Khai thác bài tập chủ đề Quan hệ vuông góc (Hình học 11)

cơ bản, trọng tâm trong từng bài học, xây dựng hệ thống câu hỏi, bài tập củng cốkiến thức, đưa học sinh vào tình huống có vấn đề.Hình học là phân môn có tính hệ thống rất chặt chẽ, có tí

cơ bản, trọng tâm trong từng bài học, xây dựng hệ thống câu hỏi, bài tập củng cốkiến thức, đưa học sinh vào tình huống có vấn đề.

Hình học là phân môn có tính hệ thống rất chặt chẽ, có tính lôgic và tính trừutượng hóa cao hơn so với các phân môn khác của Toán học, có thể nói hình học làphân môn khó trong môn Toán đối với nhiều học sinh, đặc biệt là phần hình họckhông gian lớp 11, trong đó có chương “Quan hệ vuông góc”

Về mặt lí thuyết, định nghĩa và tính chất của phân môn hình học rõ ràng, ngắngọn, chính xác Tuy nhiên để làm bài tập học sinh còn lúng túng, ngộ nhận Vì vậycần đưa ra cho học sinh những bài tập vận dụng để giúp học sinh củng cố lí thuyết,rèn luyện kĩ năng, sáng tạo cái mới trên cơ sở những điều đã biết

Vì những lí do trên mà em chọn đề tài là :

“Khai thác bài tập chủ đề “Quan hệ vuông góc” (Hình học 11)”

1.2 Mục tiêu - nhiệm vụ nghiên cứu

1.2.1 Mục tiêu nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận chung về bài tập toán học

- Nghiên cứu chủ đề quan hệ vuông góc của hình học không gian lớp 11 THPT

- Khai thác bài tập trong chủ đề “Quan hệ vuông góc”

1.2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận nhằm xây dựng hệ thống các bài tập phục vụ giảng dạy chương " Quan hệ vuông góc" trong hình học không gian lớp 11 THPT

PHẦN II – NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: CƠ Sở Lí LUậN

2.1.1 Bài tập toán học

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán Điều căn bản là bài tập

có vai trò giá mang hoạt động của học sinh Thông qua giải bài tập, học sinh phảithực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa,định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, nhữnghoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học Hoạt động của học sinh liên hệ mậtthiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, vì vậy vai trò của bài tậptoán học được thể hiện trên cả ba bình diện này:

Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông

là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độđạt mục tiêu Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhauhướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán, cụ thể là:

+ Hình thành củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quátrình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn

+ Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thànhnhững phẩm chất trí tuệ

+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chấtđạo đức của người lao động mới

Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập Toán học là giá manghoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung

để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần

lí thuyết

Thứ ba, trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạtđộng để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện cácmục tiêu dạy học khác Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chứccho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động

và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập sử dụng với những dụng ý khác nhau vềphương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nộidung mới, củng cố hoặc kiểm tra,…Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phươngtiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độphát triển của học sinh,…

2.1.2 Vai trò, ý nghĩa của bài tập toán

2.1.2.1 Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh

Trong thực tế, môt bài tập toán học chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệmtoán học và các kết luận toán học Khi giải một bài tập đòi hỏi ta phải phân tích các

dữ kiện của bài tập, huy động các kiến thức đã cho trong đề bài và kiến thức đã biết

có liên quan đến bài tập, tổng hợp lại để đề ra các kiến thức mới Và cứ như vậycác kiến thức mới được tìm ra lại cùng các kiến thức đã biết trước được phân tích,tổng hợp lại để đề ra các kiến thức mới nữa Cuối cùng chúng ta đi đến được lờigiải bài tập

Như vậy, khi giải một bài tập toán học không những chỉ các kiến thức đã cótrong bài tập, mà cả một hệ thống kiến thức liên quan tới bài tập cũng được củng cốqua lại nhiều lần

