Viết phơng trình tiếp tuyến của C tại M, với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của C tại M cắt C tại hai điểm phân biệt khác M.. q Phần riêng 3,0 điểm: Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai
Trang 1Trờng thpt nam phù cừ đề thi thử đại học lần II năm 2011
Tổ toán – tin Môn thi : Toán
******** (Thời gian làm bài: 180 phút)
Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm):
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số 4 2 5
3
x
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2/ Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ xM = a Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M, với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M
Câu II (2,0 điểm)
sin x sin x + + π + cos x cos x + + π = sin x.
2/ Tìm tất cả các số thực x thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:
a) (x2−3 ) 2x x2− − ≥3x 2 0 (1)
b) (6− 27)x+8.(6+ 27)x =3x+ 2 (2)
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I = 2 1
0
1
sinx cosx
sinx
π
+
Câu IV (1,0 điểm)
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, A’A = A’B = A’C và mặt phẳng (A’AB)
vuông góc với mp(A’AC) Tính VABC A B C ' ' '
Câu V (1,0 điểm)
Cho p, q là các số tự nhiên lớn hơn 1 và 0;
2
x π
∈ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T = cos x sin xp . q
Phần riêng ( 3,0 điểm): Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A/ Theo chơng trình Chuẩn.
Câu VI.a (3,0 điểm)
1/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(1;2), đờng chéo BD có phơng trình:
2x y+ + =1 0 Điểm M nằm trên đờng thẳng AD sao cho M và D nằm về hai phía so với A và AM = AC Đờng thẳng MC có phơng trình: x y+ − =1 0 Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình bình hành ABCD
2/ Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; -2; -6), B(2; 0; -2) và mặt cầu (S) có phơng trình:
x +y + +z x− y+ z− = Viết phơng trình mp(P) đi qua hai điểm A, B và (P) cắt (S) theo một
đờng tròn có bán kính bằng 1
3/ Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: z+ +1 2i =1, tìm số phức z có môđun nhỏ nhất
B/ Theo chơng trình Nâng cao.
Câu VI.b (3,0 điểm)
1/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đờng tròn (C): (x−1)2+ −(y 2)2 =9 Tìm trên đờng thẳng
∆: x y+ − =9 0 các điểm M sao cho từ M kẻ đợc tới (C) hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 600
2/ Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) và đờng thẳng (d):
1
2
= −
=
Viết phơng trình đờng thẳng ∆ đi qua A và cắt đờng thẳng (d) sao cho khoảng cách từ B đến∆lớn nhất
3/ Tìm môđun của số phức: 1 2 (1 )3
1
z
i
+ − −
=
“Hãy làm theo cách của bạn“
-Hết -Biểu điểm và đáp án môn toán
Câu I
(2,0 đ ) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ( 1,0
đ )
1) Tập xỏc định D=R
2) Sự biến thiên a) Chiều biến thiên
Ta có y' 2= x3−6x=2x x( 2−3), ' 0y = ⇔ =x 0,x= ± 3 0,25
Trang 2Trên các khoảng (−∞ −; 3)và (0; 3) , ' 0y < nên hàm số nghịch biến
Trên các khoảng (− 3;0)và ( 3;+∞), ' 0y > nên hàm số đồng biến
b) Cực trị
Tại x=0, hàm số đạt CĐ: (0) 5
2
CD
Tại x= ± 3, hàm số đạt CT: y CT = ±y( 3)= −2
c) Giới hạn: : limx→−∞y= +∞; limx→+∞y= +∞
d) Bảng biến thiên:
x −∞ − 3 0 3 +∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y +∞ 5
2 +∞
-2 -2 3) Đồ thị
* Điểm uốn
