HÀM SỐ - LUYỆN THI ĐẠI HỌC

§ 1 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ A.. c Vẽ đồ thị: + Vẽ tiệm cận + Biểu diễn câc ñiể

M Ụ C L Ụ C

CHUYÊN ðỀ 1: KH Ả O SÁT HÀM S Ố

Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ ñồ th ị hàm s ố 2

C ự c tr ị c ủ a hàm s ố 13

Ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n……… 18

T ươ ng giao gi ữ a hai ñườ ng……… 23

ð i ể m thu ộ c ñồ th ị th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n cho tr ướ c……… 30

CHUYÊN ðỀ 2 TÍCH PHÂN Tích phân……… 38

Di ệ n tích hình ph ẳ ng……… 56

Th ể tích c ủ a kh ố i tròn xoay……… 60

CHUYÊN ðỀ 3: B Ấ T ðẲ NG TH Ứ C B ấ t ñẳ ng th ứ c Cô-si……… 63

B ấ t ñẳ ng th ứ c tam giác……… 70

Dùng tính ñơ n ñ i ệ u c ủ a hàm s ố ñể ch ứ ng minh b ấ t ñẳ ng th ứ c……… 73

§ 1 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT::::

1 Hàm số đa thức:

y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0)

y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0)

a) Tập xác định D = R

b) Khảo sát sự biến thiên:

+ Tính các giới hạn của hàm số tại vô cực

+ Tính y’

+ Lập bảng biến thiên

+ Kết luận câc khoảng ñơn ñiệu vă câc ñiểm cực trị của hăm số

c) Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số

d) Vẽ đồ thị hàm số :

+ Biểu diễn câc ñiểm cực trị (nếu có)

+ Biểu diễn ñiểm uốn (nếu có)

+ Xâc ñịnh câc giao ñiểm với trục hoănh, trục tung (nếu có)

+ Vẽ ñồ thị hăm số

Chú ý :

+ ðồ thị hăm số bậc ba luôn có một ñiểm uốn vă ñó cũng chính lă tđm ñối

xứng của ñồ thị

+ ðồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có trục đối xứng lă Oy

+ Đồ thị hàm trùng phương hoặc có hai điểm uốn hoặc không có điểm uốn

2 Hàm phân thức:

Hàm số

d cx

b ax y

+

+

a) Tìm tập xác định

b) Khảo sát sự biến thiên:

+ Tìm các giới hạn và tiệm cận

+ Tính y’

+ Lập bảng biến thiên

+ Kết luận câc khoảng ñơn ñiệu vă câc ñiểm cực trị của hăm số

c) Vẽ đồ thị:

+ Vẽ tiệm cận

+ Biểu diễn câc ñiểm cực trị vă giao ñiểm với câc trục toạ ñộ (nếu có)

Chú ý: ðồ thị h àm số phân thức y ax b

cx d

+

= + nhận giao điểm hai đường tiệm cận

Suy ra cách vẽ ñồ thị (C 1 ) như sau:

+ Giữ lại những ñiểm thuộc ñồ thị (C) thuộc trục hoành và nằm phía trên của

trục hoành

+ Lấy ñối xứng phần ñồ thị của (C) phía dưới trục hoành qua trục hoành

+ Xóa phần ñồ thị nằm phía dưới trục hoành

Suy ra cách vẽ ñồ thị (C 1 ) như sau:

+ Giữ lại những thuộc ñồ thị của (C) thuộc trục tung và nằm bên phải trục tung

và xóa ñi phần ñồ thị của (C) bên trái trục tung

+ Lấy ñối xứng phần ñồ thị còn lại qua trục tung

ðồ thị (C) ðồ thị (C 2 )

III Từ ñồ thị (C) của hàm số

( )( 0)

( ) khi

Suy ra cách vẽ ñồ thị (C 3 ) như sau:

+ Giữ lại phần ñồ thị (C) nằm bên phải tiệm cận ñứng

+ Lấy ñối xứng phần ñồ thị của (C) nằm bên trái tiệm cận ñứng qua trục hoành

và xóa ñi phần ñồ thị của (C) nằm bên trái tiệm cận ñứng

Suy ra cách vẽ ñồ thị (C 3 ) như sau:

