nguyên hàm từng phần

NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN... Công thức của từng phần : udvuvvdu Chú ý: dv = v’x.dx; du = u’x.dx Cần phải lựa chọn u và dv hợp lý sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân ??? dễ tính hơn

I LÝ THUYẾT

ĐỊNH LÍ 2: Cho các hàm số uu x v , v x  xác định trên K Khi đó ta có:

1  uv dx udxvdx

2 kvdxk vdx , với k là hằng số

Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp



    axb  1  1

1

a







 1

axb

1

ln ax b c

1

2 axb

1

ax b c

sin x cos x c sin ax b 1c s ao  

sin ax b c

2

1

sin

1

ax b 1tana 

2

1

cos

1

axb 1c t ao  

x

a

x

ln

x

ln

x

a

 

Trong đó: c là hằng số

NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Công thức của từng phần : udvuvvdu

Chú ý: dv = v’(x).dx; du = u’(x).dx

Cần phải lựa chọn u và dv hợp lý sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân 𝑣𝑑𝑢 dễ tính hơn 𝑢𝑑𝑣 Một số dấu hiệu cơ bản khi dùng phương pháp từng phần

1  f x sinxd x, đặt  

sin x

dx

 







 2  f x cosxd x, đặt  

cos x

dx

 







3 f x e  x dx

x

dv e d x

 







 4 sin

e x x

sin

x

xdx

dv





 









5 excosx x d , đặt

cos

x

xdx

dv





 







x

dx

e  x

x





 









7  f x ln xd x, đặt

 

ln

dv f x dx



 







TÍCH PHÂN

Công thức Newton – leibnizt: b    b    

a a

f x dxF x F b F a

Tích phân từng phần: b  b b

a

udv uv  vdu

Định lí quan trọng: b   c   b  

f x dx f x dx f x dx

b   a  

f x dx  f x dx

II BÀI TẬP

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1 I1 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 ln 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

2 I2 = 𝑥 𝑙𝑛𝑥−1𝑥+1𝑑𝑥

3 I3 = 𝑥

4 𝑑𝑥 (𝑥 2 −1) 2

Giải

Đặt 𝑢 = ln⁡(𝑐𝑜𝑠𝑥)

𝑑𝑣 = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥  𝑑𝑢 = − sin 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

𝑣 = −𝑐𝑜𝑠𝑥

 I1 = -cosx ln(cosx) + 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = - cos x ln(cosx) – cos x + C

2 Đặt 𝑢 = 𝑙𝑛

𝑥−1 𝑥+1

𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥  𝑑𝑢 =

2 (𝑥+1) 2𝑑𝑥

𝑣 = 1

2𝑥2

 I2 = 1

2 𝑥2 𝑙𝑛𝑥−1

𝑥+1 + (𝑥+1)𝑥2 2𝑑𝑥

= 1

2 𝑥2 𝑙𝑛𝑥−1

𝑥+1 + [1 −𝑥+12 + 1

𝑥+1 2]𝑑𝑥

= 1

2 𝑥2 𝑙𝑛𝑥−1

𝑥+1 + x – 2 ln|x+1| - 1

𝑥+1 + C

3 Đặt 𝑢 = 𝑥

3

𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥

(𝑥 2 −1) 2

 𝑑𝑢 = 3𝑥𝑣 = −12𝑑𝑥

2(𝑥 2 −1)

I3 = −𝑥

3

2(𝑥 2 −1)+3

2 1 +𝑥21−1 𝑑𝑥

= −𝑥

3

2(𝑥 2 −1) + 3

2( 𝑥 +1

2𝑙𝑛 𝑥−1

𝑥+1 ) + C

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ( tự luyện)

1 x sin xdx

2 x cos xdx

3 (x2 5)sinxdx

4.(x2 2x3)cosxdx

5 xsin2xdx

6 xcos2xdx

7 x.e x dx

8 lnxdx

9 x ln xdx

10  2 x dx

ln

lnxdx

12 e x dx

x

x

2

cos

14 xtg2xdx

15 sin x dx

16 ln(x2 1)dx

17 e x.cosxdx

18 x3e x2dx

19 xln(1x2)dx

20 2x xdx

21 x lg xdx

22 2xln(1x)dx

23   dx

x

x

2

) 1 ln(

24 x2cos2xdx

25 𝑥

1−cos 2𝑥𝑑𝑥

26 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑒3𝑥𝑑𝑥

27 2𝑥 + 1 𝑙𝑛2𝑥𝑑𝑥

28 2𝑥 − 1 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥

29 𝑥 + 1 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥

30 (𝑥4𝑥−1)4 3𝑑𝑥

31 𝑒𝑥ln 𝑒𝑥+ 1 𝑑𝑥

32 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥

33 𝑥2+ 𝑥 + 1 𝑒𝑥𝑑𝑥

34 ln 𝑥 + 𝑥2+ 1 𝑑𝑥

35 2𝑥 + 1 𝑒−𝑥𝑑𝑥

37 𝑥2+ 5 sin 𝑥 𝑑𝑥

38 3𝑥 − 1 𝑒𝑥𝑑𝑥

39 𝑥2+ 2𝑥 + 3 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥

40 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥

𝑥

41 cos 𝑥+1

3

𝑑𝑥 𝑥+1

3

42 𝑥.ln (𝑥+ 𝑥 𝑥2 2+1)