Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Viết phương trình tiếp tuyến của C tại M biết chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.. SA vuông góc với đáy, góc giữa cạnh bên SB và mặt
Trang 1ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN-TIN
ĐỀ THI THỬ
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG 2013
Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số ( )
1
1 2
C x
x y
−
−
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2 Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận của ( C ) Điểm M ∈(C), tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2
đường tiệm cận tại A và B Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M biết chu vi tam giác
IAB nhỏ nhất
Câu II (2 điểm)
4
3 ( cos 2 2
sin
) 2 ( sin 2 2 sin 1
cos cos
1
2 3
π
− +
+
−
= +
+
x
x x
x x
x
2 Giải hệ phương trình:
− +
+
= + +
+
= +
−
1 2 2 3 4
3 3 4
) 1 ( 2 ) 1 ( 2
x y
y x
x
x x y y
x
Câu III (1 điểm) Tính tích phân sau: ∫
+
+
=
e
dx x x
x I
1 1 ln2
) 1 (ln
Câu IV (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a, BC=2a SA vuông góc với đáy, góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy bằng 600 M thuộc SA sao cho AM=
3
3
a
; mặt phẳng (BCM) cắt
SD tại N Tính thể tích hình chóp S.BCNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD
Câu V (1 điểm) Chứng minh với mọi số dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a+b+c+d=4 ta có :
2 1
1 1
1+ 2 + + 2 + + 2 + +a2b ≥
d a d
c d c
b c b a
II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần(phần A hoặc phần B)
A.Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I
là giao điểm của hai đường thẳng d:x−y−3=0 và d':x+y−6=0 Trung điểm một cạnh là giao của d với trục Ox Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết: A(2; 3; 1), B(-1; 2; 0),
C(1; 1; -2) Tìm tọa độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình: log (4 144) 4log 2 1 log (2 2 1)
5 5
B.Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, có trọng tâm G
3
4
; 3
7 , phương trình đường thẳng BC là: x-2y-3=0, phương trình đường thẳng BG là: 7x-4y-11=0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C
2 Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(1; 0; 2), B(1; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD
Câu VII.b (1 điểm) Giải bất phương trình: (4x
– 2.2x – 3) log2x – 3 > 2
1 4
+
x
- 4x
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
Trang 2ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu I
2 điểm
1
1 điểm
• Tập xác định: D = R \ { }1
• S biến thiên:
Chiều biến thiên: Ta có x D
x
−
−
) 1 (
1
Hàm số nghịch biến trên các khoảng: (−∞;1)và (1;+∞)
Giới hạn và tiệm cận: lim =2,lim =2;
+∞
→
−∞
x
y
y tiệm cận ngang y = 2
=+∞ =−∞
−
lim , lim
x x
y
y ; tiệm cận đứng x = 1
Bảng biến thiên:
X - ∞ 1 +∞
-∞
+∞
2
• Đồ thị
f(x)=(2*x-1)/(x-1) x(t)=1 , y(t)=t f(x)=2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8 -6 -4 -2
2 4 6 8
