BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2013
Môn thi : TOÁN
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường THPT chuyên ĐHSP)
Thời gian làm bài :120 phút
Câu 1(2,5 điểm)
1.Cho biểu thức
3
2
2
a b
a a b b
ab a
Q
−
với a>0 ; b>0 a≠b.
Chứng minh rằng giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b
2.Các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=0.Chứng minh đẳng thức
(a2 +b2 +c2)2 = 2(a4 +b4 +c4)
Câu 2(2 điểm) Cho Parabol (P) : y=x2 và đường thẳng (d) : 2
2
1
m mx
( tham số m ≠ 0).
1.Chứng minh rằng với m≠0 đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân
biệt
2 Gọi A(x1 ;y1) (;B x2 ;y2) là giao điểm của (d) và (P).Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = y12 + y22
Câu 3 (1,5 điểm)GiảI sử a,b,c là các số thực a ≠b sao cho hai phương trình
; 0 1
2 +ax+ =
x x2 +bx+c= 0 ;có nghiệm chung và 2 phương trình x2 +x+a= 0 ;
; 0
2 +cx+b=
x có nghiệm chung Tính a+b+c
Câu 4 (3 điểm): Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn
(O) Các đường cao AA1;BB1;CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại H.Các đường thẳng
A1C1 và AC cắt nhau tại điểm D, gọi X là giao điểm thức hai của đường thẳng BD với đường tròn (O)
1.Chứng minh rằng DX.DB=DC1.DA1
2.Gọi M là trung điểm cạnh AC Chứng minh DH ⊥BM
Câu 5: (1 điểm) Cho các số thực x,y,z thỏa mãn
+ + +
+ +
= +
+ +
+ +
+ + +
+ +
= +
+ +
+ +
2013 2012
2011 2013
2012 2011
2013 2012
2011 2013
2012 2011
y x
z x
z y
x z
y z
y x
Chứng minh rằng x=y=z
-Hết -Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh số báo danh
Trang 2GV: KIỀU ĐÌNH PHÚ -THCS TT SÔNG THAO.CẨM KHÊ-PHÚ THỌ
hướng dẫn giải :
Câu 1:
a)
3
3
2
2
0
3 3
ab a
Q
−
b)
Ta có a4 +b4 +c4 = (a2 +b2 +c2 ) 2 − 2 (a2b2 +b2c2 +c2a2 )(*)
Từ a+b+c=0 ta có
2
) (
) (
2
2 )
( 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
c b a a
c c b b
a
c b a c b a abc a
c c b b a c
b a ca
bc
ab
+ +
= +
+
⇔
+ +
= + + +
+ +
⇔ + +
= +
+
Thay vào (*) Ta có ĐPCM
Câu 2
1 Ta có tọa độ giao (d) và (P) là nghiệm của hệ PT
=
− +
=
⇔
+
−
=
=
(*)
; 0 2
1 2
1
2 2
2 2
2
m mx x
x y m
mx
y
x
y
Xét PT(*) có ∆ = 2 + 22 ≥ 2 2 > 0
m m
⇒Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với m∀ ≠0
Vậy ( )d cắt( ) P tại 2 điểm phân biệt
2
Ta có
2
2 1
2 2 1
2 2 1
2 2
2 1
2 2 2
2 1
4 2
4 1
2 2
2
y
Áp dụng định lý Viet:
−
=
−
= +
2 2
1
2 1
2
1
m x
x
m x
x
thay vào M ta có
2 2 2 2
1 2
1 1
4
4 4
2 2
=
m
m m m
m
M
Min(M)=2 + 2
Trang 3O C1
A1
E H
M X
D
C B
A
khi 8 1
2
m= ±
Câu 3: Giả sử phương trình x2 +ax +1 =0 (1) và x 2 +bx +c =0 (2)có nghiệm chung x 0 tính được : x 0 ( a-b) = c-1
b a
c x
−
−
=
⇔ 0 1 ( vì a≠b)suy ra nghiệm còn lại của phương trình (1) là: x 2 =
1
−
−
c
b a
(c ≠ 1 vì 0 không là nghiệm của pt (1) ) Giả sử Phương trình : x 2 +x +a =0 (3) và x 2 + cx +b=0 (4) có nghiệm chung x 1
ta có : x 1 ( 1-c) = b-a ⇔
x 1 = − 1
−
c
a b
= x 2 vậy pt (1) ; (2) (3) có nghiệm chung x 1
từ (1) và (3) ta có (a-1) (x 1 -1) =0
nếu a=1 ⇔x2 +x+1 =0 vô lý vậy x 1 =1 từ đó tính được
a+b +c =-3
Bài 4:
1) Dễ đang chứng minh tứ giác AC 1 A 1 C nội tiếp suy ra DA.DC = DC 1 DA 1
tứ giác DXBC nội tiếp nên AD.DC= DX DB
Vậy DX.DB = DC 1 DA 1
2) Vì : DX.DB = DC 1 DA 1 nên tứ giác A 1 BX C 1 nội tiếp suy ra
BXC 1 + BA 1 C 1 =180 0
do tứ giác BA 1 HC 1 nội tiếp BA 1 C 1 = BHC 1
nên tứ giác BXC 1 H nội tiếp suy ra BXH =90 0
vậy HX ⊥ BD (1)
kẻ đường kính BE dễ dàng chừng minh tứ giác AEHC là hình
bình hành từ đó suy ra HME thẳng hàng
tứ giác BCEX nội tiếp nên BXE =90 0
vậy EX ⊥ BD (2) từ (1) và (2) suy ra X,H,M,E thẳng hàng
vậy MX ⊥ BD lại có BH ⊥ DM nên H là trực tâm tam giác DBM
suy ra DH ⊥ BM
Đặt a x= +2011,b y= +2011, c z= +2011 Ta có hệ
1 4 4 4 2 4 4 43 1 4 4 4 2 4 4 43
1 4 4 4 2 4 4 43 1 4 4 4 2 4 4 43
vai trò x,y z bình đẳng
Trang 4Giả sử c m= ax{a;b;c} vì A C= Ta có
( )
*
Mặt khác,
c a
c b
Suy ra (*) xảy ra khi a=b=c, suy ra x=y=z.