Nghiên cứu didactic việc dạy học phép chứng minh quy nạp toán học trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông

CB Cơ bản đpcm Điều phải chứng minh ĐS & GT Đại số và Giải tích GV Giáo viên HS Học sinh NC Nâng cao NXB Nhà xuất bản NXBGD Nhà xuất bản Giáo dục PPQNTH Phương pháp quy nạp toán học SBT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN XUÂN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN XUÂN TÍNH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN

Với tất cả sự chân thành, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tập thể giảng viên didactique toán của trường Đại học Sư phạm TP.HCM, đặc biệt là PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung,

TS Trần Lương Công Khanh, PGS.TS Lê Văn Tiến, … và xin chân thành cảm ơn PGS.TS Claude COMITI - nguyên phó viện trưởng Viện Đại học đào tạo giáo viên (IUFM) Grenoble, PGS.TS Annie BESSOT - nguyên trưởng nhóm DDM Trung tâm nghiên cứu Leibniz, TS Alain BIREBENT - giảng viên cao cấp trường Đại học MENDÈS (Grenoble) là những người mang lại cho chúng tôi những tri thức quý báu, đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ

chúng tôi hoàn thành luận văn này

Xin trân trọng cảm ơn phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm TP.HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn

Xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn học viên lớp cao học khóa 19 chuyên ngành Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán đã trải qua những ngày vui buồn trong cả khóa học và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích thiết thực cho luận văn

Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và tập thể Giáo viên trường THPT Nguyễn Thái Học – Khánh Hòa đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi tham gia khóa học và giúp đỡ chúng tôi thực nghiệm

Xin chân thành cảm ơn những người thân yêu nhất trong gia đình tôi

đã động viên và tiếp sức tinh thần để tôi hoàn thành luận văn

Với thời gian còn hạn chế, chắc chắn luận văn này không tránh khỏi nhiều khiếm khuyết, chúng tôi kính mong các Thầy giáo, Cô giáo và các đồng nghiệp góp ý để luận văn hoàn chỉnh, ứng dụng được trong thực tiễn

TÁC GIẢ

CB Cơ bản đpcm Điều phải chứng minh

ĐS & GT Đại số và Giải tích

GV Giáo viên

HS Học sinh

NC Nâng cao NXB Nhà xuất bản NXBGD Nhà xuất bản Giáo dục PPQNTH Phương pháp quy nạp toán học SBT Sách bài tập

SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên THCS Trung học cơ sở THPT Trung học phổ thông

TCM Chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự

nhiên n

TDĐ Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi

công thức truy hồi

TDĐCM Dự đoán tính chất của dãy số và chứng

minh tính chất đó bằng PPQNTH

tr Trang

VP Vế phải

VT Vế trái

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Danh mục các từ viết tắt

Mục lục Trang MỞ ĐẦU 1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát - 1 -

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu và câu hỏi nghiên cứu - 2 -

3 Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu - 2 -

4 Cấu trúc của luận văn - 4 -

CHƯƠNG I ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA PHÉP CHỨNG MINH QUY NẠP TOÁN HỌC I.1 Các phương pháp suy luận và phương pháp quy nạp toán học - 5 -

I.1.1 Các phương pháp suy luận - 5 -

I.1.2 Phương pháp quy nạp toán học - 12 -

I.2 Điểm qua vài nét lịch sử về PPQNTH - 13 -

I.2.1 Giai đoạn chưa có định nghĩa số tự nhiên N (Trước thế kỷ XIX) - 13 -

I.2.2 Giai đoạn sau khi đã định nghĩa tường minh tập hợp số tự nhiên N

(Thế kỷ XIX) - 17 -

I.3 Các hình thức của nguyên lý quy nạp toán học - 19 -

I.3.1 Hình thức cổ điển của phương pháp quy nạp toán học - 19 -

I.3.2 Các hình thức khác của phép quy nạp toán học 24

-CHƯƠNG II

PHÉP QUY NẠP TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

II.1 Phép quy nạp toán học trong chương trình môn toán ở THPT - 33 -

II.2 Phép quy nạp toán học trong SGK - 34 -

II.3 Kết luận - 48 -

CHƯƠNG III NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM THỰC NGHIỆM A Ở HỌC SINH III.1 Hình thức và đối tượng thực nghiệm - 52 -

III.2 Phân tích tiên nghiệm (A priori) các câu hỏi thực nghiệm - 52 -

III.3 Phân tích hậu nghiệm (A Posteriori) các câu hỏi thực nghiệm - 63 -

III.4 Kết luận - 70 -

THỰC NGHIỆM B Ở GIÁO VIÊN III.5 Mục tiêu thực nghiệm - 71 -

III.6 Phân tích những câu trả lời thu được từ GV - 73 -

III.7 Kết luận 78

-KẾT LUẬN CHUNG - 79 -

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO - 82 -

PHỤ LỤC - 84 -

MỞ ĐẦU

1 Nh ững ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Trong cuộc sống lao động, sinh hoạt và học tập người ta thường suy luận và đánh giá những hoạt động của mình, thông thường những suy luận đó

là suy luận diễn dịch và suy luận quy nạp Suy luận diễn dịch (suy diễn) là áp đặt một vấn đề chung cho một trường hợp cụ thể Cách suy luận này diễn ra thường ngày, xuất phát từ kinh nghiệm thực tế của con người Trong khoa học, toán học là khoa học tư duy đòi hỏi tính logic và tính chính xác cao Toán học được xây dựng chủ yếu trên các tiền đề và bằng con đường suy diễn Tuy nhiên phép suy diễn không phải là con đường duy nhất của tư duy khoa học nói chung và toán học nói riêng Trên con đường khám phá, tìm tòi chân lý, nhiều nhà khoa học đã bắt đầu từ những trường hợp cụ thể, trường hợp đặc biệt của các đối tượng trên một tập hợp nào đó để rồi đưa ra những kết luận tổng quát với mọi đối tượng trên tập hợp đó Kết luận được tìm ra có thể đúng hoặc có thể sai rồi họ lại sáng tạo những phương pháp chứng minh

để khẳng định một kết luận là đúng Một trong những cách làm trên của các nhà toán học là phép chứng minh quy nạp toán học Nhờ phép chứng minh

đó mà lý thuyết số trong khoa học toán học đã cho ra biết bao định lý, tính chất, công thức, hệ quả toán học đáng quý và ngay cả trong hình học, đại số, giải tích…cũng vậy

Ở trường trung học phổ thông (THPT), việc dạy học phép chứng minh quy nạp toán học giúp học sinh (HS) lĩnh hội kiến thức một cách chủ động, hứng thú và khơi gợi ở người học sự tò mò muốn vươn lên trong học tập Trong thực tế giảng dạy phép chứng minh quy nạp toán học, HS không hiểu nhiều về mối quan hệ giữa các bước của phương pháp chứng minh này, các bước chứng minh chỉ mang tính hình thức, và nhiều HS không hiểu tại sao phải thực hiện các bước đó Trong bước quy nạp, khi chứng minh mệnh đề

“A(k) ⇒ A(k+1)” đúng ∀k ≥1, nhiều HS cho rằng chỉ cần chứng minh cho

những k ≥ 2 vì chúng đã kiểm tra mệnh đề đúng với k =1, trong khi sách giáo

khoa (SGK) yêu cầu chứng minh với k≥1

Xuất phát từ những ghi nhận nêu trên, chúng tôi chọn: “Nghiên cứu didactic việc dạy học phép chứng minh quy nạp toán học trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông” làm đề tài cho luận văn này

Mong muốn của chúng tôi là tìm hiểu, nghiên cứu và trả lời các câu hỏi sau:

- Phép chứng minh quy nạp toán học xuất hiện vì mục đích gì?

- Những tính chất đặc trưng của phép chứng minh quy nạp toán học là gì?

- Có những hình thức khác nhau nào của phép chứng minh quy nạp toán học?

2 Ph ạm vi lý thuyết tham chiếu và câu hỏi nghiên cứu

Nghiên cứu của chúng tôi đặt trong khuôn khổ của lý thuyết didactic toán

3 M ục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu

Mục đích tổng quát của luận văn này là tìm những yếu tố trả lời cho các câu hỏi ban đầu Để làm được điều đó, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết tham chiếu nêu trên nhằm làm rõ đặc trưng khoa học luận của phép quy nạp toán học, những lựa chọn của thể chế Quan sát và thực nghiệm để làm rõ những đặc trưng đó và ảnh hưởng đến việc dạy

và học của GV và HS Chúng tôi trình bày lại các câu hỏi như sau:

Q1 Những đặc trưng khoa học luận của phép chứng minh quy nạp toán học là gì? Phép chứng minh quy nạp toán học được giới thiệu trong thể chế THPT với mục đích gì? Dưới những hình thức nào? Các kiểu bài tập nào liên quan?

Q2 Trong mối quan hệ thể chế đối với phép chứng minh quy nạp toán học thì các tính chất đặc trưng nào xuất hiện? Những tính chất đặc trưng

nào không được tính đến?

• Chúng tôi tiến hành tổng hợp một số tài liệu về phép chứng minh quy nạp toán học, các công trình nghiên cứu đã công bố, chỉ ra được đặc trưng, vai trò và ý nghĩa của nó trong giải toán

• Sau đó, chúng tôi thực hiện phân tích thể chế, bằng cách phân tích chương trình và SGK, các tài liệu hướng dẫn giảng dạy, chúng tôi cố gắng tìm hiểu sự lựa chọn của thể chế ở đối tượng phép chứng minh quy nạp toán học và tác động của nó đến quá trình dạy học

• Phân tích SGK, nêu rõ các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng phép chứng minh quy nạp toán học, xem xét SGK, SBT có những kiểu nhiệm vụ và kỹ thuật nào được ưu tiên Chúng tôi cũng sẽ tìm hiểu quan niệm của GV và HS về đối tượng này, ảnh hưởng của cách trình bày của SGK, SGV đến các quan niệm đó

• Tổng hợp từ các phân tích đó cho phép chúng tôi hình thành các giả thuyết nghiên cứu về đối tượng này

• Việc tiến hành thực nghiệm cho phép chúng tôi kiểm chứng các giả thuyết nêu ra Chúng tôi sẽ thực hiện thực nghiệm đối với hai chủ thể

GV và HS thông qua bộ câu hỏi thực nghiệm

4 C ấu trúc của luận văn

Chương I: Phần tổng hợp và phân tích các đặc trưng của phép chứng minh

quy nạp toán học trình bày trong một số công trình nghiên cứu liên quan Từ

đó chỉ ra vai trò và ý nghĩa của phép chứng minh quy nạp toán học trong dạy học toán

Chương II: Phần phân tích thể chế, nghiên cứu chương trình, phân tích SGK

và các tài liệu hướng dẫn giảng dạy, phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng phép chứng minh quy nạp toán học

Chương III: Phần thực nghiệm kiểm chứng các giả thuyết, thực hiện trên hai

đối tượng GV và HS Chúng tôi tiến hành xây dựng thực nghiệm dưới dạng

bộ các câu hỏi, nhằm kiểm chứng tính xác đáng của các giả thuyết, gồm phiếu thực nghiệm cho GV và phiếu thực nghiệm cho HS

Phần kết luận

Trình bày kết luận chung, những việc chưa làm và hướng mở ra của luận văn

CHƯƠNG I ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA PHÉP CHỨNG MINH QUY NẠP TOÁN HỌC

Mục tiêu của chương

Trong chương này, chúng tôi sẽ tổng hợp một số công trình khoa học luận và lịch sử về phép quy nạp toán học nhằm làm rõ đặc trưng cơ bản của đối tượng này trong quá trình phát sinh và tiến triển của nó Cụ thể, bằng cách tham khảo một số

nguồn tài liệu của các tác giả: Hoàng Chúng [2]; G.Pôlia, Hoàng Chúng (dịch) [15];

Michal Walicki [16]; V.Battie [17], chúng tôi cố gắng tìm những yếu tố để trả lời các câu hỏi tri thức luận cần nghiên cứu sau đây:

 Phép chứng minh quy nạp toán học xuất hiện vì mục đích gì?

 Những tính chất đặc trưng của phép chứng minh quy nạp toán học là gì?

 Phép quy nạp toán học có các hình thức khác nhau nào?

Phép quy nạp toán học đuợc dịch ra từ tiếng Anh là mathematical induction, tiếng Pháp gọi là raisonnement par récurrence đây là một thuật ngữ toán học, một

số tác giả dịch là phương pháp chứng minh quy nạp toán học, có tác giả dịch là

phương pháp quy nạp toán học hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp Vì có

nhiều thuật ngữ tương tự nhau nên có thể dẫn đến hiểu nhầm giữa đối tượng này với suy luận quy nạp, tư duy quy nạp,…nhưng sau khi xem xét kỹ thì chúng khác với phép quy nạp toán học Trong chương trình môn toán phổ thông hiện hành ở Việt

Nam, người ta gọi đối tượng đó là phương pháp quy nạp toán học vì vậy trong

luận văn này chúng tôi sẽ dùng thuật ngữ phương pháp quy nạp toán học (viết tắt là PPQNTH) thay cho tên gọi phép chứng minh quy nạp toán học như trong tên đề tài

đã ghi Trong chương này, chúng tôi cũng sẽ làm rõ phương pháp suy luận là gì? Suy luận quy nạp là gì? Sự khác nhau giữa suy luận quy nạp so với PPQNTH?

I.1 Các phương pháp suy luận và phương pháp quy nạp toán học

I.1.1 Các phương pháp suy luận

Theo Hoàng Chúng ([2], tr.107): Phương pháp suy luận là quá trình suy nghĩ để từ một hay nhiều phán đoán đã có rút ra phán đoán mới Phán

đoán đã có gọi là tiền đề của suy luận, phán đoán mới rút ra gọi là kết luận Tiền đề có thể gồm một hay nhiều phán đoán Suy luận nào mà tiền đề gồm một phán đoán gọi là suy luận trực tiếp Nếu tiền đề có nhiều phán đoán ta

có suy luận gián tiếp Căn cứ vào bản chất sự liên hệ giữa tiền đề và kết luận, có thể chia ra thành hai loại suy luận: suy luận diễn dịch và suy luận

quy nạp

Ví dụ Từ một tiền đề A suy ra mệnh đề B: A⇒B là suy luận trực tiếp;

“Mệnh đề kéo theo” là mệnh đề dạng A⇒B(chỉ sai khi A đúng và B sai) "Phép kéo theo":A⇒Blà phương pháp suy luận để từ một mệnh

đề A, suy ra mệnh đề B sao choA⇒Blà đúng là suy luận gián tiếp

Một trong những đặc trưng làm cho toán học khác biệt với các ngành khoa học khác là việc xây dựng hệ thống lý thuyết bằng con đường suy diễn Điều đó có nghĩa là mọi kết quả trong toán học đều là hệ quả logic của một

số tiền đề Theo Michal Walicki ([16], tr.2): Thông qua các cuộc thảo luận

về chính trị và triết học, các nhà tư tưởng dần dần nâng cao các con đường

lý luận khác nhau Các nhà triết học nghiêm túc không tin tưởng vào các nhà ngụy biện, lo lắng về nguy cơ trái đạo đức từ các cuộc tranh cãi của các nhà ngụy biện, Plato (1) đã cố gắng chống lại chúng bằng cách lao vào các cuộc thảo luận về đạo đức và tuyên bố rằng đã có một logic mạnh mẽ là phép biện chứng Tuy nhiên sự phát triển của “lý luận chính xác” lên tới đỉnh điểm tại

Hy Lạp cổ đại với Aristotle ( 2) , người đưa vào giảng dạy các categorical forms (hình thức rõ ràng tuyệt đối) và Syllgisms (tam đoạn luận) một cách hệ thống và khá đầy đủ trong bộ Organon

Aristotle được xem là bậc thầy của phép biện chứng và phép suy luận logic Ông đã định nghĩa “tam đoạn luận” là ngôn ngữ mà trong đó, nếu một cái gì đó được giả định, thì tất yếu rút ra một cái gì đó khác hẳn với cái đã

(1) Plato –Triết gia Hy Lạp (khoảng 427 – 347 trước Công nguyên)

(2) Aristotle –Triết gia Hy Lạp (khoảng 384 – 322 trước Công nguyên)

cho, là một phương thức lập luận logic đi từ hai tiền đề đến một kết luận Ví

dụ như ở các sách logic thường dẫn:

Con người không bất tử, Socrates là một con người

Socrates không bất tử

Ngoài khái niệm của phép tam đoạn luận, ngày nay, người ta còn biết

đến Aristotle về phép suy luận diễn dịch là suy luận theo những quy tắc tổng

quát, bằng những quy tắc đó từ những tiền đề đúng ta rút ra những kết luận chắc chắn đúng Tuy nhiên, phép suy diễn không là con đường duy nhất của

tư duy khoa học kể cả tư duy toán học

Vào những năm đầu của thế kỷ XVII, Francis Bacon(3) đã đưa ra một phương pháp tiếp cận khác về kiến thức, khác với Aristotle Ông cho rằng để đạt được kiến thức mới phải đi từ thông tin riêng đến kết luận chung, gọi là

suy luận quy nạp Suy luận kiểu này cho phép chúng ta dùng những tiền đề

riêng – là những kiến thức đã được chấp nhận, như là phương tiện để đạt được kiến thức mới Suy luận quy nạp xuất phát từ sự quan sát và kiểm nghiệm những trường hợp riêng để đi đến những kết luận mang tính quy luật cho trường hợp tổng quát Cách suy luận quy nạp không đảm bảo để tiến hành kết luận trong mọi trường hợp Tuy nhiên, chứng minh bằng suy luận quy nạp là một cách chứng minh rất hữu hiệu trong toán học Euler(4) là bậc thầy của nghiên cứu suy luận quy nạp trong toán học, nhờ quy nạp ông đã có những phát minh quan trọng về các chuỗi số vô hạn, trong lý thuyết số và trong các lĩnh vực khác của toán học: ông đã quan sát, phỏng đoán táo bạo và

xác nhận sáng suốt một kết quả mới Theo G.Polia ([15], tr.118): Euler là

người duy nhất về một phương diện, ông cố gắng trình bày cẩn thận, tỉ mỉ rành mạch các lý lẽ quy nạp thuộc vấn đề nào đó, ông đã viết: “Trong thực

tế, nhiều tính chất số học của các số đã được biết, đều được tìm ra bằng phương pháp quy nạp và được tìm thấy rất lâu trước khi sự đúng đắn của chúng được chứng minh chặt chẽ Cũng có nhiều tính chất quen thuộc với

(3) Francis Bacon – Nhà khoa học thực nghiệm hiện đại người Anh (1561 – 1626)

(4) Leonhard Euler – Nhà Toán học Thụy Sỹ (1707 – 1783)

chúng ta nhưng hiện thời chúng ta còn chưa chứng minh được Chỉ có con đường quan sát và tư duy quy nạp mới có thể dẫn chúng ta đến chân lý” Như vậy phương pháp quy nạp, tư duy quy nạp của Euler trích trên đây chính là suy luận quy nạp

Trong suy luận quy nạp có hai loại: suy luận quy nạp hoàn toàn và suy luận quy nạp không hoàn toàn

 Suy luận quy nạp hoàn toàn là phép suy luận trong đó kết luận tổng

quát được rút ra trên cơ sở đã khảo sát tất cả các trường hợp riêng Để chứng minh∀ ∈ x X,A(x)ta có thể sử dụng một trong các định lý sau:

Định lý 1 Nếu X={a 1 , a 2 , …,a n } thì

1 2

( ) ( )

x X,A(x)

Ví dụ: Chứng minh rằng mọi số chẵn thuộc {4;6;8;…30} đều có thể phân

tích thành tổng của hai số nguyên tố

Lời giải 4 =2+2 6 =3+3 8 =3+5 10=3+7 12=5+7 14=7+7 16=3+13 18=7+11 20=7+13 22=11+11 24=11+13 26=13+13 28=11+17 30=13+17

Từ đó suy ra mọi số chẵn thuộc {4;6;8;…30} đều có thể phân tích thành tổng của hai số nguyên tố

Định lý 2 Nếu X=

1

n k k

X

=

 thì

1 2

, ( ) , ( )

x X,A(x)

mà trong mỗi tập con việc chứng minh tính chất A(x) là đơn giản

Như vậy, ở định lý 2 nếu tập X khó phân thành các tập con thì việc

chứng minh bằng suy luận quy nạp hoàn toàn sẽ gặp khó khăn Theo

Michal Walicki ([16], tr.43): Cho tập hợp X, một vấn đề rất điển hình là

để thấy rằng tất cả các phần tử của X thỏa x∀ ∈ X: A(x), làm thế nào người ta có thể cố gắng chứng minh như vậy Một trường hợp đặc biệt là khi X là hữu hạn và chỉ có vài phần tử - trong trường hợp này, chúng ta

có thể bắt đầu chứng minh A(x) cho mỗi x riêng biệt

Ví dụ: Chứng minh rằng ,∀x y∈R x, + ≤ +y x y .

Lời giải Xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: x≥ 0,y≥ ⇒ + ≥ 0 x y 0 ta có: x+ ≤ +y x y ⇔ + ≤ + x y x y

(đúng với dấu đẳng thức) Trường hợp 2: x≤ 0,y≤ ⇒ + ≤ 0 x y 0 ta có:

x+ ≤ + ⇔ + ≤ − + ⇔y x y x y x y x≤ (đúng, dấu đẳng thức không xảy ra) Trường hợp 6: x< 0,y≥ 0,x+ <y 0 ta có:

x+ ≤ + ⇔ − + ≤ − + ⇔y x y x y x y y≥ (đúng, dấu “=” xảy ra khi y=0)

Vì có thể xảy ra một trong các trường hợp trên mà trong mỗi trường hợp bất đẳng thức đều đúng nên bất đẳng thức đúng ∀x y, ∈R.

Phép suy luận quy nạp hoàn toàn còn có các tên gọi khác như: Phương pháp quy nạp đầy đủ, phương pháp vét cạn, phương pháp xét các trường hợp, phương pháp phân khoảng Do lịch sử, trong tên gọi của

phương pháp trên có thuật ngữ “quy nạp” nhưng thực chất đó là một

trong các phương pháp suy diễn, vì đã dựa trên một số quy tắc tổng quát của logic, quy tắc này cho phép chúng ta chia trường hợp tổng quát ra thành một số hữu hạn các trường hợp riêng và dùng suy diễn để xét riêng từng trường hợp

 Suy luận quy nạp không hoàn toàn là phép suy luận trong đó kết luận

được rút ra dựa trên một số trường hợp riêng Bằng các kí hiệu logic ta

có thể diễn đạt phép quy nạp không hoàn toàn như sau:

Cho X là một tập hợp nào đó, A(x) là một mệnh đề chứa biến xác định trên X, g ọi a 1 , a 2 , …, a n là những phần tử của X Khi đó:

1 ( )

n k

k A a

=

∧ (quan sát và kiểm nghiệm) → quy nap ∀ ∈ x X,A(x) (1) Mệnh đề chứa biến (1) là một phỏng đoán quy nạp Nó có thể đúng hoặc có thể sai Để chứng minh (1) đúng ta phải dựa vào kết quả đã biết

là đúng trước đó và các suy luận logic đúng Tức là phải chứng minh bằng phương pháp suy diễn Để chứng minh (1) sai ta chỉ cần chỉ ra một phản ví dụ, tức là chỉ ra ∃ ∈ x 0 X,A(x ) sai0 , nói cách khác là chứng minh mệnh đề phủ định của (1) là ∃ ∈ x X,A(x)

Ví dụ: Khi nghiên cứu về tập các số nguyên tố P, nhà toán học

Fermat(5)đã dựa trên một số trường hợp cụ thể như:

+ = ∈ + = ∈

Theo Michal Walicki ([16], tr.43): Một tình trạng phổ biến hơn là X

có các yếu tố vô hạn Cho X = {2i: i∈ Z}, x∈X Khi đó, theo định nghĩa của X, có một số i∈ Z sao cho x=2i là một số chẵn Tất nhiên, trong hầu hết các trường hợp, các mối quan hệ giữa định nghĩa của X và cái chúng

ta muốn chứng minh là không đơn giản Và một câu hỏi được đặt ra:

(5) Pierre Fermat–Nhà toán học Pháp (1601-1665)

"Làm thế nào để đảm bảo rằng chúng ta kiểm tra cho tất cả các phần tử của X và chúng ta có thể làm điều đó trong thời gian hữu hạn (vì nếu không thì sẽ không bao giờ kết thúc việc chứng minh)?" Ý tưởng của chứng minh bằng PPQNTH trả lời cụ thể cho câu hỏi này Nó cho chúng

ta thấy phải tìm một thứ tự có cơ sở của các phần tử của X và sau đó tiến hành theo mẫu sau: có người trình bày báo cáo cho phần tử nhỏ nhất và sau đó tiến tới các phần tử lớn theo trật tự Bí quyết là đảm bảo rằng các bước hữu hạn của chứng minh là cần thiết để kết luận sẽ đúng với tất cả các phần tử của X

“A more common situation is that X has infinitely many elements Let X = {2i:

i∈Z} and show that each x ∈ X is an even number Well, this is trivial by the way

we have defined the set Let x be an arbitrary element of X Then, by definition of

X, there is some i ∈ Z such that x = 2i But this means precisely that x is an even number and, since x was assumed arbitrary, the claim holds for all x ∈ X Of course, in most situations, the relation between the definition of X and the property

we want to prove isn’t that simple Then the question arises: “How to ensure that

we check the property for all elements of X and that we can do it in finite time (since otherwise we would never finish our proof)?” The idea of proof by mathematical induction answers this question in a particular way It tells us that we

have to find some well-founded ordering of the elements of X and then proceed in

a prescribed fashion: one shows the statement for the minimal elements and then proceeds to greater elements in the ordering The trick is that the strategy ensures that only finitely many steps of the proof are needed in order to conclude that the

statement holds for all elements of X”

Tóm lại, phương pháp suy luận quy nạp là một phương pháp tư duy dùng

để tìm tòi, dự đoán các kết luận mới, không là một chứng minh chặt chẽ Suy luận quy nạp hoàn toàn là một phương pháp chứng minh các tính chất của một tập hữu hạn và luôn cho kết luận đúng Kết luận của suy luận quy nạp hoàn toàn chỉ khái quát được những trường hợp đã biết, chứ không đề cập đến các trường hợp chưa biết Vì thế, suy luận quy nạp hoàn toàn tuy đầy đủ, chắc chắn nhưng nó không mang lại điều gì mới so với những điều nêu ra trong tiền

đề Suy luận quy nạp không hoàn toàn có thể dẫn đến kết luận đúng hoặc sai Trong suy luận quy nạp không hoàn toàn, tập hợp đang xét thường là tập hợp

vô hạn, do vậy không thể là suy luận quy nạp hoàn toàn được

I.1.2 Phương pháp quy nạp toán học

Theo G.Polia ([15], tr.5) định nghĩa nguyên lý quy nạp như sau:

Về giả thuyết chỉ cần biết hai điều:

• Nó đúng với n = 1;

• Nếu nó đúng đối với n thì cũng đúng cả đối với n + 1

Khi đó giả thuyết đúng đối với tất cả các số nguyên dương n: nó đúng với 1, vậy cũng đúng với 2; nó đúng với 2, vậy cũng đúng với 3;…Ở đây có một biện pháp chứng minh vô cùng quan trọng, ta có thể gọi nó

là “sự chuyển từ n sang n + 1”, nhưng thường thường người ta gọi nó

là “ phương pháp quy nạp toán học”

PPQNTH là một phương pháp chứng minh chặt chẽ trong toán học, sử

dụng nguyên lý quy nạp nhằm chứng minh các hàm mệnh đề A(n) đúng với mọi số tự nhiên n (hoặc tổng quát hơn, với mọi phần tử thuộc một tập hợp vô

hạn đếm được) PPQNTH không phải là phương pháp suy luận quy nạp Theo G.Polia thì “PPQNTH là một tên gọi rất không đạt của một phép chứng minh” và theo ông thì “Trong một vài trường hợp, PPQNTH có quan

hệ hợp tác với suy luận quy nạp không hoàn toàn như sau: PPQNTH là một phương pháp chứng minh, phương pháp này thường có ích để chứng minh các mệnh đề toán học, mà các mệnh đề đó đã được tìm ra nhờ một quá trình suy luận quy nạp không hoàn toàn nào đó”

Tóm lại, suy diễn là loại suy luận trong đó tư tưởng đi từ nguyên lý chung đến kết luận riêng biệt Suy luận quy nạp là suy luận mà trong đó tư tưởng đi từ hiểu biết riêng biệt, cụ thể đến nguyên lý chung Còn PPQNTH là phép suy luận đặc biệt trong đó mệnh đề cần chứng minh có thể được dự đoán từ một suy luận quy nạp

Chúng tôi sẽ điểm qua một vài thời điểm tiến triển lịch sử của PPQNTH trong đoạn tiếp theo

I.2 Điểm qua vài nét lịch sử về PPQNTH

Trong toán học, PPQNTH được xem là một phương pháp chứng minh

nhiều khẳng định liên quan đến tập vô hạn đếm được, có dạng hàm mệnh đề:

“A(n), ∀ n≥k; n, k∈N” Chúng tôi chia lịch sử PPQNTH thành hai giai đoạn phát triển với các quan niệm khác nhau: giai đoạn chưa có định nghĩa

số tự nhiên N và giai đoạn có định nghĩa số tự nhiên N

I.2.1 Giai đoạn chưa có định nghĩa số tự nhiên N (Trước thế kỷ XIX)

a Lý luận bằng tính chất giảm vô hạn của Fermat (1621)

Theo nghiên cứu của V.Battie (2003): Fermat đã khám phá ra tính

chất giảm vô hạn khi chứng minh bài toán “Không tồn tại tam giác vuông Pythagoras (6) có diện tích là một số chính phương” Trong chứng minh của

mình Fermat sử dụng phép chứng minh phản chứng theo tiến trình sau: Giả

sử tồn tại tam giác thỏa điều kiện → luôn chỉ ra được một tam giác thỏa mãn: có cạnh huyền nhỏ nghiêm ngặt hơn cạnh huyền của tam giác ban đầu

→ mâu thuẫn với tính chất: mọi dãy giảm nghiêm ngặt các số tự nhiên đều hữu hạn V.Battie hình thức hóa phương pháp này như sau: […] Cho tập hợp

S, t : S → N là một ánh xạ Ta giả sử rằng với mọi phần tử x của S, tồn tại y trong S sao cho t(y) < t(x) Ta kết luận rằng S = ∅ (V.Battie [17], tr.37)

Tính chất giảm vô hạn chính là một phát biểu tương đương của tính sắp thứ

tự tốt (7)của N - tính chất cơ sở của PPQNTH Chúng ta có thể tìm thấy trong

nghiên cứu của V.Battie chứng minh bài toán “Không tồn tại tam giác vuông

Pythagoras có diện tích là một số chính phương” bằng một lý luận tương

đương mà thực chất là phép phủ định của PPQNTH

Tóm lại, phương pháp dựa trên tính chất giảm vô hạn của Fermat hoàn toàn tương đương với PPQNTH Nói cách khác, nếu ta dùng tính giảm

(6) Tam giác vuông Pythagoras–Các cạnh của tam giác vuông này đều là số nguyên

(7) Tính sắp thứ tự tốt–Mọi tập con khác rỗng của N đều có phần tử nhỏ nhất

Thật vậy, giả sử X là một tập hợp không rỗng của những số tự nhiên và X không có phần tử nhỏ nhất

Gọi B là một tập hợp các số tự nhiên xác định bởi: ∀ ∈n N n, ∈B và ∀m∈N,m≤n⇒m∉X Ta thấy 0 ∈B, vì

nếu không thì số 0 sẽ là số nhỏ nhất trong X, điều này trái với giả thiết đã nêu ở trên

Giả sử n B∈ ta có ∀ ∈m N m, ≤ ⇒ ∉n m X , như vậy n+ ∉1 X, vì nếu không thì n+1 sẽ là số nhỏ nhất trong X trái với giả thiết

Theo tiên đề quy nạp toán học ta có với mọi số tự nhiên thuộc B, thì X là tập hợp rỗng (vô lý)

vô hạn để chứng minh rằng một mệnh đề nào đó liên quan đến các số nguyên dương là không thể xảy ra thì tương đương với việc mệnh đề phủ định của nó thỏa mãn một tập vô hạn các số nguyên dương Tuy nhiên, trong giảng dạy toán ở THPT hiện nay chỉ có PPQNTH được chọn

b Chứng minh bằng nguyên lý quy nạp toán học của Pascal( 8) (1653)

Nguyên lý quy nạp toán học được Pascal sử dụng lần đầu tiên trong

sách chuyên luận về tam giác số học (ngày nay chúng ta gọi là tam giác

Pascal) Tam giác Pascal là một bảng hai chiều mà thuật toán xây dựng bảng này cho phép dễ dàng tính toán số tổ hợp r

Khi ta tính một hệ số trong tam giác Pascal, ta phải áp dụng quy tắc

truy hồi bằng cách dựa vào hai số đã tìm được ở cạnh đáy trên Phép tính như

vậy dựa vào công thức tường minh mà ngày nay chúng ta có thể viết như sau:

(8) Blaise Pascal–nhà Toán học Pháp (1623-1662)

r n n

n n

C n r

3.2.1

)1) (

2)(

1( − − − +

= Trong các tài liệu lịch sử chúng tôi tham khảo, không cho biết Pascal đã làm như thế nào để rút ra quy tắc đó và chúng ta có thể giả định rằng ông đã rút ra nó từ suy luận quy nạp trên các trường hợp đặc biệt Tuy nhiên, điều quan trọng là Pascal đã đưa ra một cách chứng minh xuất sắc cho quy luật của mình, bằng ngôn ngữ hiện đại, người ta mô tả lại phương pháp chứng minh của Pascal như sau:

Công thức tường minh dưới dạng đã viết không áp dụng được trong

trường hợp r=0 Tuy vậy, ta quy ước rằng khi r=0: C n0 = 1 Trường hợp r=n

thì công thức không mất ý nghĩa và ta có:

n n

n n n

C n n

) 1 (

3 2 1

1 2 )

2 )(

1 (

−

−

−

kết quả đúng Như vậy, ta chỉ cần chứng minh công thức chỉ đối với 0<r<n,

tức là ở bên trong tam giác Pascal, ở đó công thức truy hồi có thể chứng minh được

Mặc dù mệnh đề đang xét có trong vô số trường hợp riêng, ta có thể chứng minh nó một cách hoàn toàn ngắn gọn dựa trên hai bổ đề:

• Bổ đề thứ nhất khẳng định rằng mệnh đề đó đúng với đáy thứ nhất (hiển nhiên)

• Bổ đề thứ hai khẳng định như sau: nếu mệnh đề đúng với một đáy

tùy ý (đối với giá trị r=n tùy ý) thì sẽ đúng cả với đáy tiếp theo của nó (đối với r=n+1)

Từ hai bổ đề đó, suy ra được sự đúng đắn của mệnh đề với mọi giá trị

của n Thật vậy, do bổ đề thứ nhất mệnh đề đúng với n=1, theo bổ đề thứ hai

nó đúng với n=2, và tiếp tục theo bổ đề thứ hai nó đúng với n=3, … và tới vô

hạn

Như vậy, ta chỉ cần chứng minh bổ đề thứ hai Theo cách phát biểu

của bổ đề đó, ta giả thiết rằng công thức của ta đúng với đáy thứ n, nghĩa là đối với giá trị tùy ý của n và với mọi giá trị có thể được của r (đối với

r=1,2,…,n) Đặc biệt, đồng thời với cách viết:

( 1)( 2) ( 1)

1.2.3

r n

Ta cũng có thể viết (với r≥ ): 1

1 ( 1)( 2) ( 2)

r n

n nào đó kéo theo tính chất đúng đắn của nó với n+1, chính điều này được

khẳng định trong bổ đề thứ hai Như vậy ta đã chứng minh được công thức

đó

Tóm lại, những điều nói trên cho thấy chứng minh của Pascal là sự vận dụng lần đầu tiên một phương pháp suy luận cơ bản và mới mẻ, về sau

chúng ta gọi đó là PPQNTH PPQNTH được Pascal sử dụng để chứng minh

các công thức liên quan đến phép đếm số tổ hợp Công thức này phụ thuộc

vào số tự nhiên n, có thể phát biểu như một hàm mệnh đề A(n), ∀ n≥k;

n, k∈N

c Phương pháp quy nạp thực nghiệm của Bernoulli (9) (1713)

Bernoulli và Laplace(10) là một trong những nhà toán học đầu tiên đặt

nền móng cho việc nghiên cứu xác suất Sau khi định nghĩa khái niệm biến

ngẫu nhiên (từ sự ngẫu nhiên trong trò chơi gieo súc sắc), Bernoulli đã

nghiên cứu một phép thử nhẫu nhiên, trong đó một biến ngẫu nhiên chỉ có một trong hai kết quả loại trừ lẫn nhau: kết quả thứ nhất được gọi là thành

công (chúng ta có thể gán giá trị biến là 1) có xác suất p, kết quả còn lại được gọi là thất bại (gán giá trị biến là 0) có xác suất sẽ là q = 1 – p Ông đã phát

minh ra một luật phân phối xác suất nổi tiếng mà ngày nay ta gọi là phân

phối nhị thức để tính xác suất của k lần thành công trong n lần thử Prob{B=k}=C n k p k q n-k.Bernoulli đã không sử dụng PPQNTH một cách đầy

(9) Johann Bernoulli–nhà Toán học Thụy Sỹ (1667–1784)

(10) Pierre-Simon Laplace–nhà toán học và nhà thiên văn học người Pháp (23 tháng 3 năm 1749 – 5 tháng 3 năm 1827)

đủ như Pascal, ông chỉ ra một số trường hợp cụ thể khi chuyển từ n sang

n+1

PPQNTH trong trường hợp của Bernoulli cho thấy phương pháp chứng minh này chưa được trình bày tường minh trong cộng đồng các nhà

toán học lúc bấy giờ Nói cách khác nó chưa phát triển thành một khái niệm

toán học nhưng chỉ đang tồn tại ở giai đoạn cận toán học

I.2.2 Giai đoạn sau khi đã định nghĩa tường minh tập hợp số tự nhiên N

(Th ế kỷ XIX)

Dãy số tự nhiên 0, 1, 2, không có số tận cùng Thật vậy, nếu có một

số tự nhiên n nào đó, thì ngay sau nó đã có thể viết số tự nhiên n+1 Ta nói rằng đó là một tập hợp vô hạn Việc chuyển từng bước liên tiếp từ n đến n+1

để sinh ra dãy số tự nhiên vô hạn là cơ sở của một trong những lập luận quan trọng nhất và điển hình nhất của toán học– nguyên lý quy nạp toán học

Khoảng cuối thế kỷ XIX, PPQNTH bắt đầu được định nghĩa và sử dụng một cách tường minh nhờ vào sự định nghĩa chính thức tập hợp số tự nhiên N Chúng ta không thể phủ nhận rằng chính nhờ việc sử dụng PPQNTH trong những chứng minh cụ thể, chẳng hạn của Fermat, Pascal hay Bernoulli… đã chỉ ra các tính chất đặc trưng của tập hợp N – các tính chất sẽ được sử dụng để định nghĩa tập hợp các số tự nhiên

a Hoàn thiện hệ thống số thực của Dedekind(11) (1888)

Bằng phương pháp tiên đề Dedekind định nghĩa tập hợp N độc lập với

Peano (1889) với mục đích hoàn thiện hệ thống số thực mà ông đã xây dựng

bằng nhát cắt trên Q vào năm 1872 Từ đó Dedekind định nghĩa chính thức

nguyên lý quy nạp bao gồm việc chứng minh hai điểm sau đây cho một tính chất dựa trên mọi số tự nhiên:

(11) Richard Dedekind–nhà Toán học Đức (1831–1916)

• Tính chất P thỏa bởi số 1;

• Nếu tính chất P thỏa bởi một số tự nhiên n nào đó thì nó cũng phải thỏa với số tự nhiên liền kề, nghĩa là số tự nhiên n+1

Nếu hai điểm trên được hợp thức ta kết luận rằng tính chất P đúng với

mọi số tự nhiên Đến đây người ta có thể hình thức hóa phương pháp này như sau:

n

n n P n

P P n P

Điều đó làm cho tiên đề của PPQNTH là một tiên đề rất khác biệt

với các tiên đề khác chi phối các số tự nhiên Trong lý thuyết tập hợp nguyên

tắc này không phải là một tiên đề, trong trường hợp này n + 1 là sự kế thừa của n Ngày nay, PPQNTH được tiến triển thành nhiều hình thức tương

đương để thuận tiện sử dụng trong các trường hợp khác nhau của nhu cầu chứng minh

b Định nghĩa N bằng hệ tiên đề của Peano(12) (1889) Peano định nghĩa tập hợp số tự nhiên N bằng hệ thống tiên đề sau đây:

i 1 là một số tự nhiên;

ii Mọi số tự nhiên n đều có số “liền sau”, số đó cũng là số tự nhiên được kí hiệu là n+1 Khi đó n gọi là số “liền trước” số n+1, số liền trước số n kí hiệu là n – 1

iii Số 1 không phải là số liền sau của bất cứ số tự nhiên nào;

iv Hai số tự nhiên có cùng số liền sau thì bằng nhau;

v Nếu một tập hợp X các số (tự nhiên) có chứa số 1 và chứa số k tùy

ý và chứa cả k+1 thì X=N (Tiên đề quy nạp)

Trong lịch sử phát triển của số học, tập số tự nhiên được coi là

gồm cả số “không” (kí hiệu là 0), khi đó số 0 là số tự nhiên đầu tiên Nếu

0∈ và X ( k ∈ X ⇒ + ∈ k 1 X ) thì mọi số tự nhiên ở trong X Tiên đề quy

nạp toán học trên đây chính là cách phát biểu toán học cho nhận xét sau đây:

(12) Josseppe Peano-nhà Toán học Ý (1858 – 1932)

vì 0∈ nên số tiếp theo sau của 0 cũng thuộc X, tức là 1 X X ∈ , như vậy ta

cũng suy luận số tiếp theo sau của 1 cũng thuộc X, tức là 2∈X , bằng cách

lập luận tương tự ta cũng có 3 X ∈ , 4 X∈ , nhưng chúng ta không thể lập luận như thế đến vô hạn lần được

Tiên đề (i) cho thấy N ≠∅, vì 0∈N Tiên đề (ii) tồn tại số liền sau của số 0 và số đó là duy nhất, là số 1 Lại theo tiên đề (ii) tồn tại số liền sau

duy nhất của số 1, là số 2,…khi đó chúng ta thấy hình ảnh của tập hợp số tự

nhiên là N ={0; 1; 2; 3;…}

I.3 Các hình th ức của nguyên lý quy nạp toán học

I.3.1 Hình thức cổ điển của phương pháp quy nạp toán học

Chúng tôi gọi là hình thức cổ điển vì nó không khác biệt nhiều so với nguyên

Ta minh họa bằng một hàng quân cờ domino

dài vô tận, được đánh dấu 1,2,3,…,n,… trong đó các

quân domino được xếp đứng thẳng với khoảng cách

giữa hai quân cờ gần nhau Gọi A(n): “Quân domino

thứ n được gạt đổ nằm xuống” Nếu quân domino đầu

tiên bị gạt đổ (nghĩa là A(1) đúng) và nếu bất cứ khi

nào quân domino thứ n bị gạt đổ, nó cũng làm đổ theo

quân domino thứ n +1 (tức là “A(n) ⇒A(n+1)” đúng)

thì tất cả các quân domino bị gạt đổ

Mở rộng hình thức cổ điển

Theo G Polia [15, tr.17], trong một số chứng minh bằng PPQNTH có thể chúng ta không thành công do hai nguyên nhân: một là tìm cách chứng minh quá nhiều mệnh đề kéo theo P(n)⇒ n P( +1), hai là chứng minh quá ít mệnh đề P(n) do

đó quá yếu để làm điểm tựa Chúng ta có thể mở rộng PPQNTH như sau:

Cho p là một số nguyên dương và A(n) là một mệnh đề xác định với n∈N,

n≥p Nếu i A(p) là đúng và

ii ∀ >n p nếu A(k) đúng ∀k p, ≤ <k n k, ∈N thì A(n) cũng đúng

Khi đó A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p

 Khi áp dụng PPQNTH, việc kiểm tra cả hai bước cần được tôn trọng Trong hai bước chứng minh trên đây của PPQNTH, ta chứng minh bước nào trước cũng được, nhưng không được thiếu bước nào Nếu bỏ đi một trong hai bước thì ta sẽ nhận được những kết luận sai Bước 1 nhất thiết phải có, vì bước 1 tạo ra cơ sở để thực hiện bước quy nạp, nếu thiếu bước 1 thì bước 2 chỉ có tính giả định, do đó thiếu cơ sở để rút ra kết luận Nếu không có bước 2 thì sẽ thành phép quy nạp không hoàn toàn, bước 2 đưa ra nguyên tắc cho việc mở rộng tự động vô hạn trên cơ sở điều kiện ban đầu, đây là nguyên tắc đi từ

trường hợp riêng này sang trường hợp riêng khác: từ n sang n + 1

 Trong khi vận dụng PPQNTH có thể gặp một số sai lầm Sai lầm thứ nhất là

chứng minh thiếu luận chứng (một trong ba bộ phận cấu thành của một

chứng minh)

Ví dụ

Chứng minh rằng “Mọi đường thẳng trong mặt phẳng đều có ít nhất một điểm chung” nếu xem hai đường thẳng song song như là cắt nhau tại một điểm ở vô tận

Bước 1: Mệnh đề đúng với n = 2, vì bất kì hai đường thẳng nào trong

mặt phẳng cũng có một điểm chung (nếu hai đường thẳng song song thì điểm

Trường hợp 2: Trong n + 1 đường thẳng, có ít nhất hai đường thẳng không

trùng nhau, chẳng hạn d2 và d3 Thế thì d2 và d3 có một điểm chung duy nhất

là M và đó cũng là điểm chung của n đường thẳng d1, d2, …,dn (theo gải

thiết quy nạp) Và vì thế n đường thẳng d2, d3, …,dn+1 cũng có một điểm

chung, và điểm chung này cũng là M Do đó n+1 đường thẳng cũng có một

điểm chung là M

Chứng minh trên theo đúng các bước của PPQNTH Sai lầm ở chỗ lý

luận trong bước 2 không áp dụng được khi đi từ n = 2 sang n = 3 Nếu hai

đường thẳng bao giờ cũng có một điểm chung là đúng thì ba đường thẳng bao giờ cũng có một điểm chung là sai Vì nếu xét ba đường thẳng bất kì d1,

d2, d3; d1 và d2 có một điểm chung, d2 và d3 có một điểm chung, nhưng hai điểm chung đó là không trùng nhau Điều này có nghĩa là P(2) đúng nhưng phép kéo theo P(2) ⇒ P(3) không đúng Từ đó cho thấy nếu muốn chứng

minh P(n), ∀n≥p thì phải kiểm tra P(p) đúng và phép kéo theo P(k) ⇒ P(k+1)

phải đúng với mọi k ≥ p chứ không phải chỉ với k > p Nói riêng cho phân

tích thể chế: nhiều HS và GV nghĩ rằng đã kiểm tra P(1) rồi nên chỉ cần

chứng minh P(k) ⇒ P(k+1) với mọi k>1 Sai lầm này liên quan đến ghi nhận

trong thực tế dạy học mà chúng tôi trích ở đầu chương)