2.1.2.2 Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh

Đặc điểm nổi bật của môn toán là một môn khoa học suy diễn, được xây dựngbằng phương pháp tiên đề Do vậy, lời giải của bài tập toán học là một hệ thốnghữu hạn các thao tác có thứ tự chặt chẽ để đi đến một mục đích rõ rệt Vì vậy giảimột bài tập có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta năng lực sử dụng các suy luậnlôgic : Suy luận có căn cứ đúng, suy luận theo quy tắc suy diễn

Chúng ta biết rằng không có một phương pháp chung nào để giải được mọi bàitập toán học Mỗi bài tập có một hình, một vẻ khác nhau, muốn tìm được lời giảibài tập chúng ta phải biết phân tích, phải biết cách dự đoán kết quả, biết cách kiểmtra dự đoán, biết cách liên hệ với các vấn đề tương tự gần giống nhau, biết cách suyluận tổng hợp, khái quát hoá Như vậy, qua việc giải bài tập toán học, năng lực tưduy sáng tạo được rèn luyện và phát triển

2.1.2.3 Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học cho học sinh

Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất cứ bộ mônkhoa học nào là hiểu, nhớ và vận dụng các kiến thức của bộ môn khoa học đó vàoviệc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết được các bài tập đặt ra tronglĩnh vực khoa học đó

Trong dạy học khái niệm toán học: Bài tập toán học được sử dụng để tổ chứcgây tình huống nhằm dẫn dắt học sinh có thể đi đến định nghĩa khái niệm, bài tậpđược sử dụng để làm các ví dụ hoặc phản ví dụ minh họa cho khái niệm; Bài tậptoán học được sử dụng để luyện tập, củng cố, vận dụng khái niệm

Trong dạy học định lý toán học: Bài tập toán học có thể sử dụng để tổ chức gâytình huống dẫn dắt học sinh phát triển ra nội dung định lí toán học; Bài tập có thể

sử dụng để học sinh tập vận dụng định lý, đặc biệt là việc tổ chức hướng dẫn hocsinh tập tìm ra lời giải cho một bài tập cơ bản, có nhiều ứng dụng trong một phầnhay một chương nào đó của môn học

Trong luyện tập toán học: Bài tập toán học là phương tiện chủ yếu trong các tiếtluyện tập, ôn tập Trong đó, giáo viên phải xây dựng được hệ thống bài tập có liênquan chặt chẽ với nhau, nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức và hình thành một

số kĩ năng cơ bản nào đó

2.1.2.4 Bồi dưỡng và phát triển nhân cách cho học

Điểm cơ bản trong tính cách con người là : Mọi hoạt động đều có mục đích rõràng khi giải bài tập ta luôn có định hướng mục đích rõ rệt, vì vậy việc giải bài tập

sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện năng lực hoạt động của con người Để giảimột bài tập nhất là đối với bài tập khó, người giải phải vượt qua nhiều khó khăn,phải kiên trì, nhẫn nại và nhiều khi phải quyết tâm rất lớn mới giải được một bàitập

Hoạt động giải bài tập chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và pháttriển nhân cách con người

2.1.3 Phương pháp tìm lời giải bài tập toán học

2.1.3.1 Phương pháp đi xuôi

Xuất phát từ các giả thiết của bài tập toán học được lấy làm tiền đề Bằng suyluận hợp lôgic chúng ta tìm ra các hệ quả lôgic của các tiền đề đó Tiếp tục chọnlọc trong đó để lấy ra các hệ quả gần gũi với kết luận của bài tập làm tiền đề mới.Lại bằng suy luận hợp lôgic chúng ta tìm ra các hệ quả hợp lôgic mới gần gũi vớikết luận Cứ tiếp tục quá trình đó chúng ta tìm được hệ quả lôgic trùng với kết luậncủa bài tập toán học Khi ấy ta tìm được lời giải cho bài tập

Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:

(trong đó A,C là giả thiết, X là kết luận)

2.1.3.2 Phương pháp đi ngược

Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài tập Bằng suy luận hợp lôgicchúng ta đi ngược lên để tìm các tiền đề logic của kết luận

Tiếp tục, chúng ta chọn lọc trong đó để lấy ra tiền đề gần gũi với giả thiết mớicủa kết luận mới này Quá trình ấy được tiếp diễn ta tìm được các tiền đề lôgictrùng với giả thiết của bài tập, ta được lời giải của bài tập

Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:

Muốn chứng minh ADBC, ta chỉ cần tìm được một điểm X sao cho AX

 BC và DX BC Nếu gọi H là trực tâm của tam giác ABC thì ta có

AH BC Ta hãy thử xem DH có vuông góc với BC hay không?

