dự đoán số hạng tổng quát và chứng minh quy nạp

b/Với p tìm được ở câu a/,hãy xác định tập hợp tất cả các giá trị của tổng:... HƯỚNG DẪN GIẢIa.Chứng minh bằng quy nạp toán học... Chứng minh rằng x n là số nguyên với mọi nnguyên tố lớn

DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP

Bài 1: Cho dãy số  u n

xác định bởi

*

n

n n





.Tìm công thức số hạng tổng quát u n của dãy số theo n.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Với mọi n  *, ta có

n



Dãy số

3 ( ),

1

v v u

n

 là cấp số nhân có công bội

3 2

q 

và 1

1 2

v 

n



Bài 2: Cho hàm số f Z:   Z thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

(1) f n 1 f n 

,  n Z. (2) f f n    n 2000

,  n Z. a/Chứng minh: f n 1 f n 

,  n Z. b/Tìm biểu thức f n 

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu a

Vì f n  Z nên từ giả thiết (1) ta được: f n 1f n 1

,  n Z.

Kết hợp giả thiết (2) ta được  n Z.

n  n  f f n   f f n   n

do đó: f n 1 f n 1

,

n Z

 

Câu b

, Suyra:1 2000 2f  1 –1 f  1 1001 f n  n 1000, n Z

Thử lại thỏa các điều kiện, nên f n  n 1000, n Z

CÁC DẠNG KHÁC

Bài 3:

a/Tìm p N * sao cho hệ

1 1 1 1

4 4

p i i p

i

i

x x































có nghiệm

b/Với p tìm được ở câu a/,hãy xác định tập hợp tất cả các giá trị của tổng:

11

p

i

a

a

 



với a  i 0 và

2 1

1

p i i

a







HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu a

Do:

2

1

x

4

p  :Khi đó: x i 1,i 1, 4 Vậy hệ có nghiệm

3

p  :Chọn x 1 1 và

2 3

2 3

3

x x

x x







 có nghiệm Nên x x x1, ,2 3 là nghiệm của hệ.

2

p  :

1 2

1 2

4

x x

x x







 có nghiệm Nên x x1, 2 là nghiệm của hệ.

1

p  :Vô nghiệm.

Vậy hệ có nghiệm khi p2,p3,p4

Câu b

Ta có: f a a 1, , ,2 a  p

2 2

1 (1 1)

p i

a

a a



Xét hàm:   1 2  

3

g x x  x x g x   

Ta có: (0;1)

2 max ( )

3 3

g x 

Do đó:f a a 1, , ,2 a p 2

1

p i i

a



Dấu đẳng thức xảy ra khi: 3 1 hay p = 3.

p



2 2

1 2

1

f

a

vì a12a22 1 Dấu đẳng thức

xảy ra khi

1 2

1

2

a a 

,

2 1 1

1 ( , )

1

a a

f a a



 liên tục trên 0;1 Khia 1 0thì f a a  ( , )1 2 .Vậy 2

p  , tập giá trị là:2 2;

 3

1

1 2 ; a ; a , 0<x<

2

a   x  x  x

.Thỏa giả thiết:

2 2 2

1 2



liên tục trên

1 (0; )

2 ;

0

, lim g(x)=+

g



 

 

  Vậy tập giá trị là:

3 3

; 2



 1 2 

2

p

p f a a a 

Chọna1 1 2 ; a x 2  x ; a3  x , a4  x thỏa giả thiết:

a a a a   x x x x    với

1 0<x<

3 ;

1 2 3 4

1 2



   liên tục trên

1 (0; )

3 ;

3

3 3 lim g(x)= ; lim g(x)=+



.Tập giá trị là:

3 3

; 2



Bài 4: Kí hiệu H n là tập hợp các đa thức bậc n dạng:

1

i 0

( ) n n i, a

i i

f x x  a x R



Chứng minh:   1;1  1

1 min max | ( ) |

2

HƯỚNG DẪN GIẢI

Xét đa thức Trêbưsép T x  cos arccosn x

Chứng minh T x  là đa thức bậc n có hệ tử bậc n là 2n–1

Chứng minh bằng quy nạp dựa vào công thức:cosntcosn1t2cos cost n1t

Do đó: 1

( )

T x

H

 

max

2n 2n

T x

  

Nếu tồn tại f x H n

sao cho 1

1 ( )

2n

f x  

,

 1;1

x

  

Lúc đó ta xét g x  f x  1

( )

2n

T x



đa thức bậc nhỏ hơn hay bằng n–1, g x  đổi

dấu n 1 lần tại các điểm cos

k n



, k 0,n

1 max ( )

2n

f x  

Vậy   1;1  1

1 min max | ( ) |

2

TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài 5: Cho hai số a b1, 1 với 0b1 a11

.Lập hai dãy số  a n ,  b n với n 1, 2,

Theo quy tắc sau: giải nghĩa cái đó là:

1

1

2

a   a b

,b n1 a b n1 n

Tính:limn a n

  và limn b n

 

HƯỚNG DẪN GIẢI

Tính a b2, 2 với 0b1 a1 1

ta có thể chọn 0 a  2



sao cho: b1 cosa, Suy ra a1 cos a2

2

(cos cos ) cos (cos 1) cos a.cos

a

a  a a  a a 

2

Bằng quy nạp, chứng minh được:

cos cos cos cos (1)

Nhân hai vế của (1) và (2) cho sin2n 1

a



và áp dụng công thức sin 2a được:

1

n

2 , b

n n

a

a



Tính giới hạn:

Bài 6: Cho dãy số  a n ,a 1 1 và 1

1

n

a a

a

  

.Chứng minh:

n

a n

  

HƯỚNG DẪNGIẢI



1 2

2 1

1

n

a n

a





Vậy a n  2n1 , n 2. 

2

k

k

a k

Suyra:



Suyra:

4

Vậy:

2

n

n

a  n   

Suyra:

n n

2; 2n-1<a < 2n-1+ 2- < 2n-1+

Dođó:

n

a n

 

Bài 7: Cho hai số a b1, 1 với 1 co 2

8 s

a  

, b1 cos 8





Lập hai dãy số    a n , b n với n 1, 2, theo quy

tắc sau:

1

1

2

a   a b

,b n1 a b n1 n

Tính:limn a n

  vàlimn b n

 

HƯỚNGDẪNGIẢI

+Tính a b2, 2:

2

2

+ Bằng quy nạp, chứng minh được:

n

+Nhân hai vế của (1) và (2) chosin2 4n



và áp dụng công thức sin 2a được:

n

n

n

a

+Tính giới hạn:

lim n , lim n

biết:

1

*

1 , 1

n n

n

u

n N u

u

u









 







Hãy tínhnlim (u n n)

 

HƯỚNG DẪN GIẢI

Ta có:u1  0 u n 0, n N*

1 n/ (1 n) ( n) / (1 n) 0

un  un u u  un u u   n N*

 u n



là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 0

n u a a R a

 

Từ un 1 u n/ (1u n2), cho n   ta được:

3

a a a  a Vậyxlimu n 0

  

Đặt v n 1/ (u n21) 1/ ( ), u n2 n N *

Ta có v n ((1u n2) /u n)2 1/ ( ) 2u n2  u n2  2 khi n ? Áp dụng định lí trung bình Cesaro

ta có:

n

n

n





n



 









Mà





;

2 1

1

n   n   

⇒

2

2 n

1

1

n

1 lim (

n

n

u

u

Bài 9: Cho dãyU n xác định bởi:

 

1

* 2

1

2

2009 2010

n

U

n N

U 















Ta lập dãy S n với 1 1 1

n i n

U S

U

 





.Tínhlimx S n

 

HƯỚNGDẪNGIẢI

Tacó

0

2

a

a  

Giả sử a a1, , ,2 a n10

Tacó

n









Hay

n

a

n n n n

Do a a1, , ,2 a n1 0 nên

2 2

2



2

n n n

n



Ta lại có

0

n



2



2

n

a

n n n n n n n

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài 10: Cho dãy số u n xác định bởiu 1 1,

2 1

n n

n

u

u



a Chứng minh:

1

2

u    n

b.Suy ra tính đơn điệu và bị chặn của u n .

