Bài tập hộp đen

Đặt vấn đềVật lý Phổ thông phần dòng điện xoay chiều có dạng "Bài toán hộp đen" đã gây khó khăn cho học sinh trong một số kỳ thi tuyển sinh vào Đại học-Cao đẳng và thi chọn học sinh giỏi

I Đặt vấn đề

Vật lý Phổ thông phần dòng điện xoay chiều có dạng "Bài toán hộp

đen" đã gây khó khăn cho học sinh trong một số kỳ thi tuyển sinh vào Đại

học-Cao đẳng và thi chọn học sinh giỏi trong những năm gần đây Sau khi tham khảo nhiều tài liệu, các tạp chí vật lý và kinh nghiệm giảng dạy tôi xin nêu một phơng pháp là dùng độ lệch pha để khẳng định trên mạch chứa linh kiện gì mà không cần phải đặt ra giả thiết rồi mới loại trừ

II Cơ sở lý thuyết và phơng pháp giải

2.1 Cơ sở lý thuyết

Từ giản đồ vectơ của đoạn mạch xoay chiều nối tiếp ta khẳng định sự

có mặt của các linh kiện nếu đợc biết độ lệch pha giữa hiệu điện thế và dòng

điện hoặc giữa các hiệu điện thế với nhau Dới đây là quan hệ của độ lệnh pha

và các phần tử trong 3 dạng mạch hộp đen phổ biến thờng gặp

2.2.1 Mạch có 1 hộp đen hoặc 2 hộp đen trở lên trong đó có các dự kiện về hiệu điện thế độc lập nhau.

Gọi ϕ là độ lệch pha giữa hiệu điện thế và cờng độ dòng điện 









−π ≤ϕ≤ π

2 2

Chỉ có C Có L, C mà Z

C > ZL Chỉ có R Có R, L, C ZL = ZC Chỉ có L Có L, C ZL > ZC

- < ϕ<0 0 < ϕ < π/2

Mạch có R

và C Có cả R, L, C Z

C > ZL Mạch có L và R

Có cả R, L,

C ZL > ZC

(d.1.1) (d.1.2) (e.1.1) (e.1.2)

ϕ

UL

U

LC

U

R, C

U

R

U

L, R

2.1.2 Mạch có 2 hộp đen trong đó mỗi hộp chỉ chứa 1 phần tử có độ lệch pha ϕ' giữa hiệu điện thế đoạn mạch 1 và hiệu điện thế đoạn mạch 2

0 ≤ ϕ ’ ≤ π

Trong một đoạn mạch

không cho dòng một chiều

chạy qua

Trong mạch có L khi ω

(hoặc f) thay đổi có lúc ϕ = 0 Mạch tiêu thụ điện năng

Mạch chứa tụ điện Trong mạch có Cvà ng ợc lại Mạch chứa R

Hai hộp giống nhau về

loại phân tử Hộp 1 có RHộp 2 có C Hộp 2 có RHộp 1 có L Hộp 2 có CHộp 1 có L

2.1.3 Mạch có 2 hộp đen mỗi hộp chỉ chứa 2 trong 3 phần tử R, L, C có dữ kiện liên hệ với nhau.

Gọi ϕ' là độ lệch pha của hiệu điện thế giữa 2 đầu hộp 1 so với hiệu điện thế giữa 2 đầu hộp 2 ( 0≤ϕ'≤π)

* Hộp 1 có R, L:

• Hộp 1 có R, C

3

0 < ϕ' <

Hộp 1 có L, r

Hộp 2 có R hoặc L,r Hộp 2 có L,.r Hộp 1 có L Hộp 1 có L.rHộp 2 có C

(d.2.1)

< ϕ'< π

0 < ϕ' <

Hộp 2 có C, Hộp 2 có R',

C

0 < ϕ' <

Hộp 2 có R',

C Hộp 2 có R', Hộp 2 có R',

ϕ' = 0

Hộp 2 có R', L'

ϕ' =

Hộp 2 có R', C

ϕ' = 0

Hộp 2 có R', C'

ϕ' =

Hộp 2 có R', L

< ϕ' <

Hộp 2 có C, R' Hộp 2 có L', C

ZC > ZL'

0 < ϕ' <

Hộp 2 có L', C

ZL' > ZC Hộp 2 có R', L' Hộp 2 có R', C

(c.3.3)

