PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH 7.0 điểm.. Biết rằng DBC là tam giác vuông và điểm E nằm trên DA sao cho uuurEA= - 2 ED uuur .Tính thể tích tứ diện EBCD theo a.. Thí sinh chỉ được làm
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH LÀO CAI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC: 20122013
Tổ: Toán – Tin học MÔN: TOÁN (Khối A+A 1+B+D)
Thời gian:180 phút (Không kể thời gian phát đề)
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm).
Câu 1 (2.0 điểm). Cho hàm số ( 1)
1
x m
x
+
+ (Cm) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
b) Gọi A là giao điểm của đồ thị (C m ) với trục hoành còn B là điểm có hoành độ bằng 1 thuộc đồ thị của (C m ),
k và k 1 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với (C m ) tại A và B. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho |k+k 1| đạt
giá trị nhỏ nhất.
2 os(2 ) 3 sin( 2 ) 1 2 cos ( )
b) Giải hệ phương trình
2
x y x x y
ï
í
ï
Câu 3 (1.0 điểm). Tính tích phân
1 2
0
.
x
x
x e x x
x e
=
+
ò
Câu 4 (1.0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương và thoả mãn điều kiện xy+yz+zx= 2012 xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1
A
Câu 5 (1.0 điểm). Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, AC =a 3, DA=DB= DC . Biết rằng DBC là tam giác vuông và điểm E nằm trên DA sao cho uuurEA= - 2 ED uuur
.Tính thể tích tứ diện EBCD theo a.
PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc phần B.
A. Theo chương trình nâng cao.
Câu 6a (1.0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;3); B(1;1); C(3;0). Lập phương trình
đường thẳng d biết d đi qua A và cùng với đường thẳng d’ cũng đi qua A chia tam giác ABC thành ba phần có diện
tích bằng nhau.
Câu 7a (1.0 điểm). Trong hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng 1 : 1 2
d = - = +
1 2 : 1
3
z
= - +
ì
ï
= +
í
ï =
î Viết phương trình mặt phẳng trung trực của MN biết rằng M thuộc d 1 còn N thuộc d 2 sao cho khoảng cách MN là
ngắn nhất.
Câu 8a (1.0 điểm). Cho tập { 2 }
A= xÎ¥ x - x £ chọn ngẫu nhiên ra ba số từ tập A. Tính xác suất để ba số
được chọn ra có tổng là một số chẵn.
B. Theo chương trình chuẩn.
Câu 6b (1.0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d1:2x+y2=0;d 2 : x2y+1=0. Gọi A,B,C lần lượt
là hình chiếu vuông góc của điểm (5; 12 )
13 13
M - xuống d 1 ,d 2 và trục Ox. Chứng minh rằng ba điểm A,B,C thẳng hàng.
Câu 7b (1.0 điểm). Trong hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng 1 : 1 2
d = - = +
1 2 : 1
3
z
= - +
ì
ï
= +
í
ï =
î Điểm M thuộc d 1 ,điểm N thuộc d 2 sao cho khoảng cách MN là ngắn nhất.Viết phương trình mặt cầu đường kính MN. Câu 8b (1.0 điểm). Cho
5
1
1
i
z
i
+
æ ö
= ç ÷
-
è ø chứng minh rằng z
5 +z 6 +z 7 +z 8 =0.
HẾT
www.VNMATH.com
Trang 2TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 20122013
Hướng dẫn chấm gồm 5 trang Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tương đương với biểu điểm chấm.
x 1
x 1
-
= +
1) TXĐ: D= R\{1}
2) Sự biến thiên.
*) Tính đúng các giới hạn và chỉ ra đúng các đường tiệm cận:
*) Tính đúng y’ lập đúng bảng biến thiên và KL đúng về tính đơn điệu.
3) Vẽ đúng đồ thị.
0,25
0,25 0,25 0,25
b
m 1 B(1; )
2
+
.
(x 1)
-
=
-
-
Suy ra:
1
Mà:
Cauchy
= -
é
-
=
Vậy k+ k 1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1, khi m Î{-1;3}
0,25 0,25
0,25
0,25
(1điểm)
2 3
2 os(2 ) 3 sin( 2 ) 1 2 cos ( )
3
2 osx 3 os2 os( 2 )
2
2 osxc 3 os2c x sin 2 x
sin 2 3
os2 osx
2 2
x
c x c
sin (2x ) sin( x)
2x x+k2
( )
5
k Z
p
0,25
0,25
0,25
0,25
b
(1điểm)
Giải hệ phương trình
2
3 5.6 4.2 0 (1)
x y x x y
ï
í
ï
Giải :
www.VNMATH.com
Trang 3Điều kiện : x y , 0
x y
³
ì
í
³
î
Khi đó:
Xét pt(2): x-y= y+( 2y- x)( 2y+ x ) 2 (2)
( 2 ) ( 2 ) (2)
0
x
y
=
ì
=
î
thay vào hệ pt thấy thỏa mãn : Vậy (0 ;0) là một nghiệm của hệ phương trình.