Chú ý rằng CH AB và theo giả thiết CD AB vậy DH AB;

BH AC và theo gỉa thiết BD AC, vậy DH AC Từ đó suy ra DH

 BC, từ đó ta có mệnh đề được chứng minh

+ Dùng phương pháp đi xuôi

Gọi H là trực tâm cửa tam giác ABC, ta có DH AC, ngoài ra theogiả thiết BD AC, vậy DH AC Ta lại có CD AB và theo giả thiết CD AB, vậy DH AB vì DH AC và DH AB nên DH BC Ta lại còn AH BC, do đó AD BC

+ Kết hợp cả hai phương pháp

Thông thường để giải đựoc bài tập, ta phải kết hợp cả hai phươnng pháp đi xuôi và đi ngược

2.1.4 Phương pháp chung để giải một bài tập toán học

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Pôlya(1975) về cách thức giải bài tập toán học đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn, ta

có phương pháp chung để giải bài tập toán học như sau:

- Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

+ Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài tập.+ Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh

+ Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

- Bước 2: Cách tìm lời giải

+ Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổicái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cáiphải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài tập cần giải với một bài tập cũtương tự, một trường hợp riêng, một bài tập tổng quát hơn hay một bài tập nào đó

có liên

F D E

quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích v.v,

+ Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan,

+ Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất

- Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

- Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

+ Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

+ Nghiên cứu giải bài tập tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

+ Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài:

Giả thiết: Cho hình chóp S.ABCD, SA mp(ABCD), ABCD là hình



Kết quảQuan hệ Các phương pháp giải

+ Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

2.1.5 Các cách khai thác bài tập toán

2.1.5.1 Cấu tạo của một bài tập toán : gồm có ba bộ phận:

2.1.5.2 Khai thác bài tập mới trên cơ sở bài tập đã có

2.1.5.2.1 Các bài tập mới tương tự với bài tập đã giải

- Sau khi học sinh giải xong mỗi bài tập, giáo viên có thể dựa vào bài tập đó mà nghĩ ra các bài tập tương tự với bài tập vừa giải Giáo viên lập đề toán theo kiểu

Cái phải tìm

Phéptín

h giải

a 3

này là một biện pháp rất tốt để học sinh nắm vững các cách giải các bài toán cùngloại, giúp học sinh nắm rõ hơn mối quan hệ giữa các đại lượng và những quan hệbản chất trong mỗi loại toán Nhờ thế mà học sinh hiểu bài tập này sâu sắc hơn rấtnhiều

- Bài tập có thể được lập mới từ bài tập đã cho thông qua các cách sau:

+ Thay đổi các số liệu đã cho

+ Thay đổi các đối tượng trong đề toán

+Thay đổi các quan hệ trong đề toán

+ Tăng hoặc giảm đối tượng trong đề toán

+Thay một trong những chỗ đã cho bằng một điều kiện gián tiếp

+ Thay đổi câu hỏi của bài tập bằng một câu hỏi khó hơn

- Ví dụ:

Bài tập 31/sgk nâng cao hình học 11/trang 117:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a

chéo nhau nên khoảng cách giữa hai (ACD’) Hình 3

và (A’BC’) bằng khoảng cách giữa BC’ và CD’

Mặt khác, B’D cắt hai (ACD’) và (A’BC’) lần lượt tại G và G’ và

DG = GG’ = G’B’ Đường thẳng B’D có hình chiếu trên (ABCD) là DB mà

AC DB nên theo định lí ba đường vuông góc thì DB’ AC; cũngtương tự như trên ta có BD’ AD’ Suy ra DB’ (ACD’)