< ϕ' <

Hộp 2 có R', L Hộp 2 có L, C 'Z

C’ < ZL

0 < ϕ' <

Hộp 2 có R', C ' Hộp 2 có R', L Hộp 2 có L, C 'Z

C’ > ZL

* Hộp 1 có L, C: ZL > ZC (Nếu ZL < ZC tơng tự)

2.2 Phơng pháp giải

+ Bớc 1:

Tìm độ lệch pha:

- Giữa hiệu điện thế và cờng độ dòng điện là ϕ

- Giữa các hiệu điện thế với nhau là ϕ' Nếu đề bài cho độ lệch pha gián tiếp, chúng ta cần tìm ϕ, ϕ', từ biểu thức các hiệu điện thế hoặc từ biểu thức độ lệch pha:

+

r R

C

1 L r

R

Z

Z U

U

U U

r R

C L

+ ϖ

−

ϖ

= +

−

= +

−

=

+Định lý hàm số cosin: cosϕ'=

2 2 2

12 23 13

12 23

2U U

Với:u 13 = u 12 + u 23

+ Bớc 2:

Từ giản đồ vectơ:

Hộp 2 có R', C

ZC > ZL

Hộp 2 có R',

C

ZL' > ZC

ϕ' = 0

Hộp 2 có L', C'

ZL' > ZC’

ϕ' =

Hộp 2 có L’,r và C’

ZL’ = ZC’

ϕ' = π

Hộp 2 có C', L'

ZC ' > ZL'

Hộp 2 có R, L'

< ϕ' < π

Hộp 2 có R, C'

- Xác định dạng bài toán thuộc một trong ba dạng phổ biến ở trên.

- Kết hợp các trờng hợp ở trong một sơ đồ hoặc phối hợp với các trờng hợp trong ba sơ đồ đó để khẳng định đoạn mạch chứa những linh kiện gì? và tiến hành giải bài toán mạch điện nh mạch thông thờng

III Các ví dụ minh hoạ:

Bài tập dạng 1

Ví dụ1: Cho mạch điện xoay chiều nh hình vẽ X là một hộp đen chứa 1

phần tử R hoặc L hoặc C, biết uAB=100

2 sin 100πt (V); IA = 2 (A), P = 100

(W), C =

π

3

10 − 3

(F), i trễ pha hơn uAB Tìm cấu tạo X và giá trị của phần tử

Giải:

Kết hợp giả thiết về độ lệch pha giữa u và i và mạch tiêu thụ điện suy ra hộp đen thoả mãn (e.1.1)

Vậy hộp đen là một một cuộn dây có r ≠ 0

Ta có: P = I2r → r = = ( )2 =50( )Ω

100 I

P

2 2

Mặc khác: r2 + (ZL - Zc)2 =

2

2

I

2 2

2

2 AB C

2

100 r

I

U Z

Giải ra: ZL = 80 (Ω) ⇒ L = ZωL =10080π =54π

(H)

V

í dụ2: (Đề thi Đại học Mỏ - Địa chất năm 1997 - Câu III)

Cho đoạn mạch ABC có các linh kiện, điện trở cuộn cảm và tụ điện mắc nối tiếp:

Cho biết: uAB = 1.sin 1000t (V) (1)

X

uBC = 3 sin 









2 t

1000 (V) (2)

Giữ nguyên các linh kiện trên AC, thay đổi tần số góc của dòng điện khi tần số góc bằng 2000 rad/s thì biểu thức i, uAB, uBC nh sau:









6 t 2000 sin

3









2 t 2000 sin

3

Hỏi trên AB, BC có những linh kiện gì? Xác định độ lớn của chúng

Giải

Xét trên đoạn mạch AB

Từ (1),(3),(4), và (5) đối chiếu với (e.1.1), (e.1.2), và (g.1) ta suy ra chỉ

có trờng hợp (e.1.2) thoả mãn tức đoạn mạch AB gồm R1,L1, và C1

Từ (1) và (3) cho thấy khi tần số góc bằng ω1 = 1000rad/s thì ϕu AB,i=0

1000L1 =

1

1 1000C (1.1)

Và khi đó R1= 1000 ( )

10

1

3 0

I

U AB

Khi ω = ω2 = 2000 rad/s thì ta có:

