Đề cương bài giảng môn Đại số và Hình học giải tích

Nội dung của đề cương cung cấp đến người học thông tin tổng quan các kiến thức trong môn học như tập hợp và ánh xạ; ma trận định thức & c; không gian vector - không gian euclid; ánh xạ tuyến tính; trị riêng, vector riêng, dạng toàn phương.

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG

Học phần: ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Đơn vị: Bộ môn Toán, Khoa CNTT

Thời gian: Tuần 1 Tiết 1-4

GV giảng 4, HV tự học: 4 Giáo viên: Nguyễn Trọng Toàn

yêu cầu

- Giới thiệu mục đích, ý nghĩa của môn học

- Nắm được nội dung cơ bản của lý thuyết tập và khái niệm ánh xạ

NỘI DUNG

I LÝ THUYẾT

Chương I TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ

1.1 MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC VÀ CÁC PHÉP TÍNH LOGIC

1.1.1 Mệnh đề toán học: Là những khẳng định mang một ý nghĩa đúng hoặc sai Không có mệnh đề

nửa đúng nửa sai

Thí dụ 1.1 “ 5 > 3” : Mệnh đề đúng

“Áo bộ đội màu nâu” : Mệnh đề sai

1.1.2 Các phép toán logic trên các mệnh đề Giả sử ta có các mệnh đề A, B, C…

a) Phép phủ định A: Mệnh đề A nhận giá trị đúng khi A sai, nhận giá trị sai khi A đúng

b) Phép Hội : Mệnh đề A B chỉ nhận giá trị đúng khi và chỉ khi A và B cùng đúng

c) Phép Tuyển : Mệnh đề A B chỉ nhận giá trị sai khi và chỉ khi A và B cùng sai

d) Phép kéo theo  : Mệnh đề A  B chỉ nhận giá trị sai khi và chỉ khi A đúng và B sai

e) Phép Tuyển loại trừ  : Mệnh đề A  B nhận giá trị đúng khi A đúng và B sai hoặc A sai B đúng

0

1

1 1

1

1

0 1

1

0

0 1

0

1

1

0 1.1.3 Điều kiện cần, điều kiện đủ

Nếu A thì A được gọi là điều kiện đủ của B, B được gọi là điều kiện cần có của A B

Nếu A thì A được gọi là điều kiện cần và đủ của B và ngược lại B

1.1.4 Vị từ

Như đã biết, mệnh đề là một câu khẳng định có ý nghĩa đúng hoặc sai rõ ràng Tuy nhiên, trong thực tế có những câu khẳng định mà giá trị chân lý của nó đúng hay sai tùy thuộc vào một hay nhiều yếu tố chưa cụ thể (biến) nào đó

Thí dụ 1.2 Khằng định “ x>5” có giá trị là đúng nếu x=7 và có giá trị là sai nếu x=2

a) Hàm mệnh đề Hàm P x x 1, , ,2  x nxác định trên tập A được gọi là hàm mệnh đề n-ngôi trên nếu A thay x1a x1, , , 2a2  x n a n với a i ,A i1,n thì P a a 1, , ,2  a nlà một mệnh đề

Thí dụ 1.3 P(x) = “x>5” : Là hàm mệnh đề 1 ngôi trên R;

P(x,y,z) = “x>y, y>z” : Là hàm mệnh đề 3 ngôi trên R

Trong các vị từ người ta thường sự dụng các lượng từ: Lượng từ riêng  , đọc là “ tồn tại”,

“có” hay “ có ít nhất một”…hay Lượng từ chung , đọc là “ với mọi”, “ tất cả”,…

Sự kết hợp giữa một hay nhiều lượng từ và một hàm mệnh đề tạo ra mệnh đề Những mệnh đề như vậy gọi là vị từ

Thí dụ 1.4  x P(x): Là khẳng định tồn tại ít nhất x để P(x) đúng;

 x P(x) : Là khẳng định với mọi giá trị x P(x) đều đúng

 x y P(x,y): Là khẳng định tồn tại ít nhất 1 giá trị x để P(x,y) đúng với mọi giá trị y

Kí hiệu các tập hợp: A, B, C Nếu x là một phấn tử của tập A ta viết xA, còn nếu y không phải

là phần tử của tập A ta viết xA

1.2.2 Mô tả một tập hợp: Có 2 phương pháp

a) Liệt kê các phần tử của tập hợp.

Thí dụ 1.6 S ={1,2,3,a,c} Khi đó : 3,aS và 5,6,bS

b) Nêu các tính chất đặc trưng của phần tử.

Thí dụ 1.7 B = {số nguyên, dương chẵn} Khi đó 2,4,8B và 1,13,-8B

d) Hai tập A và B được gọi là hai tập bằng nhau: Nếu chúng có cùng các phần tử

A = B  (xA xB) (yB  yA)

e) Bao hàm và tập con

Tập hợp A được gọi là tập con của tập B , nếu mọi phần tử của A đều là của B

A  B  (xA  xB)

Cách viết khác nhau về tập con:

A  B - Đọc là : A là tập con của tập B, A nằm trong B;

Để mô tả mối quan hệ của 2 tập hợp người ta thường dùng sơ đồ Ven Chẳng hạn, mô tả quan

hệ A  B bằng sơ đồ:

A B

1.2.3 Các phép toán trên tập hợp

a) Phép giao  : AB = { x | xA và xB}

b) Phép hợp  : AB = { x | xA hoặc xB}

c) Phép trừ - : A-B = A\B = { x | xA và xB}

d) Tập phần bù : Giả sử A là tập con U Phần bù của tập A trong U là tập

Ac hay A = {xU | xA} =U-A Nếu A là một tập "vũ trụ", nghĩa là mọi tập cần xét đều được xem là tập con của U, thì có thể nói gọn lại Ac là phần bù của tập A