Như vậy d(BC’, CD’)

- Các bài tập mới tương tự:

+ Thay đổi số liệu đã cho:

+ Tăng (hoặc giảm) đối tượng trong đề toán:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a, điểm O là giao của AC vàBD,O’ là giao của A’C’ và B’D’ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ vàCD’

( Giải giống như bài tập ban đầu và chỉ thêm điểm O và O’ vào hình vẽ ta cũng có

kết quả là d(BC’, CD’)

+ Thay một trong những chỗ đã cho bằng một điều kiện gián tiếp:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Tìm đường vuông gócchung của các đường thẳng AC’ và CD’ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳngấy

Giải:

Vì các cạnh đều bằng a nên CD’ C’D.Mặt khác AD (CDD’C’) nên

Kẻ IJ vuông góc với AC’ tại J thì IJ là

đường vuông góc chung của AC’ và CD’ B C

J

+ Thay đổi câu hỏi của bài tập bằng một câu hỏi khó hơn. Hình 4

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2a, có đáy ABCD là hình thoi và

BAD BAA'

DAA' 600

(A’B’C’D’)

Giải:

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (ABCD) và

Từ giả thiết ta suy ra các tam giác A’AD, BAD, A’AB là các tam giác cân cùng cógóc ở đỉnh

bằng 600 nên chúng là các tam giác đều Như vậy:

Tứ diện A’ABD có các cạnh cùng bằng a hay A’ABD là tứ diện đều Khi đó hìnhchiếu của A’ trên mp(ABCD) chính là trọng

tâm H của tam giác đều ABD

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD)

và (A’B’C’D’) chính là độ dài A’H Ta có :

2.1.5.2.2 Bài tập mới ngược với bài tập đã giải

- Trong một bài tập nếu ta thay một trong những điều đã cho bằng đáp số của bài tập và đặt câu hỏi vào điều đã cho ấy thì ta được một bài toán ngược

- Đây cũng là một cách hay dùng để dựa vào các bài tập cũ mà đặt ra đề bài tập mớibằng cách đảo ngược bài tập đã biết

- Ví dụ :

Bài tập 5a/sgk nâng cao hình học 11/trang 91:

Trong không gian cho tam giác ABC

a Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mp(ABC) thì có ba số x, y, z mà

   

x + y + z = 1 sao cho OM xOA

11

với mọi điểm O.

O

C A

M

Trong không gian cho tam giác ABC    

b Nếu có một điểm O trong không gian sao cho OM xOA yOB zOC

B và  là hai vectơ không cùng phương

nên điểm M thuộc (ABC)

2.1.5.2.3 Khai thác bài tập hoàn toàn mới

- Trong thực tế giảng dạy có nhiều khi giáo viên phải khai thác những đề toán hoàntoàn mới nhằm phục vụ cho những yêu cầu giảng dạy của riêng mình Bởi vì khôngphải lúc nào sách giáo khoa và sách bài tập cũng có đủ loại bài tập để đáp ứng mọi

nhu cầu trong lúc lên lớp Thực ra giáo viên có thể tìm tấy các đề toán ấy trong cácloại sách khác song hiện nay sách tham khảo về môn Toán ở THPT có rất nhiều dođó: việc sưu tầm và tra cứu trong cả một “rừng sách” để tìm được một đề bài tậpđáp ứng được nhu cầu giảng dạy của riêng mình nhiều khi tốn thời gian và chưachắc đã thành công

a2  b2

A

H O

Vì thế giáo viên chẳng những phải có kĩ năng khai thác đề toán mới tương tự với

đề toán đã cho mà còn phải khai thác bài toán hoàn toàn mới dựa trên một sốcách thức sau:

+ Khai thác đề bài tập từ nội dung thực tế đã định trước

+ Khai thác đề bài tập từ việc ráp nối các bài tập toán đơn và các bài tập điển hình