3

1000 2000

1 2000

3

1 6 2000

1 2000

1

1 1

1 1

−

=

C L

tg R

C

L

tg u i

AB

π

Giải (1.1) và (1.2) ta đợc L1 2 (H)

3 3

1

3 3

2

−

= Xét đoạn mạch BC:

Từ (2) và (3) ta thấy

BC ,i

U

2

π

ϕ =− Từ (4) và (6) thấy

BC ,i

U

2

π

ϕ = Vậy BC gồm L2

và C2 ( thoả mãn (a.1.2),(c.1.2) và (g.1))

Khi ω = ω1 =1000rad/s ta có:

OBC

Khi ω = ω2 = 2000rad/s ta có:

OBC

Giải hệ (1.3) và (1.4) ta đợc L2 7 (H)

3 3

16

10 3

3 − 6

(F)

Ví dụ 3 : (Đại học Vinh năm 2000) Cho mạch điện nh hình vẽ R là biến trở,

tụ điện C có điện dung là 10 3

9

−

π (F) X

là một đoạn mạch gồm 2 trong 3 phần tử R0, L0, C mắc nối tiếp Đặt vào hai câu đầu A, B một hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng U AB không đổi Khi R = R1 = 90Ω thì:

uAM = 180 2 sin (100πt -

2

uMB = 60 2 sin (100πt) (V)

Xác định các phần tử của X và giá trị của chúng

Giải:

Xét đoạn AM, ta có độ lệch pha giữa UAM và i:

1

π

⇒

−

=

−

AM

C

R

Z

(i sớm pha hơn UAM 1 góc

4 π

Ta lại có: ZAM = R2 +Z C2 = 90 2 suy ra A

Z

U I

AM

AMO 2

→ i = 2sin (100πt -

4

π ) (A) Bây giờ xét đoạn MB ta có:

2 30 I

U Z

0

MB

MB = = (Ω) So với dòng điện i, UMB sớm pha hơn góc

ϕΜΒ =

4

π

do đó trong X phải chứa hai phần tử R0 và L0 (thỏa mãn (e.1.1))

X

Ta có:

4

tg R

Z

0

L0

=

π

= ⇒ ZL0 = R0

Ta lại có: ZMB = 30 2 = R R2 R0 2

10

2

0 + =

Suy ra: R0 = 30Ω = ZL0 và L0 =

π

= ϖ

3 , 0

ZL0

(H)

Bài tập dạng 2

Ví dụ:4 (Đề thi Đại học Mỏ - địa chất năm 1998 câu c)

Có một đoạn mạch nối tiếp A'B'C' chứa hai linh kiện nào đó thuộc loại cuộn cảm, tụ điện, điện trở Khi tần số của dòng điện bằng 1000HZ ngời ta đo

đợc các hiệu điện thế hiệu dụng UA'B' = 2(V), UB'C' = 3(V), UA'C' = 1(V) và c-ờng độ hiệu dụng I= 10-3 (A)

Giữ cố định UA'C ' tăng tần số lên quá 1000HZ ngời ta thấy dòng điện trong mạch chính A'B'C' giảm Đoạn mạch A'B'C' chứa những gì? Tại sao?

Đoạn mạch A'B' chứa gì? B'C' chứa gì? tại sao? Tính điện trở thuần của cuộn cảm nếu có

Giải:

Ta đi tìm độ lệch pha ϕ’ giữa uA’B’ và uB’C’

Vì đoạn mạch A'B'C' mắc nối tiếp nên:

uA'C'= uA'B' + uB'C '

' ' '

'

'

'C A B B C

U =  + 

Ta biểu diễn bằng giản đồ vectơ (hình vẽ bên)

A'C ' A 'B ' B 'C ' A'B ' B 'C '

1 = 4 + 3 - 2.2 3 cosα

→ cosα =

A ' B ', B ' C '

U U

'

Ta thấy π >

A ' B ', B ' C '

'

U U

2

π

ϕ >

Trên mỗi đoạn mạch A'B' và B'C' chỉ có một linh kiện chứng tỏ trên A'B'C' gồm một tụ điện mắc nối tiếp với cuộn dây có điện trở thuần theo (e.2)

Từ công thức:

ϕ'

B 'C '

Ur

A'B '