Thí dụ 1.10 Cho A ={1,2,3,4,9} B = { 3,4,5,8} U ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Khi đó AB = {1,2,3,4,5,8,9} AB = {3,4 } A-B = {2,9} Ac = {0,5,6,7,8}

1.2.4 Tính chất của các phép toán tập hợp

a) Kết hợp : (AB)C = A(BC) (AB)C = AB(C)

b) Giao hoán : AB = BA B = BA

c) Phân phối : (AB) C = ( AC)(BC) (AB) C = (AC)  (BC)

d) Hai lần bù : (Ac)c =A

e) Luật DeMorgan: (AB)c = Ac  Bc ) (AB)c = Ac  Bc

1.2.5 Tích Des Cartes

Giả sử A, B , C là các tập hợp và {Ai}i=1,2,…,n là một họ n tập hợp Khi đó ký hiệu:

AB = {(x,y)| xA và yB}

ABC = {(x,y,z)| xA, yB và zC }

1 2 1

xi gọi là tọa độ thứ i của phần tử (x1,x2 ,…,xn)

Trường hợp riêng, nếu A1 A2   A n thì : A

An = {(x1,x2 ,…,xn)| xiA; i=1,2,…,n }

Dễ dàng chứng minh được : N(A1A2…An) =

1( )

n i i

=

=



Nếu S là một phủ của A và tập Ai rời nhau từng đôi một thì S gọi là một phân hoạch của A

Thí dụ 1.11 Ba tập Ax R x | 0 , Bx R x | 0 , C 0 là một phân hoạch của tập R

1.3 ÁNH XẠ

1.3.1 Khái niệm về ánh xạ: Ánh xạ từ tập E đến tập F là 1 qui luật f, liên hệ giữa E và F, sao cho khi

nó tác động vào 1 phần tử x thuộc tập E sẽ sinh ra 1 và chỉ 1 phần tử thuộc tập F

Ký hiệu f E: F hay Ef F

Gọi E là Tập nguồn và F là tập đích

Nếu f tác động vào x E sinh ra y F thì ta viết y f x( ) hay

1.3.4 Toàn ánh: Ánh xạ f E: F được gọi là một là một toàn ánh (ánh xạ tràn) nếu f E( )F.

1.3.5 Song ánh: Ánh xạ f E: F được gọi là một song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh

Thí dụ 1.13 Xét các ánh xạ:

y x  với E F R: Là đơn ánh, toàn ánh nên là một song ánh

[ ]

y x với E R F , Z: Là toàn ánh , không đơn ánh

siny x  với E F R2   : Không đơn ánh, không toàn ánh

1.3.6 Ánh xạ ngược của song ánh: Cho song ánh f E: F khi đó tồn tại một ánh xạ g F: E

được xác định như sau x g y ( ) nếu y f x( ) Ánh xạ ngược của ánh xạ f thường ký hiệu là f 1

Cho :f E và :F g F Tích của hai ánh xạ f và g, ký hiệu G g f E0 :  , được xác định G

như sau: x E f y f x( ) g z g y( ) Nói các khác z g f x 0 ( )g f x[ ( )]

Thí dụ 1.15 Giả sử f y: sin( )x và :g zlog( )y thì g f z0 : log(sin )x

 Các tính chất (tự CM)

- Hợp của hai đơn ánh là đơn ánh;

- Hợp của hai toàn ánh là toàn ánh

- Hợp của hai song ánh là song ánh

Giả sử :f E là song ánh thì F f1 cũng là một song ánh Khi đó

 1  1 0

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG

Học phần: ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Đơn vị: Bộ môn Toán, Khoa CNTT

Thời gian: Tuần 2 Tiết 5-8

1.4.1 Định nghĩa: Luật hợp thành trong trên tập E, hay phép toán trên E là một quy luật tác động lên

hai phần tử của E sẽ tạo ra một và chỉ một phần tử của nó

:f E E  ,E x y E f z f x y( , ) Thường ký hiệu: E z x y *

Thí dụ 1.16 - Luật cộng trong N : +

- Luật nhân trong R : ×

- Luật chia trong R-{0}: /

1.4.2 Tính chất Giả sử * là một luật hợp thành trong trên tập E Khi đó:

a) Giao hoán: Luật * gọi là có tính chất giao hoán nếux y E,  x y*  y x*

b) Kết hợp: Luật * gọi là có tính chất kết hợp nếu

1.5 SƠ LƯỢC VỀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

Trên một tập hợp ta có thể trang bị một hay nhiều phép toán với một số tính chất xác định tạo ra một đố tượng toán học gọi là cấu trúc đại số

1.5.1 Cấu trúc nhóm Giả sử tập G   có trang bị một phép toán * Khi đó (G,*) gọi là có cấu trúc

nhóm, gọi tắt là nhóm G, nếu thỏa các tính chất:

a) Luật * có tính kết hợp;

b) Luật * có phần tử trung hòa, ký hiệu e;

c) Mọi phần tử của G đều có phần tử đối;

d) Nếu luật * có tính chất giao hoán thì G gọi là một nhóm Abel

Thí dụ 1.18 (Z,+) và (R-{0},×) là các nhóm Abel,

(R,×) không phải là nhóm

 Một số tính chất của nhóm Giả sử (G,*) là một nhóm, khi đó:

i) Phần tử trung hòa là duy nhất;

ii) Mỗi một phần tử của a G  có một phần tử đối duy nhất a’;

iii) Trên nhóm G có quy tắc giản ước: *a x a y *   ; x y

iv) Trên nhóm G phương trình *a x b có nghiệm duy nhất x a b '*

1.5.2 Cấu trúc vành. Giả sử tập A  có trang bị hai phép toán + và × Khi đó (A,+,×) gọi là có cấu trúc vành, gọi tắt là vành A, nếu thỏa các tính chất:

i) (A,+) là một nhóm giao hoán, phần tử trung hòa ký hiệu là 0;

v) Nếu luật × có tính chất giao hoán thì A gọi là một vành giao hoán;

vi) Nếu luật × có phần tử trung hòa, ký hiệu là 1, thì A gọi là một vành có đơn vị;

vii) Nếu vành A có tính chất: a b    hoặc 0 a 0 b thì gọi lag vành nguyên 0

Thí dụ 1.19 (Z,+,×), (Q,+,×) và (R,+, ×) đều là các vành giao hoán, có đơn vị và nguyên

