ôn thi vào 10 môn Toán theo định hướng của sở GD tỉnh Thanh Hóa

Khái niệm hàm số chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng của x và x đợc gọi là biến số a... Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.. Vẽ đồ thị của

Chuyên đề iii Hàm số và đồ thị i.Kiến thức cơ bản

1.Hàm số

a Khái niệm hàm số

chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng của x và x đợc gọi là biến số

a Khái niệm hàm số bậc nhất

- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b Trong đó a, b là các số cho trớc và a 0

* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)

Bớc 1 Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.

Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành

Bớc 2 Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b

d Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng

Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’ 0) Khi đó

e Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b (a 0)

- Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của

đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b và có tung độ dơng

- Hệ số a trong phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax +b

- Đờng thẳng đi qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x – x0) + y0

- Đờng thẳng đi qua điểm A(x0, 0) và B(0; y0) với x0.y0 0 là

- Hàm số y = ax2 (a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:

+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0

+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0

c Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0)

- Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị

2.Kiến thức bổ xung

2.1 Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng

Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2) Khi đó

2.2 Quan hệ giữa Parabol y = ax 2 (a 0) và đờng thẳng y = mx + n (m 0)

Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đờng thẳng (d): y = mx + n Khi đó

+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung

+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau

+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

II Bài tập mẫu:

Bài 1: Cho hàm số: y = (m + 4)x – m + 6 (d)

a Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến

b Tìm các giá trị của m, biết rằng đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2) Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm đợc của m

c Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2

d Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

e Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định

Bài 2: Cho hai đờng thẳng: y = (k – 3)x – 3k + 3 (d1) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d2)

Tìm các giá trị của k để:

a (d1) và (d2) cắt nhau

b (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung

c (d1) và (d2) song song với nhau

d (d1) và (d2) vuông góc với nhau

e (d1) và (d2) trùng nhau

Bài 3: Cho hàm số: y = (2m-5)x+3 với m ≠ có đồ thị là đờng thẳng d

Tìm giá trị của m để :

a Góc tạo bởi (d) và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến , nghịch biến)

b (d) đi qua điểm (2;-1)

c (d)// với đờng thẳng y =3x-4

d (d) // với đờng thẳng 3x+2y = 1

e (d) luôn cắt đờng thẳng 2x-4y-3 =0

g Chứng tỏ (d) luôn đi qua 1 điểm cố định trên trục tung

Bài 4: cho (p) y = 2x2 và đờng thẳng (d) y = (2m-1)x – m2-9 Tìm m để :

a Đờng thẳng(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

a) Tỡm cỏc điểm A, B thuộc (P) cú hoành độ lần lượt bằng –1 và 2

b) Viết phương trỡnh đường thẳng AB

c) Viết phương trình đường thẳng song song với AB và tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm.

Bài 6: Cho hàm số: y = (m + 1)x2 có đồ thị (P)

a) Tìm m để hàm số đồng biến khi x > 0

b) Với m = – 2 Tìm toạ độ giao điểm của (P) với đường thẳng (d): y = 2x – 3

c) Tìm m để (P) tiếp xúc với (d): y = 2x – 3 Tìm tọa độ tiếp điểm

Bài 7: Chứng tỏ đường thẳng (d) luôn tiếp xúc với Parabol (P) biết:

8.2)Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) trong các trường hợp trên

Bài 9: Cho Parabol (P) có phương trình: y = ax2 và hai đường thẳng sau:

13

a) Tìm a biết (P), (d1), (d2) đồng quy

b) Vẽ (P), (d1), (d2) trên cùng hệ trục tọa độ với a vừa tìm được

c) Tìm tọa độ giao điểm còn lại của (P) và (d2)

d) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và vuông góc với (d1)

Bài 10: Cho Parabol (P): 1 2

2

a) Tìm m để (d) đi qua điểm A thuộc (P) có hoành độ bằng – 2

b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm

c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ cùng dương

d) Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hoành độ x1  x2 thỏa mãn: 2 2

a) Chứng minh (d) luôn đi qua một điểm M cố định

b) Tìm a để (P) đi qua điểm cố định đó

c) Viết phương trình đường thẳng qua M và tiếp xúc với Parabol (P)

