C7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông góc với cạnh còn lại của tam giác B.. - Tam giác ABC cân ở đỉnh A thì đường trung tuyến kẻ từ A cũ
Trang 1Quan hệ vuông góc
I Hai đường thẳng vuông góc với nhau
A Phương pháp chứng minh:
C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
C2 : a b ⊥ ⇔góc( ; ) 90 a b = o
C3: Dùng hệ quả:
C4: Dùng hệ quả:
C5 : Dùng hệ quả:
C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc
C7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông
góc với cạnh còn lại của tam giác
B Bài tập áp dụng
Bài1.Cho tứ diện ABCD M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD Biết AB = 16a, CD =
12a, MN = 10a CM AB vuông góc với CD
Bài2.Cho hình chop S.ABC có AB = AC, góc SAC = góc SAB M là trung điểm BC CM
a AM vuông góc với BC và SM vuông góc với BC
b SA vuông góc với BC
Bài3.Cho hình chop S.ABC có SA vuông góc BC, SA = BC =2a, M ∈AB,mp(α)qua M song song với SA, BC, AB = a
a Xác định thiết diện tạo bởi mp(α)và S.ABC
b Đặt Am = x Tính diện tích thiết diện theo a và x
c Định vị trí (α)để diện tích này lớn nhất
b // c , a⊥ ⇒ ⊥b a c
a c
b
( ) ( )
a b
a
b
P
a
P
b
( ) ( )
a song song P
a b
b P
⇒ ⊥
∆
BC AC
∆ ⊥ ⇒ ∆ ⊥
Trang 2Bài4.Cho tứ diện ABCD có AB = CD (α) song song với AB và CD cắt các cạnh còn lại lần lượt tại M, N, P, Q
a Tứ gicá MNPQ là hình gì
b Xác định vị trí (α) sao cho Mp vuông góc NQ
Bài5.Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn là AD và góc A = 900 Biết AD = 2BC = 2AB
a CM: AC vuông góc CD
b Với E là trung điểm AD tìn giao tuyến của 2 mp(SBC) và (SCD)
c biết góc SCD = 900 Xác định góc giữa SA và BE
II Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
A Phương pháp chứng minh
C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng
C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì
đường thẳng kia cũng vuông góc với mặt phẳng
C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm
trong mẵt phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc với mặt phẳng kia
C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao
tuyến của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó
c
a
b
P b , c cắt nhau , b c , ⊂ ( ) P , a⊥b a, ⊥c⇒ a ⊥ ( ) P
P
b a
a // b , b ⊥ ( ) P ⇒ ⊥ a ( ) P
Q
P
b
a
( ) ( )
( ) ( ),
⇒ ⊥
P
(β)
(α)
∆
( ) ( )
( ) ( ) ( ),( ) ( ) P P P
Trang 3- Tam giác ABC cân ở đỉnh A thì đường trung tuyến kẻ từ A cũng là đường cao
- Tam giác đều thì mọi đường trung tuyến đều là đường cao
- Hình thoi, hình vuông có 2 đường chéo vuông góc với nhau
B.Bài tập ứng dụng
Bài1.Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC Gọi I là
trung điểm BC
a chứng minh BC vuông góc AD
b kẻ AH là đường cao trong tam giác ADI Chứng minh AH vuông góc với
mp(BCD)
Bài2.Cho hình chop SABC SA vuông góc với đáy (ABC) và đáy là tam giác vuông tại B.