Ta có y'' 6= x2−6
'' 0y = ⇔ = ±x 1
Do y’’ đổi dấu khi x đi qua 1± nên đồ thị có hai điểm uốn U1(-1;0) và U2(1;0)
* Đồ thị đi qua các điểm ( 2; 3),( 3; 2),(0; ),( 3; 2),(2;5 3)
* Nhận xét:
Đồ thị nhận oy làm trục đối xứng
Đồ thị cắt oy tại (0; )5
2
C
0,25
0,25
0,25
2/ Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M, với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C) tại
M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M (1,0đ )
+ Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M
a
M∈ C ⇒M a − a +
Ta có: y' 2= x3−6x⇒ y a'( ) 2= a3−6a
Vậy tiếp tuyến của (C) tại 4 2 5
a
a
y= a − a x a− + − a +
+ Tìm a để tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M
Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến và (C) là nghiệm của phơng trình:
=
− + +
=
=
⇔
0 6 3 2 )
(x x2 ax a2
g
a x
Yêu cầu bài toán đợc thoả mãn khi: g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác a
±
≠
<
⇔
≠
<
−
⇔
≠
−
=
>
−
−
=
∆
⇔
1
3 1
0 3 0
6 6 ) (
0 ) 6 3 (
2
2 2
2 2 '
) (
a
a a
a a
a g
a a
x g
Vậy giá trị a cần tìm là: a∈ −( 3; 3) \{ }±1
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu II
(2,0 đ ) 1/ Giải phơng trình: 4 4 4 4 3 4
sin x sin x + + π + cos x cos x + + π = sin x (*) (1,0 đ )
Ta có PT(*) ⇔ sin4x + cos4x + sin4 (x+
4
π
) + cos4 (x+
4
π
) 3 44
2sin x
=
0,25
Trang 3⇔ 1 – 2sin2x cos2x + 1 – 2sin2(x+
4
π
).cos2(x+
4
π
2sin x
=
⇔ 1-
2
1 sin2 2x +1 -
2
1 sin2(2x +
2
π
2sin x
=
⇔ 2 -
2
1 sin22x -
2
1 cos22x 3 44
2sin x
=
⇔
2
3 sin44x =
2 3 ⇔ sin24x = 1
⇔ cos 4x = 0 ⇔ 4x =
2
π
+ kπ⇔ x =
8
π
+ k 4
π
với k ∈ Z Vậy PT có các nghiệm là: x =
8
π + k
4
π với k ∈ Z
0,25
0,25 0,25
2/ Tìm tất cả các số thực x thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: (1,0 đ )
a) (x2−3 ) 2x x2 − − ≥3x 2 0 (1)
b) (6− 27)x+8.(6+ 27)x =3x+ 2 (2)
a) Giải bất pt: (x2−3 ) 2x x2− − ≥3x 2 0 (1)
Ta có (1)⇔
2 2 2
− − >
− ≥
⇔
1
2
⇒ = −∞ − ∪ ∪ +∞
b) Giải pt: (6− 27)x+8.(6+ 27)x =3x+ 2 (2)
Ta có (2) ⇔ (6− 27)x+8.(6+ 27)x=9.3x
Vì 6 27 6 27 1
=
27
3
x
t t
= >
PT trở thành: 2
( / ) 8
=
− + = ⇔
=
Với t = ⇒ =1 x 0
3
log
t = ⇒ =x +
2 6 27
3
1
0, log
8
Vậy số thực thoả mãn đồng thời hai điều kiện trên là: 6 27
3
1 log
8
x= +
*Lu ý: ở điều kiện (1) nếu thiếu TH: 2x2− − =3x 2 0 sẽ bị mất nghiệm x = 2
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 4Nghĩa là bất PT:
( ) 0
( ) 0
g x
f x
≥ ⇔ >
≥
Câu III
(1,0 đ )
Tính tích phân: I = 2 1 sin
0
ln
1 sin
x cosx
dx x
π
+
∫ ( 1,0đ )
0
2 0
2 0
) sin 1 ln(
) cos 1 ln(
sin )
cos 1 ln(
π π
π
dx x dx
x x
dx x I
(I)1 ( I2) (I3)
Chứng minh: I1 = I3
Đặt:
2
x= − ⇒π t dx dt= Đổi cận 0 2
0 2
π π
= ⇒ =
= ⇒ =
1
ln(1 sin ) ln(1 sin )
⇒ =∫ + =∫ + Suy ra I1 - I3 = 0
Tính: =∫2 +
0
2 sin ln(1 cos )
π
dx x x
I
Đặt: t=1+cosx⇒dt=−sinxdx: Đổi cận
1 2
= ⇒ =
= ⇒ =
Khi đó: =∫2
1
2 ln tdt
=
=
dt dv
t
u ln
=
=
t v
dt t
du 1
⇒ = 2−
1
2 t ln t
1 2
1
) ln (t t t
Vậy: I = 2 2 1 ln −
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu IV
(1,0 đ )
Gọi M là trung điểm của BC và O là trọng tâm tam giác ABC
Vì A’A = A’B = A’C nên 'A O⊥(ABC)do AO⊥BC⇒AA'⊥BC
0,25 0,25
B
A
B
C M
I
A
’
Trang 5Gọi I là hình chiếu của B trên A’A ⇒ ⇒ AA' (⊥ BIC) ⇒ ∠BIC=900 và
ABC A B C ABC
Kết luận
0,5
Câu V
(1,0 đ ) Cho p, q là các số tự nhiên lớn hơn 1 và 0;
2
x π
∈ Tìm GTLN của biểu thức:
.
