VIa.1 Chú ý dựng hình.
Trang 1KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2009 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI THI MÔN TOÁN KHỐI A
I.1 Thực hiện 5 bước khảo sát
Tính đạo hàm :
'
2
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1)
2
2 3
x y x
+
= + TXĐ:
3
\ 2
D R= −
( )2
1
2 3
x
−
+
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 3 ; 3;
2 2
Tìm các đường tiệm cận :
3 2
lim
x
y
−
→ − ÷
= −∞
; 3 2
lim
x
y
+
→ − ÷
= +∞
⇒Tiệm cận đứng : 3
2
x= − 1
lim
2
x y
→−∞ = ; lim 1
2
x y
→+∞ = ⇒Tiệm cận ngang : 1
2
y=
Bảng biến thiên :
Đồ thị :
Tìm giao điểm của đồ thị với
hai trục tọa độ
3
Khi y= ⇒ = −0 x 2
Đồ thị nhận giao điểm I của hai
đường tiệm cận làm tâm đối
xứng
I.2 Cách 1.
+ Viết phương trình tiếp tuyến
dạng :
d : y= f x'( )0 (x x− 0) +y0
+ Tìm hai giao điểm A và B
;
A d= ∩Ox B d= ∩Oy
+ ∆OABcân tại O
Phương trình tiếp tuyến d có dạng :
d : y= f x'( )0 ( x x− 0)+y0
( )2 ( 0) 0
0 0
2 1
2 3
2 3
x
x x
+
−
+ +
2
2 8 6
x y
−
2 8 6;0
A d= ∩Ox⇒A x + x +
2
2 0
2 8 6 0;
2 3
x
+
OAB
∆ cân tại O ⇔ OAuuur = OBuuur
x
O -2 -3/2
1/2 2/3 I
−
x
'
y y
−∞
−∞
+∞ +∞
1 2
1 2
−
y
3 2
−
Trang 22
0
2 8 6
2 8 6
2 3
x
+ 0
3 2
x
2x 8x 6 (2x 3) 1 0
0 2
2
0 2
0 0
0
1
( ) 2
2 3 1
2 3 1
2
x
x x
x
= −
+ = ±
'( 1) 1
( 1) 1
f
f
− = −
'( 2) 1
( 2) 0
f
f
− = −
Cách 2. Phương trình tiếp tuyến d có dạng :
d : y= f x'( )0 ( x x− 0)+y0
Vì tiếp tuyến d cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A,B và tam giác OAB vuông cân tại O nên tiếp tuyến d có khả năng song song với một trong hai đường thẳng y= ±x
+ Nếu d // ∆1:y x= ⇒k d = ⇔1 f x'( )0 =1
( )2
0
1
1
2x 3
−
+ (loại)
+ Nếu d // ∆2:y= − ⇒x k d = − ⇔1 f x'( )0 = −1
( )2 0 0
0
1
1
2 3
x
−
'( 1) 1
( 1) 1
f
f
− = −
'( 2) 1
( 2) 0
f
f
− = −
II.1 Điều kiện :
1
1 2sin 0 sin
2
1 sin 0 sin 1
2 2
cos sin cos 2 2 cos 1
1 2sin
x
−
Hai vế của phương trình có
dạng : asinx b+ cosx
Vận dụng công thức cộng :
cos(a b± =) cos cosa bmsin sina b
sin(a b± =) sin cosa b±cos sina b
Phương trình cơ bản :
cos cos
2 2
u v k
π π
=
= +
Giải phương trình : ( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
−
=
Điều kiện : sinx≠1 và sin 1
2
x≠ −
(1)⇔cosx−sin 2x= 3 1 sin( + x−2sin2 x)
= 3 sinx+ 3 1 2sin( − 2x)
⇔cosx− 3 sinx=sin 2x+ 3 cos 2x
1cos 3sin 1sin 2 3cos 2
2 x 2 x 2 x 2 x
cos 2 cos
2 ( )
18 3
loai)
y= −x
x
y
y x=
O
A B
Trang 3II.2 Cách 1.
Đặt
6 5
Biến đổi phương trình về hệ theo u
và v với v≥0
2
15u −26u+20 0>
Giải phương trình : 2 33 x− +2 3 6x− =5 8 (1) Đặt
6 5
điều kiện :
6 0
5
3
8 2
8 2
5 3 8
5 3 8 (*)
3
u v
u
u
−
=
−
(*) ⇔15u3+4u2−32u+40 0=
(u 2 15) ( u2 26u 20) 0 u 2
Với u= − ⇔2 33x− = − ⇔2 2 3x− = − ⇔ = −2 8 x 2
Cách 2.
Đặt t=33x−2
Giải phương trình theo t
2
0
B
A B
A B
≥
điều kiện : 6 5 0 6
5
Phương trình thành :
4 4
2 15 26 20 0
15 4 32 40 0
t t
≤
≤
3
III Tách thành hai tích phân :
1
cos 1 sin cos
2
2 2
0
cos
π
=∫
Tính I1 (dùng phương pháp đổi
biến, đặt t =sinx )
Tính I2 :Áp dụng công thức hạ bậc
Tính tích phân : 2( )
0
cos 1 cos
π
cos cos
1
cos 1 sin cos
Đặt t=sinx
dt=cosxdx
1
2 2
cos 1 cos 2 sin 2
π
0
8 cos 1 cos
15 4
π
π
IV Chú ý dựng hình
Dựng SI vuông góc với (ABCD)
với I là trung điểm của AD
Tính thể tích khối chóp S.ABCD ( )
( )
( )
( ) ( )
Khi đó : .
