Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trọng.. tâm G của tam giác ABO và vuông góc với AB luôn đi qua một điểm cố định.
Trang 1Dé thi os sinh iid 9, nam Wye 2003200, Pa TY
(Thời gian : 150 phút)
Bài 1 : (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố
lớn hơn 3 thì (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24
b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương
trình : xy - 2x - 3y + 1= 0
Bài 2 : (2 điểm) Cho các số a, b, c khác
0 và đôi một khác nhau, thỏa mãn điều kiện
a3 + bŠ + c3 = 3abc Tính :
(RE — + c-a a) a + | — + — + b c )
Bài 3 : (2 điểm) a) Tìm a để phương trình
3|x| + 2ax = 3a — 1 có nghiệm duy nhất
b) Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c
thỏa mãn điều kiện |f(x)|< 1 với moi x [1 ; 1]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 4a2 + 3b
Bài 4 : (1,5 điểm) Cho xOy và hai điểm
A ; B lần lượt nằm trên hai tia Ox ; Oy, thỏa mãn OA - OB = m (m là độ dài cho trước
Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trọng
tâm G của tam giác ABO và vuông góc với
AB luôn đi qua một điểm cố định
Bài 5 : (2,5 điểm) Cho tam ọ ABC Goi h,, hy, h, lan lượt là các đường cao và m„, m,, m, lần lượt là các đường
trung tuyến của các cạnh BC, CA, AB ; R và
r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC
Chứng minh rằng ; Ta „To „mẹ ¿ R+t, hạ lạ hẹ r
Trang 2
Bài 1 : a) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ, không chia hết cho 3 Do đó : ep=2k+1(k € Z, k> 1) suy ra A= (p - 1)(p + 1) = 2k(2k + 2) = 4k(K + 1) = Ai 8; ep= 3h ‡ 1(h e Z, h> 1) suy ra A ‡ 3 Vậy A = (p - 1)(p + 1) ¡ 24
b) Ta có xy - 2x ~ 3y + 1 = 0 c> y(x — 3) = 2x — 1 ()
Vì x = 3 không là nghiệm của phươngtrình đã cho nên (*) <> y = at 2+ +3 Viy la sé nguyén nén 5 : (x — 3), suy ra x — 3 nhan cac gia tri + 1 ; + 5 Từ đó ta xác định đượchai nghiệm nguyên dương(x ; 9 của phươngtrình đã cho là : (4 ; 7) va (8 ; 3) Bài 2 : Ta có a3 + bŠ + c3 = Babe <> 2 (8 +b + G)@ — b)Ê + (b — c)? + (c — a)?] =0
sa+b+c =0 (do a, b, c đôi một khác, nhau)
_b „ © a(e-aJ(a-b)+b(ồ~c)(a-b)+e(b ~e)(c 8)
_ (a2 +b +e2)(a +b +e)~2(a3 +bŠ + c3) — 3ab: ~9abc
ˆ (a—b)(b—c)(c-a) ~b)(b ~6)(e =8) `
b~c,c-a, a-b _ be(b-c) + ca(c -a) + ab(a - b)
Suy ra
Mặt khác ——“+ “——
_ ~be[(a—b) + (c —a)] +ca(c —a) + ab(a—b) _ -(a—b)(b -—c)(c —a)
+ Nếu x > 0 thi (1) co 3x + 2ax = 3a ~ 1 c> x(2a+3)=3a—1 (2)
Với a = ta có (2) vô nghiệm ;
3a-1 2a+3
+ Nếu x <0 thi (1) <> -3x + 2ax = 3a ~ 1 cs x(2a - 3) = 3a ~ 1 @) Với a= 3, ta có (2) vô nghiệm ;
và x; sẽ là nghiệm của (1) nếu >0
Với a z ~ Š., nghiệm của (2) là x = 28~
3 An cg 3a-1 - iêm cả
Với a + `, nghiệm của (2) là xạ = 25 — và xạ sẽ là nghiệm của (1) nếu
+ Nhưvậy, (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi PP 20 hoặc f <0
Xp > X2 <0
2
3a~1 38-10 _ (3a-1J
X;Xạ >0 >
S3 2213 24-37 TS 4a2-g 20eant hoặc a > 2 hogea<-3
Trang 3
b) Từ điều kiện |f(x)| < 1, với mọi x e [-1, 1], ta có :
lf(0) - f(1)| < 2 = (a+b)? <4; |f(0) - f(—1)| <2 = (a - b) < 4
Mat khac 4a? + 3b? = 2(a + b)* + 2(a — b)2 — b? < 2(a + b)? + 2(a — b)? < 16
Vay 4a? + 3b? đạt giá trị lớn nhất bằng 16, khi và chỉ khi : (a ; b ; c) nhận giá trị là (2;0; -1) hoặc (—2 ; 0; 1)
Bài 4 : Lấy điểm C thuộc đoạn OA sao cho OC = m (C cố định)
Vẽ đường tròn ngoại tiếp AABO và
trung trực của AB, cắt nhau tại M
Đường thằng qua trọng tâm G của
AABO vuông góc với AB cắt OM tại N
Ta có AMAC = AMBO (c.g.c) suy ra
MO = MC ;
OMB = CMA = OMC = BMA = AOB =a
không đổi = M cố định (là giao điểm của
đường trung trực của OC và cung OC
chứa góc ơ)
Gọi I là trung điểm của AB Xét AOMI,
N thuộc OM và G thuộc OI Vì G là trọng
tâm của AABO nên = ã NG // MI
(vì cùng vuông góc với AB) suy ra
OM _OG _2 = N cố định Vậy đường
ON Ol 3
thẳng qua trọng tâm G của AABO vuông góc với AB đi qua điểm N cố định (dpcm)
Bài 5 : Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp AABC và A., B„, C lần lượt là trung điểm
của các cạnh BC, CA, AB
Ta c6 AA, = m, < R + OA, (dang thtc xay ra khi va chi khi AB = AC) ;
BB, =m, <R+ OB, (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = AC) ;
CC,=m,<sR+OC, ns thức xảy ra khi và chỉ khi AB = AC)
he họ hes hạ hy hẹ hạ hb hy
Ta có 2S = (a+b+cyr= 2S=a+b+c=2S+75,2S„1,1,1_1 (2)
r hạ hh he hg by by r
OAs , O81, O61)
hạ họ hẹ
2S =a-OA,;+b-OB, +c: OC; = = OA; + + 0B, += OC¿ -2s|
a b c
OA, OB, OC,
=> — + +
Thay (2), (3) vào (1) và biến đổi ta được : "ha „tp mẹ _R+r
ae “hh her
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều
-4 (3)