+ Giữ lại các ñiểm thuộc ñồ thị (C) thuộc ñường thẳng x b

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: y = x 3 – 3x 2 + 3

2) Xác ñịnh m ñể phương trình x 2 (|x| – 3) + 2m = 0 có 4 nghiệm phân biệt

Bảng biến thiên :

x –∞ 0 2

+∞y’ + 0 – 0 +

+ Khi x ≥ 0, ta có y = |x|3 – 3x2 + 3 = x3 – 3x2 + 3 Do ñó trên miền [0; + ∞) ñồ thị (C’) và (C) trùng nhau

Từ ñó ta có ñồ thị (C’) như sau:

Số nghiệm của (1) bằng số giao ñiểm của (C’) với ñường thẳng

y 5 5

– ∞ 1 – ∞

Hàm số ñồng biến trên khoảng ( –∞; –2) và (0; 2) và nghịch biến trên

hai khoảng (–2; 0) và ( 2; + ∞)

Hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 0, yCT = 1 và ñạt cực tiểu tại ñiểm x =

Vậy I( 34 ;

9

29) và I( 34 ;

9

29)

là ñiểm uốn của (C)

Xét hàm số y = − 14 x4 + 2x2 +1 (C')

Dựa vào ñồ thị (C) ta có ñồ thị (C’) như sau:

Số nghiệm của (1) bằng số giao ñiểm của (C’) với ñường thẳng

y = m – 3 Dựa vào ñồ thị ta có:

Phương trình (1) có sáu nghiệm phân biệt ⇔ 1 < m – 3 < 5 ⇔ 4 < m < 8

Ví dụ 3:

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số y = 1

4

+

+

x x

2) Xác ñịnh m ñể phương trình 2 (1)

| 1

|

4 = − +

+

m x

x

có hai nghiệm phân biệt

Giải

+ TXð : D = R\{– 1}

+ Sự biến thiên:

• Giới hạn, tiệm cận:

= +∞

+ + + − → 1 4 lim 1 x x x , = −∞ + + − − → 1 4 lim 1 x x x ⇒ TCð: x = – 1 1

1 4 lim = + + +∞ → x x x , 1 1 4 lim = + + −∞ → x x x ⇒ TCN: y = 1 • Chiều biến thiên: 2 ) 1 ( 3 ' − − = x y < 0, ∀ x ∈D ⇒ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng của tập xác ñịnh Bảng biến thiên : x –∞ 1 +∞

y’ – –

y 1 +∞

–∞ 1

+ ðồ thị :

Nhận xĩt: ðồ thị hăm số cắt trục hoănh tại ñiểm M(– 4; 0), cắt trục tung

tại ñiểm N(0; 4) vă nhận giao ñiểm I(– 1; 1) của hai tiệm cận lăm tđm

+

=+

+

=

11

4

11

4

|1

|

4

x u í

n x

x

x u í

n x

x x

x y

nín:

+ Bín phải tiện cận ñứng (C) vă C’) trùng nhau

+ Bín trâi tiệm cận ñứng (C) vă (C’) ñối xứng nhau qua trục hoănh

Vậy từ ñồ thị (C), ta có ñồ thị (C’) như sau:

Số nghiệm của (1) bằng số giao ñiểm của (C’) với ñường thẳng

a) Khảo sát vă vẽ đồ thị hàm số y = x3 −3x2 + 3(C)

b) Tìm các giá trị m sao cho phương trình 3 2 1

1

| 3 3

| − + = + m+

e x

nghiệm dương phân biệt

Bài 2:

a) Khảo sát vă vẽ đồ thị (C) của hàm số y = −x4 + 2x2 +3

b) Dựa vào đồ thị (C), hãy xác định các giá trị m để phương trình

x4 −2x2 +m = 0 có 4 nghiệm phân biệt

x

có hai nghiệm phđn biệt

2

x y x

(

3mx m x m m x

a) Khảo sát vă vẽ ñồ thị hs (1) khi m = 1 có đồ thị (C)

b) Tìm k để phương trình y =−x3 +3x2 +k3 −3k2 = 0 có ba nghiệm phân biệt

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị (C)

