ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG TÔPÔ ĐẠI CƯƠNG

CHƯƠNG I: Không gian Mêtric * Mục tiêu: - Sinh viên hiểu khái niệm không gian metric, không gian metric đủ, bổ sung đủ một không gian metric, khái niệm tập hợp đóng, tập hợp mở, tập hợ

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG TÔPÔ ĐẠI CƯƠNG

CHƯƠNG I:

Không gian Mêtric

*) Mục tiêu:

- Sinh viên hiểu khái niệm không gian metric, không gian metric đủ, bổ sung

đủ một không gian metric, khái niệm tập hợp đóng, tập hợp mở, tập hợp compact; Sinh viên hiểu khái niệm ánh xạ liên tục, liên tục đều

- Sinh viên vận dụng khái niệm có thể chứng minh được một số không gian là metric, metric đủ

- Sinh viên có kỹ năng cơ bản trong việc xét tính liên tục, liên tục đều của một

số ánh xạ giữa các không gain metric

- Sinh viên có thể giải được một số bài tập cơ bản về các khái niệm trong chương

I.1 KHÔNG GIAN METRIC SỰ HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN METRIC

1 Đại cương về không gian metric

Không gian metric là một cặp (X, ρ), trong đó X là một tập hợp khác rỗng và

ρ là một hàm thực ρ: X×X → R thỏa mãn:

M1) ρ(x, y) ≥ 0, với mọi x, y ∈X, ρ(x, y) = 0⇔x = y

M2) ρ(x, y) = ρ(y, x), với mọi x, y ∈X

M3) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z), với mọi x, y, z ∈X

Tiên đề M1) gọi là tiên đề thống nhất, tiên đề M2) gọi là tiên đề đối xứng, tiên

đề M3) gọi là tiên đề tam giác Tập hợp X gọi là không gian, mỗi phần tử của X gọi

là một điểm của X Hàm số ρ gọi là một metric (hay khoảng cách) trên X, ρ(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai điểm x, y

Ví dụ 1 R là một không gian metric với metric ρ(x, y) = |x - y|, với mọi x,y∈R

Ví dụ 2 C là một không gian metric với metric ρ(x, y) = |x - y|, với mọi x,y∈C

Ví dụ 3 Không gian R n là một không gian metric với các metric được xác định:

với mọi ( , , ),1 ( , ,1 ) Rn

Ví dụ 4 Không gian C[a, b]các hàm số liên tục trên khoảng đóng hữu hạn [a,

b] là một không gian metric, với các metric được xác định:

Ví dụ 5 Cho tập X = N* = {1, 2, …, n, …}, khi đó X là một không gian

metric, với metric:

Ta thường gọi (X, ρ) là không gian metric rời rạc

Không gian metric rời rạc cũng là một không gian siêu metric

Không gian con Cho A là một tập con của không gian metric (X, ρ) Với mỗi

x, y ∈A

ρA(x, y) = ρ(x, y)

hiển nhiên cũng là một metric trên A ρA được gọi là metric cảm sinh bởi metric ρ

trên A và A cùng metric cảm sinh được gọi là không gian metric con (không gian con) của không gian metric (X, ρ)

2 Sự hội tụ trong không gian metric

Giả sử {x n} là dãy những phần tử của một không gian metric X

Ta nói dãy hội tụ đến phần tử x 0 của X nếu :

n

→∞ = , hoặc x n → x 0 , x 0 được gọi là giới hạn của dãy {x n}

Mệnh đề 1.1 Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất

Mệnh đề 1.2 Trong một không gian metric (X, τ ) cho các dãy {x n } và {y n} hội tụ đến a và b tương ứng Khi đó ρ(x n , y n) → ρ(a, b)

Ví dụ 1 Sự hội tụ trong R, C là sự hội tụ thông thường

Ví dụ 2 Trong không gian Rk với các metric đã được xác định ở trên, giả sử

2 k

Vì vậy, người ta nói sự hội tụ trong Rk với các metric trên là sự hội tụ theo toạ độ

Ví dụ 3 Trong không gian C[a, b], với metric

a t b

( , ) Sup | ( )x y x t y t( ) |, ρ

≤ ≤

= − ) là hội tụ đều

Ví dụ 4 Trong không gian metric rời rạc, mọi dãy hội tụ đều là dãy dừng

được gọi là hình cầu đóng tâm a, bán kính ε

Giả sử A là một tập hợp con của một không gian metric (X, ρ) Điểm x∈X

được gọi là điểm trong của tập hợp A nếu tồn tại một hình cầu S(x, ε) chứa trong A

Rõ ràng, nếu x là điểm trong của tập hợp A thì x∈A

Tập hợp con A của X được gọi là tập hợp mở (hay nói gọn là tập mở) nếu mọi

điểm của A đều là điểm trong của A

Hiển nhiên, X và ∅ là những tập hợp mở của X Hình cầu mở là tập mở

ĐỊNH LÍ 2.1 Trong họ các tập hợp con của không gian metric (X, ρ) ta có: a) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là tập mở;

b) Giao của họ hữu hạn các tập mở là tập mở

Giả sử x là một điểm bất kỳ của không gian metric (X, ρ) Một tập hợp mở G

chứa x được gọi là một lân cận của điểm x

Hiển nhiên, một tập U trong không gian metric (X, ρ) là tập hợp mở khi và chỉ

khi U là một lân cận của mọi x ∈U

Phần trong của một tập hợp Giả sử A là một tập hợp con của một không gian

metric (X, ρ) Hợp tất cả các tập hợp mở chứa trong A được gọi là phần trong của tập

hợp A, kí hiệu là IntA hoặc A0

Phần trong của một tập hợp là tồn tại vì luôn có ∅ là tập mở chứa trong A

Vì X và ∅ là những tập hợp mở của X nên ∅ và X cũng là những tập hợp đóng của X Hình cầu đóng là tập đóng

ĐỊNH LÍ 2.2 Trong một không gian metric (X, ρ) ta có:

1) Giao của một họ tùy ý những tập hợp đóng là tập hợp đóng

2) Hợp của một họ hữu hạn những tập hợp đóng là tập hợp đóng

ĐỊNH LÍ 2.3 Tập hợp con F của không gian metric (X, ρ) là đóng khi và chỉ

khi với một dãy bất kỳ {x n } những phần tử của F, nếu x n hội tụ về x thì x∈F

Bao đóng của một tập hợp Giả sử A là một tập hợp con của một không gian

metric (X,ρ) Giao của họ tất cả các tập hợp đóng chứa A được gọi là bao đóng của

tập hợp A, kí hiệu A Vì X luôn là tập hợp đóng chứa A nên A luôn tồn tại

Hiển nhiên ta có:

1) A là tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa A

2) Tập hợp A là tập đóng khi và chỉ khi A = A

3) Nếu A ⊂ B thì A ⊂ B

ĐỊNH LÍ 2.4 Giả sử A là một tập hợp con của không gian metric (X,ρ) và

x∈X Khi đó x ∈ A khi và chỉ khi mỗi lân cận của x đều có điểm chung với A

ĐỊNH LÍ 2.5 Giả sử A là một tập hợp con của không gian metric (X, ρ) và x

∈X Khi đó x ∈ A khi và chỉ khi tồn tại một dãy những phần tử của A hội tụ về x

Tập hợp trù mật Tập hợp con A của một không gian metric (X, ρ) được gọi

là trù mật trong X nếu A = X

Tập không đâu trù mật Tập hợp con A của một không gian metric (X, ρ)

được gọi là không đâu trù mật nếu IntA = ∅

Không gian khả li Không gian metric (X, ρ) được gọi là khả li nếu tồn tại

một tập hợp con đếm được trù mật trong X

Từ định lí 2.5, ta có tập hợp A là trù mật trong X khi và chỉ khi với mỗi điểm x

∈X tồn tại một dãy {x n } những phần tử của A hội tụ về x

Ví dụ Vì Q là tập hợp đếm được trù mật trong R nên R là không gian khả ly

I.3 ÁNH XẠ LIÊN TỤC

1 Ánh xạ liên tục

Giả sử (X, ρX) và (Y, ρY) là hai không gian metric, ánh xạ f: X →Y được gọi

là liên tục tại x 0 ∈X nếu với mỗi ε > 0 đều tồn tại δ > 0 sao cho với mỗi x∈X, nếu

ρX(x, x 0) < δ thì ρY(f(x), f( x 0)) < ε

Ánh xạ f được gọi là liên tục trên tập con A của X nếu nó liên tục tại mọi điểm

x∈A Ánh xạ f được gọi là liên tục (liên tục trên X) nếu nó liên tục tại mọi điểm x

∈X

Ta có:

1) Ánh xạ f liên tục tại x 0 ∈X khi và chỉ khi với mọi dãy {x n} những phần tử

của X, nếu x n hội tụ về x 0 thì dãy {f(x n )} hội tụ về f(x 0 ) trong không gian Y

2) Ánh xạ f liên tục tại x 0 ∈X khi và chỉ khi mỗi số dương ε đều tồn tại số dương δ sao cho 1

( ( ( ), )) ( , )

f− S f x ε ⊃S x δ

3) Nếu X, Y, Z là các không gian metric f: X →Y và g: Y → Z là những ánh

xạ liên tục thì gof : X → Z là ánh xạ liên tục

ĐỊNH LÍ 3.1 Cho ánh xạ f: X →Y từ không gian metric (X, ρX) vào không gian metric (Y, ρY) Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

i) f liên tục trên X

ii) 1

f− (G) là tập hợp mở trong X với mỗi tập hợp mở G trong Y

iii) f -1(F) là tập hợp đóng trong X với mỗi tập hợp đóng F trong Y

2 Ánh xạ liên tục đều

Ánh xạ f: X →Y từ không gian metric (X, ρX) vào không gian metric (Y,ρY)

được gọi là liên tục đều trên tập hợp con A của X nếu với mọi ε > 0, ∃δ > 0 sao cho

với mọi x, x’ ∈ X, nếu

ρX(x, x’) < δ thì ρY(f(x), f(x’)) < ε Một ánh xạ liên tục đều thì liên tục Điều ngược lại nhìn chung là không đúng

3 Phép đồng phôi

Song ánh f: X →Y từ không gian metric (X, ρX) lên không gian metric (Y,

ρY) được gọi là một phép đồng phôi nếu f và f -1: Y →X đều là những ánh xạ liên tục Khi đó hai không gian metric X và Y được gọi là đồng phôi với nhau

4 Phép đẳng cự

Song ánh f: X →Y từ không gian metric (X, ρX) lên không gian metric (Y,

ρY) được gọi là một phép đẳng cự nếu với mọi x, x’ ∈X, ta đều có:

ρY(f(x), f(x’)) = ρX(x, x’)

Khi đó, hai không gian metric X và Y được gọi là đẳng cự với nhau

Hiển nhiên, phép đẳng cự là một ánh xạ liên tục đều và hai không gian đẳng cự

thì đồng phôi với nhau

I.4 KHÔNG GIAN METRIC ĐẦY ĐỦ

1 Đại cương về không gian metric đầy đủ

Cho không gian metric (X, ρ), dãy {x n } những phần tử của X được gọi là dãy cauchy (hoặc dãy cơ bản) nếu lim ( ,n m) 0

n m

x x

ρ

→∞

→∞

= , tức là với mọi số dương ε bất kỳ, tồn

tại một số tự nhiên n 0 sao cho:

( ,x x n m)

ρ < ε với mọi n, m ≥n 0

Mỗi dãy hội tụ trong không gian metric đều là dãy cauchy

Ví dụ 1 R và C là các không gian metric đầy đủ

Ví dụ 2 Không gian metric rời rạc là không gian metric đầy đủ

Ví dụ 3 Không gian N* = {1, 2, …, n,…} là không gian metric đầy đủ với

≤ ≤

= − với mọi x t( ), ( )y t ∈C[a, b]

Nhưng không là không gian metric đầy đủ với metric:

ĐỊNH LÍ 4.1 a) Nếu X là một không gian metric đầy đủ và M là một không

gian con đóng của X thì M là không gian đầy đủ

b) Nếu M là không gian con đầy đủ của không gian metric X thì M là không

gian con đóng của X

2 Bổ đề Cantor và định lí Baire

Mở rộng bổ đề về dãy các đoạn thắt trong giải tích cổ điển, ta có:

Bổ đề 4.2 (Cantor) Giả sử {S[a n , r n ]}, n ≥1 là một dãy các hình cầu đóng bao nhau trong một không gian metric đầy đủ X, tức là:

S[a 1 , r 1] ⊃ S[a 2 , r 2] ⊃ S[a n , r n] ⊃…

có bán kính r n →0 Khi đó, các hình cầu đó có điểm chung duy nhất

Tập hợp con A của không gian metric (X, ρ) được gọi là tập hợp thuộc phạm trù thứ nhất nếu nó là hợp của một họ đếm được những tập không đâu trù mật Một tập hợp không thuộc phạm trù thứ nhất thì được gọi là thuộc phạm trù thứ hai

ĐỊNH LÍ 4.3.(Baire) Không gian metric đầy đủ là một tập thuộc phạm trù thứ

∞

=

∪ , trong đó A n là những tập không đâu trù mật Gọi S là một

hình cầu đóng bất kỳ Vì A 1 là một tập thưa nên tồn tại một hình cầu đóng S1 bán

kính r < 1 chứa trong S và S1 ∩ A 1 = ∅ Vì A 2 là một tập thưa nên tồn tại một hình cầu đóng S2 bán kính nhỏ hơn 0,5 và chứa trong S1 và S2 ∩A 2 = ∅ Bằng quy nạp, ta được một dãy các hình cầu đóng thắt dần {Sn} có bán kính dần tới 0 và Sn ∩ A n = ∅

với mọi n Theo bổ đề Cantor, tồn tại một điểm chung a của mọi hình cầu và vì Sn ∩

A n = ∅ với mọi n nên a ∉X =

1

n n A

Giả sử f : X →Y là một ánh xạ liên tục từ không gian metric X vào không gian

metric Y và M là một không gian con của X, khi đó ánh xạ g = f|M : M →Y cũng là một ánh xạ liên tục

Đảo lại, giả sử M là một không gian con của không gian metric (X, ρ) và g: M

→Y là một ánh xạ liên tục từ M vào Y, nếu tồn tại một ánh xạ f : X →Y liên tục sao

cho: f|M = g, thì f được gọi là một thác triển liên tục của g từ M lên X

ĐỊNH LÍ 4.4 (Nguyên lí thác triển liên tục) Giả sử M là một không gian con

trù mật của một không gian metric X và g : M →Y là một ánh xạ liên tục đều từ M

vào không gian metric đầy đủ Y Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ f : X →Y liên

tục đều sao cho: f|M = g

Chứng minh Với mỗi x∈X và x∈X \ M, vì M trù mật trong X nên tồn tại một

dãy {x n } những phần tử của M hội tụ đến x Hiển nhiên {x n} cũng là dãy cauchy trong

M Vì g liên tục đều trên M nên {g(x n )} cũng là dãy cauchy trong Y Do Y là không gian metric đầy đủ nên g(x n ) hội tụ đến một phần tử của Y, và ta đặt là f(x) Dễ dàng chứng tỏ được f(x) chỉ phụ thuộc và x không phụ thuộc vào dãy {x n}

Nếu x∈M, thì chọn dãy {x n }, với x n = x với mọi n Khi đó ( ) lim n ( )

Giả sử x’, x’’∈X và ρ( x’, x’’) < δ Gọi { x’ n } và { x’’ n} là hai dãy những

phần tử của M lần lượt hội tụ đến x’, x’’ Vì lim ( ' , '' )n n ( ', '')

ρ ≤ ε Vậy f liên tục đều

Bây giờ ta sẽ chứng minh tính duy nhất của f Thật vậy, giả sử h : X →Y cũng

là một thác triển liên tục đều của g Với mọi x ∈X Vì M trù mật trong X nên tồn tại

một dãy {x n } những phần tử của M hội tụ đến x Vì h liên tục nên

( ) lim ( )n lim ( )n lim ( )n ( ).

4 Bổ sung đủ một không gian metric

ĐỊNH LÍ 4.5 Giả sử (X, ρ) là một không gian metric không đủ Khi đó tồn tại duy nhất một không gian metric đầy đủ ( , )X ρ sao cho:

1) X đẳng cự với một không gian con X1 của X

2) X1 trù mật trong X

Không gian ( , )X ρ được xác định duy nhất nếu coi các không gian metric đẳng

cự là đồng nhất

Không gian ( , )X ρ được gọi là bổ sung đủ của không gian metric (X, ρ)

Chứng minh Gọi Z là tập tất cả các dãy cauchy những phần tử của X Trong Z xét quan hệ tương đương: Nếu {x n } và {y n } là hai phần tử của Z thì {x n} ∼ {y n} khi

Định nghĩa Cho không gian metric (X, ρ), ánh xạ f : X →X được gọi là ánh

xạ co nếu tồn tại một hằng số 0 ≤ c < 1 sao cho:

ρ(f(x), f(y)) ≤ c.ρ(x, y) ∀x, y ∈X

Điểm x được gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu f(x) = x

ĐỊNH LÍ 4.6 (Banach - Nguyên lí ánh xạ co) Mọi ánh xạ co từ không gian

metric đầy đủ vào chính nó đều có điểm bất động duy nhất

I.5 TẬP HỢP COMPACT

1 Tập hợp compact

Trong giải tích cổ điển, chúng ta biết khoảng đóng hữu hạn [a, b] trong R có

nhiều tính chất đặc sắc Chẳng hạn, một hàm số liên tục trên [a, b] thì đạt giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất và liên tục đều trên đó Những tính chất này được suy ra từ một

trong những tính chất đặc trưng của [a, b]: Mọi dãy những phần tử thuộc [a, b] đều chứa dãy con hội tụ đến một phần tử thuộc [a, b] Khái quát tính chất này vào không gian metric tổng quát ta có khái niệm tập hợp compact

Tập hợp con A của một không gian metric (X,ρ) được gọi là một tập hợp compact (hoặc tập compact) nếu mọi dãy bất kỳ những phần tử của A đều chứa một

dãy con hội tụ đến một phần tử của A

Tập hợp con của một tập hợp compact được gọi là tập compact tương đối

Tập compact là conpact tương đối nhưng điều ngược lại là không đúng

Từ định nghĩa ta có:

1) Tập compact là tập hợp đóng

2) Tập con đóng của một tập compact là tập compact

3) Tập hợp con A của một không gian metric (X, ρ) là compact tương đối khi

và chỉ khi A là compact

4) Tập hợp con A của một không gian metric (X, ρ) là compact tương đối khi

và chỉ khi với mỗi dãy những phần tử của A đều chứa một dãy con hội tụ đến một phần tử của X