1.5.3 Cấu trúc trường. Giả sử tập K  có trang bị hai phép toán + và × Khi đó (K,+,×) gọi là có cấu trúc trường, gọi tắt là trường K, nếu thỏa các tính chất:

a) K là một vành giao hoán, có đơn vị;

b) Với  a K a, 0(phần tử trung hòa của luật +) đều tồn tại phần tử nghịch đảo (phần tử đối xứng của luật ×), ký hiệu là a-1

1.6.1 Khái niệm ban đầu về số phức

Bộ ba R, ,  tạo ra trường số thực R Mặc dù R rất rộng, R Q Z   N nên nó có ứng dụng rất lớn trong tính toán, nhưng trong R phương trình đơn giản x2 1 0vẫn vô nghiệm Vì thế cần phải

mở rộng trường R để giải quyết các bài toán phức tạp nảy sinh trong KHKT và kinh tế

Ban đầu, người ta đặt i   gọi nó là số ảo Rõ ràng là i là nghiệm của phương trình 1 x2 1 0

Số ảo từ đó được ứng dụng khâ hiệu quả Nhưng cách tiếp cận số phức như vậy không tự nhiên

Ta có thể đồng nhất số phức có phần ảo bằng 0: z( ,0)a a Vì vậy số thực được coi như trường hợp riêng của số phức và trục Ox gọi là trục thực Kiểm tra lại:

Trục Oy gọi là trục ảo Mỗi số phức trên Oy có dạng z(0, )b , gọi là số thuần ảo

Đặt (0,1)i , gọi là đơn vị ảo Ta có:

Khi đó: z( , )a b (cosisin ) : Dạng lượng giác của số phức

Từ công thức Euler: e i cosisin suy ra ze i: Dạng Euler của số phức

1.6.6 Các phép toán trên số phức

Giả sử ( , )z a b (cosisin ) e ivà z' ( ', ') a b '(cos ' sin ') i  'e i'

a) Hai số phức bằng nhau: z z ' a a b b  ' '        ' ' 2k

b) Tích hai số phức: z z '  'e i(  ') hay

| ' |z z   ' | | | ' | z z và arg( ')z z    ' arg( ) arg( ')z  z

c) Thương hai số phức: Với ' 0z  ta có ( ')

i

z e z

d) Lũy thừa và khai căn

+ z n n in e  hay |z n|n, arg z n n n.arg( )z

Công thức Moivre: z n n(cosnisinn)

Như vậy n z có n giá trị khác nhau, tương ứng với k0,1, 2, ,n1, trên mặt phẳng phức chúng

tạo thành n đỉnh của một đa giác đều n cạnh

Thí dụ 1.22 3 có 3 giá trị khác nhau 1 os 2 sin 2 , 0, 2

Trên mặt phẳng phức thì z đối xứng với z qua trục hoành

 Tính chất: z z , z z 2a R và z z a  2b2| |z 2R

 Khử số phức ở mẫu số: Do 1 2

| |

1.6.8 Giải phương trình bậc 2 trên trường số phức

Xét phương trình Ax2Bx C 0 với , ,A B C R trên trường số thực, A Ta có thuật toán: 0+ Tính  B24AC

+ Nếu   thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: 0 1,2

2

B x

+ Nếu   thì phương trình vô nghiệm 0

Tuy nghiên, phương trình Ax2Bx C  trên trường số phức, với 0 A luôn luôn có hai 0nghiệm phức: 1,2

2

B x

A

  

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG

Học phần: ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Đơn vị: Bộ môn Toán, Khoa CNTT

Thời gian: Tuần 3 Tiết 9-12

GV giảng 4, HV tự học: 4 Giáo viên: Nguyễn Trọng Toàn

- Giới thiệu đa thức , các tính chất và phép toán

- Học viên cần nắm được khái niệm số phức và thành thạo các phép tính số phức

NỘI DUNG

I LÝ THUYẾT

1.7 ĐA THỨC

1.7.1 Khái niệm về đa thức

Cho số tự nhiên n trên trường K là một hàm có dạng:

  2

n

p x  a x a x  a x với , , ,a a0 1 a n (ThườngK là R hoặc C) K

+ Nếu 0a n  ta nói đa thức p x có bậc n;  

+ Nếu a1a2  a n và 0 a0 ta nói đa thức 0 p x có bậc 0 (  p x  hằng số 0 ); + Nếu a0 a1a2  a n ta nói đa thức 0 p x  có bậc (p x 0)

Đa thức là một hàm đơn giản, dễ tính giá trị, đạo hàm và nguyên hàm

1.7.2 Chia đa thức cho đa thức bậc nhỏ hơn

Thí dụ 1.24 Giả sử ta cần chia p x  -6+x7x3 cho x5 q x -1-x x 2 x3

p x cho q x ta được: p x q x p x( ) ( )1 r x( ), trong đó: p x1  là đa thức bậc n-m và r x  là đa

thức bậc nhỏ hơn m gọi là đa thức phần dư của phép chia.

