Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lợt là trung điểm AB, BC.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA ⊥ ABCD.. Cho hình chóp S.A
Trang 1Vấn đề 1: Chứng minh đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng v với mặt phẳng à
1 Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC vuông ở B.
a Chứng minh BC ⊥ (SAB)
b Gọi AH là đờng cao của ∆SAB Chứng minh: AH ⊥ (SBC)
2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lợt là trung điểm AB, BC
Biết SA = SC, SB = SD Chứng minh rằng:
a SO ⊥ (ABCD)
b IJ ⊥ (SBD)
3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA ⊥ (ABCD) Gọi H, I, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD
a Chứng minh rằng: CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC)
b Chứng minh: SC ⊥ (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK)
c Chứng minh: HK ⊥ (SAC), từ đó suy ra HK ⊥ AI
4 Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều, gọi I là trung điểm BC
a Chứng minh: BC ⊥ (AID)
b Vẽ đờng cao AH của tam giác AID Chứng minh: AH ⊥ (BCD)
5 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là điểm thuộc
mp(ABC) sao cho OH ⊥ (ABC) Chứng minh rằng:
a BC ⊥ (OAH)
b H là trực tâm của ∆ABC
c 1 2 12 12 12
OC OB
OA
6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a 2 Gọi H, K lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AD
a Chứng minh: SH ⊥ (ABCD) b Chứng minh: AC ⊥ SK và CK ⊥ SD
Vấn đề 2: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc
7 Cho tứ diện ABCD có 2 mặt phẳng ABC, ABD cùng vuông góc với đáy DBC Vẽ các đờng cao BE, DF của tam giác
BCD; đờng cao DK của tam giác ACD
a Chứng minh: AB ⊥ (BCD)
b Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC)
c Gọi O và H lần lợt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ACD CM: OH ⊥ (ADC)
8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; góc BAC = 600, SA⊥ (ABCD) và SA = a 6 Chứng minh:
a (SAC) ⊥ (ABCD) và (SAC) ⊥ (SBD) b (SBC) ⊥ (SDC)
Vấn đề 3: Các bài toán về khoảng cách
9 Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB ⊥ (BCD) và AB = a Tính k/c:
2
7
10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy và SA = SB = b Tính khoảng
cách:
2 b a )
b Từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm AB (đs: 5
5
Trang 2c Từ AD đến (SBC) (đs : 4 2− 2
2
11 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a SA = SB = SC = AD = a 2
Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AD và BC
a Chứng minh (SIJ) ⊥ (SBC)
b Tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng AD và SB (đs : 42
7
12 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AA’ ⊥ (ABC) và AA’ = a, đáy là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3
a Tính khoảng cách từ AA’ đến mặt phẳng(BCC’B’) ( đs: 3
2
b Tính khoảng cách từ A đến (A’BC) ( đs: 21
7
c Cmr AB ⊥ mp(ACC’A’) và tính khoảng cách từ A’ đến (ABC’) (đs: 2
2
13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy Tính khoảng cách giữa 2 đờng
thẳng:
a SC và BD b AC và SD ( đs: 6
6
3
c SB và AD d AB và SC (đs: 2
2
2
Vấn đề 4: Góc giữa Đờng thẳng và Mặt phẳng, giữa 2 Mặt phẳng
14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a 6 vuông góc với đáy Tính góc của:
7 tan
7
14 sin
14
15 Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ SA = a 3 vuông góc với (ABCD) Tính góc:
16 Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc Gọi I là trung điểm AB.
a Chứng minh SI ⊥ (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD) α = ữữ
15 tan
5
b Tính khoảng cách từ B đến (SAD) Suy ra góc của SC với (SAD) α = ữữ
3;sin 6
a
c Gọi J là trung điểm CD, chứng tỏ (SIJ) ⊥ (ABCD) Tính góc hợp bởi SI với (SDC) α = ữ
2 tan
3
17 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 600 và hình chiếu H của đỉnh A lên (A’B’C’) trùng với trung điểm của B’C’
c Tính góc giữa mặt phẳng (ABB’A’) và mặt đáy (tanα =2 3)
18 Cho tứ diện SABC có SA, SB, Sc đôi một vuông góc và SA = SB = SC Gọi I, J lần lợt là trung điểm AB, BC Tính
19 Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a.
2 tan
3