1 Khảo sât sự biến thiín vă vẽ ñồ thị của hăm số

a) Khảo sât sự biến thiín vă vẽ ñồ thị hăm số

b) Xâc ñịnh m ñể phương trình x2|x2 – 2| = m có 6 nghiệm phđn biệt

§ 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

I Khâi niệm cực trị của hăm số:

• ðiểm A gọi lă ñiểm cực ñại của ñồ thị hăm số

+ x Cð gọi lă ñiểm cực ñại của hăm số

+ y Cð gọi lă cực ñại của hăm số hay giâ trị cực ñại của hăm số tại

x = x Cð

• ðiểm B gọi lă ñiểm cực tiểu của ñồ thị hăm số

+ x CT gọi lă ñiểm cực tiểu của hăm số

+ y CT gọi lă cực tiểu của hăm số hay giâ trị cực tiểu của hăm số tại

⇔ g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác

0 n

0 n

g m

(Công thức này làm nháp và chỉ lấy kết quả!)

B VÊ DUÛ MINH HOÜA:

B VÊ DUÛ MINH HOÜA:

2 2

+

+

x

x x

y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = – 1

⇒ Hăm số luôn có cực trị với mọi m

Các điểm cực trị của (Cm) là M(0; m) và N(– 1; m – 1)

Do đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm

Tìm m ñể ñồ thị (Cm) có cực trị tại câc ñiểm A, B sao cho ñường thẳng

AB ñi qua gốc tọa ñộ O

ðồ thị h/s có 2 cực trị ⇔ y' = 0 có 2 nghiệm phđn biệt

⇔ (x − 2)2 − m = 0 có 2 nghiệm phđn biệt ≠ 2 ⇔ m > 0

b)Hàm số có hai ñiểm cực trị x1, x2 lớn hơn 2

c) ðồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị nằm về cùng một phía so với trục

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 2

2 Xác ñịnh m ñể ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị của (Cm) vuông góc ñường thẳng (d) : y = x + 1

Bài 5: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 7x + 3 (Cm)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 5

2 Tìm m ñể hàm số có Cð và CT Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị của (Cm)

3 Xác ñịnh m ñể trên (Cm) có hai ñiểm phân biệt ñối xứng nhau qua gốc toạ ñộ O

Bài 6: Đề thi đại học khối A – 2002:

) 1

(

x

trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị (Cm )

Bài 8: (Đề thi đại học khối A – 2005:)

Cho hàm số

x mx

y = + 1 (Cm) Tìm m để hàm số luôn có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng

2

1

Bài 9: Đề thi đại học khối B – 2005:

Cho hàm sô:ú ( 1)1 1

2

+

+++

+

=

x

m x m

1 (

2

+

+ + + +

=

x

m m

x m x

Tìm m ñể hăm số (1) có cực ñại vă cực tiểu, ñồng thời câc ñiểm cực trị

của ñồ thị cùng với gốc tọa ñộ O tạo thănh một tam giâc vuông tại O

Bài 11: Đề thi đại học khối B – 2007:

Cho hăm số: y = −x3 + 3x2+3(m2 – 1)x −3m2 – 1 (1), m lă tham số

Tìm m ñể hăm số (1) có cực ñại, cực tiểu vă câc ñiểm cực trị của ñồ thị hăm số (1) câch ñều gốc tọa ñộ O

§ 3 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

I Phương trình tiếp tuyến:

1 Tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x) tại ñiểm M(x0; y0) ∈ (C)

lă:

y – y0 = f ‘(x0)(x – x0)

2 Phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) có hệ số góc k

B1: Phương trình hoănh ñộ tiếp ñiểm:

f

y x

x k x

f

)('

)(

4 Sự tiếp xúc của hai ñường cong :

) ( ) (

x g x f

x g x f

có nghiệm

B VÍ DỤ MINH HỌA:

B VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1: Cho hàm số 3

y = − +x x+ (C) a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với

y = – 9x

HD:

a) x = 1 ⇒ y = 3

y’ = –3x2 + 3 ⇒ y’(1) = 3

Phương trình tiếp tuyến (d) lă: y = 3(x – 1) + 3 ⇔ y = 3x

b) Tiếp tuyến (d) của (C) song song ñöôøng thaúng y = – 9x nín (d) có hệ

số góc k = – 9

Phương trình hoănh ñộ tiếp ñiểm:

y’ = k ⇔ –3x2 + 3 = –9 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = 2, x = –2

+ Với x = 2, ta có y = 1, ta có pt tiếp tuyến(d) : y = –9x + 19

+ Với x = –2, ta có y = 3, ta có pt tiếp tuyến (d) :y = –9x – 16

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 2 (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm với trục tung

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0, 3)

−

k x x

kx x

x

63

32

32

2 3

coù nghieôm

Ta có:

49213

1

63

2

1,

16

3

013

2

63

36

323

6

3

32

3

2 2

2 3

2

2 3

2 3

x

x x

k

x x

k x x

x x

k x x

x x

x x

k x

x

kx x

x

Ví dụ 3: Cho hàm số 2 1

1

x y x

−

= + có ñồ thị (C) Tìm ñiểm M thuộc (C) ñể

tiếp tuyến với (C) tại M cắt trục Oy tại ñiểm N sao cho ON = 11

Gọi toạ ñộ 0

0 0

2

2 0

Vậy có hai ñiểm M là: M(−2;5) hoặc M 2; 7

−

+

−

=++

−

)2(3

63

)1(32

33

2

2 3

m x

x

m mx x

x x

Thay (2) vào (1) ta ñược:

x

−

=+ có ñồ thị (C) Tìm tọa ñộ ñiểm M sao

cho khoảng cách từ ñiểm ( 1; 2)I − tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất

0

0 2

0

9

(x 1) + x + ≥ =+

Vậy d ≤ 6 nên khoảng cách d lớn nhất bằng 6 khi

1)Tiếp tuyến ñó song song với ñường thẳng (d): y = 9x + 2011

2)Tiếp tuyến ñó vuông góc với ñường thẳng ( ') : 1 1

3

d y = x+

Băi 2: Cho hăm số y = x4 + mx2 – m – 2 (Cm) Gọi A, B lă hai ñiểm cố

ñịnh của (Cm) Xâc ñịnh m ñể hai tiếp tuyến của (Cm) tại A vă B vuông

y có ñồ thị (C

m) Xâc ñịnh m ñể tiếp tuyến của (Cm) tại ñiểm có hoănh ñộ bằng – 2 song song với ñường

y = x cắt ñồ thị (Cm) tại hai ñiểm M, N sao cho tiếp tuyến của (Cm) tại M

vă N song song với nhau

Băi 6: Chứng minh rằng họ ñường cong (Cm):

2

2x (1 m x) 1 m y

y (Cm) Định m để (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = x

Bài 8: Đề thi đại học khối D – 2005:

Cho hàm sô:ú 1 3 2 1

m

y = x − x + (Cm)

1 Khảo sát hàm số khi m = 2, có đồ thị (C)

2 Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng –1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0

Bài 9: Đề thi đại học khối B – 2006:

12

+

− +

=

x

x x

y

1 Khảo sât sự biến thiín vă vẽ ñồ thị (C) của hăm số ñê cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) biết tiếp tuyến ñó vuông

góc với tiệm cận xiín của (C)

Bài 10: Đề thi đại học khối D – 2007:

1 Khảo sât sự biến thiín vă vẽ ñồ thị (C) của hăm số ñê cho

2 Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai

trục Ox, Oy tại A, B vă tam giâc OAB có diện tích bằng

4

1

Bài 11: Đề thi đại học khối B – 2008:

Cho hăm số y = 4x3 − 6x2 + 1 (1)

1 Khảo sât sự biến thiín vă vẽ ñồ thị của hăm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hăm số (1), biết rằng tiếp

tuyến ñó ñi qua ñiểm M(−1;−9)

Bài 12: Đề thi đại học khối A – 2009:

Cho hăm số 2 3

2 +

+

=

x

x y

1 Khảo sât sự biến thiín vă vẽ ñồ thị (C) của hăm số ñê cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến ñó cắt hai trục