- Ví dụ:

+ Khai thác đề bài tập từ nội dung thực tế đã định trước

Trong thực tế muốn tìm khoảng cách từ một điểm bất kì từ sàn nhà tới mặt phẳngtrần nhà ta chỉ cần kẻ hình chiếu vuông góc của điểm đó lên trần nhà, hình chiếuvuông góc ấy chính là khoảng cách cần tìm

Từ nội dung thực tế này có thể ra đề bài tập như sau:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, có AB = a, AD = b, AA’ = c

Tính khoảng cách từ điểm B đến (ACC’A’)

Kẻ BH vuông góc với AC, do BH AA’

Bài 1:Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, H là hình

chiếu vuông góc của điểm O trên (ABC)

Từ (1) và (2) BC

G

N

Bài 2: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, H là hình

chiếu vuông góc của điểm O trên mp(ABC) Chứng minh rằng các góc của tamgiác ABC đều nhọn

Vậy các góc của tam giác ABC đều nhọn

Từ hai bài toán có cùng giả thiết ta có thể gộp thành một bài toán mới như sau : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên (ABC)

a Chứng minh rằng :BC (OAH)

b Chứng minh rằng các góc của tam giác ABC đều

nhọn (Cách giải tương tự như trên)

2.1.5.2.4 Khai thác bài toán bằng cách khái quát hóa

- Có một hướng quan trọng để khai thác các bài toán mới là dựa trên một sốtrường hợp cụ thể, dùng phép quy nạp không hoàn toàn để nhận xét và rút ra giảthuyết; rồi dùng phương pháp thử, chọn để thử xem giả thuyết đó có đúng không?Nếu đúng thì đề ra bài tập mới và tìm cách giải

- Ví dụ:

Thông qua việc học sinh vận dụng những kiến thức về vectơ để chứng minh một sốtính chất hình học Người thầy giáo cần tận dụng những cơ hội có thể để học sinhđược rèn luyện về phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, chẳng hạn khái quát hóa sự

A

kiện:

+ Ba vectơ , , đồng phẳng khi tồn tại bộ ba

C

số m, n ,p sao cho:  m n 

+Sử dụng các quy tắc và tính chất của

vectơ Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần

lƣợt là trung điểm của AB và CD Chứng tỏ

+ Bài toán khái quát hóa

Cho đa diện

A1 A2 A3 A4 A n Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm của đa diện

A1 A2 A3 A4 A n , P là điểm bất kì khi và chỉ khi điều kiện sau xảy ra:

PG  PA1 (PA  PA  PA PA )  .

n

2.1.6 Tìm hiểu nội dung chủ đề "Quan hệ vuông góc"(Hình học 11)

2.1.6.1 Nội dung chương trình

Chương: Vectơ trong không gian Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài 1 Vectơ trong không gian ( 2 tiết )

Bài 2 Hai đường thẳng vuông góc ( 2 tiết )Bài 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( 3 tiết )Bài 4 Hai mặt phẳng vuông góc ( 3 tiết )

2.1.6.2 Mục đích yêu cầu của việc giảng dạy HHKG

2.1.6.2.1 Kiến thức

+ Nắm vững được khái niệm, tính chất của từng quan hệ vuông góc

+ Nắm vững các bước chứng minh một bài tập hình bằng phương pháp tổng hợp hay phân tích

2.1.6.2.4 Tư tưởng

+ Bồi dữơng thế giới quan khoa học

+ Giúp học sinh nhìn nhận sự vật, hiện tựơng trong không gian và quan hệ của các phần tử trong nó

2.1.6.3 Phương pháp giải bài toán HHKG

- Để giải bài toán HHKG thì trước tiên học sinh cần nắm được các kiến thức

cơ bản và quan hệ vuông góc: Định nghĩa và các tính chất của từng quan hệ vuônggóc cụ thể, đồng thời có đầy đủ các kỹ năng: Vẽ hình và nhìn hình

- Phân tích đề bài tìm các yếu tố đã biết và chưa biết, tìm các thành phần chínhcủa bài toán

- Phân tích để thấy được mối liên hệ giữa các yếu tố đã biết, chưa biết với kiếnthức đã học.