1 3
S ABCD ABCD
1
x t
0
Trang 4IV Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB và IC , ta có :
5
IB BC a= = ; IC a= 2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC
SH ⊥BC⇒IH ⊥BC
Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc SHI bằng 600
Trong tam giác BIC, ta có : 2 2 3
2
a
BF = BC −FC =
BC
3 2
3 2
a a
a a
Trong tam giác vuông SIH, ta có :
.tan 60
5
a
Diện tích hình thang vuông ABCD :
1
2
ABCD
S = a a a+ = a
.
S ABCD ABCD
V Chú ý các bất đẳng thức :
2
a b+ ≥ ab
a b+ a +b
( )2 ( 2 2)
2
2( )
Đặt : a x y= + ; b x z= +
a b y z
⇒ − = −
0≤ y z− ⇔4yz≤ y z+
4 2
2 y z 4yz 4 y z
( )2
y z+ ≥ yz ⇔ y z+ ≥ yz
( )2
12yz 3 y z
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x y z; ; thỏa mãn
x x y z+ + = yz, ta có :
3( )( )( ) 5( )
x y+ + +x z + x y x z y z+ + + ≤ y z+
Giải :
2
x x y z+ + = yz⇔x +xy xz yz+ + = yz
⇔ +(x y x z)( + =) 4yz
Đặt : a x y= + ; b x z= + ⇒ab=4yz
Ta có :
2 2 ( )2
2(a b ) a b ab
= 2 ( a b− )2 +2ab (a b− )2+ab
( )2 ( )2
2 y z 8yz y z 4yz
( )2 ( )2
2 y z 4yz y z
( ) (2 )2 ( )3
4 y z y z 2 y z
Mặt khác :
3 x y x z y z+ + + =12yz y z+
( ) (2 ) ( )3
3 y z y z 3 y z
Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được :
3( )( )( ) 5( )
x y+ + +x z + x y x z y z+ + + ≤ y z+
S
C D
I
H
E
F
60 o
Trang 5VIa.1 Chú ý dựng hình.
( )6; 2 ; ( )1;5
I M Phương trình tham số của ∆ :x t y=5 t
= −
Trung điểm E của CD∈∆ ⇒E t( ;5−t) Gọi N là trung điểm của AB ⇒I là trung điểm của NE
Ta có : N 22 I E 121
(11 ; 6)
MN = −t t−
uuuur
; IEuur= −(t 6;3−t)
( ) ( ) ( ) ( )
MN ⊥IE⇒MN IEuuuuruur= ⇔ −t t− + −t − =t
( 6) ( 2 14) 0 6
7
t
t
=
AB đi qua điểm M và nhận MNuuuur
làm vectơ chỉ phương ( )
t= ⇒MNuuuur= ⇒ AB y=
( )
t= ⇒MNuuuur= ⇒AB x− y+ =
VIa.2
2 4 6 11 0
5
T mI
R
2 4 3 4
4 4 1
+ + ⇒( ) ( ) ( )P ∩ S = C
Gọi H và r là tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến Phương trình đường thẳng d ( d đi qua tâm I và vuông góc với (P))
1 2 : 2 2 3
= +
= −
= −
H là hình chiếu vuông góc của I trên (P)
( )
⇒ = ∩ Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ :
(3;0; 2)
H
Bán kính r : r= R2−IH2 = 25 9 4− =
VIIa Tìm nghiệm phức của phương
trình : z2+2z+ =10 0
Tính : A = z12+ z2 2
Giải phương trình : z2+2z+ =10 0 ∀ ∈z C
Ta có : ∆ = − =' 9 9i2
Nghiệm của phương trình : 1
2
1 3
1 3
= − +
= − −
2
z = ⇒ z = ; z2 = 10⇒ z2 2 =10
Vậy : A = z12+ z2 2 =20
VI.b1
4 4 6 0
2
T mI
R
− −
Giả sử ∆ ∩( )C ={A B; } Gọi H là hình chiếu vuông góc
của I trên AB
2
AB
HA HB
⊥
C D
I
E
R I N
H
M
IH=d(I,(P))
●
r
Trang 6· · 1
.sin sin 2
IAB
IAB
S∆ lớn nhất khi và chỉ khi sin·AIB= ⇔1 IA⊥IB
Khi đó tam giác AIB vuông cân tại I.ta có :
sin 45 sin 45 1
2
IA
2
2 2 2 3
1
d I
m
+
0
15
m
m
=
=
VI.b2 Vận dụng các công thức :
- Tính khoảng cách từ điểm M
đến đường thẳng ∆2
2
, ( , ) MA a
d M
a
∆ =
uuur r r
- Tính khoảng cách từ điểm M
đến mặt phẳng (P)
( , ( )) Ax By Cz D
d M P
=
Phương trình tham số của ∆1
1
1 :
9 6
y t
= − +
= − +
M∈∆ ⇒1 M( 1 ; ; 9 6 )− +t t − + t
2 2
(1;3; 1)
:
A
VTCP a
− ∈ ∆
(2 ;3 ;8 6 )
MA= −t −t − t
uuur
; MA auuur r, = (8 14; 20 14 ;t− − t t−4)
, 261 729 612 3 29 88 68
uuur r
2 2
, ( , ) MA a 29 88 68
a
uuur r r
11 20 ( , ( ))
3
t
=
2 2
11 20 ( , ) ( ,( )) 29 88 68
3
t
2
1
35 88 53 0 53
35
t
t
=
=
Với t= ⇒1 M(0;1; 3− ) Với 53 18 53 3; ;
35 35 35 35
VIIb Giải hệ phương trình :
log 1 log
3x xy y 81
− +
Điều kiện : xy>0
Hệ phương trình thành :
2 4
( ) 0
4
x y
xy
Ngày 5 tháng 7 năm 2009 Hãy bình tĩnh, tự tin và quyết tâm sẽ thành công
Nguyễn Thanh Lam
I
