Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD.. Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.. b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.. c/ Tìm tọa độ t
Trang 1Chủ đề 1 : Vectơ và các phép toán vectơ
A Khái niệm véc tơ
1. Cho ∆ABC Có thể xác định đợc bao nhiêu vectơ khác 0
2 Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0
b/ Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm AB, BC, CD, DA CMR : MQ→ = NP→
1. Cho ∆ABC Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm AB, BC, CA
a/ Xác định các vectơ cùng phơng với MN→
b/ Xác định các vectơ bằng NP→
2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF Dựng các vectơ EH→ và FG→ bằng AD→
CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành
3. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD Từ C vẽ →CI = DA→ CMR : a/ I là trung điểm AB và →
DI = CB→ b/ →
AI = →
IB = DC→
4. Cho ∆ABC Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AD Dựng MK→ = CP→ và KL→ =BN→ a/ CMR : KP→ = PN→ b/ Hình tính tứ giác AKBN c/ CMR : AL→ = 0
B Các phép toán véctơ
1. Cho 4 điểm A, B, C, D CMR : AC→ + BD→ = AD→ + BC→
5 Cho 5 điểm A, B, C, D, E CMR : AB + → CD + → EA = → CB + → ED→
6 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F CMR : AD + → BE + → CF = → AE + → BF + → CD→
7 Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H CMR : AC + → BF + → GD + → HE = → AD + → BE +→ GC + → HF→
8. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD CMR :
a/ DO→ + AO→ = →
AB b/ OD→ + OC→ =BC→ c/ OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0 d/ MA→ + MC→ = MB→ + MD→ (với M là 1 điểm tùy ý)
9 Cho tứ giác ABCD Gọi O là trung điểm AB CMR : OD + → OC = → AD + → BC→
10.Cho ∆ABC Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý AA→ ' , BB→ ' , CC→ '
CMR : →
'
AA + →
'
BB + CC→ ' = →
'
BA + CB→ ' + AC→ '
11.Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính |AB AD→ + → | theo a
12.Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a
Trang 2a/ Tính |AB AD→ + → | theo a b/ Dựng u = AB→ +AC→ Tính | |ur ?
13.Cho ∆ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a
a/ Dựng v = AB→ +AC→ b/ Tính | |vr ?
14.Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ OA OB OC ODuuur uuur uuur uuur, , , có độ dài bằng nhau và OA OB OC ODuuur uuur uuur uuur+ + + = 0 Chứng minh ABCD là hình chữ nhật
2. Cho ∆ABC Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý
a/ CMR : AM→ + BN→ + CP→ = 0 b/ CMR : OA→ + OB→ + OC→ = OM→ + ON→ + OP→
15.Cho ∆ABC có trọng tâm G Gọi M∈BC sao cho BM→ = 2MC→
a/ CMR : →
AB + 2AC→ = 3 →
AM b/ CMR : →
MA + →
MB + MC→ = 3MG→
16.Cho tứ giác ABCD Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF a/ CMR : AD→ + BC→ = 2EF→ b/ CMR : OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0
c/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ + MD→ = 4MO→ (với M tùy ý)
d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho − →
MA + MB−→ +MC−→ +MD−→ nhỏ nhất
17.Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H lần lợt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý
a/ CMR : →
AF + BG→ + CH→ + →
DE = 0 b/ CMR : MA→ +MB→ +MC→ +MD→ = ME→ +MF→ +MG→ +MH→
c/ CMR : AB→ +AC→ + AD→ = 4AG→ (với G là trung điểm FH)
18 Cho hai ∆ABC và DEF có trọng tâm lần lợt là G và H CMR : AD + → BE + → CF = 3→ GH→
19.Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD CMR :
a/ OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0 b/ EA→ + EB→ + 2EC→ = 3AB→ c/ EB→ + 2EA→ + 4ED→ = EC→
3. Cho 4 điểm A, B, C, D CMR : AB→ − CD→ = AC→ + DB→
20.Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F CMR :
a/* CD→ + →
FA − →
BA − →
ED + BC→ − →
FE = 0 b/ →
AD − →
FC − →
EB = CD→ − →
EA − →
FB
c/ AB→ − →
DC − →
FE = CF→ − →
DA + EB→
21.Cho ∆ABC Hãy xác định điểm M sao cho :
a/ MA→ − →
MB + MC→ = 0 b/ MB→ − →
MC + BC→ = 0 c/ →
MB − →
MC + →
MA= 0 d/ →
MA − →
MB − →
MC = 0 e/ MC→ + →
MA − →
MB + BC→ = 0
22.Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a
a/ Tính | AB AD |uuur uuur− b/ Dựng u = CA→ − →
AB Tính | |ur
23.Cho ∆ABC đều cạnh a Gọi I là trung điểm BC
Trang 3a/ Tính | AB AC |uuur uuur− b/ Tính | BA BI |uuur uur−