- Sử dụng phương pháp chứng minh phân tích, tổng hợp để có được một bài chứng minh hoàn chỉnh

2.1.7 Kiến thức cơ bản

2.1.7.1 Vectơ trong không gian

2.1.7.1.1 Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian

AC ' AB AD AA'

2.1.7.1.2 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ

2.1.7.1.2.1 Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian

   

Cho ba vectơ a, b,

c đều khác 0 trong không gian Từ một điểm O bất kỳ ta vẽ

     

OA a, OB b, OC c Khi đó xảy ra hai trường hợp:

+ Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt

a A

2.1.7.1.2.3 Điều kiện để ba vectơ đồng

phẳng: Định lý 1: Trong không gian cho

Định lý 2: Cho a, b,

c là ba vectơ không đồng phẳng.Với mọi vectơ x

    trongkhông gian ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho : x ma nb pc

Ngoài ra bộ ba số m, n ,p là duy nhất

               

OX OA OB OC Cụ thể OX x,OA

với OA' ma,OB ' mb,OC ' mc Khi đó: x ma nb pc b

2.1.7.2.1 Góc giữa hai đường thẳng

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b a'

là góc giữa hai đường thẳng a' và b' cùng đi qua

2.1.7.3.1 Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định nghĩa : Một đường thẳng được gọi là

b

vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông

góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó

Định lí: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai Hình

Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng (P)

đi qua một điểm O cho trước và vuông góc Hình 7.3.2a

R d

P

b P

và mặt phẳng

2.1.7.3.3.1 Tính chất 3

a, Mặt phẳng nào vuông góc với một trong

hai đường thẳng song song thì cũng vuông

góc

với đường thẳng còn lại

b, Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông

góc với một mặt phẳng thì song song với nhau Hình 7.3.3.1

2.1.7.3.3.2 Tính chất 4

a, Đường thẳng nào vuông góc với

một trong hai mặt phẳng song song thì

cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại

b, Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với

một mặt phẳng thì song song với nhau Hình 7.3.3.2

2.1.7.3.3.3 Tính chất 5

a, Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P)

song song với nhau Đường thẳng nào

vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a

P

Định nghĩa 2: Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l vuông góc

với mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P)

2.1.7.3.4.2 Định lí ba đường vuông góc

Định lí 2: Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng

b nằm trong (P) Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông gócvới hình chiếu a' của a trên (P)

giao tuyến c Từ một điểm I bất kì trên c ta

dựng trong () đường thẳng a vuông góc với

c và dựng trong () đường thẳng b vuông góc với c Hình 7.4.1.2

P A

Q a

Q a A

P b

Người ta chứng minh được góc giữa hai mặt phẳng () và () là góc giữahai đường thẳng a và b

Định lí 1: Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng () có diện tích S và H' là hình chiếu vuông góc của h trên mặt phẳng ()

2.1.7.4.3.1 Định nghĩa 2: Hai mặt gọi là vuông góc với

nếu góc giữa chúng bằng 90o .Khi hai mặt phẳng Hình 7.5.1.2

(P) và (Q) vuông góc với nhau thì ta còn nói gọn hai mặt phẳng (P) và (Q) vuônggóc

vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng a Hình 7.5.1.3

nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến

của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q) R Q

a

2.1.7.4.3.5 Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q)

vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong (P)

thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với P

21

nhau

2.1.7.4.3.6 Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt

nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì

giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ

ba

2.1.7.4.3.7 Hệ quả 3: Qua đường thẳng a không vuông

góc với mặt phẳng (P) có duy nhất một mặt phẳng (Q) Hình 7.5.1.5vuông góc với mặt phẳng (P)

cách giữa hai điểm M và H,

trong đó H là hình chiếu của M

trên mặt phẳng (P)(hoặc trên đường thẳng a) Hình 7.6.1

B

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) được kí hiệu là : d(M;(P)) Khoảngcách từ điểm M đến đường thẳng a được kí hiệu là : d(M;(a)).