Chuyên đề 4: Phương trình bậc hai

PHẦN II KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG

1 Công thức nghiệm:

Phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có  = b2- 4ac

+Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm

+Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

a

b

2

+Nếu  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

+Nếu ’= 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

a

b

+Nếu ’> 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

b) Ứng dụng:

+Hệ quả 1:

Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có: a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 =

a c

+ Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm (tức là  ≥ 0)

+ Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu

PHẦN II BÀI TẬP RÈN LUYỆN

I TOÁN TRẮC NGHIỆM

(Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết)

Bài 1: Điền vào chỗ để có mệnh đề đúng

a) Phương trình mx2+nx+p = 0 (m  0) có  =

Nếu  thì phương trình vô nghiệm

Nếu  thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

Nếu  thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

x1 = ; x2 =

b) Phương trình px2+qx+k = 0 (p  0) có ’= (với q = 2q’ )

Nếu ’ thì phương trình vô nghiệm

Nếu ’ thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

Nếu ’ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

x1 = ; x2 =

Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai

A Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0 (a  0)

B Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0 (a  0)

C Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 =

a c

D Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có: a-b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 =

a c

E Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 =

G Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình : x2- S x+P = 0

H Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình : x2- P x+S = 0

Bài 3: Ba bạn Hùng, Hải, Tuấn cùng tranh luận về các mệnh đề sau:

A.Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 có a+b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 =

a c

B.Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 có: a-b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = -1; x2 =

D.Phương trình 2x2-x+3 = 0 có tổng hai nghiệm là

2

1

và tích hai nghiệm là

23

Hùng nói: cả bốn mệnh đề đều đúng

Hải nói: cả bốn mệnh đề đều sai

Tuấn nói: A, B, C đúng còn D sai

Theo em ai đúng, ai sai? giải thích rõ vì sao?

GV:cần khắc sâu hơn về a  0 và khi sử dụng ĐL viet thì phải có ĐK:  ≥ 0)

II TOÁN TỰ LUẬN

LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CÔNG THỨC VÀO TÍNH TOÁN

Bài 1: Giải phương trình

1    

2

51)49(

Theo định lí Viet ta có :

1(5049

50)1(49

2

1 2

1

2 1

x

x x

x

x x

(

2

432

432

23

23

32

+ Áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót)

+ Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán

* B i t ài tương tự: Giải các phương trình sau: ương tự: Giải các phương trình sau: ng t : Gi i các ph ự: Giải các phương trình sau: ải các phương trình sau: ương tự: Giải các phương trình sau: ng trình sau:

Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441

a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24

c) u+v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10

Bài 3: Giải các phương trình sau

(phương trình quy về phương trình bậc hai)

a) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0

b)

)4)(

1(

81

1(

81

x

(2) Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì

.2

23)3(

23)3(



; x2 =

2

51



Vậy phương trình (4) có nghiệm x1 =

2

51

2

51

x

9

x x

Bài 4: Cho phương trình x2 + 3 x - 5 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2

Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:

A =

2 2

11

x

x  ; B = x1 + x2 ; C = 22 22

11

3

11

2 1

2 1 2 2

x x x

523

Cho phương trình x2 + 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2

Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:

A =

2 2

11

x

2

2 2

11

3 2 1

2 2 2 1

2

1

55

610

6

x x x x

x x x x

2 2 1

2 2 2 1

2 1

44

35

3

x x x x

x x x x







LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG SUY LUẬN

(Phương trình bậc hai chứa tham số)

Bài 1: (Bài toán tổng quát)

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có:

1 Có nghiệm (có hai nghiệm)    0

2 Vô nghiệm   < 0

3 Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)   = 0

4 Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)   > 0

5 Hai nghiệm cùng dấu   0 và P > 0

6 Hai nghiệm trái dấu   > 0 và P < 0  a.c < 0

7 Hai nghiệm dương(lớn hơn 0)   0; S > 0 và P > 0

8 Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)   0; S < 0 và P > 0

9 Hai nghiệm đối nhau   0 và S = 0

10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau   0 và P = 1

11 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S < 0

12 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn

Nếu ’< 0  1- k < 0  k > 1  phương trình vô nghiệm

Nếu ’= 0  1- k = 0  k = 1  phương trình có nghiệm kép x1= x2=1

Nếu ’> 0  1- k > 0  k < 1  phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1 = 1- 1 k ; x2 = 1+ 1 k

Kết luận:

Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm

Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1

Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x1 = 1- 1 k; x2 = 1+ 1 k

Bài 3: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)

a) Tìm m để (1) có nghiệm

b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?

c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?