Ur

A'C '

Ur

α

I =

A'C ' A'C '

2 2

A'C '

L C

Cho thấy UA'C ' =const, R, L, C = const

Khi f tăng lên lớn hơn f0 = 1000 Hz mà L giảm chứng tỏ (ZL - ZC)2 tăng

→ / ZL-ZC / tăng mà khi f tăng thì ZL tăng còn ZC giảm

Vậy muốn ZL −ZC tăng khi f > f0 thì tại f0 phải có 2πf0L >

0

1

2 f Cπ hay

Z0L ≥ Z0C <=> z20L ≥z20C ' →R2 +z20L> z20C ' →Ud >Uc' Theo đề bài UA'B'= Ud

= 2V > UB'C' = 3 (V)

Vậy trên A' B' phải là cuộn dây có điện trở thuần, trên B'C' là tụ điện Khi f = f0 = 1000HZ ta có Z0C = UB 'C ' 3

3.10

ZA'B' = 2 2 A'B ' 3

0l

U

I

A'C ' 0L 0C

U

I

Giải ra có R = 103Ω

Bài tập dạng 3

Ví dụ 5 : (Đại học Vinh năm 2000)

Cho mạch điện nh hình vẽ

R là biến trở, tụ điện C có điện dung là 10 3

9

−

π (F) X là một đoạn mạch gồm 2 trong 3 phần tử R0, Lthuần cảm, C mắc nối tiếp Đặt vào hai đầu A, B một hiệu điện thế xoay chiều, có giá trị hiệu dụng U AB không đổi Khi R = R1 =

90Ω thì:

uAM = 180 2 sin (100πt -

2

uMB = 60 2 sin (100πt) (V)

Xác định các phần tử của X và giá trị của chúng

X

Giải

Ta có thể giải lại ví dụ 3 theo quan điểm bài tập dạng 3 ở đây trong 2 hộp đen thì hộp thứ nhất các phần tử xem nh đã biết

Tìm độ lệch pha ϕ ' giữa hiệu điện thê của 2 đoạn mạch AM và MB:

2

| 2

|

|

|

|

|

ϕ = U AM − U MB = AM − MB = − = Suy ra hộp đen gồm R0 và

L0 (thỏa mãn (b.3))

4

AM

R

0 0

0

0 1

Z

MB =π ⇒ ϕ = = ⇒ =

ϕ

2 180

2 90 2 60

0

0 0

AM

MB MB

U

U I

U Z

π ω

3 , 0 30

2

0 0

2 0

2

L MB

Z L Z

R R

Z R

Ví dụ 6 : (Đề thi Đại học Giao thông năm 2000)

Cho đoạn mạch nh hình vẽ X và Y là hai hộp đen, mỗi hộp chỉ chứa 2 trong 3 phần tử: điện trở thuần, cuộn dây thuần cảm và tụ điện mắc nối tiếp Các vôn kế V1, V2 và ampe kế đo đợc cả dòng xoay chiều và một chiều Điện trở các vôn kế rất lớn, điện trở ampe kế không đáng kể Khi mắc điểm A và M vào hai cực của nguồn điện một chiều, ampe kế chỉ 2A, V1 chỉ 60 (V) Khi mắc A và B vào nguồn điện xoay chiều, tần số 50HZ thì ampe kế chỉ 1A, các

vôn kết chỉ cùng giá trị 60 (V) nhng UAM và UMB lệch pha nhau

2

π Hộp X và Y

có những linh kiện nào? Tìm giá trị của chúng

Giải:

Khi mắc 2 đầu của X và Y với nguồn điện một chiều, trong mạch có I = 2A Chứng tỏ không chứa tụ điện (theo(f.1)) Vậy trong X chứa r và cuộn

thuần cảm L Do đó ta có: r = = =30Ω

2

60 I

U

Y X

V2

V1

M

Nếu Y cũng chữa R và L thì góc lệch pha giữa UAMvà UMB chỉ có thể

là một góc nhọn vì cả hai đều sớm pha hơn so với i Vậy Y chứa điện trở thuần

R và tụ điện C ( theo (b.3))

Giản đồ vectơ trong trờng hợp này đợc trình bày nh hình vẽ

Theo đề bài ta có: I = 1A Suy ra

Ur = I.r = 1 30 = 30 (V)