1.7.3 Nghiệm của đa thức

Số  gọi là nghiệm của đa thức K p x  nếu p   0

Định lý 1.1 Giả sử p x  là đa thức bậc n Điều kiện cần và đủ để 0 p x  có nghiệm  là

 

p x chia hết cho x ; nghĩa là  p x (x) ( )p x1 , trong đó: p x1  là đa thức bậc n-1

Chứng minh…

Định lý 1.2 (D’Alembert) Mọi đa thức p x bậc   n đều có ít nhất một nghiệm, thực hoặc phức 1

Định lý 1.3 Mọi đa thức p x  bậc n  đều có đúng n nghiệm, thực hoặc phức, đơn hoặc bội Đồng 1thời có thể phân tích p x  thành:

p x (x1).(x2) (xn),

trong đó k,k1,n là n nghiệm của p x  

p x  a x a x  a x với a a0, , ,1 a nR n, 1,a n  trên trường C 0

Lần lượt thay x bởi số phức z và z ta có:   2

2

n r  s

Ta xét các đa thức dạng: (xj).(xj)x2(jj)x j j Do  b j jj,

x x , hãy áp dụng số phức để tính giá trị của biểu thức A= cotg7x - sin2x

2 Tính giá trị của các biểu thức :

(1 ) 1(2 ) 1

i i

  +

9 7

(1 )(1 )

i i

i i



  Z =     15 8i 3 4i

3 Giải phương trình : x 4 + 6x 3 + 9x 2 + 100 = 0 Biết phương trình có 1 nghiệm phức là x= 1+2i

4 Giải phương trình : x 4 -3x 3 + x 2 + 4x - 6 = 0 Biết phương trình có 1 nghiệm phức là x= 1- i

5 Giải phương trình trong trường số phức và viết các nghiệm dưới dạng Euler: x 6 -7x 3 - 8 = 0

6 Giải phương trình trên trường phức: p(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0

Viết đa thức p(x) thành tích các đa thức bậc 2 với các hệ số thực

B Bài tập về nhà: 1.4-1.9, 1.16, 1.18-1.24, 2.6-2.16, 2.26-2.32

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG

Học phần: ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Đơn vị: Bộ môn Toán, Khoa CNTT

Thời gian: Tuần 4 Tiết 13-16

GV giảng 4, HV tự học: 4 Giáo viên: Nguyễn Trọng Toàn

Chương 2 MA TRẬN ĐỊNH THỨC & HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Các mục 2.1 Ma trận

2.2 Các phép tính trên ma trận 2.3 Định thức

c) Ma trận đường chéo: Các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0

Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo và các phần tử nằm trên đường chéo bằng 1

d) Ma trận tam giác:

- Ma trận tam giác trên: Ma trận vuông, các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính bằng 0

- Ma trận tam giác dưới: Ma trận vuông, các phần tử nằm phía trên đường chéo chính bằng 0 Thí dụ 2.2 O  0 0 00 0 0 Ma trận không cỡ 2x3;

Cho hai ma trận A =(a )ij m p và B = (b )ij p n : Số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B

Ta gọi tích AB hay AB là ma trận C=(c )ij m n , mà phần tử cij được xác định bởi công thức:



 : Tính phân phối với phép cộng ma trận

Lưu ý. Nói chung, kể cả 2 ma trận A và B vuông, cùng cấp, ta không có AB BA Như vậy,

phép nhân ma trận không có tính giao hoán

    AB=O nhưng BA O

 Đặt M là tập tất cả các ma trận vuông cùng cấp n Khi đó n (M , , )n   là một vành không giao

hoán

2.3 ĐỊNH THỨC

2.3.1 Khái niệm định thức

Giả sử A là ma trận vuông cấp n>1 Ta gọi ma trận con M ij của ma trận A tương ứng với phần tử

a ij là ma trận vuông cấp n-1 suy từ A bằng cách bỏ đi các phần tử hàng i và cột j

Thí dụ 2.6 Sau đây là ma trận A và các ma trận con M 23 và M 12 tương ứng với các phần tử a 23 và a 12

 Định nghĩa: Định thức của ma trận A vuông cấp n, gọi chung là định thức cấp n, được định

nghĩa theo phương pháp qui nạp như sau:

- Nếu A là ma trận cấp 1: A=(a 11 ), thì det(A)=a 11;

- Nếu A là ma trận cấp 2: 11 12

A a a  thì det A a a11 22a a12 21a det M11  11a det M12 ( 12);

i) Phép lấy chuyển vị ma trận không làm thay đổi giá trị định thức: det(A) det(A ) T

Hệ quả Một tính chất được phát biểu đúng với các hàng của ma trận thì nó cũng đúng với các cột của

ma trận

ii) Nếu đổi chỗ 2 hàng (2 cột) của định thức thì định thức đổi dấu

iii) Một định thức có hai hàng (2 cột) giống nhau thì bằng 0

iv) Khai triển định thức theo hàng i :

det(A) ( 1)  i 1 a det(M ) a det(M ) a det(M ) ( 1)i1 i1  i2 i2  i3 i3    1 n a det(M )in in 

Khai triển định thức theo cột j :

det(A) ( 1)  j 1 a det(M ) a det(M ) a det(M ) ( 1)1j 1j  2 j 2 j  3j 3j    1 n a det(M )nj nj 