HƯỚNG DẪN GIẢI

a.Chứng minh bằng quy nạp toán học

b.Nhận xét 0 2n 1 4, n 1



và hàm số tanx đồng biến trên

0;

4



nên dãy số  u n giảm và bị chặn dưới bởi số tan 0 0

và bị chặn trên bởi số tan 4 1.





Bài 11: Cho dãy số x n

xác định bởi:

*



1.Với mỗi n  *,đặt n n2

n y x



.Chứng minh dãy số y n có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

2.Tìm các số  để dãy nx n

có giới hạn hữu hạn và giới hạn là một số khác 0

HƯỚNG DẪN GIẢI

1.Từ giả thiết suy ra

Suy ra

x  x  x    x  n do đó limx  n

Xét

Suy ra

 2 2

1

lim x n  x n 2

Ta có

 2 2   2 2   2 2 2 2

x



Áp dụng định lý trung bình Cesaro ta có

 2 2   2 2   2 2 2 2

1 lim

2

n

n

x 

2.Xét

2 2

n

n

z nx x

x

Từ đó:

+) Nếu  2 thì limz  n

+)Nếu   2 thì limz  n 0

+) Nếu 2 thì

1 lim

2

n

z 

Vậy  2 là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài.

CÁC DẠNG KHÁC

Bài 12: Cho dãy số  x n không âm thỏa mãn x 1 0,và

, n 1 Chứng minh rằng x n là số nguyên với mọi nnguyên tố lớn hơn hoặc bằng 5.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Viết lại đẳng thức trong đầu bài về dạng

1



Từ x n không âm dẫn đến   1

1



     , với mọi n

1



,

4.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

Bài 13: Tính các giới hạn sau:

a)

3 2 2

8 lim

4

x

x x





 b) 2

lim

2

x

x x









HƯỚNG DẪN GIẢI

2 3

2

8

x x x

a



) lim

2

x

x b

x







 



Bài 14: Tính giới hạn

2 1

lim

1

n

x

x





HƯỚNG DẪN GIẢI



1

lim

1

n

x

x







1



( 1

2

Bài 15: Cho n là số nguyên dương và a 0.Chứng minh rằng:

0

1 ax 1

n

x

a Lim





HƯỚNG DẪN GIẢI

Đặt y  n1 ax , khi đó từ x 0 y1.

n

Bài 16: Tính các giới hạn sau:

2

lim

1 5 9 (4 3)

n

n n

 

b/

1 sin 0

cos5 lim cos3

x

x x



HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu a

2

2

n n

Mà ta có các công thức: 1

( 1) 2

n

i

n n i









;

2 1

6

n

i

n n n i







;

2 3

1

( 1) 2

n

i

n n i







Do đó:P x( ) 1 3 5393 (4 n 3)3là một đa thức bậc 4 có hệ số bậc 4 là 64 / 4 16

Và Q x( )   1 5 9 (4 n 3)2

là một đa thức bậc 4 có hệ số bậc 4 là 4

2

4

1 5 9 (4 3)

n

n n

 

Câu b

1 sin 0

cos5

lim

cos3

x

x

x



cos5 cos3 cos3 sin cos3 cos5 cos3

0

lim 1

cos3

x

x









Vì 0

cos 5 cos 3

cos 3

x

x







và áp dụng công thức lim 10 u1

, nên

1 sin 8 0

cos5 lim cos3

x

x

e x