Nh vậy: Ur =

2

1 UAM → α = 300

Ta có UL = UAM cosα = 60.cos300

= 30 3 (V)

1

3 30 I

UL

=

⇒ L =

π

=

ω 100

3 30

ZL

(H)

Do UAM và UMB vuông pha nhau, suy ra β = α = 300 nên:

UR = UAB.cosβ = 60 cos300 = 30 3 (V)

⇒ R = 30 3

I

UR

= (Ω)

UC = UAB.cos β = 60 sin300 = 30 (V)

1

30 I

UC

=

= (Ω) ⇒ C =

π 3000

1 (F)

IV Các bài tập tơng tự

Bài 1: (Đề thi SPHN2 - năm 2001)

Cho mạch điện nh hình vẽ:

u = 100 2 sin 100πt (V).

Bỏ qua điện trở dây nối và khoá K

1 Khi K đóng dòng điện trong mạch có I1 = 2A và lệch pha 300 so với hiệu

điện thế Hãy chứng tỏ cuộn dây có r

2 Khi K mở thì I2 = 1A; uAM lệch pha so với uMB 1 góc 900

X

K

AN

Ur

L

Ur

β

C

Ur

MB

Ur

R

Ur

i

α

r

Ur

a Tính công suất tiêu thụ trên X.

b Đoạn mạch X chứa 2 trong 3 phần tử (R, L, C thuần) Hãy xác định X và tìm giá trị của chúng

Bài

2 : Cho mạch điện nh hình vẽ.

X là hộp đen chứa 2 trong 3 phần tử, cuộn cảm, tụ, điện trở thuần khi f = 50Hz; UAM = UMB = 75 (V); UAB = 150 (V); I = 0,5A

Khi f = 100Hz, hệ số công suất của đoạn mạch MB là

2

1 Hỏi X chứa những linh kiện gì? Tìm giá trị của chúng

ĐS: Hộp X gồm cuộn dây có r = 150 (Ω), L =

π

1 (H) và C =

4

10− π

Bài

3 : Cho đoạn mạch nh hình vẽ

L = (H)

2

1

π ; C = π

−

25

10 2 (F)

uAB = 100 2 sin 100πt (V) X là một hộp chứa 2 trong 3 phần tử cuộn dây thuần cảm, tụ và điện trở thuần

UAM = 100 2 (V); uAM và uMB lệch pha nhau

4

3π Hỏi X chứa những linh kiện gì? Tìm độ lớn của chúng?

Bài

4 ( Đại học-2004)

Cho đoạn mạch AB gồm hộp kín X chỉ

chứa một phần tử (cuộn dây thuần cảm

hoặc tụ điện) và biến trở R nh hình vẽ

Đặt vào hai đầu A, B một hiệu điện thế

xoay chiều ổn định có giá trị hiệu dụng 200V và tần số 50Hz Thay đổi giá trị của biến trở R để cho công suất tiêu thụ trong đoạn mạch AB là cực đại Khi

đó, cờng độ dòng điện qua mạch có giá trị hiệu dụng bằng 1,414A (coi bằng

2 A) Biết cờng độ dòng điện sớm pha hơn hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch AB Hỏi hộp kín chứa phần tử nào, tìm giá trị của chúng

X

X

(r = 0)

X

B A

R

Bài

5 : Cho mạch điện nh hình vẽ.

uAB = 100 2 sin 100πt (V).

C1 =

π

−

5

10 3

(F) Hộp X chứa 2

trong 3 phần tử R1, L, C Khi C1 = C2 thấy uAM lệch pha

2

π so với u

MB, i chậm

pha hơn uAB là

6

π và I = 0,5A.

Hộp X chứa gì? Tìm giá trị của chúng

ĐS: Chứa R = 50 3 ; L =

2

π (H)

Bài

6 :

Trong một hộp kín có chứa dụng cụ điện xoay chiều Nối hai đầu hộp với nguồn điện xoay chiều thì thấy hiệu điện thế hai đầu hộp nhanh pha hơn

c-ờng độ dòng điện qua hộp một góc ϕ (0 < ϕ <

2

π ) Hãy cho biết trong hộp chứa các dụng cụ điện nào? Biết nếu hộp có nhiều dụng cụ điện thì các dụng

cụ đó mắc nối tiếp và chỉ gồm 3 loại điện trở, cuộn dây và tụ điện

Bài

7 : Cho mạch điện nh hình vẽ.