x y
0.25
0.25
0.25
0.25
2
1điểm
Tiếp tuyến tại M(m;y(m)) là (d):
y = y’(m)(x-m) + y(m)
1
1 2 ) ( ) 1 (
1
−
−
=
⇔
m m
x m
y
) 2
; 1 2 ( ) 2 : ( ) ( ), 1
2 2
; 1 ( ) 1 : ( )
− +
=
=
m A
x TCD
1
2
|
|
|
|
−
=
−
m x x y
y A I B I
chu vi(∆IAB)=IA+IB+AB=IA+IB+ IA2+IB2 ≥2 IA.IB+ 2IA.IB =2(2+ 2)
+
−
=
⇒
⇒
=
+
−
=
⇒
−
⇒
=
⇔
=
−
⇔
=
=
⇔
5 :
) 3
; 2 ( 2
1 :
) 1
; 0 ( 0
1
| 1
| 2
2
1
x y tt M
m
x y tt M
m m
IB IA
0.25
0.25
0.25
0.25
Trang 31
1 điểm
4
3 ( cos 2 2
sin
) 2 ( sin 2 2 sin 1
cos cos
1
2 3
3
π π
− +
+
−
= +
+
x
x x
x x
x
- Đkxđ: sinx.cosx ≠ 0
-
) ( 4
) 0 sin (
1 cos
0 cos sin
cos
cos sin cos sin
2 sin 1 cos
sin ) sin 1 ( cos ) cos 1 ( sin
) 2
3 2 cos(
1 cos sin 2
) 2 ( cos 2 sin
1
) sin 1 ( cos cos
1
) cos 1 ( sin
2 2
2
Z k k x
x do loai x
x x
x
x x x x
x x
x x
x x
x
x x
x
x x
x x
x
x x
PT
∈ +
−
=
⇔
==========
==========
==========
==========
==========
==========
==========
=
=
= +
⇔
==========
==========
==========
==========
==========
==========
==========
+
= +
⇔
− +
=
− +
−
⇔
− +
+
+
= +
− +
+
−
⇔
π π
π π
0.25
0.25
0.25 0.25
2
1điểm Giải hệ PT:
− +
+
= + +
+
= +
−
) 2 ( 1 2 2 3 4
3 3 4
) 1 ( )
1 ( 2 ) 1 ( 2
x y
y x
x
x x y y
x
- Đkxđ: y≥−3, x≥1/2
Giải (1): xy-x+2y=x2
+x⇔x2+2x-xy-2y=0⇔x2+(2-y)x-2y=0⇔x=-2(loại) hoặc
x = y Thế x = y vào (2) được:
-1 0
) 1 1 2 ( ) 3 2
(
0 ) 1 1 2 2 1 2 ( )) 3 ( 3 4
4 (
1 2 2 3 4
3 3 4
2 2
2 2
=
⇔
=
−
− + +
−
= +
−
−
− + + + +
−
⇔
− +
+
= + +
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
- x=1⇒y=1
0.25 0.25 0.5
CâuIII
x
dx du x u
1
1
1
1 1
1
1
I I du u
du u
u du
u
u
+
+ +
= +
+
2
1 1
1 0 2
1 2 2
1 0
2
1 2 1
+
u u
d u du
u
u I
Xét hàm số ln( 2 1)
+ +
1
1 ) 1 (
1 1
) 1 (
)' 1 (
'
2 2
2 2
2
+
= + + + +
= + +
+ +
=
u u
u u u
u u
u u y
Suy ra hàm số y=ln(u+ u2+1) là một nguyên hàm của hàm số
1
1 2 +
=
u y
) 2 1 ln(
2
1 0 +
=
+ +
I
Vậy I= 2−1+ln(1+ 2)
0.25
0.25
0.25
0.25
Trang 4CâuIV
1
1 điêm
S(0;0;a 3), C(a;2a;0)
( ;0; 3)
4
; 3
; 3 2 ,
) 3
; 2
; (
) 0
; 2
;
a a SB
a a a SC
BD a
a a SC
a a BD
−
=
−
−
=
⇒
−
−
-31
3 2 )
; (BD SC a
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu V
1đ
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
) (
4
1 1
4
) ( 2
2
2 1
1
2
2 2
2 2
abc ab a
c b a
ac a b a ac a b a c ab a c b
c ab a c b
c ab a c b
a
+
−
≥ +
⇒
+
−
≥
−
=
−
=
−
≥ +
−
= +
Tương tự ta có:
) (
4
1 1
), (
4
1 1
), (
4
1
d cda cd c a d
c bcd bc b d c
b
+
−
≥ + +
−
≥ + +
−
≥ +
Cộng vế với vế 4 bất đẳng thức cùng chiều trên được:
( 4
1 1
1 1
d a d
c d c
b c b
a
+ + + + + + +
− + + +
≥ +
+ +
+ +
+ +
Theo bất đẳng thức :
4 ) (
4 ) (
4 1
2 2
= + + +
≤ + + +
= + + +
≤ + + +
d c b a dab cda bcd abc
d c b a da cd bc ab
Do đó : a + b + c + d ≥a+b+c+d−2=2
0.25 0.25
0.5
S
A
D
- SA⊥(ABCD)⇒AB là hình chiếu của SB/(ABCD) ⇒góc giữa SB
và đáy là ∠SBA=600
3
a
SA =
-
3
3
3 2
3 2 3
1 3 1
a
a a a SA S
V S ABCD ABCD
=
=
=
-
3
3 2
1
a V
V
V S ABC = S ADC = S ABCD =
-
27
3 10
27
3 4 9
4
9
3 2 3
2
3
.
3
.
.
3
.
.