2.1.7.5.2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song giữa hai mặt

2.1.7.5.2.2 Định nghĩa 3: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng

song song là khoảng cách ừ một điểm bất kì của

a I

2.1.7.5.3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, c là

đường

thẳng cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b J b

Thuật ngữ: Đường thẳng c gọi là đường vuông

góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b Hình 7.6.3a Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau tại I và J thì đoạn thẳng IJ gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

Định nghĩa 4: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuônggóc chung của hai đường thẳng đó

Nhận xét:

1, Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng

25

J b Q

đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường

thẳng còn lại

2, Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

lần lượt chứa hai đường thẳng đó Hình 7.6.3b

2.1.8 Kết luận

Qua cơ sở lí luận cũng như các bài tập ví dụ và các kiến thức cơ bản trongchương “ Quan hệ vuông góc” ta thấy rằng hình học không gian là một môn họckhó Khi giải bài tập ở phần này, học sinh thường chỉ sử dụng các cách giải khácnhau và chưa có phương pháp giải chung cho một dạng bài tập nên gặp rất nhiềukhó khăn Từ đó dẫn đến một thực tế là học sinh ngại môn hình học không gian.Dạy học toán ở trường phổ thông chính là dạy học các hoạt động toán học,trong đó hình thức hoạt động của toán học chủ yếu của học sinh là giải bài tập toán.Nhưng khi vận dụng giải bài tập hình học không gian học sinh thường rất lúngtúng.Vì vậy, em muốn khai thác và đi sâu vào tìm hiểu các dạng toán trongchương“Quan hệ vuông góc” (Hình học 11) nhằm hỗ trợ phần nào trong việc giảngdạy của giáo viên và giúp học sinh tiếp cận các khái niệm, các định lí cũng nhưviệc áp dụng vào giải bài tập của hình học không gian một cách dễ dàng, chính xáchơn Tạo cho học sinh hứng thú và thực sự yêu thích hình học không gian, tích cựcsuy nghĩ, độc lập, sáng tạo trong học tập, phát huy được trí tưởng tượng khônggian, nâng cao khả năng tư duy và khả năng nhận thức Rèn luyện được kĩ năngtính toán, vận dụng công thức một cách linh hoạt, chính xác

CHƯƠNG 2: KHAI THáC BàI TậP CHủ Đề “QUAN Hệ VUÔNG GóC” 2.2.1 Bài tập định tính

2.2.1.1 Dạng 1: Chứng minh một đẳng thức vectơ Biểu diễn một vectơ

thành tổ hợp vectơ

2.2.1.1.1 Phương pháp giải

+ Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp, quy tắc trungđiểm, trọng tâm của tam giác, trọng tâm của tứ diện

+ Các tính chất của phép cộng, trừ vectơ và phép nhân một số với một vectơ

Để thực hiện phép biến đổi tương đương vế này thành vế kia và ngược lại

2.2.1.1.2 Ví dụ

Bài tập 1:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi P, R theo

thứ tự là trung điểm của AB, A’D’ , gọi P’,

Q, Q’, R’ theo thứ tự là giao điểm của

các đường chéo của các mặt ABCD, CDD’C’, D

+ Các bài tập mới tương tự với bài tập đã giải:

Bài tập 4/Sgk cơ bản Hình học 11/ Trang 92:

Cho hình tứ diện ABCD Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của AB và CD

Bài tập 6/Sgk cơ bản Hình học 11/ Trang 92:

Cho hình tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng

+ Khai thác bài tập khái quát hóa:

Bài tập 3:

Cho đa diện

A1 A2 A3 A4 A n Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm của đa diện

A1 A2 A3 A4 A n , P là điểm bất kì khi và chỉ khi điều kiện sau xảy ra: