thi vao 10 mon toan thanh hoa 2013-2014

Bán kính CO vuông góc với AB, gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC M khác A và C, BM cắt AC tại H; kẻ HK vuông góc với AB K thuộc AB.. a/ Chứng minh tứ giác CBKH nội tiếp b/ Trên đoạn

Đề thi lớp 10 thanh hoá năm học : 2013 – 2014

Môn : Toán

Ngày thi : 12/07/2013

Mã đề : A

Bài 1 (2,0 điểm) : 1/ Cho phơng trình bậc hai : x2 + 3x – 4 = 0 với các hệ số a = 1 ; b = 3 ;

c = -4

a/ Tính tổng : S = a + b + c

b/ Giải phơng trình trên

2/ Giải hệ phơng trình : 2 3







Bài 2 (2,0 điểm) : Cho biểu thức : 1 1 1

:

x P

        

(Với x > 0; x ≠ 1) a/ Rút gọn biểu thức P

b/ Tính giá trị của biểu thiức P khi x  3 2 2

Bài 3 (2,0 điểm) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d) : y = 2ax + 1 và Parabol

(P) : y = -2x2

a/ Tìm a để đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1 ; 5)

b/ Tìm a để đờng thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lợt là x1;

x2 thoả mãn điều kiện x1 + x2 + 4(x1 + x2) + 4 = 0

Bài 4 (3,0 điểm) : Cho (O;R) đờng kính AB Bán kính CO vuông góc với AB, gọi M là

điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC ( M khác A và C), BM cắt AC tại H; kẻ HK vuông góc với

AB ( K thuộc AB)

a/ Chứng minh tứ giác CBKH nội tiếp

b/ Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM Chứng minh rằng tam giác MCE vuông cân

c/ Gọi (d) là tiếp tuyến của (O) tại điểm A Lấy P là điểm nằm trên (d) sao cho hai điểm P

và C nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng AB và AP.MB = MA.OB Chứng minh rằng , đờng thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK

Bài 5 (1,0 điểm) : Cho x, y, z là ba số thực dơng thoả mãn : xy + yz + zx ≥ 3

Chứng minh rằng :

Hết

-Lời giải và thang điểm

Câu 1

2.0đ

1/

a/ Ta có : S = a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0

b/ Vì a + b + c = 0 Nên phơng trình có hai nghiệm

4 1

c x a



  

0.5 0.5 2/

Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhât : 1

1

x y











0.75 0.25

Câu 2

2.0đ

a/ Rút gọn biểu thức P

P

               

2

1

1

x

P





1.0

b/ Tính giá trị của biểu thiức P khi x  3 2 2

Ta có : x  3 2 2  2 1  2  x  2 1  2  2 1 

2

x P

x

Vậy với x  3 2 2 thì P =  2

1.0

Câu 3

2.0 đ

a/ Để đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1 ; 5) => x = 1 thì y = 5, thay vào

đờng thẳng (d) ta có

5 = 2a.1 + 1 => 2a = 4 => a = 2

Vậy với a = 2 thì đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1 ; 5)

1.0 b/ Hoành độ giao điểm của đờng thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm

của phơng trình :

-2x2 = 2ax + 1

<=> 2x2 + 2ax + 1 = 0 (1)

+ Để đờng thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phơng

trình (1) có hai nghiệm phân biệt

=> D’ > 0 <=> a2 – 2 > 0 =>a 2 a 2  0

2

a

1.0

TH2 : 2 0 2

2

a

=> a  2 hoặc a   2 (2)

+ Khi đó x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình (1) nên theo viét ta có

1 2

2 2 1 2

a

x x











(3)

x1 + x2 + 4(x1 + x2) + 4 = 0 <=> x1 x22 2x x1 2  4x1 x2  4 0

Thay (3) vào ta có

(-a)2 – 1 + 4.(-a) + 4 = 0 => a2 – 4a + 3 = 0

Ta có 1 + (-4) + 3 = 0 Vậy phơng trình có hai nghiệm

a1 = 1 và a2 = 3

3

1 (4)

Kết hợp (2) và (4) => a = 3

Câu 4

3.0đ

Hình vẽ

1 4 3 2 1 D

N

(d)

P

O E

K

H M

C

B A

a/ Chứng minh tứ giác CBKH nội tiếp

Ta có : ACB 90 0(góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) => HCB 90 0(1)

Từ (1)và(2)=>  0

180

1.0

b/ Chứng minh rằng tam giác MCE vuông cân.

Xét DMAC và DEBC có

AM = BE (gt) (3)

Xét đờng tròn (O) : MAC MBC   (cùng chắn cung MC) (đ/l)

=> MAC EBC   (4)

Do OA = OB = R, COAB => CO là đờng trung trực của AB (đ/n)

=> CA = CB (t/c) (5)

Từ 3,4,5 => DMAC = DEBC (c.g.c)

=> CM = CE =>DMCE cân tại C (6)

.90 45

CMB COB  (đ/l) => CME  45 0 (7)

Từ 6,7 => DMCE vuông cân tại C (ĐPCM)

1.0

c/ Chứng minh rằng , đờng thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn

thẳng HK

Gọi BM kéo dài cắt (d) tại D, HK cắt BP tại N Ta đi chứng minh

NK = NH

Ta có : AP.MB MA.OB(gt) AP MA

PAM MBA (cùng chắn cung AM) => PAM OBM (9)

Từ (8) và (9) => DPAM ~ DOBM (c.g.c)

=>  

M M (hai góc tơng ớng) (10)

M M AMC (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) (11)

Từ (10) và (11) =>    0

=> PM = PA (hai tiếp tuyến cắt nhau) (12)

M M  Do M M  (13)

DABD vuông tại A =>   0

Do OB = OM =>  

3

M ABD (15)

Từ 13,14,15 =>  

D M => PM = PD (16)

Từ (12) và (16) => PA = PD (17)

Do HK//AD theo talét ta có

NK BN

PA BP và

NH BN

PD BP =>

PA PD (18)

Từ 17,18 => NK = NH => đờng thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn

1.0

thẳng HK.

Câu 5

1.0đ áp dụng côsi cho hai số không âm :

4

3

x

16

y z

Ta có :



tơng tự





Cộng 1,2,3 ta đợc

x y z

 

 

2

2 2

1 2

3

1 2

2

1 2

  



     



  



(5)

Tù 4, 5 =>

2

2









(7)

Từ 6,7 =>



Hay

y zz xx y  Dấu “=” xảy ra khi x = y = z (ĐPCM)

1.0