Ví dụ 1 Đoạn [a, b] ⊂R là compact

Ví dụ 2 Tập hợp con A của không gian metric rời rạc là compact khi và chỉ khi

gọi là đường kính của tập hợp A

Hiển nhiên, A là một tập hợp bị chặn khi và chỉ khi d(A) là một số hữu hạn Tập hợp con A của một không gian metric (X, ρ) được gọi là hoàn toàn bị chặn (hay hoàn toàn giới nội) nếu với mọi ε >0, có thể phủ A bởi một số hữu hạn

hình cầu bán kính ε , tức là tồn tại x x1, , ,2 x n sao cho

1

( , )

n i i

Ví dụ Giả sử X là một tập có vô hạn phần tử được trang bị metric rời rạc và A

là một tập hợp con vô hạn phần tử Với mỗi điểm a của A, với mỗi số dương r > 1, ta

luôn có S a r[ , ]= X ⊃ A nên A là tập bị chặn Mặt khác, với mỗi số dương r < 1, ta

luôn có S a r[ , ]={ }a nên không thể phủ A bởi một số hữu hạn hình cầu bán kính r Vậy

A là một tập bị chặn nhưng không là tập hoàn toàn bị chặn

Ta có:

1) Tập hợp con của một tập hoàn toàn bị chặn là tập hoàn toàn bị chặn

2) Bao đóng của một tập hoàn toàn bị chặn là tập hoàn toàn bị chặn

ĐỊNH LÍ 5.1.(Hausdorff)

1) Trong không gian metric một tập compact là đóng và hoàn toàn bị chặn 2) Trong không gian metric đầy đủ một tập đóng và hoàn toàn bị chặn là compact

Mối quan hệ giữa tính compact tương đối, hoàn toàn bị chặn và bị chặn

1) Trong không gian metric bất kỳ:

Compact tương đối ⇒Hoàn toàn bị chặn ⇒Bị chặn

2) Trong không gian metric đầy đủ:

Compact tương đối ⇔ Hoàn toàn bị chặn ⇔Bị chặn

3) Trong không gian Euclide Rk:

Compact tương đối ⇔ Hoàn toàn bị chặn ⇔Bị chặn

Trước hết ta nhắc lại một tính chất quen thuộc trong hàm phức

Bổ đề (Heine – Borel) Nếu A là tập con đóng, bị chặn của không gian các số

phức ℂ và { }U t t T

∈ là một phủ mở của A thì tồn tại một phủ con hữu hạn

Suy rộng tính chất này cho tập compact, ta có:

ĐỊNH LÍ 5.2.(Heine – Borel) Một tập con A của không gian metric (X, ρ) là compact khi và chỉ khi mọi họ các tập mở { }U t t T

Heine – Borel cả họ {G k } cũng không thể phủ được A Vậy phải có một điểm x

∉G k = X \ Ak , suy ra x ∈ Ak với mọi k ≥ 1 Từ đây ta có một dãy con {x n k} hội tụ Vậy A là compact

Đảo lại, giả sử A là một tập compact nhưng có một phủ mở { }U t t T

∈ của A mà không có một phủ con hữu hạn nào Ta chọn một dãy bất kỳ số dương r n →0 Vì A là compact suy ra A là hoàn toàn bị chặn, nên có thể phủ A bởi một số hữu hạn hình cầu bán kính r 1 Trong số các hình cầu đó tồn tại một hình cầu, kí hiệu là S1, sao cho

A =A∩S không thể phủ được bằng một số hữu hạn tập U t Tập A1 là một tập con

đóng của một tập compact nên A 1 cũng là compact, do đó A 1 là hoàn toàn bị chặn, nên

có thể phủ được A 1 bởi một số hữu hạn hình cầu bán kính r 2 , trong số đó lại tồn tại

một hình cầu, kí hiệu là S 2, sao cho A2= A∩S2không thể phủ được bằng một số hữu

hạn tập U t Bằng quy nạp, ta được một dãy các hình cầu S n và tập A n =A∩S n Trong

mỗi tập A n lấy một điểm x n Hiển nhiên A n ⊂ A n- 1 ⊂ A n-2 ⊂…⊂A nên x n ∈A với mọi

n Vì A là compact nên tồn tại một dãy con {x n k} hội tụ đến điểm a ∈A Ta có a ∈U t0

nào đó, và do U t0 là tập mở nên có một hình cầu S tâm a chứa trong U t0 Gọi r là bán kính của hình cầu đó Ta hãy chọn k đủ lớn để ( , )

3 Không gian compact

Không gian metric X được gọi là compact nếu nó là một tập compact

ĐỊNH LÍ 5.3 Không gian metric compact là đầy đủ và khả ly

Chứng minh Giả sử X là một không gian metric compact và {x n} là một dãy

cauchy những phần tử của X Khi đó tồn tại một dãy con {x n k} hội tụ đến a ∈X

Hiển nhiên khi đó lim

n→∞x = a Vậy X là không gian đầy đủ

X là khả ly Thật vậy, vì X là hoàn toàn bị chặn nên với mỗi số tự nhiên n, có

thể phủ X bởi một số hữu hạn hình cầu bán kính1

∞

=

∪ trù mật trong X Thật vậy, giả sử x là

một phần tử bất kỳ của X và ε là một số dương tùy ý Khi đó với n 0 đủ lớn thì

4 Hàm số liên tục trên tập compact

ĐỊNH LÍ 5.4 Hàm số f liên tục trên tập compact K thì liên tục đều và bị chặn

trên K

Chứng minh

- Giả sử hàm số f liên tục trên tập compact K nhưng không liên tục đều trên K Khi đó dẫn tới một mâu thuẫn Vậy f liên tục đều trên K

- Giả sử f không bị chặn trên K Khi đó với mọi số tự nhiên n tồn tại một phần

tử x n của K sao cho | f(x n ) | > n Ta được một dãy {x n} những phần tử của K Vì K là

compact nên có một dãy con {x n k } hội tụ, x n k → a ∈K Vì f liên tục, do đó | f | cũng

liên tục, nên lim

k→∞| f(x n k ) | = | f(a) | Điều này là không thể vì | f(x n ) | > n Vậy f bị chặn

□

ĐỊNH LÍ 5.5 Cho ánh xạ f : X →Y liên tục từ không gian metric X vào không

gian metric Y và K là tập compact trong X Khi đó f(K) là compact trong Y

Hệ quả Cho ánh xạ f : X →R liên tục từ không gian metric X vào R và K là tập compact trong X Khi đó tồn tại a, b ∈ K sao cho f a( ) ≤ f x( ) ≤ f b( ), ∀ ∈x K

*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận

Câu hỏi:

1 Khái niệm không gian metric, metric đủ ? cách chứng minh một không gian là

metric, metric đủ ?