a CM BC ⊥SB
b Từ A lần lượt kẻ 2 đường cao AH, AK trong tam giác SAB và SAC CM AH ⊥
(SBC), SC ⊥( AHK)
Bài3.Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O với SA = SC, SB = SD Chứng
minh
a SO vuông góc với (ABCD) b AC vuông góc SD
Bài4.Cho tứ diện ABCD có AB ⊥CD, AC ⊥BD Gọi H là trực tâm tam giác BCD
Bài5.Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥đáy Đáy ABCD là hình thang vuông tại A AD = 2AB
= 2BC
Bài6.Hình chop S.ABC có SA vuông với đáy, tam giác ABC cân ở A Gọi M là trung điểm
BC CM:
a BC ⊥(SAM)
b Vẽ AH ⊥SM tại H CM AH ⊥SB
Bài7.Cho hình chóp S.ABC có SA =
2
6
a và các cạnh còn lại đều bằng a Gọi I là trung điểm
BC CM:
Bài8.Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA = a và SA ⊥(ABCD)
a Gọi I là trung điểm SD CM AI ⊥(SCD)
b Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M di động trên SD Tìm tập hợp các hình chiếu
của O trên CM
III Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
A Các định lý
Trang 4
) ( )
(
//
α
a
b
a
2 ( ) / /( )
( ) ( ) a
a
β α
⊥
3
( ) ( )
( ) ( ) / /( )
( )
a
a
β
≠
⊥
( )
a b
b
α
α
≠
⊥ ⇒
⊥
( ) / /( )
b a
α
B Bài tập ứng dụng
Bài1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc (ABCD) Gọi α là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, αcắt SC tại I
a Xác định giao điểm của SO và α
b CM BD vuông góc SC Xét vị trí tương đối của BD và α
c Xác định giao tuyến của (SBD) và α
Bài2.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc (BCD) và SA =
AB Gọi H và M lần lượt là trung điểm của SB và SD CMR OM vuông góc với (AHD)
Bài3.Cho tam giác ABC cân tại A, I và H lần lượt là trung điểm cạnh AB, BC dựng SH ⊥
(ABC) Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho MC = 2MI, NA = 2NS Chứng minh MN ⊥(ABC)
Bài4.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA ⊥(ABC)
a Kẻ đ/cao AH trong tam giác SAB CM BC ⊥(SAB) và AH ⊥(SBC)
b Kẻ đường cao AK trong tam giác SAC CM SC ⊥(AHK)
c Kẻ đường cao BM trong tam giác CM BM //(AHK)
IV Mặt phẳng vuông góc mặ phẳng
A Phương pháp chứng minh
C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông
x
β α
∆
O
•( ) ( ) α ∩ β = ∆, Ox ⊂ ( ), α Ox ⊥ ∆, Oy ⊂ ( ), β Oy ⊥ ∆
Khi đó:
góc (( );( )) α β =góc ( ; Ox Oy ) = xOy · = ϕ : 0 ≤ ≤ ϕ 90o
• ( ) ( ) α ⊥ β ⇔ = ϕ 90o
Trang 5C2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.
B Bài tập ứng dụng:
Bài1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi Các tam giác SAC và tam giác SBD cân tại
S Gọi O là tâm hình thoi
a CM SO ⊥(ABCD)
b CM (SAC) ⊥(SBD)
Bài2.Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B SA ⊥đáy
a CM: (SAB) ⊥(SBC)
b Gọi M là trung điểm AC CM (SAC) ⊥(SBM)
Bài3.Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥(ABC) Tam giác ABC vuông tại B
a CM: (SAC) ⊥(ABC)
b Gọi H là hình chiếu của A lên SC K là hình chiếu của A lên SB CM (AHK)⊥
(SBC)
Bài4.Gọi I là giao điểm của HK và mp(ABC) CM AI⊥AH
a CM: IJ ⊥AB , IJ⊥CD
b Hai tam giác ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau AC
=AD =BC =BD =a và CD =2x Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và CD
c Tính IJ và AB theo a và x
d Xác định x sao cho (ABC)⊥(ABD)
Bài5.Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng của A qua I dựng
đoạn SD =
2
6
a vuông góc với (ABC) CM
a (SAB) ⊥(SAC)
b (SBC)⊥(SAD)
Bài6.Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều có
trong mặt phẳng vuông góc với (ABC)
a CM: (SBC)⊥(SAC)
b Gọi I là trung điểm của SC CMR (ABI)⊥(SBC)
Bài7.a.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a CMR đường thẳng AC’ ⊥(A’BD) và (ACC’A’)⊥(A’BD)
b Tính đường chéo AC’ của hình lập phương
Bài8 Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau CMR: AC ⊥B’D’, AB’
⊥CD’ và AD’⊥CB’ Khi nào mp(AA’C’C)⊥(BB’D’D)
( )
( ) ( ) ( )
a a
β
α
β
α
a
Trang 6V.CÁCH XÁC ĐINH GÓC
A Lý thuyết
1 Góc của hai đường thẳng
2 Góc của hai mặt phẳng
3 Góc của đường thẳng và mặt phẳng
> Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và
hình chiếu của nó trên mặt phẳng
>Dùng công thức:
OA
A d
d, ) ( , )
B Bài tập
• Chọn điểm O tuỳ ý.
• Dựng qua O : a’ // a; b’ // b
• Góc (a,b) = góc (a’,b’) = ·AOB
• Thường chọn điểm O ∈ a hoặc
b' a'
B
A
O b
a
α =
• Chọn điểm O thuộc giao tuyến của α và
β .
• Dựng qua O :
( )
OA OA
α
⊂
⊥ ∆
( )
OB OB
β
⊂
⊥ ∆
• Góc ( , ) α β = Góc ( OA OB , ) = ·AOB = ϕ
Chú ý: * 0 ≤ ≤ ϕ 90o
* Nếu ϕ > 90o thi chọn góc
• Chọn điểm A thuộc đường thẳng a.