Sai lầm thứ hai là do khi chứng minh bước 2, ta đã thiếu luận cứ (một

trong ba bộ phận cấu thành của một chứng minh), tức là đã dựa vào mệnh đề sai hoặc mệnh đề chưa được chứng minh

Ví dụ

Chứng minh rằng mọi số tự nhiên đều bằng số tự nhiên liền sau

Lời giải

Giả sử mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n = k nào đó, nghĩa là

k=k +1 Ta đi chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh k+1=k+2

Thật vậy, ta có k = k + 1

Cộng vào hai vế trên với 1 ta được k +1 = k + 2

Vậy mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n

Hệ quả của bài toán này là tất cả các số nguyên dương đều bằng nhau, điều này vô lý, vậy cách chứng minh trên sai ở đâu? Dễ thấy trong việc

áp dụng nguyên lý quy nạp và bỏ qua bước cơ sở với n = 1

 Khi gặp bài toán có liên quan đến tập hợp số nguyên n ta có thể sử dụng

PPQNTH như một công cụ để giải toán Tuy nhiên, nhiều khi PPQNTH khá phức tạp và dài dòng Nhiều bài toán thay vì giải bằng PPQNTH ta có thể

giải bằng một phương pháp khác nào đó G.Polia nói: “Nhiều bài toán chứng

minh bằng PPQNTH ta có thể chứng minh bằng cách khác, cách khác đó nằm trong chính cách chứng minh quy nạp toán học khi ta phân tích kỹ nội dung chứng minh”

Ví dụ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức:

Với n = 1 đẳng thức cần chứng minh đúng vì cả hai vế cùng bằng 1

Vậy mệnh đề cần chứng minh đúng với mọi số nguyên dương n

Cách 2 (Dùng suy luận quy nạp)

PPQNTH thường dùng để chứng minh những mệnh đề phụ thuộc vào

số tự nhiên n, tuy nhiên trong thực tế ta thường dùng PPQNTH để chứng minh những bài toán dạng “P(n) đúng ∀n∈N ” là đa số, những bài toán dạng

chứng minh “Q(n) sai ∀n∈N” thì thiếu vắng Điều này có thể giải thích như

sau: Nếu tập hợp vô hạn đếm được {Q(1); Q(2); …, Q(n),…} chỉ chứa các mệnh đề sai thì mệnh đề “P(n),∀n∈N ” đúng và ngược lại (với P(n) là mệnh

đề phủ định của Q(n)) Từ đó cho thấy việc chứng minh một hàm mệnh đề

chứa n là sai với mọi số tự nhiên n, tương đương với việc chứng minh một mệnh đề khác luôn đúng với mọi số tự nhiên n

I.3.2 Các hình th ức khác của phép quy nạp toán học

Ngoài hình thức cổ điển nêu trên, trong lịch sử đã từng xuất hiện các hình thức khác nhau của PPQNTH, việc giữ lại và sử dụng các hình thức ấy nhằm đáp ứng các bài toán khác nhau

a Quy nạp thu hẹp về số nguyên: đây là quy tắc suy luận đơn giản

của PPQNTH, thường gặp trong quá trình dạy học toán và trong các tình

huống liên quan đến số tự nhiên n.

b Quy nạp nhảy bước: đây là hình thức phát triển từ hình thức quy

nạp cổ điển Dạng này chứng minh mệnh đề đúng với m phần tử đầu tiên, rồi

sau đó chứng minh nếu đúng với k thì cũng đúng với k+m

(ii)

( )( 1)

( ), ( ) ( 1)

Ví dụ Chứng minh rằng mọi bưu phí không dưới 12 ngàn đồng đều có thể

thanh toán được bằng các tem cước phí 4 ngàn đồng hoặc 5 ngàn đồng

Lời giải

Giả sử A(n)= “Mọi bưu phí n ngàn (n≥12) đều có thể thanh toán được

bằng các tem cước phí 4 ngàn đồng hoặc 5 ngàn đồng”

A(12) đúng vì có thể dùng 3 tem cước phí 4 ngàn đồng để thanh toán A(13) đúng vì có thể dùng 2 tem cước phí 4 ngàn đồng và 1 tem cước phí 5 ngàn đồng để thanh toán

A(14) đúng vì có thể dùng 1 tem cước phí 4 ngàn đồng và 2 tem cước phí 5 ngàn đồng để thanh toán

A(15) đúng vì có thể dùng 3 tem cước phí 5 ngàn đồng để thanh toán

Giả sử k≥12 và A(k ) đúng Để tạo thanh toán cước A(k + 4) ngàn ta dùng các tem cước thanh toán cước bưu phí A(k) và thêm một tem cước phí 4 ngàn đồng nữa Do đó A(k+4) đúng

Vậy mọi bưu phí không dưới 12 ngàn đồng đều có thể thanh toán được bằng các tem cước phí 4 ngàn đồng hoặc 5 ngàn đồng

c Quy nạp truy hồi: hình thức này dùng để xem xét các tổng hữu hạn,

các tích phân (dùng phương pháp tích phân từng phần)

; 2 1

mệnh đề cần chứng minh đúng với n = 1

Giả sử với mọi số nguyên dương từ 1 đến k sao cho k 1

k

x x

x x

+ +

x x

+ +

+ là

số nguyên Vậy mệnh đề được chứng minh

d Quy nạp lũy tiến rồi lùi dần (Quy nạp Cauchy)

1 2 2

2

Từ đó suy ra bất đẳng thức ban đầu đúng với mọi số tự nhiên n

e Quy nạp lùi: Với một số bài toán phức tạp, trong các lĩnh vực khó

khăn hơn đòi hỏi kỹ thuật quy nạp toán học rắc rối hơn và dẫn đến những

biến dạng khác nhau của phương pháp quan trọng này Để tiện lợi, có thể

thay đổi hình thức quy nạp toán học bằng sơ đồ sau:

)()1(,1

)(

n A p n k

A k

A p k

p A

a a

n n

sin2

2sin2

cos

4cos.2cos

1 +

sin2

2sincos = đúng

Giả sử bất đẳng thức đúng với số n=k –1 (k>0, k N ∈ ) Tức là ta có:

a

a a

a a

k k

sin2

2sin2

cos

4cos.2cos

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với số n=k Thật vậy,

a a

a a

a a

a

k k

k

2cossin2

2sin2

cos.2cos

4cos.2cos

a

a a

a k k k

k

sin.2

2sinsin

.2.2

2sin

1

1 1

+

+ +

a a

n n

sin2

2sin2

cos

4cos.2cos

1 + +

=

f Quy nạp 2 biến: Mệnh đề A(m;n) phụ thuộc vào 2 biến m và n

PPQNTH theo quy tắc được tách biến, tức là tách một biến và quy nạp theo biến kia và ngược lại

Ví dụ: Cho x, y là những số thực khác 0 sao cho x 1;y 1;xy 1

1

 Phương pháp suy luận là phương pháp tư duy để từ một hay nhiều tiền đề

đã có rút ra kết luận Căn cứ vào bản chất sự liên hệ giữa tiền đề và kết luận có thể chia ra hai loại suy luận: suy luận diễn dịch và suy luận quy nạp

• Trong suy luận diễn dịch ta có một nguyên lý chung, từ nguyên lý chung đó dẫn đến kết luận riêng

• Trong suy luận quy nạp từ hiểu biết riêng biệt, cụ thể ta có thể phát biểu thành nguyên lý chung Gồm có suy luận quy nạp hoàn toàn và suy luận quy nạp không hoàn toàn

 PPQNTH là phép suy luận đặc biệt trong đó mệnh đề cần chứng minh có thể được dự đoán từ một suy luận quy nạp

 Phân biệt giữa suy luận quy nạp và PPQNTH:

Kết luận luôn đúng

 Là phép suy luận đi

từ các trường hợp riêng lẻ đến trường hợp tổng quát

 Các kết quả dựa trên cơ sở mối liên

hệ nhân quả của các hiện tượng

 Là một phương pháp tư duy dùng

để tìm tòi, dự đoán

và phát hiện các kiến thức mới

 Là công cụ để tổng hợp hóa Là một kỹ thuật suy luận khi làm toán

Kết luận có thể đúng hoặc sai (lết luận đó chỉ là một giả thuyết)