2 Khái niệm không gian compact, compact tương đối và các điều kiện tương đương ?

Cách chứng minh một không gian là compct, compact tương đối ?

3 Khái niệm tập hợp compact, compact tương đối, bị chặn, hoàn toàn bị chặn và các

điều kiện tương đương ? Cách chứng minh một tập hợp là compct, compact tương

đối, bị chặn, hoàn toàn bị chặn ?

4 Sự liên hệ giữa tính compact, compact tương đối, bị chặn và hoàn toàn bị chặn ?

5 Định nghĩa ánh xạ liên tục, liên tục đều và các điều kiện tương đương ? Tính chất

của ánh xạ liên tục trên tập compact ?

Chứng minh ρ1 và ρ∞ là các metric trên Rn

b) Trong mặt phẳng toạ độ R2 hãy vẽ hình cầu S(0,1) theo các metric Euclide,

Bài 1.4 Giả sử C[a, b] là tập tất cả các hàm số liên tục trên đoạn [a, b] Hãy chứng

minh rằng các hàm cho dưới đây là metric trên C[a, b]

Bài 1.5 Cho X là một tập khác rỗng và ρ1, ρ2 là những metric trên X Ta nói ρ1

tương đương với ρ2 nếu tồn tại các hằng số dương A1, A2, sao cho:

A1 ρ1(x, y) ≤ ρ2(x, y) ≤ A2 ρ1(x, y) , với mọi x, y ∈ X

a) Chứng minh hai metric trong bài 1.1 là tương đương

b) Hãy xét xem các metric trong bài 1.4 có tương đương hay không

Bài 1.6 Giả sử ρlà một khoảng cách trong không gian metric X, thoả mãn bất đẳng thức siêu metric

ρ(x, z) ≤ max{ρ(x, y), ρ(y, z)}, trong đó x, y, z ∈ X

a) Chứng tỏ rằng nếu ρ(x, y) ≠ ρ(y, z) thì ρ(x, z) = max(ρ(x, y), ρ(y, z))

b) Chứng tỏ rằng trong không gian metric ấy, mọi hình cầu mở B(x, r) đều là một tập vừa mở vừa đóng, và B(y, r) = B(x, r) với mọi điểm y ∈B(x, r)

c) Chứng tỏ rằng trong không gian metric ấy, mọi hình cầu đóng B’(x, r) đều là một tập vừa mở vừa đóng, và B’(y, r) = B’(x, r) với mọi điểm y ∈B(x, r)

d) Chứng tỏ rằng nếu trong X hai hình cầu có một điểm chung, thì một hình cầu được chứa trong hình cầu kia

e) Chứng tỏ rằng khoảng cách giữa hai hình cầu mở khác nhau, có bán kính r và được chứa trong cùng một hình cầu đóng có bán kính r, là bằng r

Bài 1.7 a) Giả sử {x n} là một dãy trong không gian metric X Hãy chứng tỏ rằng nếu

ba dãy con {x 2n }, {x 2n+1 } và {x 3n } đều hội tụ thì dãy {x n} cũng hội tụ

b) Hãy nêu lên một ví dụ về dãy {xn} các số thực, không hội tụ và có tính

chất: với mọi k ≥ 2, dãy con {xkn} hội tụ

Bài 1.8 Với mọi tập con A, B của một không gian metric, chứng minh:

c) Chứng minh rằng trong Rk bao đóng của hình cầu mở là một hình cầu đóng

có cùng tâm và bán kính

Bài 1.10 Cho a, b ∈ R, a < b Trong C[a, b] Chứng minh

a) E = {x ∈ C[a, b] : A < x(t) < B với mọi t ∈ [a, b]} là tập mở

b) F = {x ∈ C[a, b] : A ≤ x(t) ≤ B với mọi t ∈ [a, b]} là tập đóng

Bài 1.11 Cho xo ∈ C[a, b] Chứng minh

a) E = {x ∈ C[a, b] : x(t) < x0 (t) với mọi t ∈ [a, b]} là tập mở

b) F = {x ∈ C[a, b] : x(t) ≤ x0 (t) với mọi t ∈ [a, b]} là tập đóng

Bài 1.12 Hãy chứng tỏ rằng hợp của một tập hợp bất kỳ và của tập hợp các điểm

ngoài của nó trong không gian metric X là trù mật khắp nơi

Bài 1.13 Cho U, V là các tập mở không giao nhau của không gian metric X, chứng

minh

U ∩V =U∩V = ϕ

Bài 1.14 a) Cho A là tập mở và B là tập tuỳ ý của không gian metric X Chứng minh

rằng: A∩B⊂A∩B

b) Tìm các tập A, B trong R sao cho A∩B⊄ A∩B

Bài 1.15 Cho X là một không gian metric rời rạc Chứng minh rằng :

a) Mọi tập con A của X vừa mở vừa đóng

b) X khả ly nếu và chỉ nếu X đếm được

Bài 1.16 Cho không gian metric X và tập con A của X Với mọi x ∈ X đặt :

ρ(x, A) = inf{ρ(x, y): y ∈A}

Chứng minh: a)ρ(., A) là hàm liên tục trên X b) x∈A nếu và chỉ nếu ρ(x,

A) = 0

Bài 1.17 Cho X, Y, Z là các không gian metric và f: X→Y; g: Y→Z là các ánh xạ liên tục Chứng minh rằng:

a) gof là ánh xạ liên tục

b) Nếu f là toàn ánh, g0f là phép đồng phôi thì f và g là các phép đồng phôi

Bài 1.18 Cho A là tập con trong không gian metric (X, d) Đặt

:B A r( , ) ={x∈X d x A: ( , ) <r}

Hãy chứng minh rằng : a) B(A, r) mở b)B A r( , ) =B A r( , )