Chú ý Nếu đặt cij = (-1)i+j det(Mij), gọi là phần phụ đại số của phần tử a ij của ma trận A, thì các

công thức khai triển định thức theo hàng i và theo cột j có thể viết lại như sau:

v) Nếu ma trận A có một hàng gồm toàn số 0 thì det(A) 0

vi) Nếu nhân các phần tử của một hàng (1 cột) của định thức với cùng một số k thì định thức được

nhân với k

vii) Nếu ma trận A có hai hàng tỷ lệ thì định thức tương ứng bằng 0

viii) Nếu nhân các phần tử của hàng r (cột r) với số k rồi cộng vào hàng s (cột s) thì định thức

không đổi Nếu cộng vào một hàng một tổ hợp tuyến tính của các hàng khác thì định thức không đổi

ix) Định thức của ma trận tam giác trên (dưới) bằng tích các phần tử trên đường chéo chính

Để tính định thức cấp n, nếu sử dụng công thức trong định nghĩa ta phải tính n định thức cấp n-1

Như vậy ta phải tính trên n! phép tính Vì vậy cần phải nghiên cứu tính chất của định thức để có thể

biến đổi định thức về dạng đơn giản và do đó tính toán nhanh hơn

 Các phép biến đổi sơ cấp

a) Nhân một hàng với một số k 0: Định thức được nhân với k;

b) Đổi chỗ 2 hàng: Định thức đổi dấu;

c) Cộng k lần một hàng r vào hàng s: Định thức không đổi

1 2

1 2 3

Dễ nhận thấy quá trình tính toán thực hiện qua n-1 bước biến đổi ma trận Từ bước thứ k

(k=1,2, ) k hàng đầu của định thức không đổi nên có thể rút gọn quá trình tính toán như sau:

Định nghĩa: Cho A( )a ij n n Nếu tồn tại ma trận B vuông cấp n sao cho AB= BA = E (ma trận đơn

vị) thì ma trận A gọi là khả nghịch và B gọi là nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu B A 1

Điều kiện đủ Giả sử A khả nghịch Khi đó tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho AB=E Theo

tính chất của định thức thì det (AB) det(E) 1  det(A).det(B) 1 det(A) 0.

Điều kiện cần Giả sử det (A) 0 Đặt cij = (-1)i+j det(Mij), gọi là phần phụ đại số của phần tử aij

của ma trận A, ta có:

1 1 2 2 3 3

1

0 khi

Trong chứng minh định lý trên người ta chỉ ra cách tính ma trận nghich đảo Tuy nhiên, theo

công thức này ta phải tính n2 định thức cấp n-1

 Phương pháp Gauss - Jordan: Xét các phép biến đổi sơ cấp về hàng của ma trận A:

1 Nhân hàng r với một số k 0 Nhân bên trái A ma trận sơ cấp F(r,k)

2 Đổi chỗ 2 hàng r và s Nhân bên trái A ma trận sơ cấp P(r,s)

3 Cộng k lần một hàng r vào hàng s Nhân bên trái A ma trận sơ cấp Q(r,k,s)

Trong đó F(r,k) = [… ] P(r,s) = [ ] Q(r,k,s) = […]

Các ma trận sơ cấp đếu khả nghịch và F(r,k)-1 = F(r,1/k) , P(r,s) = P(r,s) Q(r,k,s)-1 = Q(r,-k,s) Nếu dùng liên tiếp k phép biến đổi sơ cấp để đưa được A về ma trân đơn vị thì :

Ek Ek-1…E2E1A = E  Ek Ek-1…E2E1 = A-1  Ek Ek-1…E2E1 E =A-1

Như vậy các phép biến đổi sơ cấp biến đổi A về E cũng sẽ biến đổi được E về ma trận đơn vị Từ

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG

Học phần: ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Đơn vị: Bộ môn Toán, Khoa CNTT

Thời gian: Tuần 5 Tiết 17-20

yêu cầu

- Giới thiệu hạng và cách tính hạng ma trận, Hệ phương trình tuyến tính

- Giới thiệu các phương pháp giải Hệ phương trình tuyến tính

Giả sử p là số nguyên dương thỏa mãn p  min( , ) m n

Mỗi ma trận vuông cấp p suy từ ma trận A bằng cách bỏ đi m - p hàng và n - p cột gọi là ma trận con cấp p của ma trận A Định thức của ma trận con cấp p của ma trận A gọi là định thức con cấp p

  là ma trận con cấp 2 của A, det (B) = -16

2.5.1 Định nghĩa 1.4 Hạng của ma trận A, ký hiệu là rank(A), là cấp cao nhất của các định thức con khác không của A

Cách này phải tính rất nhiều định thức con

Ta gọi một ma trận là có dạng bậc thang nếu thỏa mãn:

 Các hàng khác 0 nằm trên hàng 0

 Trong 2 hàng khác 0: Phần tử khác 0 đầu tiên của hàng trên có chỉ số cột bé hơn chỉ số cột của phần tử khác 0 đầu tiên của hàng dưới

b) Cách 2: Dùng các biến đổi sơ cấp đối với hàng (hoặc đối với cột) để đưa A về dạng bậc thang

Do các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận Do đó hạng của A bằng số hàng (hoặc số cột) khác không của ma trận dạng bậc thang thu được

Chú ý Nếu A là ma trận vuông cấp n thì rankA = n  A khả nghịch

2.6.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

 Định nghĩa 2.1 Hệ m phương trình tuyến tính n ẩn có dạng

m

b b b b

 Định nghĩa 2.2 : Hệ phương trình (2.2) với m = n, và detA ≠ 0 gọi là hệ Cramer

 Định lý 2.1 Hệ Cramer có nghiệm duy nhất cho bởi công thức: x = A-1b

n1 n2 n, j 1 n n, j 1 nn

a a a b a a

a a a b a aA

a) Hệ tam giác trên

Xét hệ phương trình có dạng tam giác trên:

1 1, 1

Rõ ràng, trong trường này không cần tính một định thức nào

b) Phương pháp Gauss (Giải hệ phương trình tuyến tính dạng tổng quát bằng các phép biến

ma trận đó là một hệ phương trình tương đương với hệ đã cho

- Nếu b  r 1 0 (rank A rank A  ): Hệ vô nghiệm

- Nếu br 1  0 (rank A rank A ): Hệ có nghiệm Có 2 trường hợp:

+ Khi r = n hệ có nghiệm duy nhất

+ Khi r < n hệ có vô số nghiệm (có n-r ẩn tự do hay phương trình có số bậc tự do là n-r)

Để tìm nghiệm ta cho các ẩn tự do những giá trị tùy ý, rồi tiếp tục giải bằng phương pháp thế

ngược từ dưới lên

Định lý (Kronecker-Cappelli) Hệ phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi rank A rank A 

Thí dụ 2.17 Giải và biện luận theo λ hệ phương trình

Nếu λ = -3 , hệ phương trình vô nghiệm

Nếu λ ≠ -3, hệ có nghiệm phụ thuộc tham số λ

 Hệ thuần nhất luôn luôn có nghiệm x0, gọi nghiệm tầm thường

Định lý Nếu hệ thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn thì:

Hệ có nghiệm không tầm thường det(A) 0 

Để tìm các nghiệm không tầm thường của hệ thuần nhất ta có thể dùng phương pháp Gauss

Thí dụ 2.18 Tìm λ để hệ sau có nghiệm không tầm thường:

Suy ra nếu  = 4 thì hệ có nghiệm không tầm thường

Nghiệm tổng quát của hệ: x     t , , t t   t    1, 1,1  với t là giá trị tùy ý

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG

Học phần: ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Đơn vị: Bộ môn Toán, Khoa CNTT Thời gian: Tuần 6 Tiết 21-24

GV giảng 4, HV tự học: 4

Giáo viên: Nguyễn Trọng Toàn

Chương 2 MA TRẬN ĐỊNH THỨC & HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Các mục Chữa bài tập chương 2

8 Hãy giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer : 11 22 33

2x - x - x 43x 4x -2x 113x -2x 4x 11

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG

Học phần: ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Đơn vị: Bộ môn Toán, Khoa CNTT

Thời gian: Tuần 7 Tiết 25-28

3.1 Không gian vector, không gian con

3.2 Cơ sở và chiều của không gian vector

Mục đích -

yêu cầu

- Giới thiệu các không gian vector, không gian con

- Nắm chắc phương pháp tìm cơ sở và chiều của không gian vector

NỘI DUNG

I LÝ THUYẾT

Chương 3 KHÔNG GIAN VECTOR - KHÔNG GIAN EUCLID

3.1 KHÔNG GIAN VECTOR, KHÔNG GIAN CON

Đặc trưng của vector hình học:

- Phương: Phương của đường thẳng đi từ gốc đến ngọn;

- Chiều: Hướng vector đi từ gốc đến ngọn;

- Độ dài: Độ dài đoạn thằng nối gốc và ngọn, ký hiệu:  AB ,  a

Hai vector được xem là bằng nhâu nếu chúng cùng phương, cùng chiều và cùng độ dài

Trong không gian vector hình học, người ta đã định nghĩa các phép toán: Cộng hai vector, nhân vector với một số và tích vô hướng của hai vector

- Nhân vector với một số:

Cho k R,a R    3 Khi đó k.a  có phương cùng a , cùng chiều với a  nếu k 0  và ngược chiều với a  nếu k 0  , có độ dài là k a 

- Tích vô hướng của hai vector: a, b    a b cos   

Việc nghiên cứu không gian vector hình học đã dẫn đến rất nhiều những ứng dụng trong vật lý và

kỹ thuật Vì vậy cần phải mở rộng khái niệm vector

3.1.2 Định nghĩa không gian vector

Có nhiều tập hợp mà các phần tử của nó có thể cộng lại được với nhau hay có thể nhân với một

số Các tập hợp ấy cần phải bổ xung một số yếu tố để có thể trở thành không gian vector như:

k R x V ,   kx V Hai phép toán trên phải thỏa mãn 8 tính chất :a b R, 

i) x y z V, ,  x y y x  

ii) x y z V, ,  x y   z x y z

iii) vector  V, gọi là vector không , thỏa mãn x     x x,   x V

iv) xV  vector (-x) V thỏa mãn x            x x x x x

v) a x y ax ay

vi) (a b x ax )  bx

vii) ( ) ( )ab x a bx

viii) 1 x x

3.1.3 Một số không gian vector

Ngoài không gian vector hình học R 3, còn có nhiều không gian vector khác cần được nghiên cứu

a) Không gian R n Đây là không gian được quan tâm nhiều nhất

Xét tập R n { |x xx x x1, , , ,2 3  x n, ,x iR i1, n} Trên Rn xác định hai phép toán cộng vector và nhân vector với một số như sau:

Nếu a( , ,a1 a n); b( , ,b1 b n),  thì: R 1 1

1

( , , ),( , , )

b) Không gian các đa thức P n

Xét tập Pn các đa thức hệ số thực bậc không quá n :

Nếu 0a n  ta nói đa thức p có bậc là n; Nếu 0 a n  ta nói đa thức p có bậc nhỏ hơn n

Tập Pn với phép toán cộng 2 đa thức và phép nhân đa thức với một số thực là một không gian vector Trong đó: Vector không là đa thức 0, tức là tất cả các hệ số của đa thức đều bằng 0

Vector đối của p x( ) là p x( )  a0 a x a x1  2 2a x n n

c) Không gian các hàm liên tục C[a,b]

Xét tập C a b , gồm tất cả các hàm liên tục trên  a b, Trên C a b , xác định hai phép toán: + Phép cộng 2 vector: f g C a b,    , f g x :  f x g x ;

+ Phép nhân vector với một số: f C a b k R kf , ,       x :  k f x   ;

+ Vector trung hòa là hàm 0: 0( ) 0x  với  x [ , ]a b

+ Vector đối của f C a b[ , ] là  f C a b[ , ] xác định như sau:  x [ , ] (- )( ) - ( )a b f x  f x Khi đó C[a,b] trở thành không gian vector

Không phải mỗi một tập hợp và hai phép tính xác định trên đó cũng có thể trở thành một không gian vector

Thí dụ 3.1 Xét tập P2* gồm các đa thức bậc 2 Rõ ràng p x  1 2x3x2 và q x  1 2x3x2 là hai đa thức của P Nhưng 2*   *

2

p x q x   x P Vì vậy tập P với hai phép tính cộng đa 2*

thức và nhân đa thức với một số không phải là không gian vector

3.1.4 Tính chất của không gian vector

Giả sử V là không gian vector Khi đó:

3.1.5 Không gian con

Định nghĩa 3.2 Giả sử V là không gian vector với hai phép tính cộng vector và nhân vector với một số

đã xác định Nếu W là tập con của V và W cùng với hai phép tính xác định trong V cũng tạo thành không gian vector thì W được gọi là không gian con của không gian vector V

Thí dụ 3.2 Tập Pn là tập con của tập C a b , Đồng thời Pn cũng là không gian vector với hai phép tính tương tự của C a b , Do đó nó là không gian con của không gian C a b ,

 Điều kiện để một tập con trở thành không gian con:

Định lý 3.1 Giả sử V là không gian vector và W tà tập con khác rỗng của V Nếu W thỏa mãn 2 tính chất sau :

a) u v W,     ; u v W

b)  u W,  k R k u W 

thì W là không gian con của không gian V

Chú ý: Hai điều kiện a) và b) tương đương với điều kiện

Do A kx( 1)B ky( 1)k Ax( 1By1) 0 nên k uW Vậy W là không gian con của R 2

Thí dụ 3.4 Tập M m n gồm các ma trận cỡ m n với hai phép tính cộng hai ma trận và nhân ma trận với một số tạo thành không gian vector Do đo tập M gồm các ma trận vuông cấp n với hai phép tính 2

trên cũng là một không gian vector Từ đó dễ dàng CMR tập các ma trận có dạng 0

0

b a

  là một không gian con của M 2

3.1.6 Tổ hợp tuyến tính, hệ sinh của không gian vector Giả sử S là một họ m vector của không

gian vector V: S  , , ,v v1 2  v m và V c c1 2, , , c m là m số thực Khi đó biểu thức:

Thí dụ 3.5 Xét các vector u(7, 1), v1(2,1),v2 (1, 1), v3 (0, 0) trong không gian R2 Ta thấy:

u v  v  v Do đó u là tổ hợp tuyến tính của họ v v v1 2, , 3

Định lý 3.2 ( )L S là không gian con của không gian vector V

Không gian ( )L S còn gọi là không gian con sinh bởi họ (hệ) vector S Nói cách khác mọi vector

của L S( )đều là tổ hợp tuyến tính của họ S

Định nghĩa 3.3 Giả sử S là một họ m vector của không gian vector V Nếu ( )L S  thì S gọi là hệ V

sinh của không gian V; Hay không gian vector V sinh bởi họ vector S

Rõ ràng là S là hệ sinh của không gian L S( )

Nếu S là hệ sinh của không gian vector V thì bổ xung vào S một hay nhiều vector thì S vẫn là hệ sinh của V Nhưng nếu bỏ đi một vector từ S thì những vector còn lại có thể không còn là hệ sinh nữa

Thí dụ 3.6 Trong không gian R3 xét họ E e , e ,e1 2 3với e1(1, 0, 0);e2 (0,1, 0) và e3 (0,0,1)  u R3 u ( , , )x y z x(1,0,0)y(0,1,0)z(0,0,1)x e.1y e 2z e 3 u L E( )

Vì vậy E là hệ sinh của R3

Tương tự, dễ thấy trong không gian R n họ vector Ee ,e , ,e1 2 n với e11, 0, 0, , 0  ,

2 0,1, 0, ,0

e   , e3 0,0,1, , 0 , ,   e n 0,0, 0, ,1  là hệ sinh của không gianR n

3.1.7 Họ vector độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Định nghĩa 3.3 Họ vector S v v1, , ,2  v m được gọi là họ phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại bộ V

c v



 

 chỉ xảy ra khi c1c2   c m thì họ S được gọi là độc lập tuyến tính 0

Thí dụ 3.7 Trong không gian R3 xét họ E e , e ,e1 2 3 với e1(1, 0, 0);e2 (0,1, 0)và e3 (0,0,1) Giả sử   1 1e 2 2e  3 3e 1, 0, 0   1  20,1, 0 30, 0,1       1, 2, 3 0, 0, 0 hay      Suy ra E là họ vector độc lập tuyến tính 1= 02 3

Tổng quát hơn, trong không gian R n họ vector Ee , e , ,e1 2 n với e11, 0, 0, , 0  ,

2 0,1, 0, ,0

e   , e3 0,0,1, , 0 , ,   e n 0,0, 0, ,1  là họ độc lập tuyến tính

Để xem xét một họ vector Sv v1, , ,2  v m độc lập hay phụ thuộc tuyến tính ta cần phải V

giải một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất x v1 1x v2 2  x v m m  Nếu hệ chỉ có nghiệm tầm thường ( , ,x x x1 2 m) (0,0, , 0) thì S là họ độc lập tuyến tính, ngược lại thì hệ là phụ thuộc tuyến tính