• Dựng qua AB ⊥ ( ) α tại B.
• Dựng giao điểm O của a và α nếu chưa có. ( OB là hình chiếu của a trên mặt phẳng (
α ))
B
O
A
ϕ a
α
β α
B O
A
ϕ
∆
Trang 7Bài1.Cho tứ diện đều ABCD Tính các gĩc sau:
a Gĩc giữa AB và (BCD)
b Gĩc giữa Ah và (ACD) với H là hình chiếu của A lên (ABC)
Bài2.Cho hình chop S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a; SA ⊥ (ABCD) và SA = a 6
Tính các gĩc giữa:
a SC và (ABCD)
b SC & (SAD)
c SB & (SAC)
d AC & (SBC)
Bài3.Cho hình chop S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng tâm O, cạnh a, SO vuơng gĩc với đáy Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD Cho biết MN tạo với (ABCD) gĩc 600
a Tính MN và SO
b Tính gĩc giữa MN và (SBD)
VI.KHOẢNG CÁCH
A Lý thuyết
Dùng: MH ⊥ (α), H thuéc (α) ta cã: d(M,(α)) = MH α
M
H
Chän ®iĨm M thuéc ∆, dùng MH ⊥ ∆
( H thuéc (α)), ta cã d(∆,(α)) = MH
∆ // (α)
∆
α
H M
Dùng MH ⊥ ∆ : d(M,∆) = MH
∆
M
H
Khoảng cách giữa mặt phẳng và đường
Khoảng cách từ một
điểm
Chän ®iĨm M trªn ∆1 , dùng MH ⊥ ∆2
( H thuéc ∆2 ) ta cã d(∆1 ,∆2 ) = MH
//
∆1 ∆2
∆2
∆1
M
H
Khoảng cách từ một
điểm
Khoảng cách giữa hai
đường thẳng song
Khoảng cách giữa hai Đường thẳng chéo Khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song
Trang 8
Cỏch1
Cỏch 2 nếu a ⊥ b
- dựng ho ặc tỡm mp( α ) ch ứa b v à vu ụng g úc v ới a t ại A.
- trong α , dựng đoạn AB ⊥b tại B
- đoạn AB là đoạn vuụng gúc chung của a và b
B Bài tập
Bài1.Cho tứ diện S.ABC, tam giỏc ABC vuụng cõn tại B và AC = 2a, cạnh SA ⊥ (ABC)
và SA = a
a CM: (SAB)⊥(SBC)
b Tớnh khoảng cỏch từ A đến mp(SBC)
c Tớnh khoảng cỏch từ trung điểm O của AC đến mp(SBC)
Bài2.Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật, AB = 3, AD = 4, SA ⊥
(ABCD) & SA = 5 Tớnh cỏc khoảng cỏch từ:
a A đến (SBD)
b A đến (SBC)
c O đến (SBC)
Ta có: d((α),(β)) = d(∆,(α)) = MH
(M thuộc ∆, MH ⊥ (α), H thuộc α)
(α) // (β), ∆ chứa trong (α)
H
M
∆
α
β
•Dựng mặt phẳng (α) chứa b & (α) // a
•Dựng MH ⊥(α), M thuộc a, H thuộc (α)
• Dựng a' trong mặt phẳng (α), a' // a
đ ờng thẳng a' cắt đ ờng thẳng b tại B
• Dựng ∆ qua B và // MH, ∆ cắt a tại A
Khi đó: d(a,b) = d(a,(α))
= d(M,(α)) = MH = AB
• a và b chéo nhau α
B
A
H
M
a' b
a
Trang 9Bài3.Cho hình chop S.ABCD cĩ đáy SA ⊥(ABCD), đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và B AB = BC =
2
AD
= a,
SA = a
a CM các mặt bên của hình chĩp là những tam giác vuơng
b Tính k/c từ A đến mp(SBC)
c Tính khoảng cách từ B đến đt SD
Bài4.Cho tứ diện ABCD cĩ 2 mp(ABC) và (ADC) nằm trong 2 mp vuơng gĩc với nhau Tam giác ABC vuơng tại A và
AB = a, AC =b, tam giác ADC vuơng tại D và DC = a
a CMR các tam giác BAD và BDC đều vuơng
b Gọi I, J lần lượt là trung điểmcủa AD và BC CM: Ị là đương vuơng gĩc chung của AD và BC
Bài5.Cho hình chop S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, SA vuơng gĩc (ABC) và SA = h Dựng và tính độ dài đoạn
vuơng gĩc chung sau:
a SB & CD
b SC & BD
c SC & AB
Bài6.Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cĩ tất cả các cạnh bên và đáy đều bằng a.Các cạnh bên của lăng trụ tạo với
đáy gĩc 600 và hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trung với trung điểm của B’C’
a Tính khoảng cách giữa 2 mặt đáy của lăng trụ
b CMR mặt bên BCC’B’ là một hình vuơng
Bài7.Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng tâm O, cạnh a SA = SB = SC = SD = a 2 Gọi I, J lần lượt
là trung điểm của AD và BC
a Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
b Chứng minh (SỊ) vuơng gĩc (SBC)
c Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
d Tính khoảng cách giữa 2 đt AD và SB
e Tính khoảng cách từ S đến CI
Bài8.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cĩ cạnh a.
