Phương trình mặt phẳng P.
Trang 1GIẢI CHI TIẾT ĐỀ TOÁN KHỐI A VÀ A1 NĂM 2013
Ngày thi: 4/7/2013
Câu 1.
a/ Khi m=0 hàm số thành: 3 2
3 1
y= − +x x − (C) (tự vẽ đồ thị) b/ 3 2
y= − +x x + mx− (1) ; TXĐ : D=¡ ; 2
' 3 6 3
Hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0;+∞ ⇔ ≤ ∀ ∈) y' 0 x (0;+∞)
2
3x 6x 3m 0 x 0
Cách 1
0 2 0 (khong thoa)
m m
S
∆ > + >
< <
Cách 2 Hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0;+∞ ⇔ ≤ ∀ ∈) y' 0 x (0;+∞)
3x 6x 3m 0 x 0 m x 2 x x 0
Xét g x( )=x2−2x trên khoảng (0;+∞)
'( ) 2 2
g x = x− ; '( ) 0g x = ⇔2x− = ⇔ =2 0 x 1
Bảng biến thiên:
(min ( )0; ) (1) 1
+∞
⇒ ≤ = = − Vậy : m≤ −1
Câu 2 Giải phương trình: 1 tan 2 2 sin
4
; Điều kiện : cosx≠0 Phương trình thành: sin cos 2 sin( cos ) (sin cos ) (1 2 cos ) 0
cos
x
sin cos 0
1 2 cos 0
x
x+ x= ⇔ x+π = ⇔ + =π ⇔ + =x π kπ ⇔ = − +x π k kπ ∈
2
1 2cos 0 cos cos
2 3
π
= +
= − +
¢
Câu 3 Giải hệ phương trình:
4 4
1 1 2 (1)
,
2 1 6 1 0 (2)
x y
Điều kiện: 1
0
x
y
≥
≥
x + y− x y+ − y+ = ⇔x+ −y − y= ⇔x+ −y = y
(1)⇔ x+ +1 x− =1 y + + =2 y y + + +1 1 y + −1 1 (3)
1
Trang 2
Xét hàm số: f t( ) = t+ +1 4t4−1 với: t≥1
( )
( )
3 3 4 4
1
x
+ − Từ (3) ⇒ f x( )= f y( 4+ ⇔ =1) x y4+1
Hê phương trình thành:
4
2
1
4
1
0 0
x
y y
=
4
1
2 4 0 (*)
(*) 7 4
⇔ + + = , đặt: 7 4
g y = y + y +y ; vì: 6 3
'( ) 7 8 1 0 0
g y = y + y + > ∀ ≥y
⇒ ( )g y đồng biến trên khoảng (0;+∞)
(*)
⇒ có duy nhất một nghiệm: y=1
Khi đó:
4
1
2 4 0
y
Vậy nghiệm của hệ phương trình: ( ) ( )1;0 ; 2;1
Câu 4 Tính tích phân:
2 2 2 1
1 ln
x
x
−
=∫
Ta có: ( 2 )
ln
x
−
= − , do đó:
−
2
1
1
ln
I =∫ xdx Đặt: ln
dx
x
dv dx
v x
2
1
2
1
ln x
x
=∫ Đặt:
2
ln
1
dx
x dx
dv
v x
x
Vậy: 2ln 2 1 1ln 2 1 5ln 2 3
Câu 5
a Thể tích khối chóp S.ABC
Gọi H là trung điểm của BC ⇒SH ⊥BC
S
A
B
C H
M
Trang 3( ) ( )
⊥
; . 1 1
30
3 2
a
ABC
a
⊥
( ABC∆ là nửa tam giác đều cạnh a )
2
a SH
Vậy: . 1 1 1 3 3 3
b Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB)
Tam giác ABC vuông tại A, có HB = HB
2 2
AH
Tam giác SAH vuông tại H, ta có: 2 2 3 2 2
4 4
Tam giác SBH vuông tại H, ta có: 2 2 3 2 2
4 4
SAB
⇒ ∆ cân tại S Gọi M là trung điểm của AB
2
2
SAB
3
S ABC
SAB
∆
∆
Câu 6
Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa mãn điều kiện: (a c b c+ ) ( + =) 4c2 Tìm GTNN của biều thức:
P
c
+
a x c b y c
=
=
Đặt: u x y
v xy
= +
=
Khi đó: ( ) ( ) 2
32
P
a b
( )2
a b
Trang 4Chứng minh: ( )3
4
a b
⇔3(a3+ −b3 a b ab2 − 2)≥ ⇔0 3a a b2( − −) b a b2( − )≥0 ( ) (2 )
3 a b a b 0
3
3 2
x y
Do đó: P
3
= + ÷ + + ÷ − + ≥ + + ÷ −
( )
3
u
(x+1) (y+ = ⇔ + ≥ ⇒ ≥1) 4 x y 2 u 2
Bài toán thành: Tìm GTNN của ( )3
( ) 1
2
u
g u = −u − trên [2;+∞)
Ta có: ( )2 1
'( ) 3 1 0 2
2
Bảng biến thiên
Vậy: minP= −1 2
Câu 7a
5 2
x t
=
Gọi I =AC∩BD⇒ I là trung điểm của AC
Tọa độ trung điểm I của AC : 4; 2 3
I − − +
Tam giác BND vuông tại N, có IB = ID
uur
uur
(5; 15)
uuur
; AC đi qua điểm A(−4;8) và nhận nuuurAC =(15;5) làm VTPT :15( 4) 5( 8) 0 3 4 0
AC x+ + y− = ⇔ x y+ + =
'( )
g u
( )
g u
+∞
2
+
(2) 1 2
+∞
A
N D
I
Trang 5Gọi B x y , ta có: ( B; B) BNuuur= −(5 x B; 4− −y B)
Tọa độ trung điểm H của BN: 5; 4
B đối xứng với N qua AC . 0 3 17 4
BN AC
∈
uuur uuur
Vậy: B(− −4; 7) ; C(1; 7− )
Câu 8a.
a Phương trình mặt phẳng (P).
:
− − VTCP của ∆:ar = − −( 3; 2;1)
(1;7;3) ( )
( )
P
∈
∆ ⊥
(P) đi qua điểm A và nhận ar= − −( 3; 2;1) làm VTPT
( ) : 3P x 2y z 14 0
b Tọa độ điểm M.
6 3
: 1 2 6 3 ; 1 2 ; 2
2
= −
= − +
AM = − − −t t − + ⇒t AM = − t + − − t + − +t = t − +t =
uuuur
1
7
t
t
=
= −
1 3; 3; 1
t= ⇒M − − ; 3 51; 1; 17
t= − ⇒M − −
Câu 9a.
S là tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7
3
Gọi P là tập hợp các số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7
2
6
3 90
Xác suất để chọn được số chẵn là: 90 3
210 =7
Câu 7b.
Gọi H là trung điểm của AB
và M là giao điểm của 2 tiếp tuyến của (C) kẻ từ A và B
⇒ ba điểm M,H,I thẳng hàng và IM ⊥ AB
O
I A
B M
H