Thí dụ 3.8 Trong R4 họ vector S a b c d, , ,  sau đây là độc lập hay phụ thuộc tuyến tính :

2,1, 1, 0 ,   1,1, 2,1 ,  0, 2,3, 2 ,  3, 1,1,1

Giải Giải hệ phương trình x a x b x c x d1  2  3  4 0 0 0 0, , ,  hay

1 2 3 4

ta được

Vậy họ vector đã cho là độc lập tuyến tính

Nhận xét: Nếu  thì họ S phụ thuộc tuyến tính; S

- Trong không gian R3 :

+ Họ 2 vector đồng phương là phụ thuộc tuyến tính; Họ 2 vector không đồng phương là độc lập tuyến tính

+ Họ 3 vector đồng phẳng là phụ thuộc tuyến tính ; Họ 3 vector không đồng phẳng là độc lập tuyến tính

+ Họ 4 vector bất kỳ là phụ thuộc tuyến tính

- Nếu họ Sv v1 2, , , v m là họ phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại bộ số c c1 2, , , c m R

không đồng thời bằng 0 để

1

m

i i i

là tổ hợp tuyến tính của các vector khác trong S

3.2 CƠ SỞ VÀ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VECTOR

3.2.1 Định nghĩa 3.4 Họ n véc tơ Bv v1, , ,2 v ngọi là cơ sở của không gian véc tơ V nếu thỏa

mãn 2 điều kiện sau:

+ Bv v1, , ,2 v nlà họ độc lập tuyến tính;

+ Không thể tìm được trong V n+1 vector độc lập tuyến tính

Khi đó ta nói chiều của không gian V là n, kí hiệu: dim V n.

Nếu trong V ta tìm được vô số vector độc lập tuyến tính thì V gọi là không gian vô hạn chiều

Thí dụ 3.9 Trong không gian R3, một họ 3 vector không đồng phẳng là một cơ sở của R3 và do đó

 3

dim R  3

- Không gian C a b là không gian vô hạn chiều  ,

3.2.2 Tính chất của cơ sở và chiều của không gian vector

a) Nếu S a a1, , ,2  a m là hệ sinh và T b b1, , , 2  b n là một họ vector độc lập tuyến tính

trong không gian vector V thì m  n Suy ra số vector của một cơ sở không vượt quá số vector của

một hệ sinh bất kỳ

b) Nếu Bv v1 2, , ,v n là một hệ sinh của không gian V và B độc lập tuyến tính thì B là một cơ

sở của không gian V và dim V  n

Do đó cơ sở là họ vector độc lập tuyến tính có nhiều vector nhất và là hệ sinh có ít vector nhất

Thí dụ 3.10 Trong thí dụ 3.6 ta đã chứng minh họ Ee ,e , ,e1 2 n với e11,0,0, ,0 ,

2 0,1, 0, ,0

e   , e30,0,1, , 0 , ,   e n 0,0, 0, ,1  là hệ sinh của không gian R n, trong thí dụ 3.7 ta chứng minh E là họ độc lập tuyến tính Vì vậy E là một cơ sở của của R n và dim R n  Cơ n

sở E được gọi là cơ sở chính tắc của R n

Xét họ vector B{1, , , }x x n trong không gian P n

c) Nếu Bv v1 2, , ,v n là cơ sở của không gian vector V, thì mỗi véc tơ u V đều có thể biểu

diễn bởi một tổ hợp tuyến tính qua duy nhất của B Tức là:

3.2.3 Về hệ hệ phương trình tuyến tính tổng quát

n

x x x x

m

b b b b

1j

2 j j mj

aa

i) Tập nghiệm N0 gồm tất cả các nghiệm của hệ phương trình thuần nhất Ax  là một

không gian con của Rn;

ii) Nếu rank A  thì r dim N 0  n r.

3.2.4 Ma trận tọa độ của vector đối với một cơ sở

Như mục 3.2.2 ở trên đã xét, nếu Bv v1 2, , ,v nlà cơ sở của không gian vector V, thì mỗi

vector u V đều có thể biểu diễn bởi một tổ hợp tuyến tính qua duy nhất của B Tức là  duy nhất

là vector tọa độ của vector u đối với cơ sở B và   u B c c1 2, , , c nT gọi là ma trận tọa tọa độ của

vector u đối với cơ sở B Như vậy giữa một vector trong V và vector tọa độ của nó có một tương ứng

1-1 Nhờ đó người ta có thể nghiên cứu tính chất của vector trong các không gian n-chiều bất kỳ như

các vector của không gian Rn Để tìm ma trận tọa độ của một vector đối với cơ sở cho trước ta phải

giải một hệ phương trình tuyến tính

Thí dụ 3.11 Hãy tìm ma trận toạ độ của véc tơ w đối với cơ sở Bu u1, , 2 u3 trong không gian R3,

Giải hệ phương trình trên ta được

-2 01

3.3.2 Ma trận tọa độ của một họ vector đối với một cơ sở

Giả sử Bv v1 2, , ,v nlà cơ sở của không gian vector V và S u u1, , ,2  u m là họ m vector của V Khi đó ta có

1 2

1,

j j

j B

nj

a a

  : Gọi là ma trận tọa độ của họ vector S đối với cơ

sở B Để tìm ma trận tọa độ của một họ vector đối với một cơ sở thay vì phải giải m hệ phương trình tuyến ta giải một phương trình ma trận

Thí dụ 3.12 Trong R4 hãy tìm ma trận toạ độ của họ vevtor Sv v1 2,  đối với cơ sở