Giải

a) + Nếu m-1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0  x =

2

3 (là nghiệm) + Nếu m ≠ 1 Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2

(1) có nghiệm  ’ = 3m-2  0  m 

32

+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m 

3

2 thì phương trình có nghiệm

b) + Nếu m-1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0  x =

2

3 (là nghiệm) + Nếu m ≠ 1 Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2

(1) có nghiệm duy nhất  ’ = 3m-2 = 0  m =

32 (thoả mãn m ≠ 1)

Khi đó x = 1 3

32

11

với m =

3

2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3c) Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:

(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0  4m – 3 = 0  m =

43

Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 =

4

3-1=

31

Bài 4: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)

a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x1+x2  10

e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m

f) Hãy biểu thị x1 qua x2

Giải

a) Ta có: ’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) =

4

152

Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)

b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0  – 3 – m < 0  m > -3

Vậy m > -3

c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)

Khi đó phương trình có hai nghiệm âm  S < 0 và P > 0

3

10

)3(

0)1(

m

Vậy m < -3

d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

0320

0320

m m

m m m m

m m m m

Vậy m 

2

3 hoặc m  0e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

2

22

)3(

)1(2

2 1

2 1 2

1

2 1

m x

x

m x x m

x x

m x

21

8

x

x x

Bài 5: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)

a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1

c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn

2 1 1

1

x x

y   ;

1 2 2

1

x x

1

02

m P

2.y +

*Yêu cầu:

+ HS nắm vững phương pháp

+ HS cẩn thận trong tính toán và biến đổi

+ Gv: cần chú ý sửa chữa những thiếu sót của học sinh, cách trình bày bài và khai thác nhiều cách giải khác

a) C/m , phương trình luôn luôn có hai nghiệm

khi m thay đổi

b) Định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 < x1 < x2 <6

4) Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0

a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Đặt A = 2(x1 + x2 ) – 5x1x2

a) C/m A= 8m2 – 18m + 9

b) Tìm m sao cho A=27

c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần

y

7) Cho phương trình : x2 + ax + 1 = 0 Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn :

a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m

b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2:

* Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m

* Tìm m sao cho x1 x2 2

Bài 174

Cho phương trình có ẩn số x : x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0

1) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m

2) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình

thoả mãn điều kiện x1 +x2  10

Bài 175

Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0

1) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m

2) Đặt A = 2(x1 + x2 ) – 5x1x2

a) C/m A= 8m2 – 18m + 9

b) Tìm m sao cho A=27

3) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần

a) C/m , phương trình luôn luôn có hai nghiệm

khi m thay đổi

b) Định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:

1 < x1 < x2 <6

Bài 178

x2 + ax2 + 1 = 0 (2) Tìm các giá trị của a để hai phương trình:

a) Tương đương với nhau

phân biệt khác -1

Bài 180

Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0

Gọi c,d là hai nghiệm của phương trình: y2 + qy + 1 = 0

C/m hệ thức: (a – c)(a – d)(b – c)(b – d) = (p – q)2

Bài 181

Giả sử a và b là hai nghiệm của phương trình x2+px+1 = 0

Giả sử c và d là hai nghiệm của phương trình x2+qx+1 = 0

C/m hệ thức: (a – c)(b – c)(a + d)(b + d) = q2 + p2

Bài 182

Cho phương trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0

1) C/m , phương trình có nghiệm với mọi m

2) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm không âm

b) Khi đó tính giá trị của biểu thức: E= x 1 x2 theo m

Bài 185

Cho phương trình : 3x2 – mx + 2 = 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn: 3x1x2 = 2x2 – 2Bài 186

Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x - m = 0

a) C/m phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Với m 0, lập phương trình ẩn y thoả mãn:

1 2 2 2 1

1

1,

1

x x y x x

y

Bài 190