T = cos x sin x
2
x π
∀ ∈ , nên T đạt GTLN khi T2 =(cos x2 ) (p sin x2 )qlớn nhất
Xét hàm số: y = ( cos x2 ) (p sin x2 )qvới 0;
2
x π
∀ ∈ Đặt t = cos x , xét hàm số:2
f t ( ) = tp(1 − t )q với t∈[ ]0;1
Ta có f t '( ) = tp−1(1 − t )q−1[ p − ( p q t + ) ]
'( ) 0f t t p
p q
= ⇔ =
+ hoặc t = 0 hoặc t = 1
Bảng biến thiên:
t
0 p
p q+ 1
f’(t) 0 + 0 - 0
f(t) 0 0
Nhìn vào BBT ta thấy
[ ] 0;1 ( ) ( p ) (p q )q p
Từ đó
[ ] 0;1 ( p ) (p q )q q
Kết luận
* Chú ý: Có thể làm theo cách khác (Sử dụng bất đẳng thức Côsi)
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
VIa
(3,0 đ )
1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình bình hành ABCD (1,0 đ )
Vì C MC∈ ⇒C t( ;1 )−t Giả sử AC BD I∩ = ( 1 3; )
⇒
Do I BD∈ ⇒ ⇒ = − ⇒ − t 7 C( 7;8), ( 3;5)I −
Vì ∠AMC= ∠ACM = ∠MCB⇒ MC là phân giác trong ∠ACB của tam giác ABC
Từ A kẻ AA1⊥MC A( 1∈BC G s AA) / 1∩MC= ⇒ ⇒J J(0;1)⇒A1( 1;0)−
PT của BC: 4x+3y+ =4 0
B BC= ∩BD⇒ ⇒B − ⇒D −
Vậy ( ; 2)1
2
B − , ( 7;8)C − , ( 13;12)
2
D −
0,25 0,25 0,25
0,25
2) “Viết ptmp(P) đi qua A, B và (P) cắt (S) theo một đờng tròn có bán kính bằng 1 (1,0 đ )
Mặt cầu (S) có tâm I( -1; 1; -1) và bán kính R = 2
Mặt phẳng (P) đi qua A(0; -2; -6) nhận véctơ n a b cr( , , ),(a2+ + ≠b2 c2 0)làm véctto pháp tuyến
có PT: ax by cz+ + +2b+6c=0
Từ giả thiết:
0,25 ( )
maxf t
Trang 6(2;0; 2) ( )
( ;( )) 3
d I P
− ∈ ⇒ ⇒
= tìm đợc a, b, c suy ra PT mp(P)
Kết luận có hai mặt phẳng: (P1): x + y – z – 4 = 0 và (P2): 7x – 17y + 5z – 4 = 0
0,5 0,25
3/ Trong các số phức z thoả mãn đ/k: z+ +1 2i =1(*) tìm số phức z có môđun nhỏ nhất (1,0 đ )
Gọi z = x + yi , (x y R, ∈ ) và M(x ; y ) l à điểm biểu diễn số phức z.
Ta có : z+ +1 2i = ⇔ +1 (x 1)2+ +(y 2)2 =1
Đường trũn (C) : (x+1)2+ +(y 2)2 =1 cú tõm (-1;-2)
Đường thẳng OI cú phương trỡnh y = 2x
Số phức z thỏa món điều kiện (*) và cú mụdun nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm biểu diễn nú thuộc (C) và
gần gốc tọa độ O nhất, đú chớnh là một trong hai giao điểm của đường thẳng OI và (C)
,
= − − = − +
=
⇔
− + + − + là số phức thoả mãn yêu cầu bài toán.
0,25
0,5
0,25
Câu
VIb
(3,0 đ )
1/ …Tìm trên đờng thẳng (d): x y+ − =9 0 các điểm M sao cho từ M kẻ đợc tới (C) hai tiếp
tuyến tạo với nhau một góc 60 0 (1.0 đ )
Đờng tròn (C) có tâm I(1 ; 2) và bán kính R = 3
Vì M∈∆ ⇒M m m( ;− +9)
Giả sử từ M kẻ đợc tới (C) hai tiếp tuyến MA, MB với A, B là các tiếp điểm
Xét hai trờng hợp :
a) ∠IMB=300
30
IB IM
sin
1
7
m
m
=
b) ∠IMB=600
Trờng hợp này không có giá trị nào của m thoả mãn
Kết luận : Vậy có hai điểm M1(1;8), M2(7; 2)thoả mãn yêu cầu bài toán.
0,25
0,25
0,25
0,25
3/ … Viết phơng trình đờng thẳng ∆ đi qua A và“ ( 1,0đ )
Giả sử ∆cắt d tại M nên M(1 ; 2− − +t t t; 2 )
2
( , )
d B
∆ =
Xét hàm ( ) 28 22 152 208 '( ) 16(112 2 8 60)2
2
28
3
t
= −
=
BBT
Từ BBT ta thấy maxf t( ) 12= ⇔ = − ⇒t 2 d B( , )∆ max = 12 ⇔ = −t 2
Khi đó đờng thẳng ∆ có PT: 1 4 2
x− = y− = z−
0,25
0,25
0,5
Trang 73/ Tìm môđun của số phức: 1 2 (1 )3
1
z
i
+ − −
=
+ (1,0
đ )
Ta có :
z
2 1, 3
i = − i = −i
nên 3 4 7 1
i
i
+
+
z = + =
ữ ữ
Kết luận 5 2
2
z =
0,5
0,5
Chú ý :
+ Trên đây chỉ là biểu điểm chấm và đáp án vắn tắt, trong bài làm thí sinh phải trình bày lời giải
đầy đủ, chi tiết.
+ Nếu thí sinh làm theo cách khác nhng vẫn đúng thì vẫn cho điểm theo quy định.
+ Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25.