24 Cho ∆ABC vuông tại A Biết AB = 6a, AC = 8a Tính | AB AC |uuur uuur−
4. Cho ∆ABC Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý
a/ CMR : AM→ + BN→ + CP→ = 0 b/ CMR : OA→ + OB→ + OC→ = OM→ + ON→ + OP→
5. Cho ∆ABC có trọng tâm G Gọi M ∈ BC sao cho BM→ = 2MC→
a/ CMR : →
AB + 2AC→ = 3 →
AM b/ CMR : →
MA + →
MB + MC→ = 3MG→
25.Cho tứ giác ABCD Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF a/ CMR : AD→ + BC→ = 2EF→ b/ CMR : OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0
c/ CMR : →
MA + →
MB + MC→ + →
MD = 4 MO→ (với M tùy ý)
26.Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H lần lợt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý
a/ CMR : →
AF + BG→ + CH→ + →
DE= 0 b/ CMR : MA→ +MB→ +MC→ + MD→ = ME→ + MF→ + MG→ + MH→
c/ CMR : →
AB + AC→ + →
AD = 4AG→ (với G là trung điểm FH)
27 Cho hai ∆ABC và DEF có trọng tâm lần lợt là G và H CMR : AD + → BE + → CF = 3→ GH→
28.Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD CMR :
a/ OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0 b/ →
EA + →
EB + 2EC→ = 3 →
AB c/ →
EB + 2 →
EA + 4→
ED = EC→
29.Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC
a) Tính uur uurAI AJ theo AB AC, uuur uuur,
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Tính AGuuur theo uuurAI và uurAJ
6. Cho ∆ABC có M, D lần lợt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho:
→
AN =
2
1 →
NC Gọi K là trung điểm của MN
a/ CMR : →
AK =
4
1 →
AB +
6
1 →
KD =
4
1 →
AB +
3
1 → AC
30.Cho ∆ABC Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD→ = 2DB→ , CE→ = 3EA→ Gọi
M là trung điểm DE và I là trung điểm BC CMR :
a/ →
AM =
3
1 →
AB +
8
1 →
MI =
6
1 →
AB +
8
3 → AC
31 Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2AB + 3→ AC = 5→ AD CMR : B, C, D thẳng hàng.→
32.Cho ∆ABC, lấy M, N, P sao cho MB→ = 3MC→ ;NA→ +3NC→ =0 và PA→ + PB→ = 0
a/ Tính →
PM, PN→ theo →
AB và AC→ b/ CMR : M, N, P thẳng hàng
33.Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’
là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm
Trang 434.Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý Gọi A’, B’, C’ lần lợt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB
a/ Chứng minh ba đờng thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC
35.Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tng đtều kiện sau :
a/ MA MBuuur uuur= . b/ MA MB MC Ouuur uuur uuuur ur+ + =
c/ |ΜΑ + ΜΒ=ΜΑ + Μ uuuur uuuur uuuur uuuurC d/ ΜΑ + Β = ΜΑ − ΜΒC 3
2
uuuur uuur uuuur uuuur
e/ | ΜΑ + Β =ΜΑ − ΜΒuuuur uuurC uuuur uuuur
C Trục - Toạ độ trên trục:
7. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là −2 và 5
a/ Tìm tọa độ của ABuuur b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 →
MA + 5 →
MB = 0 d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA + 3NB = −1
36.Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lợt là a, b, c
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho MA→ + MB→ − →
MC = 0 c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA→ − 3NB→ = NC→
37.Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là −3 và 1
a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3MA − 2MB = 1
b/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3NB = AB
38.Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(−2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
a/ CMR :
AC
1
+
AD
1
=
AB
2
b/ Gọi I là trung điểm AB CMR : 2
IA ID
IC =
c/ Gọi J là trung điểm CD CMR : AC.AD=AB.AJ
D Toạ độ trên mặt phẳng:
8. Viết tọa độ của các vectơ sau : a =i − 3j ,b =
2
1 i
+j ; c = −i +
2
3 j
; d = 3i ;e = −4
j
39.Viết dới dạng u = xi + yj , biết rằng :
u
= (1; 3) ; u = (4; −1) ; u = (0; −1) ; u = (1, 0) ; u = (0, 0)
40.Trong mp Oxy cho a = (−1; 3) , b = (2, 0) Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ :
a/ u = 3a − 2b ; b/ v = 2a + b ; c/ w = 4a − 12 b
41.Trong mp Oxy cho A(1; −2) , B(0; 4) , C(3; 2)
a/ Tìm tọa độ của các vectơ AB→ , AC→ , BC→ b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho : CM→ = 2→
AB − 3AC→ d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho : AN→ + 2BN→ − 4CN→ = 0
Trang 542.Trong mp Oxy cho ∆ABC có A(4; 3) , B(−1; 2) , C(3; −2).
a/ CMR : ∆ABC cân Tính chu vi ∆ABC
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC
43.Trong mp Oxy cho ∆ABC có A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; −1)
a/ CMR : ∆ABC vuông Tính diện tích ∆ABC
b/ Gọi D(3; 1) CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành
44.Trong mp Oxy cho ∆ABC có A(−3; 6) , B(9; −10) , C(−5; 4)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC
c/ Tìm tọa độ tâm I của đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC và tính bán kính đờng tròn đó
45.Trong mp Oxy cho A(−3; 2) , B(4; 3) Hãy tìm trên trục hoành các điểm M sao cho ∆ABM vuông tại M
46.Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ Hãy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ∆ABC cân tại C
b/ Tính diện tích ∆ABC
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành
47.Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(−1; −1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC
c/ CMR : ∆ABC vuông cân d/ Tính diện tích ∆ABC
9. Cho ∆ABC với trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM
a/ CMR : 2→
IA + →
IB + →IC = 0 b/ Với 1 điểm O bất kỳ CMR : 2OA→ + OB→ + OC→ = 4→OI
48.Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ∆ABC
a/ CMR : 2→
AI = 2AO→ + →
AB b/ CMR : 3DG→ = →
DA + →
DB + DC→
49.Cho ∆ABC Lấy trên cạnh BC điểm N sao cho BC→ = 3BN→ Tính AN→ theo AB→ và AC→
50.Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I và J là trung điểm của BC, CD
a/ CMR : →AI =
2
1
(AD→ + 2AB→ ) b/ CMR : OA→ + →OI + OJ→ = 0 c/ Tìm điểm M thỏa : →
MA − →
MB + MC→ = 0
51.Cho ∆ABC và 1 điểm M tùy ý
a/ Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho →
MD = MC→ + →
AB, →
ME = →
MA + BC→ và →
MF = →
MB +
→
CA CMR các điểm D, E, F không phụ thuộc điểm M
b/ CMR : →
MA + →
MB + MC→ = →
MD + →
ME + →
MF
52.Cho ∆ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện :
a/ →
MA = →
MA + →
MB + MC→ = 0 c/ →
MA + →
MB = →
MA − →
MB d/ MA→ + MB→ = MA→ + MB→ e/ MA→ + MB→ = MA→ + MC→
Trang 653.Cho ∆ABC có trọng tâm G Gọi D và E là các điểm xác định bởi AD→ = 2AB→ , AE→ =
5
2 → AC
a/ Tính AG→ , →
DE, DG→ theo →
AB và AC→ b/ CMR : D, E, G thẳng hàng
54.Cho ∆ABC Gọi D là điểm xác định bởi AD→ =
5
2 →
AC và M là trung điểm đoạn BD
a/ Tính →
AM theo →
AB và AC→ b/ AM cắt BC tại I Tính
IC
IB và
AI AM
55.Trên mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2)
a/ Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox và cách đều 2 điểm A và B
b/ Tính chu vi và diện tích ∆ OAB
c/ Tìm tọa độ trong tâm ∆ OAB
d/ Đờng thẳng AB cắt Ox và Oy lần lợt tại M và N Các điểm M và N chia đoạn thẳng AB theo các tỉ số nào ?
e/ Phân giác trong của góc AOB cắt AB tại E Tìm tọa độ điểm E
f/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành
Baứi 1: Cho 4 ủieồm A, B, C, D Chửựng minh :
1) →AB DC BD CA→ → → →0
+ + + = . 2) AB→−CD→=AC→−BD→
Baứi 2: Cho hỡnh bỡnh haứnh ABCD , taõm O vaứ M laứ ủieồm tuứy yự Chửựng minh :
1) → → → →
= + + AC AD AC
AB 2 3) →AB CD BC DA→ → → 0→
+ + + = .
2) → → → →
+
= +MC MB MD
= + + +MB MC MD MO
Baứi 3: Cho tửự giaực ABCD Goùi M, N laàn lửụùt trung ủieồm AD, BC ; O laứ trung ủieồm MN Chửựng minh:
1) AB CD AC DB→ → → →
− = + . 2) 2MN AB DC AD BC→ → → → →
2) OA OB OC OD→ → → → →0
+ + + = . 4) →IA+→IB+→IC+→ID =4→IO vụựi moùi I.
Baứi 4: Cho tửự giaực ABCD Goùi I , J , M , N laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa AC , BD , AD vaứ BC Chửựng
minh :
1) → → →
= +DC MN
= +CD IJ
2) → → →
= + IJ AB
= + IN IJ
Baứi 5: Cho tửự giaực ABCD vaứ M, N, P, Q laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa AB, BC, CD, DA Goùi O laứ
giao ủieồm cuỷa MP vaứ NQ Chửựng minh raống: OM ON OP OQ→+→+→+→ =→0
Baứi 6: Cho tam giaực ABC Goùi M, N, P laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa caực caùnh AB, BC vaứ CA
Chửựng minh :
1) AM→+BN→= AC→
2
1 3) → → → → →
= + + + BN AP BM MC
2) AM BN CP→ → → →0
+ + = . 4) CM→+AP→=CN→
Baứi 7: Cho tam giaực ABC coự troùng taõm G Chửựng minh raống:
1)GA GB GC→ → → →0
+ + = . 2)3OG OA OB OC→ → → →
= + + vụựi moùi ủieồm O.
Baứi 8: Cho luùc giaực ABCDEF M, N, P, Q, R, S laàn lửụùt trung ủieồm AB, BC, CD, DE, EF, FA
Chửựng minh hai tam giaực MPR vaứ NQS coự cuứng troùng taõm
Baứi 9: Cho tam giaực ABC, AM laứ ủửụứng trung tuyeỏn vaứ I laứ trung ủieồm cuỷa AM Chửựng minh:
1) 2→IA+→IB+→IC =→0.
2) Vụựi 1 ủieồm O baỏt kyứ, chửựng minh : → → → →
= + +OB OC OI
Trang 7Bài 10: Cho tam giác ABC, bên ngoài tam giác, vẽ các hình bình hành ABIF, BCPQ, CARS
Chứng minh rằng: →RF+→IQ+→PS =→0
Bài 11: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, H là điểm đối xứng của B qua G.
1) Chứng minh rằng:
3
CH→= − →AB AC+→ 2) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: 1 5
MH→ = →AC− →AB
Bài 12: Cho tam giác ABC Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B,
C’ là điểm đối xứng với A qua C Chứng minh rằng với một điểm O bất kì ta có:
' ' '
OA OB OC OA OB OC
Bài 13: Cho tam giác ABC Xác định điểm M thỏa mãn điều kiện:
1) MA MB MC→ → → 0→
− + = 2) 2MA→−3MB→=0→. 3) 2MA→−3MB→+4MC→ =→0
Bài 14: Cho hai vectơ →a=(2; 1), b→=3→i+4→j và →c =(7; 2).
1) Tìm toạ độ vectơ u→=2→a−3b c→+→
2) Tìm toạ độ vectơ x→ sao cho x a b c→+ = −→ → →
3) Tìm các số k, l để c k a l b→= →+ →
Bài 15: Cho ba điểm A(1; 4), B(-2; 1) và OC→=3→i+6→j.
1) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
2) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn thẳng BC, điểm B chia đoạn thẳng AC và điểm C chia
đoạn thẳng AB
Bài 16: Cho ba điểm A(0; -4), B(-5; 6) và C(3; 2).
1) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
2) Tính chu vi tam giác ABC.
3) Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC.
4) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 17: Cho tam giác ABC có A(-2; 8), B(-6; 1) và C(0; 4).
1) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.
2) Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 18: Cho hai điểm A(-3; 2) và B(4; 3).
1) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua B
2) Tìm toạ độ điểm M trên trục Ox sao cho tam giác MAB vuông tại M
3) Tìm toạ độ điểm N trên trục Oy và cách đều hai điểm A, B
Bài 19: Cho ba điểm A(2; 5), B(1; 1) và C(3; 3).
1) Tìm toạ độ điểm D sao cho →AD=3→AB−2→AC
2) Tìm toạ độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành Tìm toạ độ tâm hình bình hành đó Bài 20: Cho tam giác ABC với A(-4; 5), B(1; 2) và C(3; 4).
1) Tìm toạ độ điểm M là trung điểm cạnh BC
2) Tính độ dài trung tuyến AM
3) Tìm toạ độ trọng tâm G của tamgiác ABC
4) Gọi K là đỉnh thứ tư của hình bình hành BGCK Chứng tỏ A, M, K thẳng hàng