Bài 1.19 Cho X là một không gian metric đầy đủ, {Gn} là một dãy các tập con mở

của X, mỗi Gn là trù mật trong X Chứng minh

1 n

n G

Bài 1.21 Giả sử A là một tập hợp trong không gian metric X Điểm x thuộc A gọi là

điểm cô lập nếu tồn tại một lân cận V của điểm x trong X sao cho V∩A chỉ gồm một

điểm x Hãy chứng tỏ rằng tập hợp các điểm cô lập của không gian metric khả ly X là

không quá đếm được

Bài 1.22 Cho f : X →Y là một ánh xạ liên tục đều và tập con A của X hoàn toàn bị

chặn Chứng minh f(A) là tập con hoàn toàn bị chặn của Y

Bài 1.23 Cho X và Y là hai không gian metric, A là tập con compact của X, B là tập

con compact của Y Chứng minh rằng với mọi tập mở W của X x Y chứa A x B tồn tại tập mở U của X chứa A và tập mở V của Y chứa B sao cho U x V chứa trong W

Bài 1.24 Cho X là một không gian metric compact và ánh xạ f : X→ X thoả mãn

ρ(f(x), f(y)) ≥ ρ(x, y) với mọi x, y ∈ X Chứng minh f là phép đẳng cự

Bài 1.25 Cho f : X →Y là ánh xạ liên tục trên mọi tập compact của X Chứng minh f

là ánh xạ liên tục trên X

Bài 1.26 Cho X là không gian metric compact và f : X→X là ánh xạ thoả mãn:

ρ(f(x), f(y)) < ρ(x, y) với mọi x, y ∈ X, x ≠ y

Chứng minh f có một điểm bất động duy nhất

Bài 1.27 Giả sử A là một tập compact, B là một tập hợp đóng trong không gian

metric X, và Α ∩ Β = φ Hãy chứng tỏ rằng d(A, B) > 0.Kết luận trên còn đúng không nếu A và B chỉ là các tập đóng rời nhau mà không compact?

Bài 1.28 Chứng minh rằng tập A trong không gian metric X là compact tương đối

nếu và chỉ nếu mọi dãy trong A đều có một dãy con hội tụ trong X

Bài 1.29 Hãy chứng minh rằng mọi hàm số liên tục f: [a,b] → [a,b] đều có ít nhất một điểm bất động

Bài 1.30 Giả sử f: X→ X là ánh xạ liên tục từ không gian metric đủ X vào chính nó

và giả sử rằng có một số θ , 0 1 < θ < sao cho :

( ( ), ( ))f x f y max ( , ), ( , ( )), ( , ( )) , (x y x f x y f y x y, X)

Hãy chứng tỏ rằng f có điểm bất động và điểm bất động đó là duy nhất

Bài 1.31 Chứng minh rằng: Trong không gian metric đủ mọi dãy tập đóng lồng nhau

với đường kính dần tới 0 đều có một điểm chung duy nhất

CHƯƠNG II Tôpô đại cương

Số tiết: (Lý thuyết: tiết; bài tập, thảo luận: tiết )

*) Mục tiêu:

- Sinh viên hiểu khái niệm: không gian tôpô, tập hợp mở, tập hợp đóng, phần trong, bao đóng, biên, tập hợp dẫn xuất của một tập hợp; ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng, phép đồng phôi giữa các không gian tôpô; tôpô xác định bởi họ các tập hợp đóng, tôpô đầu, tôpô cuối xác định bởi họ các ánh xạ

- Sinh viên hiểu và từ đó có thể chứng minh được một không gian là các Ti

không gian

- Sinh viên hiểu cách xây dựng tích decac của một họ không gian tôpô

II.1 ĐẠI CƯƠNG VỀ KHÔNG GIAN TÔPÔ

1 Định nghĩa Không gian Tôpô là một cặp (X,τ ) trong đó X là một tập hợp khác rỗng và τ là một họ những tập con của X, (τ ⊂ P(X)), thoả mãn các điều kiện: a) ∅∈τ và X∈τ

Tập X gọi là không gian, các phần tử của X gọi là các điểm, mỗi phần tử của

τgọi là một tập mở trong không gian X Họ τgọi là một tôpô trên tập X Như vậy: 1) Tập ∅ và toàn bộ không gian X là tập mở

2) Giao hữu hạn những tập mở là tập mở

3) Hợp tùy ý những tập mở là tập mở

Ví dụ 1 Cho X là một tập hợp tùy ý khác rỗng và τ = P(X) là họ tất cả các tập con của X Khi đó τ là một tôpô trên X và (X, τ ) được gọi là không gian tôpô rời rạc

Ví dụ 2 Cho X là một tập hợp khác rỗng và τ = {∅, X} Khi đó τ cũng là một tôpô trên X và (X, τ ) được gọi là không gian tôpô phản rời rạc hay không gian tôpô tầm thường

Ví dụ 3 Cho (X, ρ) là một không gian metric, họ tất cả các tập mở theo metric

ρlà một tôpô trên X Tôpô này được gọi là tôpô sinh bởi metric ρ Không gian

metric luôn được coi là không gian tôpô với tôpô sinh bởi metric

hoặc X \ A là hữu hạn} là một tôpô trên X Tôpô này được gọi là tôpô Fort

Nếu x là một điểm của không gian tôpô X và U là một tập mở chứa x thì U gọi

là một lân cận của điểm x

Giả sử A là một tập con của không gian X và x ∈A; x được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại một lân cận của x chứa trong A

Dễ thấy: A là tập mở trong X khi và chỉ khi mỗi điểm x của A đều là điểm

trong của A

Giả sử B là một họ tập mở của không gian tôpô (X, τ ) B được gọi là một cơ

sở của không gian tôpô (X, τ ) (hoặc cơ sở của tôpô τ ) nếu mỗi tập mở trong X là hợp của một họ nào đó những tập thuộc B Cho B ⊂ τ , B là cơ sở của không gian tôpô (X, τ ) khi và chỉ khi với mọi tập mở A ⊂X, với mọi x ∈A: tồn tại U∈B sao cho

x ∈U⊂A

Từ định nghĩa cơ sở lân cận ta dễ dàng chứng minh được:

ĐỊNH LÍ 1.1 Mỗi cơ sở B của một không gian tôpô (X, τ ) có các tính chất: a) Với mọi U1, U2 ∈B, với mọi x ∈U1 ∩U2 , tồn tại U ∈B sao cho: x ∈U⊂U1

∩U2

b) Với mọi x ∈X, tồn tại U ∈B sao cho: x ∈U

Giả sử x là một điểm của không gian tôpô X Họ B(x) những lân cận của x được gọi là một cơ sở lân cận của không gian tôpô (X, τ ) hay cơ sở lân cận của tôpô

τ tại điểm x nếu với mỗi lân cận V của x, tồn tại một tập hợp U ∈B(x) sao cho U⊂V

