Bai giang toan A1

Hai ma trận bằng nhau là hai ma trận cùng cấp và có các phần tử tương ứng bằng nhau, ghi A=BMa trận vuông cấp n là ma trân có n dòng và n cột.. Ma trận chuyển vị của ma trận A là ma trận

CHƯƠNG 2

MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

§1 Ma trận 1.1 Các khái niệm

1.2 Các phép toán

§2 Định thức 2.1 Định nghĩa

2.2 Các tính chất của định thức

§3 Ma trận nghịch đảo

§4 Hạng của ma trận

§1 Ma trận

1.1 Các khái niệm cơ bản

Ma trận cấp m×n là một bảng, gồm m×n số được xếp thành

m dòng và n cột, kí hiệu:

Hai ma trận bằng nhau là hai ma trận cùng cấp và có các phần tử tương ứng bằng nhau, ghi A=B

Ma trận vuông cấp n là ma trân có n dòng và n cột Kí hiệu

An

Đương chéo: khi A là ma trận vuông, các phần tử aii ∀i tạo thành đường chéo chính, các phần tử an1, an − 1 2, , a1n tạo thành đường chéo phụ

Ma trận tam giác là ma trận vuông có tất cả các phần tử

aij=0 khi ∀i>j hoặc khi ∀i<j

Ma trận dòng là ma trận chỉ có một dòng (véctơ dòng)

Ma trận cột là ma trận chỉ có một cột (vectơ cột)

Ma trận không là ma trận có aij = 0 ∀ij, kí hiệu θ

Ma trận chuyển vị của ma trận A là ma trận được xác định từ ma trận A bằng cách chuyển các dòng thành các cột tương ứng, kí hiệu là AT

Ma trận chéo là ma trận vuông có aij=0 ∀i≠j

Ma trận đơn vị cấp n là ma trận chéo cấp n có aii=1∀i Ký hiệu In

(ma trận chéo)

1.2 Các phép toán trên ma trận

Phép cộng hai ma trận cùng cấp

Cho A m × n=(aij), B m × n=(bij) ⇒ A+B=(aij+bij) m × n

Phép nhân một số với một ma trận

Cho A=(aij)m × n, λ∈R ⇒ λA=(λaij) m × nChú ý: Phép trừ hai ma trận cùng cấp như sau:

A−B = A+(-1)B

Phép nhân hai ma trận

Cho Am × p=(aik) và Bp × n=(bkj)

Ta có: A.B = (cij)m × n với cij=

n laàn

§2 ĐỊNH THỨC

2.1 Ma trận con

a) Ma trâïn con cấp k

Ma trâïn vuông cấp k lập từ các phần tử nằm trên giao của

k dòng và k cột của Amxn, được gọi là ma trận con cấp k của A

b) Ma trận con bù của phần tử aij

A là ma trận vuông cấp n, ma trận con cấp n−1 lập từ A

bằng cách bỏ đi dòng i và cột j được gọi là ma trận con bù của phần tử aij, kí hiệu Mij

Cho ma trận vuông An=(aij), ta gọi định thức cấp n của ma trận A là một số, ký hiệu detA hoặc |A|, được định nghĩa như sau:

TC1: detAn=a11detM11−a21detM21+ +(−1)n+1an1detMn1 (2)

TC2: Đổi chỗ hai dòng(hai cột) cho nhau thì định thức đổi dấu

TC3: Định thức có hai dòng(cột) giống nhau thì bằng 0

TC4: Gọi phần bù đại số của phần tử aij là:

Aij =(−1)i+j detMij (Mij là ma trận con bù của aij), ta có:

Khai triển định thức theo dòng i

TC5: Nếu tất cả các phần tử của một dòng(cột) là tổng của hai số hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng của hai định thức.

TC8: Lấy một dòng(cột) nhân với một số rồi cộng tương ứng với một dòng (cột) khác thì định thức không đổi

TC9: detAB = detA.detB

TC10: detA=detAT

§3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Định nghĩa1:Cho ma trận vuông A cấp n, nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho AB = BA = In thì ta nói A khả đảo và gọi B là ma trận nghịch đảo của A, kí hiệu A−1

Định lí 2: 1/ Nếu A không suy biến thì (A−1)−1 = A

2/ Nếu A, B vuông cùng cấp không suy biến thì A.B có ma trận nghịch đảo: (AB)−1 = B−1A−1

Có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để tìm ma trận nghịch đảo

Có 3 phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận là:

 Đổi chỗ hai dòng cho nhau: di ↔ dj

 Nhân một dòng với một số khác không: λdi → di

 Nhân một dòng với một số λ và cộng vào 1 dòng khác

 AX = B ⇔ X = A−1.B (1)

 XA = B ⇔ X = B.A− 1 (2)

§3 HẠNG CỦA MA TRẬN

3.1 Định nghĩa hạng của ma trận

Hạng của ma trận Amxn là cấp cao nhất của định thức con khác không trong A, kí hiệu là r(A)

Vậy: 0≤r(A)≤ min(m,n)

Quy ước: Nếu A là ma trận không, quy ước r(A)=0

Hệ quả: r(A)=r(AT)

3.2 Cách tìm hạng của ma trận

a/ Tìm r(A) bằng định nghĩa

Định lí: Nếu trong ma trận A tất cả các định thức con cấp k đều bằng 0 thì tất cả các định thức con cấp k+1 cũng bằng 0

Hệ quả: Nếu A có tất cả các định thức con cấp k bằng 0 thì r(A)<k

Nếu A≠θ thì r(A)≥1

Nếu có định thức con cấp 2 khác 0 thì r(A)≥2

Nếu tất các định thức con cấp 2 bằng 0 thì r(A)=1

Quá trình cứ tiếp tục như vậy, sau một số hữu hạn bước sẽ kết thúc vì r(A)≤Min(m,n)

TD: Tìm hạng của ma trận A=

b/ Ma trận bậc thang dòng

không làm thay đổi hạng của ma trận

1/ Đổi chỗ hai dòng(cột) cho nhau

2/ Nhân một dòng(cột) với một số λ≠0

3/ Nhân một dòng(côt) với một số rồi cộng tương ứng

với một dòng(cột) khác

4/ Loại bỏ khỏi ma trận những dong(cột) có tất cả

các hệ số bằng 0