a Chứng minh (BDD’B’) vuơng gĩc (ACD’)
b Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (ACD’) và (BA’C’)
c Tính khoảng cách giưa 2 đt BC’ và CD’; BB’ và AC’
HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHĨP ĐẶT BIỆT
A Hình chóp tam giác đều
>Hình chĩp tam giác đều:
∗ Đáy là tam giác đều
∗ Các mặt bên là những tam giác cân
> Đặc biệt: Hình tứ diện đều cĩ:
∗ Đáy là tam giác đều
∗ Các mặt bên là những tam giác đều
>Cách vẽ:
∗ Vẽ đáy ABC ∗ Vẽ trung tuyến AI
∗ Dựng trọng tâm H ∗ Vẽ SH ⊥ (ABC)
• Ta cĩ:
∗ SH là chiều cao của hình chĩp
∗ Gĩc giữa cạnh bên và mặt đáy là: ·SAH = α
∗ Gĩc mặt bên và mặt đáy là: ·SIH = β
B.Hình chĩp tứ giác đều
>Hình chĩp tứ giác đều:
∗ Đáy là hình vuơng
∗ Các mặt bên là những tam giác cân
> Cách vẽ:
∗ Vẽ đáy ABCD
h
β α
I
C A
H S
B
β
D A
S
Trang 10∗ Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC & BD ∗ Vẽ SH ⊥ (ABCD)
• Ta có:
∗ SH là chiều cao của hình chóp
∗ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: ·SAH = α ∗ Góc mặt bên và mặt đáy là: ·SIH = β
C Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
*** Chú ý:
a/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 ,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 ,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d = a2 + + b2 c2 , b/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = 3
2
a
c/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy) d/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
β α
B
S
ϕ β
α
D A
S
∗ SA ⊥ (ABC)
∗ Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: ·SBA = α
∗ Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: ·SCA = β
∗ SA ⊥ (ABCD)
∗ Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: ·SBA = α
∗ Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: ·SCA = β
∗ Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: ·SDA = ϕ
Trang 11Một Số Bài Tập Chương 3 Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a
2 Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD.
a Xác định và tính khoảng cách giữa SB và CD
b Chứng minh SH ⊥ (ABCD)
c Chứng minh AC ⊥ SK
d Chứng minh CK ⊥ SD
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2 , SA = 2 3 ; SA ⊥ (ABCD) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.
a Chứng minh BC ⊥ SB
b Chứng minh SC ⊥ (AHK)
c Tính góc giữa SC và (ABCD)
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, AC=2a SA=2a và vuông góc mp(ABC) M là 1 điểm nằm trên đoạn AB
1 Chứng minh AC ⊥ SM.
2 Tính góc giữa SA và (SBC)
3 Mặt phẳng (P) qua M và (P)⊥AB Tìm thiết diện mặt phẳng (P) cắt hình chóp, thiết diện là hình gì?
Bài 4: Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = a, BSC = 600, CSA = 900, ASB = 1200 K là trung điểm của AC.
a) Tính AB, BC và CA Từ đó chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.
b) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).
c) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (ABC); (SAC) và (ABC).
d) Chứng minh SK là đoạn vuông góc chung của AC và SB.
Bài 5: Cho tứ diện ABCD, có các cặp cạnh đối bằng nhau, AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD =
c I, K lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh 3 vectơ AD , BC , IK đồng phẳng
b) Tính khoảng cách giữa AB và CD.
c) Chứng minh rằng ( IK , AD ) ( = IK , BC )
Bài 6: Cho hình chóp đều S.ABC có các cạnh bằng a 3 , O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, I là trung điểm của BC, α là mặt phẳng đi qua A và song song BC, α cắt SB, SC lần lượt tại M
và N.
1 Chứng minh MN ⊥ (SAO)
2 Tính tan của góc tạo SB và (ABC)
3 Tính AM để SI ⊥ α