Giữa A và B có uAB = 200 sin100πt (V) Cuộn dây thuần có L =

π

2 ,

C =

π

100 (à,F) Biết X chứa 2 trong 3 phần tử R, L thuần cảm, C nối tiếp Tìm

các phần trong X, biết I = 2,8 (A), hệ số công suất toàn mạch bằng 1, lấy 2

=1,4

Bài

8 : Cho mạch điện nh hình vẽ.

M

X

A A

X, Y là hai hộp đen Mỗi hộp chỉ chứa 2 trong 3 loại linh kiện mắc nối tiếp

điện trở thuần, cuộn dây thuần cảm, tụ điện Ampe kế có điện trở rất nhỏ, vôn

kế có điện trở rất lớn Ban đầu mắc hai điểm A, M vào 2 cực của một nguồn

điện không đổi thì hiệu điện thế V1 chỉ 45V, I = 1,5A Sau đó mắc A, B vào nguồn xoay chiều có hiệu điện thế uAB = 120 sin 100πt (V) thì ampe kế chỉ

1A, hai vôn kế chỉ cùng một giá trị và uAM lệch pha một góc

2

π so với u

AB Hỏi

X, Y chứa các linh kiện nào, tính giá trị số của chúng

Bài

9 : Cho mạch xoay chiều nh hình vẽ

X, Y là 2 hộp đen cha biết cấu tạo chỉ biết trong mỗi hộp chứa 2 trong 3 phần

tử R, L hoặc C Nối vào A, M với nguồn điện một chiều có (V1) = 60V (A) chỉ

IA = 2A Nối vào hai điểm M, B một nguồn một chiều thì IA = 0 Nối nguồn

điện xoay chiều vào 2 điểm hai điểm A, M thì (V1) = 30 2 (V) IA = 1(A) Nối nguồn điện xoay chiều vào hai điểm MB thì (V2) = 50 2 (V) IA = 2(A) Biết trong hộp Y giá trị các phần tử bằng nhau Các (A) và (V) lý tởng Tìm cấu tạo mỗi hộp và giá trị các phần tử

ĐS: X: Rnt L: R = ZL = 30

Y: Cnt L: ZL = ZC = 25

Bài 1 0 : Nối mạch điện xoay chiều nh hình vẽ, trong mỗi hộp X, Y chỉ chứa

một linh kiện, Ampe kế (A) chỉ 1A

UBD = UDF = 10 (V)

UBF = 10 3 (V)

PBF = 5 6 (W)

Xác định linh kiện trong X, Y và độ lớn f = 50Hz

B

ài 1 1

V1 V2 M

F D

Cho 2 hộp đen X, Y mắc nối tiếp, mỗi hộp chỉ chứa 2 trong 3 phần tử:

R, L (điện trở không đáng kể), C Khi mắc 2 điểm A, M vào 2 cực một nguồn

điện một chiều thì IA = 2(A), U = 60V Khi mắc 2 điểm A, B vào 2 cực củaV1 nguồn điện xoay chiều có tần số 50Hz thì IA = 1A, U = 60V, V1 U = 80V vàV2

uAM lệch pha so với uMB là 1200 Hỏi hộp X, Y chứa những phần tử nào Tìm các giá trị của chúng

ĐS: X gồm R nt L; R = 30 (Ω) , ZL = 30 3 (Ω)

Y gồm R' nt L'; R' = 40 (Ω) , Z'L = 40 3 (Ω)

Bài

12

Cho mạch điện nh hình vẽ:

uMN =200 2Sin100 tπ (V) C=10 3

200

−

(F) X là đoạn mạch chứa 2 trong 3 phần tử R, L thuần cảm, C nối tiếp Ampe

kế chỉ 0,8A Công suất P = 96W

Hãy xác định các phần tử trong hộp X và tìm giá trị của chúng

ĐS: R nt L (hoặc C):

R 150( )

L 0,7(H)

C 17,7 F



 ≈







 ≈ à



Bài 1 3

Cho mạch điện nh hình vẽ:

Trong đó: uAM = 120 2Sin(100 tπ −π6) (V)

2

A

•

N

C p

C M A

•