PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Dùng phương pháp qui nạp để chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức sau: 1.
Trang 1PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Dùng phương pháp qui nạp để chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức sau:
1 Chứng minh rằng:
a) a5 - a chia hết cho 5 với mọi số nguyên dương a
b) 7n + 2 + 82n + 1 chia hết cho 19
c) 62n + 3n + 2 + 3n chia hết cho 11
d) 10n - 9n - 1 chia hết cho 27
2 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
a) 1 + 2 + 3 + … + n = ( 1)
2
n n
b) Sn = 12 + 22 + 32 + .+ n2 =
6
1
n(n + 1)(2n + 1)
c) Sn = 13 + 23 + 33 + .+ n3 =
4
) 1
2 n
n
d) Sn = 13 + 33 + 53 + .+ (2n – 1)3 = n2(2n2 – 1)
3 Chứng minh rằng :
1 3 2 3 n3 1 2 3 n
4 Chứng minh rằng:
2n > n3 với mọi số tự nhiên n 10
5 Chứng minh rằng:
n2 > n + 5 với mọi số tự nhiên n 3
6 Tìm mọi số tự nhiên n sao cho :
a) 2n > n2
b) 5n 5n3 + 2
7 So sánh hai số 20032002 và 20022003
( Thi HSG TP Nha Trang năm 2003 – 2004)
8 Chứng minh rằng :
a) 1.2 + 2.3 + + (n – 1)n = 1
3(n – 1)n(n + 1) với n ≥ 2 b) 1.2.3 + 2.3.4 +…+ (n – 1)n(n + 1) = 1
4(n – 1)n(n + 1)(n +2) với n ≥ 2
c ) 1.22 + 2.32 +…+(n – 1)n2 = 1
12(n – 1)n(n + 1)(3n +2) với n ≥ 2
9 Chứng minh rằng :
4[1.2.3 + 2.3.4 +…+ n(n + 1)(n + 2)] + 1 là số chính phương
10 Chứng minh rằng :
1.1! + 2.2! + 3.3 ! + …+ n.n! = (n +1)! – 1
Trang 211 Chứng minh rằng :
2
12 Chứng minh rằng :
1.3 3.5 (2 1)(2 1) 2(2 1)
HƯỚNG DẪN CÁC BÀI KHÓ
d) 10n - 9n - 1 chia hết cho 27
Giả sử 10k – 9k - 1 chia hết cho 27
Cần chứng minh 10k + 1 – 9(k + 1) - 1 chia hết cho 27
Ta có 10k + 1 – 9(k + 1) – 1 = 10.10k – 9k -9 - 1= 10(10k – 9k - 1) + 81k ∶ 27
Bài 3 : Chứng minh rằng :
1 2 n 1 2 3 n
Giả sử đẳng thức đúng với n = k thì
1 2 (1 2 3 )
Với n = k + 1 ta có :
2
( 1) ( 2) ( 1)( 2)
k k k k
4 Chứng minh rằng:
2n > n3 với mọi số tự nhiên n 10
Giả sử 2k > k3 với mọi số tự nhiên k 10
Cần chứng minh: 2k + 1 > (k + 1)3
Xét 2k + 1 - (k + 1)3 = 2.2k – k3 – 3k2 – 3k – 1 = 2(2k – k3) + k3– 3k2 – 3k – 1
Dễ thấy 2(2k – k3) > 0 ( Do 2k > k3 )
Xét k3– 3k2 – 3k – 1 = k(k2 – 3k -3) –
= k[k(k – 3) – 1] ≥ 10[10(10 – 3) – 1] = 670 > 0
Nên 2k + 1 - (k + 1)3 > 0 hay 2k + 1 > (k + 1)3
5 Chứng minh rằng:
n2 > n + 5 với mọi số tự nhiên n 3
(Giải tương tự như bài 4)
Trang 36 Tìm mọi số tự nhiên n sao cho :
a) 2n > n2
b) 5n 5n3 + 2
HD : a) n = 0; 1 và mọi n ≥ 5
( dùng quy nạp để chứng minh với n ≥ 5 thì 2n > n2 )
b) n ≥ 4
Bài 7 : So sánh hai số 20032002 và 20022003
HD : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau : (n + 1)n < nn + 1
n n
n
n
Chứng minh qui nạp như sau :
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ta có 1 1
k k k
Với n = k + 1,
1
1
k
Áp dụng (1) ta có 20032002 < 20022003
9 Chứng minh rằng :
4[1.2.3 + 2.3.4 +…+ n(n + 1)(n + 2)] + 1 là số chính phương Theo bài 8b
4[1.2.3 + 2.3.4 +…+(n – 1)n(n + 1) + n(n + 1)(n + 2)] + 1
= 4[1
4(n – 1)n(n + 1)(n +2) + n(n + 1)(n + 2)] + 1
= 4 n(n + 1)(n + 2) [1
4(n – 1) +1] + 1
= 4 n(n + 1)(n + 2) 3
4
n
+ 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1
= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3) + 1
= (n2 + 3n + 1) 2