Ox, Oy tại A, B vă tam giâc OAB cđn tại O

Bài 13: Đề thi đại học khối D – 2010:

Cho hăm số y = – x4 – x2 + 6 có ñồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng 1

16

y = x+

§ 3 TƯƠNG GIAO GIỮA HAI TƯƠNG GIAO GIỮA HAI TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐƯỜNG ĐƯỜNG ĐƯỜNG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

+ ∆ = 0: phương trình (1) có nghiệm kép x1= x2 = −2a b

+ ∆ >0: phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

a

b x

3 Dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

+ Tam thức có hai nghiệm trái dấu⇔ p< 0

+ Tam thức có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ ∆ > 0 ,S > 0và P > 0

+ Tam thức có hai nghiệm âm phân biệt⇔ ∆ > 0 ,S < 0và P > 0

+ Tam thức có hai nghiệm phân biệt cùng dấu⇔ ∆ > 0và P > 0

II Phương trình bậc ba:

Dạng: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1)

1 Trường hợp ñoân ñược một nghiệm x = α

+ Thực hiện chia đa thức, viết phương trình (1) dưới dạng:

(x – α)( a’x2 + b’x + c’) = 0

+ Pt(1) ⇔ 



= + +

=

(*) 0

' '

+ Pt(1) có 3 nghiệm phđn biệt ⇔ hăm số có Cð, CT vă yCð.yCT < 0

+ Pt (1) có duy nhất một nghiệm Khi :

• Hoặc Hs ñồng biến trín R

• Hoặc Hs nghịch biến trín R

• Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

⇔ phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu

hoặc phương trình (2) có nghiệm kép dương

• Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

⇔phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

• Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng

⇔ phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt thoả t1 = 9t2

B VÍ DỤ MINH HỌA:

B VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 +(m +3)x2 −4 −m (Cm) Xác định m để đồ thị cắt trục hoành tại ba ñiểm phđn biệt

>

+

− +

0 4

0 9 2

0 ) 4 ( 4 ) 4 ( 0

m

m m

Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của (Cm) với Ox:

0 3

0 ) 2 (

0 ) 1

m

m m

Kết hợp ñiều kiện ta ñược m = 4, m =

2

7

(Cm) và (d) cắt nhau tại ba ñiểm A(0; 1) và B, C

⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

0 4 0

) 0 (

m f

Vì xB, xC là nghiệm của (1) nên xB + xC = –m và xBxC = 1

Ta có: y = x3 + mx2 + 1 ⇒ y’ = 3x2 + 2mx

Hai tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau

⇔ y’(xB).y’(xC) = –1

⇔ (3xB2 + 2mxB).(3xC2 + 2mxC) = –1

⇔ (3xB + 2m)(3xC + 2m)xBxC = –1

⇔ [9xBxC + 3(xB + xC ) + 4m2].xBxC = –1

⇔ 4m2 – 3m + 10 = 0 (VN)

Vậy không tồn tại m ñể (d) cắt (Cm) tại ba ñiểm A(0 ;1), B, C sao cho

các tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau

Ví dụ 4 : Cho hàm số 1

1 3

2+

+ +

=

x

x x

(d) cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt M, N

⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, khác –1

thoả mãn với mọi m

Do ñó (d) luôn cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt với mọi m ∈ R

Ta có: xM + xN =

5 3

và xM.xN =

1 3

Ví dụ 5:Cho hăm số y = x 3 – 3x + 4 (C) Chứng minh rằng mọi ñường thẳng ñi qua ñiểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > −−−−3) ñều cắt ñồ thị của hăm số (1) tại ba ñiểm phđn biệt I, A, B ñồng thời I lă trung ñiểm của

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

b) Chứng minh đường thẳng y = x – m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B Xác định m để độ dài AB nhỏ nhất

c) Tìm m ñể ñường thẳng y = x + m cắt (C) tại hai ñiểm có hoănh ñộ x1,

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

b) Tìm k để đường thẳng y = kx + 1 cắt đồ (C) thị tại hai điểm phân biệt

A, B sao cho trung ñiểm ñoạn AB thuộc ñường thẳng y = x + 5