a V
a V
V V
a V
V V
MBC S
MBC S ADC
S
MBN S
MBC S ABC
S
MBC S
=
⇒
=
⇒
=
=
⇒
=
Trang 5Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=d=1
CâuVIa
1
1 điểm
- Tọa độ giao điểm I của d và d’ là nghiệm của hệ phương trình
) 2
3
; 2
9 ( 2 3 2 9 0
6
0 3
I y
x y
x
y x
⇒
=
=
⇔
=
− +
=
−
−
- Do vai trò của A, B, C, D là như nhau nên giả sử M là trung điểm của AD
) 0
; 3 (
M Ox d
⇒
- Ta có: AB=2IM =3 2; Theo giả thiết S ABCD =AB.AD=12⇒AD=2 2
- Vì I,M∈d ⇒d ⊥ AD⇒AD:x+ y−3=0
- MA=MD= 2⇒tọa độ A, D là nghiệm của hệ phương trình
) 1
; 4 ( ), 1
; 2 ( 1
4 1
2 2
) 3 (
0 3 2
−
=
=
∧
=
=
⇔
= +
−
=
− +
D A y
x y
x y
x
y x
- Do I là trung điểm AC nên C(7;2), TT do I là trung điểm BD nên B(5;4)
0.25
0.25
0.25 0.25
2
1 điểm
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết: A(2; 3; 1), B(-1; 2; 0), C(1; 1; -2) Tìm tọa độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
- H(x;y;z) là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi BH ⊥AC,CH ⊥AB,H∈(ABC)
=
=
=
⇔
0 ] , [
0
0
AC AB AH
AB CH
AC BH
−
=
=
=
⇔
=
− +
−
−
−
= + +
− +
−
= +
− + +
⇔
3 1 15 29 15 2
0 ) 1 ( 5 ) 3 ( 8 ) 2 (
0 ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( 3
0 3 ) 2 ( 2 ) 1 (
z y x
z y
x
z y
x
z y
x
- I(x;y;z) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇔AI =BI =CI,I∈(ABC)
) 3
1
; 30
61
; 15
14 (
3 1 30 61 15 14
0 ) 1 ( 5 ) 3 ( 8 ) 2 (
) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 (
) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 2 (
0 ] , [
2 2 2
2 2
2
2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
−
⇒
−
=
=
=
⇔
=
− +
−
−
−
+
− + +
= + +
− +
−
+
− + +
=
− +
− +
−
⇔
=
=
=
I z
y
x
z y
x
z y
x z
y x
z y
x z
y x
AC AB AI
BI AI
BI CI
0.25 0.25
0.25
0.25
CâuVIIa
0 64 2 20 4 ) 1 2 ( 80 144 4
)]
1 2 ( 80 [ log ) 144 4 ( log
) 1 2 ( log 5 log 16 log ) 144 4 ( log
) 1 2 ( log 1 16 log ) 144 4 ( log
) 1 2 ( log 1 2 log 4 ) 144 4 ( log :
1
2 5
5
2 5 5
5 5
2 5 5
5
2 5 5
5
= +
−
⇔ +
= +
⇔
+
= +
⇔
+ +
+
= +
⇔
+ +
=
− +
⇔
+ +
=
− +
−
−
−
−
−
x x
x x
x x
x x
x x
x x
PT
Đặt 2x =t(t>0) PTTT:
=
=
⇔
= +
−
16
4 0
64 20 2
t
t t
t
Với t=4⇒2x =4⇒x=2
Với t=16⇒2x =16⇒x=4
0.25
0.25 0.25 0.25
Trang 6CâuVIb
1
1 điểm -Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:
=
−
−
=
−
−
0 11 4 7
0 3 2
y x
y x
=> B(1;-1)
⇒
=
2
5
; 3 2
3
N BG BN
- Do tam giác ABC cân tại A⇒AG ⊥ BC⇒PT AG: 2x+y-6=0
-
= +
= +
=
− +
=
−
−
=
∈
∈
5 6
0 6 2
0 3 2
; ,
c A
C A
A A
c C
y y
x x
y x
y x CN AN AG A BC C
- Giải hệ trên ta được: A(1;4); C(5;1)
0.25 0.25
0.25
0.25
2
1 điểm
- Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:
x2+ y2+ z2+ 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (a2+b2+c2-d>0)
- Do A, B, C, D ∈ (S) nên ta có hệ phương trình:
= + + + +
= + + +
= + + + +
= + +
+
0 2
2 2 3
0 2
1
0 2
2 2
0 4
2 5
d c b a
d c
d b a
d c a
2
1 , 2
1 , 2
3
=
−
=
=
−
- Vậy phương trình mặt cầu: x2+ y2 +z2 −3x+y−z=0
0.25 0.25
0.25 0.25
Câu
- BPT
0 ) 1 )(log 3 2 2 4 (
0 ) 3 2 2 4 ( log ) 3 2 2 4 (
2
2
>
+
−
−
⇔
>
−
− +
−
−
⇔
x
x x
x
x x x
x
<
+
<
−
−
>
+
>
−
−
⇔
) ( 0 ) 1 (log
0 ) 3 2 2 4 (
) ( 0 ) 1 (log
0 ) 3 2 2 4 (
2
2
II x
I x
x x
x x
3 log 2
1
3 log
1 log
3 2
1 2 )
2
2
>
⇔
>
>
⇔
−
>
>
−
<
x x
x
x
2
1 1
log
3 2 1 )
(
2
<
⇔
−
<
<
<
−
x II
x
DS: x Vx log2x
2
1
0< < >
0.25
0.25
0.25
0.25
0912.676.613
By: Thuan TranQuang Maths – Hanoi National University of Education