(2) Ûx- 2y= 2y-x 2y+ x ( xy + y )
( 2y x) [( 2y x ) ( xy + y )+1]=0
2 ( xy + y )+1=0(vô nghiêm)
y x
- =
é
ê
Û
+
ê
HPT trở thành :
3 5.6 4.2 0 (1)
x=2y
x- y x x- y
í
î
Khi đó thay x=2y vào pt (1)
x
x
3
2
3 ( ) 4
2
é
= é = Þ =
ê
ê
ê
ê
(log 4; log 2)
0,25
0,25
0,25
0,25
Tính tích phân
1 2
0
.
x
x
x e x x
x e
=
+
ò
Ta có :
0 x 0 1
+
ò ò
*) Tính
1
1
0
x
x
e
dv e dx- v e -
Þ
Khi đó :
1
1
0
*) Tính
1
2
0 1
x
x
= +
ò
Đặt t= xÞ =x t2 Þdx= 2 tdt
Đổi cận : với x= 0 thì t=0. với x=1 thì t = 1.
Khi đó :
1
0
*) Tính
1
3 2 ;
1
dt
I
t
= +
0,5
0,25 0,25
www.VNMATH.com
Trang 44 2
0
1
os
du
c u
I
u
p
p
+
ò
3
2
I e
p
= - -
2012
A
4
x y z
Ta có:
2x y z+ + =(x y+ ) (+ x z+ )£4 x y+ +x z+ £16 x+ + y z
Hoàn toàn tương tự ta có :
(*)
(*)
x y+ + z£ x+ + y z
Cộng vế với vế (1) ;(2) và (3) ta nhận được :
A
A lớn nhất = 503 đạt được khi x=y=z=3/2012
0.25
0,25
0,25 0,25
vuông và điểm E nằm trên DA thỏa mãn EAuuur= - 2 ED uuur
.Tính thể tích tứ diện EBCD theo a.
DEBC
DABC
0,25
A
D
C
I
B E
www.VNMATH.com
Trang 5Do DA=DB=BC nên hình chiếu của D lên (ABC) chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức là trung điểm I của BC.
Ta tính được BC=2a, từ tam giác DBC vuông cân tại D nên chiều cao DI=1/2BC=a. Khi đó :
0,25
0,25
1;1); C(3;0). Lập phương trình đường thẳng d biết d đi qua A và cùng với đường thẳng d’ cũng đi qua A chia tam giác ABC thành
ba phần có diện tích bằng nhau.
Gọi M, N là các điểm thuộc cạnh BC sao cho AM, AN chia tam giác ABC thành ba phần có diện tích bằng nhau. Khi đó ba tam giác ABM, AMN và ANC có cùng chiều cao xuất phát từ A nên.
BM=MN=NC.
BM = BC BN = BC
uuuur uuur uuur uuur
Lại có : BC=(4; 1);- BM =(x M +1;y M -1);BN =(x N +1;y N - 1)
uuuur uuur
BN = BCÞ N Þ AN x+y - = uuur uuur
Kết luận : Phương trình cần tìm : 7x2y1=0 và 4x+y7=0
0,5
0,25
0,25
d = - = +
2
1 2
3
z
= - +
ì
ï
= +
í
ï =
î Viết phương trình mặt phẳng trung trực của MN biết rằng M thuộc
Khi đó: NM t(2 + -1 2 ;s t s t - - ; - 5)
uuuur
.
MN ngắn nhất khi và chỉ khi MN là đường vuông góc chung của
2
1
NM u
t s
NM u
ï
Û = =
í
=
ï
uuuur ur uuuur uur
Vậy M(2;0;1) và N(1;2;3) Mặt phẳng trung trực (P) của MN đi qua trung điểm I(3/2;1;2) của
MN và nhận NM - - uuuur (1; 2; 4)
làm véc tơ pháp tuyến nên có dạng : 2x4y8z+29=0 (P)
0,25
0,25 0,25
0,25
tập A. Tính xác suất để ba số được chọn ra có tổng là một số chẵn.
Ta có: A={0;1;2;…;7}
Không gian mẫu: W = C 8 3 . A= ‘’Biến cố lấy ra 3 sô có tổng là số chẵn’’.
Để 3 số lấy ra có tổng ba số là số chẵn thì hoặc cả ba số đều là số
0,25
www.VNMATH.com
Trang 6chẵn, hoặc 1 số chẵn và 2 số lẻ nên :
Khi đó xác suất là :
3 1 2
4 4 4
3
8
.
P A
C
+
=
0,5
0,25
13 13
điểm A, B, C thẳng hàng.
Giải.
MA a- - a MB b- b +
MA u = Þa= ÞA - uuur ur
2
MB u = Þ =b ÞB - uuur uur
13
Vậy A, B, C thẳng hàng.
Cho
3
1
1
i
z
i
+
æ ö
= ç ÷
-
5 +z 6 +z 7 +z 8 =0.
Ta có:
5
5
2
Do đó : z 5 +z 6 +z 7 +z 8 =z 5 (1+z+z 2 +z 3 )=(i) 5 (1+i+i 2 +i 3 ) = 0
0,5 0,5
www.VNMATH.com