Từ định nghĩa cơ sở lân cận tại một điểm ta dễ dàng chứng minh được:

ĐỊNH LÍ 1.2 Với mỗi điểm x của một không gian tôpô (X, τ ), gọi B(x) là một

cơ sở lân cận của tôpô τ tại x Lớp { B(x), x ∈X}, có các tính chất:

a) Với mọi U∈B(x), x ∈U và x ∈X, B(x) ≠ ∅

b) Với mọi x ∈ V∈B(x), tồn tại U∈B(x) sao cho U⊂V

c) Với mọi U1 ∈B(x), với mọi U2 ∈B(x), tồn tại U∈B(x) sao cho U⊂U1 ∩U2

Lớp {B(x), x ∈X} gọi là hệ thống đầy đủ các lân cận của không gian tôpô (X,

Giả sử (X, τ ) là một không gian tôpô và A là một tập hợp con của X Giao của

họ tất cả các tập hợp đóng chứa A gọi là bao đóng của tập A, ký hiệu là A Bao đóng của tập A tồn tại vì luôn có X là tập đóng chứa A

Từ định nghĩa ta có một số tính chất đơn giản:

a) Alà một tập hợp đóng và là tập hợp đóng nhỏ nhất chứa A

b) A ⊂X là tập đóng khi và chỉ khi A = A

c) Nếu A ⊂B thì A ⊂ B

ĐỊNH LÍ 1.4 Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ) và x∈X Khi đó

x ∈ A khi và chỉ khi mọi lân cận U của x đều có giao khác rỗng với A

ĐỊNH LÍ 1.5 Giả sử (X, τ ) là một không gian tôpô, A và B là những tập hợp con của X

Khi đó:

a) ∅ = ∅ c) A ∪ B = A ∪ B b) A ⊂ A d) A =A Giả sử A là một tập hợp con của một không gian tôpô (X, τ ) Hợp của họ tất

cả các tập mở chứa trong A được gọi là phần trong của tập hợp A, kí hiệu là IntA

hoặc A0 Phần trong của A là luôn tồn tại vì, ít nhất ∅ là tập mở chứa trong A; IntA

có thể là tập hợp rỗng

Từ định nghĩa trên ta có một số tính chất đơn giản:

a) IntA là tập mở và là tập mở lớn nhất chứa trong A

b) A ⊂X là tập mở khi và chỉ khi A = IntA

c) x ∈IntA khi và chỉ khi x là một điểm trongcủa A

d) Nếu A ⊂B thì IntA ⊂IntB

ĐỊNH LÍ 1.6 Nếu A là một tập hợp con của không gian tôpô X thì

IntA = X \ X A\

ĐỊNH LÍ 1.7 Giả sử (X, τ ) là một không gian tôpô, A và B là những tập hợp con của X

Khi đó:

a) IntX = X c) Int (A ∩B) = IntA ∩IntB

b) A ⊂IntA d) Int(IntA)) = IntA

So sánh các tôpô Giả sử trên cùng một tập hợp X trang bị hai tôpô τ1 và τ2

Ta nói τ1 mạnh hơn τ2 (τ2 yếu hơn τ1) nếu τ2⊂τ1 tức là mỗi tập mở đối với tôpô

τ2 cũng là một tập mở đối với tôpô τ1 Hiển nhiên tôpô rời rạc trên tập hợp X là tôpô mạnh nhất và tôpô phản rời rạc trên X là tôpô yếu nhất trong tất cả các tôpô trên X

Không phải hai tôpô bất kỳ trên cùng một tập hợp cũng luôn so sánh được với nhau Giả sử A và B là hai tập con thực sự và kghác nhau của Tập hợp X Khi đó:

τ A= {∅, A, X} và τ B= {∅, B, X}

là hai tôpô trên X Hiển nhiên là τ A và τ B là không so sánh được

II.2 XÂY DỰNG TÔPÔ CÓ CƠ SỞ CHO TRƯỚC HOẶC CÓ CÁC TẬP HỢP ĐÓNG CHO TRƯỚC

Trong II.1, chúng ta đã biết là một cơ sở B của không gian tôpô (X, τ ) có các tính chất:

a) Với mọi U1, U2 ∈B, với mọi x ∈U1 ∩ U2 , tồn tại U ∈B sao cho:

x ∈U ⊂U1 ∩ U2

b) Với mọi x ∈X, tồn tại U ∈B sao cho: x ∈U

Vậy, nếu một họ B những tập con của một tập hợp X thoả mãn hai điều kiện trên thì có tồn tại hay không một tôpô trên X nhận B là cơ sở

ĐỊNH LÍ 2.1 Giả sử họ B những tập con của một tập hợp X thoả mãn hai

Khi đó tồn tại một tôpô τ trên X sao cho B là một cơ sở của không gian tôpô (X,τ )

Cũng theo I.1 ta có tập hợp các tập đóng của không gian tôpô (X, τ ) có các tính chất:

Định lí sau sẽ chứng tỏ điều này

ĐỊNH LÝ 2.2 Giả sử D là một họ các tập con của một tập hợp X thoả mãn ba

II.3 BIÊN VÀ TẬP HỢP DẪN XUẤT CỦA MỘT TẬP HỢP

Giả sử (X,τ) là một không gian tôpô, A ⊂ X Tập hợp δA= A∩X A\ gọi là biên

của tập A

ĐỊNH LÍ 3.1 Điểm x ∈X thuộc δ A khi và chỉ khi với một lân cận bất kỳ U

của điểm x, ta đều có: U∩A≠ ∅ và U A\ ≠ ∅

ĐỊNH LÍ 3.2 Giả sử A và B là các tập hợp con của một không gian tôpô

Giả sử A là một tập con của không gian tôpô X Điểm x thuộc X gọi là điểm tụ

của tập hợp A nếu x∈A\{ }x

Hiển nhiên x là một điểm tụ của tập hợp A khi và chỉ khi một lân cận bất kỳ U của x đều chứa ít nhất một điểm y của A khác x Tập hợp tất cả các điểm tụ của A gọi

là tập hợp dẫn xuất của A, kí hiệu là Ad

Các điểm của tập hợp A\ Ad gọi là các điểm cô lập của tập hợp A Điểm x của một không gian tôpô X là một điểm cô lập của X khi và chỉ khi {x} là một tập mở

