng 3:
1 2
4 0
a c bx ax a
x ax bx cdx St t dt
R
b ax t
2
2 2
1 ,
u
t
sin
1
Dạng 4: (dạng đặc biệt) :
x
dt c
bx ax x
dx
Một số cách đặt thường gặp :
x a x dx
S
, đặt xa.cost 0t
x a x dx
S
2 2
tan
x
t
a
2 cos
x ax bx cdx
S
0
;
0
;
0
;
2
0 0 0
2 2
a t
x a c
bx ax
c bx ax x
x t c bx ax
c c xt c bx ax
m
d
cx
b
ax
x
d cx
b ax
Tính :
3 2
7
4x x
dx I
x x a dx
S
,
Trang 2Bài làm :
3 2 3
2
3 7
dt x
x
dx
Đặt : t 3tanu dt 3tan2u1du
u u
udu u
du u I
tan 3 tan
3
3 2
2
cos 3
1 1 tan 3 3
1 tan 3
C x
x
x C
t
t C
7 4
2 3
1 1
3
1 sin
3
1
2 2
Tính : a)
1
2
x x
xdx
1 2
2
x x x
dx I
Bài làm :
3 1
2 2
1
1 3 2
1
4
3 2
1
t
dt t
t
x
xdx x
x
xdx
C x
x x
x
x
C t
t t
dt t
t I
x
t
1 2
1 ln 2
1 1
1 ln
2
1 1 2
3 1
1 3
2
1
2 2
2 2
3
1
t
dt dx t
t t
dt x
x
x
dx
I
t x
1 arcsin 1
2 1
2
C
x C
2
1 arcsin 2
1 1
arcsin
Tìm các nguyên hàm sau
3 1
dx
1
x
dx
Bài làm :
a)Đặt : t6 x t6 x t5dtdx
6 1
1
2 3 5
1 1 6
6 1
dt t x
x dx I
Trang 3C x
x x
x
C t
t t t
1 1 ln 6 1 6 1
3 1
2
1 ln 6 6 3 2
6 6
3
2 3
x
x dx
x dx
x
x x x
x
dx
2
1 1
2
1 2
1 1
1 1
2 1
1 1
2
1 2
1
dx x
x x
x
x
dt t
t dx
t
x x
x
2 2
1
2 1
1 1
Vậy :
dt t dx
x
x
x
x t
1
2 2
1 2
1
Tìm các nguyên hàm sau :
a)I x2 x2 9dx b)I 16x2 x24dx
Bài làm :
t
t dx t
t x t
x
2 2
2
2
9 2
9
Vậy :
x x
x x x
x
C t
t
t dt
t t t
dt t
t dt
t
t t
t t
t I
4 2 2
4 2
4 4
5 3
5
2 4
2
2 2 2
2 2 1
9 4
6561 9
ln 162 4
9 16
1
4
6561 ln
162 4 16
1 6561
162 16
1
81 16
1 4
9 2
9
2 9
t
t dx t
t x t
x
2 2
2
2
4 2
4
x x
x x x
x
C t
t
t dt t t
t
dt t
t dt
t
t t
t t
t
I
4 2 2
4 2
4 4
5 3
5
2 4
2
2 2 2
2 2
4
64 4
ln 36 4
4
64 ln 36 4
256 36
16 4
4 2
4
2
4 16
Trang 4Tính các tích phân sau :
a) 1
2
1
2
8
3
2
1 x dx x
dx
Bài làm :
1
2 1
2 1
2
1
2
2
1
dx x
dx x
x
I
2
1 sin
1
Đổi cận :
2 1
0 2
1
t x
t x
0 2
0 2
0
2
2
1 1 8
1 2
cos 1 8
1 cos
4
1
I
b) Đặt : t 1x 2tdt dx
Đổi cận :
3 8
2 3
t x
t x
3
2 2 3
2 2 8
3
2
1
2 1
2
dt t
t
tdt dx
x x
dx I
Bạn đọc tự làm :
1
2
1
x
x
dx
I b)I xx2dx
2 4 c)
3 2 3
4
x
dx I
d)I4 1x2dx e)
dx x
x I
1 1
1 1
2
2
x
I
1 1
1
2 6
h) I7 = 𝑥𝑑𝑥
2𝑥+2
3
3
−1/2 i) I7 = 𝑥𝑑𝑥
1+ 𝑥−1
2
1 k) I8 = 32 2 1+𝑥𝑥 2𝑑𝑥
16 0 0 0
2
8
2 ln 1 ln 2
1 ln 1
1 ln
3
2
t t
Trang 5l) I9 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥
𝑒𝑥−1
𝑙𝑛 5
𝑙𝑛 2 m) I10 = 12𝑥 𝑥−1𝑑𝑥𝑥−5 n) 2
1
0 1 2
1
x (x = cost)
t) 1
0
2
1
0
; cos sin 4 1
dx x
4
1
4 5
2
dx x
A
B =
2x
ln8
e dx
e 1
7 0
dx
x 2 1
0 x x 1 dx
E=
3 7
x dx
1 x
0 3