PPQNTH

(còn gọi tắt là phép quy nạp toán học, phương pháp quy nạp hay phép truy toán)

Xác lập tính chân lý của các định lý toán

học liên quan đến dãy số tự nhiên n “A(n),

∀ n∈N”, nếu dự đoán được quy luật của

nó phụ thuộc vào các số cụ thể

Kết luận luôn đúng

2

 Trong giai đoạn chưa có định nghĩa số tự nhiên N, các nhà toán học sử

dụng PPQNTH hay phương pháp giảm vô hạn để chứng minh một số mệnh đề là đúng hoặc sai liên quan đến số nguyên dương Các chứng minh này đã ngầm ẩn sử dụng các tính chất đặc trưng của tập hợp các số

tự nhiên Vì trong giai đoạn này, PPQNTH được sử dụng và có tên gọi (tuy khác với tên hiện đại) nhưng chưa được trình bày và sử dụng chính

thức nên chúng tôi gọi đây là giai đoạn cận toán học của PPQNTH

 PPQNTH được định nghĩa chính thức sau khi có định nghĩa tiên đề về tập

số tự nhiên N, vào cuối thế kỷ XIX Nó dựa trên tiên đề quy nạp trong

định nghĩa tập N theo Dedekind và Peano Đó chính là nguyên lý cho

phép thiết lập sự hợp thức trên một tập hợp vô hạn đếm được các mệnh

đề A1, A2, …, An ,… với mọi số tự nhiên n khác 0 từ sự hợp thức của

mệnh đề đầu tiên và sự kiện hợp thức của một mệnh đề bất kì trong tập hợp kéo theo sự hợp thức của mệnh đề kế tiếp Từ quan điểm logic hiện đại, PPQNTH chỉ hợp thức cho kiểu mệnh đề chứa lượng từ phổ dụng

∀n, A n

 Đặc trưng của PPQNTH

• Bản chất của PPQNTH gồm hai bước bắt buộc: bước cơ sở kiểm tra một hoặc một số trường hợp cụ thể (tính chất phải được kiểm tra là

đúng với ít nhất một giá trị của n) và bước quy nạp (bước di truyền)

nối khớp với bước cơ sở

Khi chứng minh sự đúng đắn của một định lý nào đó với mọi số tự

nhiên n, việc chứng minh một dãy vô hạn các trường hợp riêng lẻ là không thể, do đó có lập luận dựa vào hai tiên đề:

• Quy nạp theo một chỉ số nguyên n

• Vai trò của PPQNTH: Đây là một phương pháp chứng minh chặt chẽ

một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n (hoặc n liên quan đến tập vô

hạn đếm được)

• Giá trị: PPQNTH được xem như là công cụ để hợp thức hóa các kết quả riêng lẻ, là một kỹ thuật chứng minh các kết quả thu được và là một phương pháp giải toán Nguyên lý của PPQNTH có thể định nghĩa một dãy số theo công thức truy hồi

Câu hỏi mà chúng tôi đặt ra là: PPQNTH được trình bày như thế nào trong thể chế dạy học toán ở trường THPT? Có sự tiến triển nào của PPQNTH từ chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 sang chương trình hiện hành (từ năm

2007 đến nay)? Với kết quả đạt được ở phân tích chương I, sẽ là cơ sở tham chiếu để chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế với PPQNTH trong dạy học toán ở trường THPT ở chương II

CHƯƠNG II

PHÉP QUY NẠP TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Mục tiêu của chương

Trong chương này, chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế với đối tượng PPQNTH – một đối tượng tri thức hiện diện trong dạy và học toán ở trường THPT Thể chế mà chúng tôi quan tâm là việc dạy học toán theo chương trình và SGK hiện hành, đồng thời chúng tôi sẽ so sánh với SGK giai đoạn chỉnh lí hợp nhất năm 2000

để làm rõ mối quan hệ thể chế Bởi vì, chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 đã kết hợp được những nội dung chương trình trước đó, và chương trình từ năm 2007 đến nay đã đổi mới theo hướng hiện đại và là chương trình đang được giảng dạy ở trường THPT Cụ thể, mục tiêu của chương này là tìm các yếu tố trả lời cho các câu hỏi sau đây:

- PPQNTH được trình bày như thế nào trong dạy học toán ở trường THPT?

- Có sự tiến triển nào của PPQNTH từ chương trình chỉnh lí hợp nhất năm

2000 sang chương trình hiện hành (từ năm 2007 đến nay)?

II.1 Phép quy n ạp toán học trong chương trình môn toán ở THPT

Qua nghiên cứu, ghi nhận đầu tiên của chúng tôi là trong chương trình và SGK ở hai giai đoạn nghiên cứu, đối tượng chúng tôi đang nghiêu cứu đều sử dụng

tên gọi là PPQNTH

II.1.1 Giai đoạn 2000 – 2007

Thực hiện chủ trương của thủ tướng Chính phủ về việc chỉnh lí nhằm thống nhất ba bộ sách Toán(13) THPT để xây dựng một bộ sách dùng chung cho cả nước, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã đề ra hai quan điểm cơ bản trong việc chỉnh lí hợp nhất như sau:

 Không thay đổi chương trình đã được thể hiện qua ba bộ sách Toán THPT hiện hành

(13)

Bộ 1: Đại học Sư phạm Hà Nội – Ngô Trúc Lanh, Văn Như Cương; Bộ 2: Viện khoa học giáo dục – Phan Đức Chính, Nguyễn Gia

Cốc; Bộ 3: Hội Toán học TPHCM – Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Cam

 Giảm tải, nghĩa là giảm nhẹ mức độ yêu cầu, đồng thời giản lược những nội dung quá phức tạp xét thấy không cần thiết

[…] Trong quá trinh nghiên cứu về dãy số, người ta thường phải chứng minh những mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên Điều này cũng xảy ra trong nhiều ngành toán học như: Số học, Hình học, Đại số, Giải tích… Để chứng minh những mệnh đề như thế, ta thường phải dùng phương pháp chứng minh, thường gọi là PPQNTH Trên tinh thần giảm tải, chương trình không nhấn mạnh nguyên lý quy nạp mà chỉ đề cập đến hai bước của PPQNTH và một số áp dụng đơn giản ([6], tr.35)

II.1.2 Giai đoạn 2007 đến nay

Chương trình giáo dục THPT môn Toán (ban hành kèm theo quyết

định số 16/2006/QĐ – BGDĐT ngày 05/05/2006 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục

và Đào tạo) trang bị cho HS những kiến thức cơ bản, hiện đại, rèn luyện kỹ

năng tính toán và phát triển tư duy toán học, góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề, đặc biệt là khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hóa Với quan điểm kế thừa và phát huy dạy học toán ở Việt Nam và tiếp cận với trình độ giáo dục thế giới, lựa chọn các kiến thức căn bản, thiết thực, có hệ thống, theo hướng tinh giản, tích hợp với các nội dung giáo dục và thể hiện

vai trò công cụ của môn toán Theo Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục

THPT, tr.101: Nội dung của PPQNTH theo yêu cầu của chương trình là giới thiệu PPQNTH và một số ví dụ minh họa Mức độ cần đạt là hiểu được PPQNTH và biết cách chứng minh một số mệnh đề đơn giản bằng PPQNTH

So với chương trình chỉnh lí năm 2000, chương trình mới 2007 yêu

cầu cần làm HS hiểu được PPQNTH và vận dụng PPQNTH vào giải các bài

toán đơn giản Vậy các tác giả SGK sẽ trình bày như thế nào để HS hiểu được PPQNTH?

II.2 Phép quy n ạp toán học trong SGK

Tương ứng với yêu cầu của chương trình, chúng tôi sẽ phân tích sự xuất hiện của PPQNTH trong SGK qua hai giai đoạn: từ 2000 đến 2007 và từ

2007 đến nay Đi kèm với mỗi cuốn SGK là một cuốn SBT và một cuốn