ĐỊNH LÍ 3.3 Giả sử A và B là hai tập hợp con của một không gian tôpô X,

{ }A t t T∈ là một họ tập con của X Khi đó:

a) A=A ∪Ad c) ( A ∪B)d = Ad ∪ Bd

b) Nếu A ⊂ B thì Ad ⊂Bd d)

d d

Giả sử A là một tập hợp con của một không gian tôpô X

A gọi là trù mật trong X nếu A= X

A gọi là thưa trong X nếu IntA = ∅

A gọi là không đâu trù mật trong X nếu A là một tập thưa trong X, tức

làInt A= ∅

A gọi là một tập hợp tự trù mật nếu A ⊂ Ad

ĐỊNH LÍ 3.4 Giả sử A là một tập hợp con của không gian tôpô X Khi đó:

a) A là trù mật trong X khi và chỉ khi mỗi tập hợp mở khác rỗng trong X đều

Không gian tôpô X gọi là khả li nếu nó có một tập con đếm được trù mật

Ví dụ Tập hợp các số hữu tỷ Q là trù mật trong không gian các số thực R nên

R là không gian khả li

ĐỊNH LÍ 3.5 Không gian tôpô X có một cơ sở đếm được B thì khả li

II.4 ÁNH XẠ LIÊN TỤC PHÉP ĐỒNG PHÔI

1 Ánh xạ liên tục

Cho hai không gian tôpô (X, τX) và (Y, τY) ánh xạ f: X → Y gọi là liên tục

tại điểm x0 ∈ X nếu với mỗi lân cận V của điểm f(x0) ∈ Y tồn tại một lân cận U của

x0 sao cho f(U) ⊂ V Ánh xạ f gọi là liên tục trên tập con A của X nếu f liên tục tại mỗi điểm x của A Ánh xạ f gọi là liên tục hoặc ( liên tục trên X) nếu f liên tục tại mỗi điểm x của X

ĐỊNH LÍ 4.1 Giả sử f: X → Y là một ánh xạ từ không gian tôpô X vào không

gian tôpô Y, B(x) là một cơ sở của không gian tôpô X tại x, B[f(x)] là một cơ sở của

không gian tôpô Y tại f(x) Khi đó f liên tục tại điểm x khi và chỉ khi với mỗi V∈

B[f(x)], tồn tại một U ∈ B(x) sao cho f(U)⊂V

ĐỊNH LÍ 4.2 Giả sử f: X → Y là một ánh xạ từ không gian tôpô X vào không

gian tôpô Y khi đó f liên tục khi và chỉ khi với mỗi V ∈ τY ta đều có f−1 ( )V ∈ τX

ĐỊNH LÍ 4.3 Giả sử f : X → Y là một ánh xạ từ không gian tôpô X vào

không gian tôpô Y khi đó các mệnh đề sau là tương đương

1) f liên tục

2) Tạo ảnh của mỗi tập đóng trong Y là một tập đóng trong X

3) Với mỗi tập hợp con A của X ta đều có f A( ) ⊂ f A( )

4) Với mỗi tập hợp con B của Y ta đều có f−1 ( )B ⊂ f−1 ( )B

5) Với mỗi tập hợp con B của Y ta đều có f−1 (Int )B ⊂ Intf−1 ( )B

Ví dụ 1 Cho ánh xạ f : X →Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y

Nếu trên X trang bị tôpô rời rạc thì f liên tục với mọi tôpô trên Y Nếu trên Y trang bị tôpô phản rời rạc thì f liên tục với mọi tôpô trên X

Ví dụ 2 Giả sử trên tập hợp X được trang bị hai tôpô τ và τ ' Khi đó ánh xạ đồng nhất

I: (X, τ ) → (X, τ ') liên tục khi và chỉ khi τ mạnh hơn τ '

ĐỊNH LÍ 4.4 Giả sử X, Y, Z là các không gian tôpô, f : X → Y, g: Y → Z là

những ánh xạ liên tục Khi đó ánh xạ hợp h = g0f : X→ Z; h(x) = g(f(x)) cũng là ánh

xạ liên tục

ĐỊNH LÍ 4.5 Giả sử f, g: X → R là những hàm số liên tục Khi đó, các hàm

số | |f , f±g, min (f, g), max (f, g) là những hàm số liên tục Nếu g ≠ 0 với mọi x∈X

thì f

g cũng là hàm số liên tục

2 Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, phép đồng phôi

Giả sử f : X →Y là ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y Khi đó:

f được gọi là ánh xạ mở nếu ảnh của mỗi tập mở trong X là tập mở trong Y

f được gọi là ánh xạ đóng nếu ảnh của mỗi tập đóng trong X là tập đóng trong

Y

Giả sử f : X →Y là một song ánh từ không gian tôpô X lên không gian tôpô Y

Khi đó: f được gọi là phép đồng phôi nếu f và ánh xạ ngược f - - 1đều liên tục Khi đó

hai không gian tôpô X và Y được gọi là đồng phôi với nhau

ĐỊNH LÍ 4.6 Nếu f: X → Y là một song ánh liên tục từ không gian tôpô X lên

một không gian tôpô Y thì các điều kiện sau là tương đương :

là một phép đồng phôi khi và chỉ khi τ vàτ 'là tương đương

II.5 TÔPÔ XÁC ĐỊNH BỞI MỘT HỌ ÁNH XẠ

1 Tôpô đầu xác định bởi một họ ánh xạ

Giả sử (X, τ) là một không gian tôpô, { ( s, s) }

s S

Y τ

∈ là một họ không gian tôpô,

{ }f s s S

∈ là một họ ánh xạ f s:X →Y sliên tục Hiển nhiên nếu ta thay τ bằng một tôpô

τ' (trên X) mạnh hơn τ thì mỗi ánh xạ f s:X →Y scủa họ ánh xạ trên vẫn liên tục Ngược lại nếu ta thay τ bằng một tôpô τ' yếu hơn τ thì tính liên tục của các ánh xạ f s

có thể không được bảo toàn

Bây giờ, giả sử { }f s s S

∈ là một họ các ánh xạ từ một tập hợp X vào không gian tôpô (Y s, τs) Định lí 5.1 khẳng định rằng trong tất cả các tôpô trên X sao cho mỗi ánh

xạ f s của hộ đèu liên tục, tồn tại một tôpô yếu nhất

→ là một họ ánh xạ f s:X →Y s Trong họ các tôpô trên X sao cho tất cả

các ánh xạ fs đều liên tục tồn tại một tôpô τ yếu nhất Họ B tất cả các tập hợp dạng :